Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM – GM

Bài 1. Cho các s th c d ng x y, th a mãn x y 2 Ch ng minh r ng x y x3 3( 3y3)2

Gi i

Cách 1: Ta có x3y3  (x y)33xy x( y) 8 6xy, khi đó ta c n ch ng minh 3 3

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

4

4

abcd     

   , ta đ c:

x y

x y

 



  

Cách 2: Ta có x3y3  (x y x)( 2xyy2)2(x2xyy2), khi đó c n ch ng minh:

x y x xyy 

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

4

4

abcd     

   , ta đ c:

4

4





D u “=” x y ra khi x y 22 2 x y 1

 



  



Bài 2. Cho hai s th c a b, th a mãn a  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c b 1 P ab 1

ab

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

2

ab

     Do đó ta có l i gi i sau:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng x y 2 xy và

2

( ) 4

x y

xy 

, ta đ c:

Ta có

2

a b



2

a b thì 17

4

P  V y giá tr nh nh t c a P là 17

4

ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng K thu t ch n đi m r i thu c khóa h c Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này,

b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này

Bài 3. Cho hai s th c d ng a b, Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P a b ab

a b ab



 Phân tích và đ nh h ng l i gi i

Do P là bi u th c đ i x ng nên ta d đoán đi m r i x y ra khi a b

Lúc này đ áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta c n ch n h s  th a mãn

2

a b ab

a b







 



Do đó ta có l i gi i sau:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:

P

Khi a thì b 5

2

P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 5

2.

Bài 4. Cho ba s th c d ng x y z, , th a mãn x  y z 2 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

P x y y z  z x

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

3

3

x     y y z z x Do đó ta có l i gi i sau:

3

P   P V y giá tr l n nh t c a P b ng 2 3 khi 2

3

x  y z

Bài 5. Cho các s th c a b c, , th a mãn a2,b3,c4 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

P a b c 1 1 1

     

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

Bài toán này th c ch t có th tách thành 3 bài toán sau:

+) Tìm giá tr nh nh t c a P1 a 1

a

  v i a 2

+) Tìm giá tr nh nh t c a P2 b 1

b

  v i b 3

+) Tìm giá tr nh nh t c a P3 c 1

c

  v i c 4

Tr c h t, ta xét bi u th c 1

1

a

  D đoán 1

5 min

2

P  khi a 2

Khi đó, ta ch n  th a mãn:

1

1 4 2

a a a



 



T i đây, ta s d ng b t đ ng th c AM – GM :

1 1 3 1 3 2 1 3 1 3.2 1 5

Làm t ng t ta đ c: 2

10 3

4

P  Suy ra min 5 10 17 121

P     khi a 2,b3,c4

Bài 6. Cho các s th c a b, th a mãn đi u ki n 0  , 7a 2   và b 9 a  b 9

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P ab

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

V i d ki n 0  , 7a 2   và b 9 a  , ta d đoán b 9 P s đ t giá tr l n nh t khi a 2,b7 , khi đó

7a 2b Do đó đ kh p đ c d u “=” ta s tách ghép đ áp d ng b t đ ng th c AM – GM nh sau:

V y maxP 14 khi a 2,b7

Nh n xét: Ngoài cách gi i trên ta có th gi i theo cách th sau:

P aba a  aa

Xét hàm f a( )9aa2 v i a 0; 2 Ta có f a'( ) 9 2a 0,  a  0; 2  f a( ) đ ng bi n trên

 0; 2 . Suy ra P f a( ) f(2)14 V y maxP 14 khi a 2,b7

Bài 7 Cho các s th c d ng a b c, , th a mãn a   Ch ng minh r ng b c 3

1) a b(4 5 )c  b c(4 5 )a  c a(4 5 )b  9 2)

1

Gi i

1) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

2

xy 

ta có:

(4 5 ) 1 9 (4 5 ) 1 9 4 5 9 4 5

hay (4 5 ) 9 4 5

6

T ng t ta có: (4 5 ) 9 4 5

6

(4 5 ) 9 4 5

6

D u “=” x y ra khi a   b c 1

2) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 2 5 2 2 5

2

b

 



T ng t ta có: 2 12 5

c

 



2

a

 





Suy ra

V y

1

D u “=” x y ra khi a   b c 1

Bài 8 Cho các s th c d ng x y z, , th a mãn x2y3z10.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:

1

z

z

 



D u “=” x y ra khi:

, , 0

3

1

x y z

x

y

z









V y giá tr nh nh t c a P là 31

3 khi x3,y2,z1

Bài 9. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn a   Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: b c 3

2 6 3 4 3 2

2

P a b b c  

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

D đoán d u “=” x y ra khi a    Do đó, ta có: b c 1 a b 2;b3c4; 4a3b2c9

Vì v y, đ b o đ m đ c d u “=” ta s đánh giá nh sau:

