Nhưng ngược lại đối với kết quả bài làm của học sinh lớp 11A2 tôi thấy rất khả quan hầu hết các em đều làm được bài tập đầu còn bài tập 2 một số em đã không biết chuyển từ đầu bài về dạn[r]
Trang 1I Đặt vấn đề
Trong chương trình toán ở trường phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc bén của toán học Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất Đã có rất nhiều tài liệu đưa ra một số phương pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn:
- Phương pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- Phương pháp sử dụng tam thức bậc 2
- Phương pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển
- Phương pháp sử dụng phản chứng
- Phương pháp sử dụng quy nạp
- Phương pháp sử dụng đạo hàm
- Phương pháp sử dụng hình học
- Phương pháp sử dụng hàm lồi
Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là vô hạn Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phương pháp
lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học
sinh một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số Phương pháp lượng giác hoá đã được một số sách của các tác giả đề cập như giáo sư Phan Đức Chính, giáo sư Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu viết Nhưng
do cấu trúc mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phương pháp này hay nói cách khác là chưa thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó
Là một giáo viên gần 20 năm giảng dạy với các đối tượng học sinh khá giỏi của các lớp chọn tôi đã phân chia phương pháp này thành 5 dạng bài tập Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để thực hiện các bước lượng giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để rồi dùng các kết quả của bất đẳng thức lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại số
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn khối 11 trường THPT tôi nhận thấy việc phân chia dạng của tôi là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra phương pháp chứng minh được bất đẳng thức bằng cách áp dụng các phương pháp tư duy này của tôi
Tôi sẽ trình bày về hiệu quả của phương pháp này đối với học sinh ở phần
4 kết quả trắc nghiệm thực tế của sáng kiến
Các tài liệu tham khảo
1 Bất đẳng thức của giáo sư Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995
2 Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức 2 tập của giáo sư Phan Huy Khải
- NXB Giáo dục Hà Nội 2000
3 Phương pháp lượng giác hoá của PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002
Trang 2II giải quyết vấn đề
1 Các kiến thức cần nắm
1.1 Các hệ thức cơ bản
2
( cos
1
2
+ tg cotg = 1 ( ) + 1 + cotg2 =
2
k
) k ( sin
1
2
1.2 Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
2
; ( tg tg 1
tg tg
+ cotg( ) =
g cot g
cot
1 g cot g
) k
; (
1.3 Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
2
k 4
( tg 1
tg 2
2
2
k ( g
cot 2
1 g
+ sin3 = 3sin - 4sin3
+ cos3 = 4cos3 - 3cos
3
k 6
( tg
3 1
tg tg
3
3
3
1.4 Công thức hạ bậc
2
2 cos
2
2 cos
+ tg2 =
2 cos 1
2 cos 1
) k 2
(
1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos 2
+ cos - cos = - 2sin
2 2
+ sin
+ sin + sin = 2sin
2 2
+ cos
Trang 3+ sin - sin = = - 2cos
2
sin 2
+ tg tg =
cos cos
) sin(
) k 2
; (
1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos = [cos( ) cos( )]
2
1
+ sin.sin = [cos( ) cos( )]
2
1
+ sin.cos = [sin( ) sin( )]
2
1
2 Nội dung của sáng kiến
Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác ở nhiều sách đều đưa ra các phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác rất mơ hồ chưa có hệ thống, chưa phân chia thành các dạng bài tập Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp lượng giác mà tôi được biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây
Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đưa ra phương pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lượng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lượng giác bằng các bất đẳng thức lượng giác đơn giản như:
| sin | 1;| cos | 1; sin n 1; cos n 1 (n N *)
* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lượng giác sau đều có nghĩa)
Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự Công thức lượng giác
