Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Chính vì vậy mỗi khi gặp các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức (BĐT) học sinh thường lúng túng không biết cách giải hoặc trình bày không hợp lý * Mặt khác trong nội dung bồi dưỡn[r]

1

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

PHẦN 1 PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

*Bậc học THCS là bậc học tạo nền tảng đặt cơ sở cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách của con người, tạo nền móng vững chắc cho toàn bộ hệ thống giáo dục nói riêng

* Cùng với các môn học khác, môn Toán là một trong những môn học bắt buộc ở bậc THCS Nó chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong việc hình thành và phát triển phẩm chất nhân cách và năng lực trí tuệ cho học sinh Môn Toán lớp 9 hệ thống hoá, khái quát hoá toàn bộ kiến thức Toán ở bậc học THCS đồng thời tạo tiền đề cho học sinh lên các lớp trên

Chương trình của lớp 8, 9 có rất nhiều bài toán cần đến kiến thức về bất đẳng thức, tuy nhiên kiến thức này chỉ được nhắc sơ qua ở cuối năm lớp 8, học sinh chưa được tìm hiểu sâu Chính vì vậy mỗi khi gặp các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức (BĐT) học sinh thường lúng túng không biết cách giải hoặc trình bày không hợp lý

* Mặt khác trong nội dung bồi dưỡng cho học sinh giỏi bài toán chứng minh BĐT

là một bài quan trọng, đó là một bài toán phát triển tư duy và cũng cần phải có tư duy mới học được Vậy nên đó là một bài toán rất phù hợp đối với học sinh khá và giỏi

II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

1- Khẳng định tầm quan trọng của BĐT đối với chương trình Toán 9 nói riêng và chương trình Toán ở THCS nói chung

2- Nhằm giúp cho học sinh có một kiến thức cơ bản về BĐT, phục vụ trực tiếp cho học sinh nhất là học sinh lớp 9

III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tìm ra một số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy BĐT cho học sinh

IV/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

- Các bài toán chứng minh Bất đẳng thức

2 Phạm vi nghiên cứu:

- Chương trình Toán THCS đặc biệt là lớp 8 và lớp 9

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2

CHƯƠNG I

CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1- Định nghĩa bất đẳng thức

Cho a và b là hai số thực Khi đó:

a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b nếu a - b < 0

a lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu a - b > 0

a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b nếu a - b  0

a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b nếu a - b  0

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay dạng a < b, a  b, a  b) là bất đẳng thức và a gọi là

vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức

2- Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

* Tính chất 1: Tính chất phản xứng

a > b  b < a

* Tính chất 2: Tính chất bắc cầu

a > b , b > c  a > c

* Tính chất 3: Tính chất cộng với cùng một số

a > b  a + c > b + c

Hệ quả: a + c > b  a > b - c

* Tính chất 4: Tính chất cộng hai BĐT cùng chiều

a > c, b > d  a + b > c + d

* Tính chất 5: Tính chất nhân với cùng một số khác 0

a > b, c > 0  ac > bc

a > b, c < 0  ac < bc

* Tính chất 6: Tính chất nhân hai BĐT cùng chiều

a > b  0 , c > d  0  ac > bd

* Tính chất 7: Các tính chất về luỹ thừa

a > b  an > bn

a > b  an > bn với n lẻ

a > b  an > bn với n chẵn

CHƯƠNG II- CƠ SỞ THỰC TẾ

(THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢNG DẠY BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH Ở THCS NÓI CHUNG VÀ HỌC SINH KHÁ GIỎI NÓI RIÊNG)

- Chương trình Toán THCS nói chung và Toán lớp 9 nói riêng có rất nhiều bài toán phải cần đến kiến thức về bất đẳng thức chẳng hạn như: Bài toán giải phương

3

trình, bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất, bài toán về phương trình bậc hai

CHƯƠNG III- NỘI DUNG CỤ THỂ:

PHẦN THỨ NHẤT I/ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Khi đứng trước một bài toán chứng minh BĐT việc định hướng cho lời giải

là rất quan trọng Do vậy cần cung cấp cho học sinh các phương pháp chứng minh BĐT có bản sau:

I 1- Phương pháp dùng định nghĩa:

* Cấu trúc của phương pháp:

Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B sau đó chứng minh A - B > 0 rồi kết luận

Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 ab + bc + ca

Giải:

Xét biểu thức: M = a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)