S d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

2

xy 

, ta đ c:

V y maxP = 15 2

2 khi a    b c 1

Bài 10 Cho a b c, , là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

Gi i

Ta có

M t khác: a2 1 1

b  a b; b2 1 1

c  a c; c2 1 1

a  c a

C ng theo v các b t đ ng th c trên ta đ c: a2 b2 c2 1 1 1

b c a   a b c

Suy ra

                  

1 4 4 4 1 1 1

Bài 11 Cho x y z, , là các s th c không âm th a mãn x  y z 2 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

P x yy zz x xy yz zx

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

Nh n xét: V i đa s nh ng bi u th c ba bi n đ i x ng thì giá tr l n nh t (hay c giá tr nh nh t) th ng

đ t đ c khi x y z ho c x y z, 0 (th ng có đi u ki n không âm) Trong bài toán này đ d đoán giá tr l n nh t c a P ta th ch n 2

3

x  y z và so sánh v i tr ng h p x y 1,z0

Nh n th y 8 3

9

3

x  y z và P 2 khi x y 1,z0

Nh v y ta d đoán maxP2 khi x y 1,z0

Khi x y 1,z 0 x y3 y z3 z x3  xy3yz3zx3  1 1

Do đó ta s áp d ng b t đ ng th c AM – GM theo các cách sau:

Cách 1:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

2

, ta đ c:

Ta có

1

2

 

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ( )2

4

a b

ab 

ta đ c:

 

2

x y z

Suy ra P2

Khi x y 1,z0 thì P 2 V y giá tr l n nh t c a P là 2

Cách 2:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b 2(ab), ta đ c:

P  x y3 y z3 z x3  xy3yz3zx3  2(x y3 y z3 z x xy3  3yz3zx3) 2M (1)

Mx yy zz x xy yz zx xy x y yz y z zx z x

Do d đoán z nên ta có đánh giá sau: 0

M xy x( 2y2z2)yz y( 2 z2 x2)zx z( 2x2y2)(xyyzzx x)( 2y2z2) (2)

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ( )2

4

a b

ab 

ta đ c:

2

xyyzzx x y z  xyyzzx x y z

2

T (1), (2) và (3) suy ra: P  2.22

V y P đ t giá tr l n nh t b ng 2 khi x y 1,z0 ho c các hoán v

Bài 12. Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn x  y z 3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

2

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:

3

z



3

x





K t h p v i đi u ki n x  y z 3, suy ra:

2

xy yz zx

1 9

P

Khi x  y z 1 thì 1

9

P V y giá tr nh nh t c a P là 1

9

Bài 13. Cho a b c, , là các s th c d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

3

P

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

2

và 3

3

, ta đ c:

Khi đó

2

P

D u “=” x y ra khi

3

4

a b c





V y giá tr nh nh t c a P là 4

3

Bài 14. Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2 2 2

3

a b c  Tìm giá tr nh nh t c a

bi u th c:

P

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:

3

T ng t ta đ c: 23 12 2 2 3

16 3

c

 



2

16 3

a



 Suy ra

Khi a   thì b c 1 3

2

P  V y giá tr nh nh t c a P b ng 3

2

Bài 15. Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n xyz1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

P

Gi i

t a 1

x

 ; b 1

y

 và c 1

z

 , khi đó a b c, , 0 và abc 1 Suy ra

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

P

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:

3

  



3

  



Suy ra

3

Khi x  y z 1 thì 3

4

P V y giá tr nh nh t c a P là 3

4

Bài 16. Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 2

2(x y 2 )z xyz Tìm giá tr nh nh t

c a bi u th c: P x4 y4 2z4 32 1 1 2

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

D đoán d u “=” x y ra khi x  y z 2 Do đó, ta có: x 4 y 4 z 4 2

     

Vì v y, đ b o đ m đ c d u “=” ta s đánh giá nh sau:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:

x4y42z4 x4y4 z4 z4 4xyz2

C ng các v hai b t đ ng th c trên ta đ c:

Khi x  y z 2 thì P 128 V y giá tr nh nh t c a P là 128

Bài 17. Cho x y z, , là các s th c không âm th a mãn

3 4 9

2

   







Ch ng minh r ng: 2 3 4 7

16

x y z 

Phân tích và đ nh h ng l i gi i

Nh n xét: bài toán này ta nh n th y có m t đi u khá đ c bi t là các bi n trong đi u ki n c ng nh trong

b t đ ng th c c n ch ng minh ch a các h s và s m hoàn toàn l ch nhau nh ng d u “=” l i x y ra khi

1

2

x  y z T vi c d đoán đ c d u “=” ta có l i gi i chi ti t sau:

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

3







(1)

Ta có:

9

T (1) và (2) suy ra 2 3 4 7

16

x y z  D u “=” x y ra khi 1

2

x  y z

Bài 18. Cho các s th c d ng a b c, , th a mãn a   Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c b c 3