t cos
1 2 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t
2 x 1
x 2
tgt 2 2
tgt 2 2
2 x 1
x 2
tgt 2 2
tgt 2 2
xy 1
y x
tg tg 1
tg tg
= tg(+)
tg tg 1
tg tg
cos
1
2
1
2
Trang 4một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
1) Phương pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt với [0, 2]
cos y
sin x
b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt với [0, 2]
cos a y
sin a x
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: 2 S = a(c+d) + b(c-d) 2
Giải:
Đặt và S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
u cos
b
u sin
a
v cos d
v sin c
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
4 ) v u ( sin
2
S
VD2: Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:
2
25 b
1 b a
1 a
2 2 2 2 2
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2 Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
b
1 b a
1
sin cos
sin cos
sin cos
4 sin
1 cos
1
4 4
4 4
4 4
4
sin cos
1 1
sin
sin cos
1 1
sin cos
2 sin
2
25 4 2
17 4 ) 16 1 ( 2
1 1 4 2
sin
16 1
2 sin
2
1
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1
Trang 5VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 Chứng minh rằng:
A = a2 b2 2 3ab2(12 3)a (42 3)b4 33 2
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1
cos sin 3 2 cos
sin A cos
2 b
sin 1 a cos
2
b
sin 1
6 2 sin(
2 2 cos 2
1 2 sin 2
3 2 2 cos 2
sin
VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a12b7= 13
Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) - 1 (a-1)2 + (b + 1)2 1
cos R 1
b
sin R 1
R ) 1 b ( ) 1 a ( 1 cos R b
1 sin R a
Ta có: 5a12b7 13 5(Rsin1)12(Rcos1)7 13
13
5 arccos sin
R cos
13
12 sin
13
5 R 1 13 cos
R 12 sin
R
Từ đó (a-1)2 + (b+1)2 = R2 1 a2 + b2 + 2(b - a) - 1 (đpcm)
II Dạng 2 : Sử dụng tập giá trị |sin|1 ; |cos| 1
1 Phương pháp:
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
2 2 cos 0;
b) Nếu thấy |x| m ( m 0) thì đặt
2 2 cos 0;
x m khi
x m khi
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p 2p |x| 1 ; P 1
Giải:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p
Trang 6= p p p p 2 2 p
p 2
p
2
sin 2 cos 2 2
sin 2 cos 2 2
sin 2 2
cos
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: 32A2 3a22a 1a2 32
Giải:
Từ đk 1 - a2 0 |a| 1 nên
Đặt a = cos với 0 1a2 = sin Khi đó ta có:
A=2 3a22a 1a2 2 3cos22cossin 3(1cos2)sin2
3 2 sin 2 3 2
sin 2
1 2
cos
2
3
VD3: Chứng minh rằng: 1 1a2(1a)3 (1a)32 2 22a2 (1)
Giải:
Từ đk |a| 1 nên
Đặt a=cos với [0,] ; 1a sin
2 cos 2 a 1
; 2 sin 2 a
(1)
2
cos 2 sin 2 2 2 2 2
sin 2 cos 2 2 2
cos 2 sin 2
2
cos 2 sin 1 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos
2
2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos 2
VD4: Chứng minh rằng: S = 4(1a2)3 a3 3a 1a2 2
Giải:
Từ đk |a| 1 nên:
Đặt a = cos với [0, ] 1a2 = sin Khi đó biến đổi S ta có:
S=4(sin3cos3)3(cossin) (3sin4sin3)(4cos33cos)
4 3 sin 2 3
cos
3
VD5: Chứng minh rằng A = a 1b2 b 1a2 3ab (1a2)(1b2)2
Trang 7Từ điều kiện: 1 - a2 0 ; 1 - b2 0 |a| 1 ; |b| 1 nên
Đặt a = sin, b = sin với , 2;2
Khi đó A = sincoscossin 3cos()=
3 ) ( sin 2 ) cos(
2
3 ) sin(
2
1 2 ) cos(
3 )
sin(
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| 1 a [1; 3]
Giải:
Do a [1, 3] nên a-2 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos Ta có:
A = 4(2cos)3 24(2cos)2 45(2cos)26 4cos33cos cos3 1
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A = 2a a 2 3a 3 2 a [0, 2]
Giải:
Do a [0, 2] nên a-1 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ] Ta có:
A = 2(1cos)(1cos)2 3(1cos) 3 1cos2 3cos
3 sin
2 cos
2
3 sin
2
1 2 cos
3
cos
1 tg
cos
1
2
2
2
1) Phương pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 1
thì đặt x = với
cos
1
2
3 , 2
; 0
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 m2
thì đặt x = với
cos
m
2
3 , 2
; 0
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A = a2 1 3 2 a 1
a
Trang 8Do |a| 1 nên :
cos
1
2
3 , 2
;
0 a2 1 tg2 tg
3 sin
2 cos 3 sin
cos ) 3 tg
( a
3 1
a2
VD2: Chứng minh rằng: - 4 A = 2 2 9
a
1 a 12
1
a
Giải:
Do |a| 1 nên:
cos
1
2
3 , 2
;
0 a2 1 tg2 tg
A = 2 2 = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos=
a
1 a
12