Suy ra 2M = 2 a2 + 2b2 + 2c2 - 2 ab - 2bc - 2 ca

= (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2)

= (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

Vì: (a - b)2  0

(b - c)2 0 (c - a)2 0

Do đó (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0

Suy ra 2 a2 + 2b2 + 2c2 - 2 ab - 2bc - 2 ca  0 hay a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)  0 Vậy: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 + 3

4  a + b + c Giải:

Xét biểu thức: N = a2 + b2 + c2 + 3

4 - (a + b + c)

= (a2 - a + 1

4) + (b

2 - b + 1

4) + (c

2 - c + 1

4)

= (a - 1

2)

2 + (a - 1

2)

2 + (c - 1

2)

2

4

Vì (a - 1

2)

2  0; (a - 1

2)

2  0; (c - 1

2)

2  0 Do đó (a - 1

2)

2 + (a - 1

2)

2 + (c - 1

2 )2 0

Suy ra a2 + b2 + c2 + 3

4 - (a + b + c)  0

 a2 + b2 + c2 + 3

4  a + b + c Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

2

I.2- Phương pháp biến đổi tương đương

* Cấu trúc của phương pháp:

Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho:

A > B  …  C > D Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận)

Từ đó đi đến kết luận

Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu:

Chứng minh rằng: a b 2

b  a Giải

Giả sử: a b 2

b  a (1)

 a2 + b2 2ab (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)

 a2 + b2 - 2ab  0

 (a - b)2 0 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy a b 2

b a (với a và b cùng dấu)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1

Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab 1

2



Giải:

Giả sử a3 + b3 + ab 1

2

 (1)

 a3 + b3 + ab 1

2

 (a + b)(a2 + b2 - ab) + ab - 1

2  0

5

 2





 a2 + b2 - 1

2  0 (vì a + b = 1)

 2 a2 + 2 b2 - 1  0

 2a2 + 2(1 - a)2 - 1  0 (vì b = 1- a)

 4a2 - 4a + 1  0

 (2a - 1)2 0 (2)

Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy a3 + b3 + ab 1

2

 (với a + b = 1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

2

Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương Chứng minh rằng: 1 1 4

a  b a b



Giải

Giả sử: 1 1 4

a  b a b

 (1)

(vì a > 0 và b > 0)

 a2 + 2ab + b2 - 4ab  0

 a2 - 2ab + b2 0

 (a - b)2 0 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

a  b a b

 (với a > 0, b > 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ví dụ 4: Cho a, b, x, y là các số thực Chứng minh rằng: (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 +

y2)

Giải

Giả sử (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) (1)

 (ax)2 + 2 axby + (by)2 (ax)2 + (ay)2 + (bx)2 + (by)2

 (ay)2 + (bx)2 - 2 ay bx  0

 (ay - bx)2 0 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu "=" xảy ra khi và chi khi ay = bx hay a b

x y

Ví dụ 5: Cho x và y là các số thực Chứng minh rằng: x  y  x y

Giải:

6

Giả sử x  y  x y (1)

x  y   2

xy

 x2 2 xy y2 x2 2xyy2

 xy xy (2)

Vì BĐT (2) là một BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy : x  y  x y

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi xy  0

Ví dụ 6: Cho a và b là hai số không âm Chứng minh rằng: a b ab

2





Giải

Giả sử a b ab

2



 (1)

 a + b 2 ab

( a  b ) 0 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

Vậy: a b ab

2

với a  0 và b  0 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

I.3- Phương pháp dùng bất đẳng thức

I.3.1 - Các bất đẳng thức thường được áp dụng

* BĐT bình phương của một biểu thức

A2 0 với mọi giá trị của A

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = 0

* BĐT Côsi (Cauchy - Nhà toán học người Pháp 1789 - 1857)

+ Cho hai số a và b không âm , ta luôn có: a b ab

2



 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cho ba số a, b, c không âm , ta luôn có: a b c 3

abc 3

 



Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

+ Tổng quát:

Cho n số a1, a2 ,…, an không âm, ta luôn có:

1 2 n n

1 2 n

a a a n

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = …=an

(Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng)

* BĐT Bunhiacốp xki (Bunhiacôpxki - Nhà toán học người Nga 1804 - 1889) + Cho các số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2 (a12 + a22) (b12 + b22)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 1

1 2

b  b

7

+ Tổng quát: Cho hai bộ số (a1, a2,…an) và (b1, b2, …bn) ta luôn có :