Pa b c Phân tích và nháp: Do a b, có vai trò nh nhau nên ta d đoán P nh nh t khi a M t khác, bi u b

th c c a P xu t hi n l y th a b c 2, b c 3 nên đ khai thác tri t đ gi thi t d i d ng b c nh t

3

a   , ta ngh t i vi c áp d ng b t đ ng th c Cauchy Song m t tr ng i trong bài toán này là ta b c

ch a xác đ nh đ c đi m r i, vì v y ta gi đ nh đi m r i nh sau: a b  và  c , khi đó:

2  3

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

2

3





   



t n d ng t i đa gi thi t a   ta c n h s c a b c 3 (ab) và c b ng nhau hay 232

V y đi m r i th c s c a bài toán th a mãn h : 2 23 19 37

12

 



 

 





37 1 6

T đây ta có l i gi i chi ti t sau:

L i gi i :

12

6

   , khi đó: 2  3 và 2 32

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

2 2 3





   



108

V y P đ t giá tr nh nh t b ng 541 37 37

108



12

6

Bài 19. Cho các s th c d ng a b c, , th a mãn 2 3 325

9

ab c  Tìm giá tr nh nh t c a

Pa  b c

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

2







: 6

Hay 2807

27

P D u “=” x y ra khi 2; 8

3

a b và c 3

V y P đ t giá tr nh nh t b ng 2807

27 khi

8 2;

3

a  b và c 3

Bài 20 Cho x y z, , là các s th c th a mãn 5x5y5z 1 Ch ng minh r ng:

25 25 25 5 5 5

x y z  y z x  z x y 

Gi i

t

x

y

z

a

b

c





  



, khi đó 1 1 1 1

a   b c và

4

P

a bc b ca c ab

 

Cách 1: Ta có 1 1 1 1 ab bc ca abc

Khi đó b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng:

(d đo n d u “=” x y ra khi 3 3

a b c

a b a c

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:

a

b c b a

 



3

4

c a c b

 



C ng v các b t đ ng th c trên ta đ c:

Cách 2:

(a b c) 3 abc.3 1 1 1 9

1

bc

a

T ng t ta có: 2 2

1

b ca a b c





1

c ab a b c





Suy ra

1

P

a b c



   M t khác

2

3

a b c

a b c  

2

3

  

( ) 1 2 ( ) 1 2

a b c

a b c

Hay

4

 D u “=” x y ra khi a       b c 3 x y z log 35

Chú ý: Có th đ t t     , r i dùng hàm s ch ng minh hàm a b c 9 ( ) 2 3

3( 1) 4

f t

t



 có giá tr nh

nh t là 0 khi t , khi đó ta đ c đi u ph i ch ng minh 9

Bài 21 Cho x y z , , là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

Gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: x33 x33 1 3x2

y z   yz

3 1

x  z   zx

3 1

y x   xy

3

yz zxxy

C ng v v i v các b t đ ng th c trên và rút g n ta đ c đi u ph i ch ng minh

D u “=” x y ra khi x y z

Bài 22 Cho x y z , , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

3

x y z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

2

(x y z 1) 1 1 1 P

x y y z z x x y z

  

Gi i

Ta có 3(x  y z) (x2y2z2)(x y z)

(x3xy2) ( y3yz2) ( z3zx2) ( x y2 y z2 z x2 )

2x y2 2y z2 2z x2 (x y2 y z2 z x2 )3(x y2 y z2 z x2 )

   x y z x y2 y z2 z x2

M t khác 1 1 1 9

x  y z x y z

 

  

Ta có (x y z)2 3(x2 y2z2)     9 0 x y z 3

Khi x  y z 1 thì 13

3

P V y giá tr nh nh t c a P là 13

3 .

Bài 23 Cho x y z, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

6

x y z  y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

  2  2 2

P

Gi i

Ta bi n đ i gi thi t thành 2  2 2

x  y z  Và v i d đoán d u “=” x y ra v i nh ng s đ p nên ta

s th

x y; 3 ;z ng v i b s 2; 2;1 và các t h p c a nó vào P Ta th y giá tr nh nh t x y ra khi 

x y z T đây ta có l i gi i chi ti t nh sau:

T đi u ki n, ta có: 6 2 2 4 4

Suy ra: x2y2z15 Khi đó áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:

  2  2  2 2

P

8



16

D u “=” x y ra khi x1,y5,z2 V y giá tr nh nh t c a P là 1

16

Bài 24. Cho x y, là các s th c d ng th a mãn 2 2

x y   Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : x y

16 16

Gi i

 

T gi thi t ta suy ra 0  x y 2

M t khác áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có

Suy ra

 

3

x

V y giá tr nh nh t c a P21 khi x y 1

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng

Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng