Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki

Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất. Ví dụ 4.[r]

Bất đẳng thức Bunhia copxky

I.Kiến thức cơ bản.

Định lý: Với mọi số a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta luôn có:

(a1b1 a2b2  a n b n)2  (a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: n

n b

a b

a b

a





2

2 1 1

Chứng minh:

(a1t-b1)2 0

(a2t-b2)2 0

………

(ant-bn)2 0

(a12  2

2

2

b +….+b n2)0 Đặt A=a12  2

2

a +….+a n2

B=ab+ab+ab

C=b12  2

2

b +….+b n2

AC B

4

2



II Một số ví dụ:

1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác.

Ví dụ 1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

a

c c

b b

a a

c

c

b

b

a









2

2

2

2

2

với a, b, c > 0 ta có : a+b+c  3 3 abc (bất đẳng thức Cosi)

a2+b2+c2  3

1

(a+b+c)2 Cosi-Bunhia

b b

a a

c c

b

b

a











3

1 (

2

2 2

2

2

2

)2  3

1

c c

b b

a





) 3

3

a

c c

b b

a

c c

b b

a





(đpcm)

Ví dụ 2 Cho a2+b2+c2=1 và m2+n2 = 1

Chứng minh rằng: ambnc  2

Ta có: m2+n2+1 = 2 do đó: (am+bn+c)2  (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT Bunhia a,b,c và m,n,1)

 (am+bn+c)2 2

 ambnc  2 (đpcm)

Ví dụ 3

Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1

Chứng minh rằng a2+b2+c2  3

1

Giải:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có:

(12+12+12)( a2+b2+c2) (1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1

 3( a2+b2+c2) 1

 a2+b2+c2  3

1

Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=3

1

2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất

Ví dụ 4 Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x4+y4+z4

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho 6 số

a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x

ta có:

1=(xy+yz+zx)2  (x2+y2+z2)( x2+y2+z2)  ( x2+y2+z2 )  1

Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2

1  (x2+y2+z2)2  (1+1+1) (x4+y4+z4)  ( x4+y4+z4 )  3

1

Dấu đẳng thức xẩy ra khi: x

z z

y y

x





và x2=y2=z2  x=y=z= 3

3



Vậy Pmin = 3

1

Ví dụ 5:

Cho các số dương a,b,c và các số dương x,y,z thay đổi sao cho:

1







z

c

y

b

x

a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+z Giải:

c y y

b x x

a c b

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

( a  b  c )2 

) )(

z

c y

b x

a









 ( a b c)2  x+y+z

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:

z z

c y y

b

x

x

a

: :











y x

c b a z

c y

b

x

a

=1:( a b c )

Đến đây dễ dàng suy ra:

x= a( a  b c)

y= b( a b  c)

z= c( a b c)

Khi đó

Amin=( a  b c )2

3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải phương trình

I Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình x 4+ x 6=x2 - 10x + 27

Giải: Đk:4x6

Ta có VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+22

VT2=( x 4+ x 6)2 (12+12)  ( x 4)2 +( x 6)2 

(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 và x 4, x 6 )

Măt khác : ( x 4)2 +( x 6)2=x-4+6-x=2

Suy ra : VT2  2.2  VT2(vì VT= x 4+ x 6 0)

Ta thấy VP2, VT2 nên phương trình có nghiệm khi VT=VP=2

5



Vậy phương trình có môt nghiệm x=5

Ví dụ 2 Giải phương trình 41 x2 41x 41 x 3

Giải: Đk : -1x1

Theo bât đẳng thưc Cô-si ta có:

4 1 x 2 =4 (1 x)(1x)  2

1 x

+ 2

1 x

(1) 41 x  4 1 ( 1 x)  2

1

(2)

41 x =41.(1 x)  2

1

(3)

Từ (1),(2),và(3) ta có : 41 x 2 +4 1 x +41 x 1+ 1 x+ !  x

1

1  x

+ 2

1

1   x

=3 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

1 x= 1  x

1 x=1

x



Kiểm tra lại ta thấy x=0 là nghiệm của phương trình