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b a b   a b  a a   a b b   b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1  2   n

1 2 n

(Bình phương của tổng các tích không lớn hơn tích của tổng các bình phương)

* BĐT tổng nghịch đảo của hai số cùng dấu:

Với hai số cùng dấu a và b ta có: a b 2

b a Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

* BĐT 1 1 4

a  b a b

 với a và b là hai số dương

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

I.3.2- Cấu trúc của phương pháp:

Để chứng minh A > B ta tiến hành như sau:

- Từ BĐT đã biết C > D ta đi biến đổi C > D  …  A > B rồi trả lời

Ví dụ 1: Cho a , b, c là ba số dương: Chứng minh rằng: a b c 1 1 1

Giải

Cách 1:Theo BĐT Cô si: Với x , y không âm ta có: x y xy

2

Ta có: a b 2 a b 2

bc ca  bc ca  c

ca  ab ca ab  a

bc  ab  bc ab  b

       

       

    Dấu "=" xảy ra khi và chi khi a = b = c

Cách 2:

Theo BĐT Tổng hai nghịch đảo ta có :

Với hai số cùng dấu a và b ta có: a b 2

b  a

    

b c 1 b c 2

    

c a 1 c a 2

    

8

       

       

    Dấu "=" xảy ra khi và chi khi a = b = c

Ví dụ 2: Cho hai số a và b thoả mãn 2a + b = 1 Chứng minh rằng: 2a2 + b2 1

3 Giải

Theo BĐT Bunhia cốp xki:

Với các số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2 (a12 + a22) (b12 + b22)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 1

1 2

b  b

1  2ab  2 2a 1.b  ( 2) 1 2a b

 3(2a2 + b2)  1

3

  (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

2a b 1 2









  



 a = b = 1

3

Ví dụ 3:Cho a ,b, c là ba cạnh của một tam giác : Chứng minh rằng:

Giải

Theo BĐT 1 1 4

x y x y

 với x và y là hai số dương

a b c c a b b

c b a a c b c

a c ba b c  a

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c (tức là tam giác đã cho là tam giác đều)

I.4- Phương pháp phản chứng

* Cấu trúc của phương pháp

- Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

9

- Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)

- Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT

1

b

  ; b 1 2

c

  ; c 1 2

a

 

Giải

Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT

1

b

  ; b 1 2

c

  ; c 1 2

a

 

Suy ra :a 1 b 1 c 1 6

        

Mà: a 1 2

a

  (a > 0) ; b 1 2

b

  (b > 0) ; c 1 2

c

  (c > 0)

        

Do đó (*) vô lý

Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT

1

b

  ; b 1 2

c

  ; c 1 2

a

 

I.5 - Phương pháp làm trội, làm giảm

Ví dụ 1:

Cho a, b, c là 3 số dương Chứng minh rằng: 1 a b c 2

Giải

a b c a b

a b c  b c

a b c c a

a b ca b ca b ca bb cc a





   (điều này dễ chứng minh được)









 

a bb c c a 

10

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:

2 3   n 

Giải

Ta có :

2

k  k.k k k 1  k 1k

Nên 12 1 1

2  1 2

12 1 1

3  2 3

……

12 1 1

n  n 1 n



Suy ra

2 2 2

2 3   n   n <1

Vậy: 12 12 12 1

2 3   n 

II Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp

Bài 1:

* Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D

* Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Cho hai số a và b thoả mãn a - b = 1 Chứng minh rằng: a3 - b3 - ab  1

2 Giải:

Giả sử a3 - b3 - ab  1

2 (1)

 (a - b)(a2 + ab + b2) - ab  1

2

 a2 + ab + b2 - ab  1

2 (vì a - b = 1)

 2a2 + 2b2 1

 2(b + 1)2 + 2b2 1 (vì a = b + 1)

 2b2 + 4b + 2 + 2b2 1

 4b2 + 4b + 1  0

 (2b + 1)2 0 (2)

Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng

11

Vậy a3 - b3 - ab  1

2 với a - b =1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

1 a 2 1 b 2

 





  



Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2

Chứng minh rằng: 4 4 3 3

a b a b

Giải

* Cách 1

Giả sử: 4 4 3 3

a b a b (1)

 2(a4 + b4) 3

4 (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2)