2 sin 6 2
) 2 cos 1 ( 5
13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 2
sin 13
12 2
cos 13
5
2
13
2
5
2
13 2
5 13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 A ) 1 ( 2
13 2
ab
1 b 1
a2 2 a b; 1
Giải:
Do |a| 1; |b| 1 nên
Đặt a = ; b = với Khi đó ta có:
cos
1
cos
1
2
3 , 2
; 0
A = (tgtg)coscos sincossincos sin() 1(đpcm)
1 a
a
Giải:
Do |a| > 1 nên:
cos
1
sin
1 tg
1 cos
1 1 a
a 2
; 0
2 2
Trang 9a+ 2 2 (đpcm)
2 sin
2 2 sin
1 cos
1 2 sin
1 cos
1 1
a
a
VD5: Chứng minh rằng y x2 14 y2 13xy 26 x y; 1
Giải:
y y
y x
x
Do |x|; |y| 1 nên Đặt x = ; y= với ,
cos
1
cos
1
2 , 0
Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) 26
Ta có: S sin + cos (42 32)(sin2cos2) sin5cos
(1 2 5 )(sin 2 2 cos 2) 26 (đpcm)
2 cos 1
1 Phương pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với
2
, 2
b) Nếu x R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với
2
, 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
1
4 1
3
3 2
3
x x
x
Giải:
Đặt x = tg với , khi đó biến đổi S ta có:
2
,
1
S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3| 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 4
) a 2 1 (
a 12 a 8 3
Giải:
Đặt a 2= tg với thì ta có: A =
2
4 2
) tg 1 (
tg 3 tg
4 3
Trang 10=
2 2 2
4 2
2 4
cos sin
2 ) cos (sin
3 )
sin (cos
sin 3 cos
sin 4 cos
3
2
0 2 2
2 sin 3 A 2
1 3 2
5 2
2
Với = 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với = a = thì MinA =
4
2
1
2 5
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2
Giải:
Đặt a = tg, b = tg Khi đó
) tg )(
tg (
) tg tg )(
tg tg ( ) b )(
a (
) ab )(
b a (
2 2
2
1 1
1
1
=
cos cos
sin sin cos
cos cos cos
) sin(
cos
cos2 2
2
1 2
2
1
sin(
) a 1 )(
c 1 (
| a c
| )
c 1 )(
b 1 (
| c b
| )
b 1 )(
a 1 (
| b a
|
2 2
2 2
2
Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi đó bất đẳng thức
) tg 1 )(
tg 1 (
| tg tg
| )
tg 1 )(
tg 1 (
| tg tg
| )
tg 1 )(
tg
1
(
| tg tg
|
2 2
2 2
2
cos cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos
cos
sin(-)+sin(-) sin(-) Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)
sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)
sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-) (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: ab cd (ac)(bd) (1) a,b,c,d0
Giải:
d
b 1 a
c 1 ab cd
d
b 1 a
c 1
1 1
) d b )(
c a (
cd )
d b )(
c a
(
Trang 11Đặt tg2= , tg2= với , Biến đổi bất đẳng thức
a
c
b
d
2 , 0
) tg 1 )(
tg 1 (
tg tg )
tg 1 )(
tg
1
(
2 2
2 2 2
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 =
b
d a
c
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1 a
| 1 a
| 4 a 6 2
2
Giải:
Đặt a = tg Khi đó A =
2
1 2 tg
1 2
tg 4 2 tg 1 2 tg
2 3 1
2 tg
| 1 2 tg
| 4 2 tg 6
2
2
2 2
2
A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sin + 4 |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25 A 5
Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với thì MaxA = 5
4
| cos
| 3
sin
1) Phương pháp:
1 2
0 2 2
x
z
; y
;
x
C cos z
; B cos y
; A cos x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
xyz z
y x
z
; y
;
tgC z
; tgB y
; tgA x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
1 zx yz xy
0 z , y
;
x
C tg z
;
B tg y
;
A tg x
)
; 0 ( C
; B
; A
gC cot z
; gB cot y
; gA cot x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
Trang 122 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
z
1 y
1 x
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg ; y = tg ; z = tg với , ,
2
2
2
2 , 0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
tg 2
tg
2
tg
2
2 g cot 2
2 tg 2
tg
1 2
tg 2 tg 1
2
tg 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
tg
S = 3(x y z)= cotg + cotg + cotg -3
z
1 y
1
x
2
2
2
2
tg 2
tg 2 tg
2 2
2
2 2 2
2 2
2
g
cot
2 2
2
2 tg tg tg
S = (cotg+cotg-2tg ) + (cotg+cotg-2tg ) +(cotg+cotg-2tg )
2
2
2
Để ý rằng: cotg + cotg =
) cos(
) cos(
sin sin
sin
sin sin
sin
) sin(
2 2
2 tg 2 g cot g
cot 2
tg 2 2
cos 2
2
cos 2 sin 4 cos 1
sin 2 ) cos(
1
sin
2
T đó suy ra S 0 Với x = y = z = thì MinS = 0
3 1
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
) z 1 )(
y 1 ( x 1 (
xyz 4 z
1
z y
1
y x
1
x
2 2
2 2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2