 2a4 + 2b4 a4 + a3b + ab3 + b4

 a4 + b4 - a3b - ab3 0

 (a- b)(a3 - b3)  0

 (a - b)2(a2 + ab + b2)  0 (2)

Vì (a - b)2 0 và a2 + ab + b2 = (a + 1

2 )

2 + 3

4  0 nên BĐT (2) là BĐT đúng Do

đó BĐT (1) là BĐT đúng

a b a b với a + b = 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

* Cách 2:

Giả sử: 4 4 3 3

a b a b (1)

 2(a4 + b4) 3

4 (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2)

 2a4 + 2b4 a4 + a3b + ab3 + b4

 a4 + b4 - a3b - ab3 0

 (a- b)(a3 - b3)  0 (3)

Xét các trường hợp sau:

* TH: a > b suy ra a3 > b3

Do đó (a- b) > 0 và ( a3 - b3) > 0 nên BĐT (3) là BĐT đúng

* TH: a = b thì hiển nhiên BĐT (3) là BĐT đúng

* TH : a < b suy ra a3 < b3

Do đó (a- b) < 0 và ( a3 - b3) < 0 nên BĐT (3) là BĐT đúng

Vậy trong mọi trường hợp BĐT (3) luôn là BĐT đúng

Suy ra (1) là BĐT đúng Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Nhân xét:

- Cách giải 2 ưu việt hơn cách giải 1 bởi vì nó có thể áp dụng để giải được bài toán tổng quát (xét ở phần sau)

Bài 2:

* Cấu trúc: Cho BĐT C  D, chứng minh A  B

* Cách giải :

- Xét biểu thức: (A - B) + (D - C) và biến đổi về dạng tổng các bình phương

12

- Chứng minh: (A - B) + (D - C)  0

- Dùng giả thiết C  D để suy ra A  B

Ví dụ 1:

Cho a + b  1 Chứng minh : a2 b2 1

2

Giải

2

     

2

       

=

Vì

2

1

2

2

1

2

2

     

mà a + b  1 suy ra 1 - a - b  0 Do đó a2 b2 1 0

2

   

2

  với a + b  1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b 1

2

 

Ví dụ 2: Cho a + b  2 Chứng minh rằng: 4 4 3 3

a b a b

Giải

Xét biểu thức : N =  4 4 3 3  

a b  a b  2 a b

= (a - 1)(a3 - 1) + (b - 1)(b3 - 1)

= (a - 1)2 (a2 + a +1) + (b - 1)2 (b2 + b + 1)

Vì (a - 1)2 (a2 + a +1)  0 và (b - 1)2 (b2 + b + 1)  0

a   b a b   2 a b  0

mà a + b  2 nên 2 - a - b  0 Do đó  4 4 3 3

a    b a b  0

a b a b

III- Mở rộng một số bất đẳng thức

Việc mở rộng một BĐT giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về BĐT đó và đồng thời có tác dụng trong việc phát triển tư duy, cũng như óc tìm tòi sáng tạo của học sinh Việc làm này nên làm thường xuyên ngay trong quá trình dạy

Ví dụ 1:

Cho a và b là hai số dương Chứng minh:   1 1

   

13

Mở rộng: Cho n số dương a ,a , ,a1 2 n Chứng minh rằng:

1 2 n

1 2 n

       

* Gợi ý: Dùng BĐT Cô si để giải

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng: a1 b 1   2

Mở rộng:

Cho n số dương a ,a , ,a1 2 ncó tích bằng 1 Chứng minh rằng:

a 1 a 1 a  1 2

b)       n

1 2 2 3 3 4 n 1

a a a a a a a a 2

Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải

Ví dụ 3:

Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

Mở rộng:

Cho n số dương a ,a , ,a1 2 ncó tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

a)

b)

2

            

* Gợi ý : Dùng BĐT Bu nhi a cốp xki để giải

Ví dụ 4:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2 Chứng minh rằng: a4 + b4 a3 + b3

Mở rộng:

1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2

Chứng minh rằng: an + bn an-1 + bn-1 (với n là số tự nhiên chẵn và kháo 0)

* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp 2/ a) Cho n số thực a ,a , ,a1 2 n thoả mãn a1  a2 an n

a a   a a a   a b) Cho n số thực a ,a , ,a1 2 n thoả mãn a1  a2 ann

a a   a a a   a *Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp

Ví dụ 5:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a b 1  Chứng minh rằng: 2 2 1

2

Mở rộng: