a) Cho a,b laø hai soá thoaû maõn ñieàu kieän a+b=2.[r]
Trang 1
20 – BÀI BẤT Đ ẲNG THỨC VÀ H Ư ỚNG DẪN
1 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh: b c c a a b a b c 32
Hướng dẫn:
Ta đặt
2 2 2
y z x a
x b c
x z y
c
nên BĐT 12 y z x x x z y y x y z z 32
x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x 6
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra a b c
2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2y2z2 3
Chứng minh : xy yz zx 3
z x y
Hướng dẫn:
Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y
với a b c , , 0từ giả thiết x2y2z2 3 ab bc ca 3
Và BĐT cần CM CM BĐT a b c 3
mặt khác ta có BĐT sau: a2 b2 c2 ab bc ca a b c 3(ab bc ca ) 3
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra x y z 1
3 Cho x, y, z >0 thoả x y z 1 Chứng minh: 1 4 9 36
x yz
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có thể đặt:
a x
a b c b y
a b c c z
a b c
với a,b,c >0
Trang 2Nên BĐT CM a b c 4.a b c 9.a b c 36
b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22
b 4.a c 9.a 4.c 9.b 2 b.4.a 2 c.9.a 2 4 .9.c b 22
Dấu “=” xảy ra
1 6
1 2
x
y
z
4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz (x y z y z x z x y )( )( )
Hướng dẫn:
Ta đặt
x b c
y c a
z a b
với a b c , , 0nên BĐT CM BĐT (a b b c c a )( )( ) 8 abc
mặt khác ta có (a b b c c a )( )( ) 8 abc a b c ( ) 2 b c a( ) 2 c a b( ) 2 0
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra x y z
5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : a 1 1 b 1 1 c 1 1 1
Hướng dẫn:
Do abc 1 nên ta có thể đặt
x a y y b z z c x
với x y z , , 0
Nên BĐT có thể viết lại x 1 z y 1 x z 1 y 1
xyz (x y z y z x z x y )( )( ) (đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra a b c 1
Trang 36 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : 3 3 3
a b c b c a c a b
Hướng dẫn:
Ta đặt
1
1
1
a
x b
y c
z
với x y z , , 0 và do abc 1 nên xyz 1
Nên BĐT
2
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
2
xyz
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra a b c 1
7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z 2
Chứng minh : 3
2
x y z xyz
Hướng dẫn:
xyz x y z
Ta đặt 1 , 1 , 1
1x a 1y b1z c với a b c , , 0
2
b c c a c a a b a b b c Mặt khác ta có: 1
2
1
2
1
2
Vậy BĐT luôn đúng
Trang 4Dấu “=” xảy ra x y z 2
8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a2+b2+1 ab+a+b
a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e)
a3+b3 ab(a+b)
a4+b4
a3b+ab3
Hướng dẫn:
a) a2+b2+1 ab+a+b
(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) 0
( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+1 ab+a+b với mọi a,b
b) a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)
a2+b2+c2+d2+e2-a(b+c+d+e) 0
4 4
4 4
2 2
2 2
2 2
2
2
a
2 2
2 2
2 2
2 2
a
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)
c) a3+b3 ab(a+b) a3+b3 - ab(a+b) 0 (a+b)2(a2-2ab+b2) 0
(a+b)2(a-b)2 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a3+b3 ab(a+b)
d) a4+b4 a3b+ab3 (a4- a3b )+(b4-ab3) 0 a3(a- b )+b3(b-a) 0
(a- b )( a3- b3) 0 (a- b )2( a2+ab+ b2) 0
(a- b )2
4
3 2
2 2
b b
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a4+b4 a3b+ab3
9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)2
3(ab+bc+ca) b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc
Hướng dẫn:
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)2 3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc
Trang 5 a2+a2b2+b2+b2c2+c2+c2a2-6abc 0
(a-bc)2+(b-ac)2+(c-ab)2 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc
10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2
Chứng minh rằng: a4+b4
a3+b3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3
Chứng minh rằng: a4+b4+c4
a3+b3+ c3
Hướng dẫn:
a) a4+b4 a3+b3
2(a4+b4) ( a3+b3)(a+b)
4
3 2
2 2
a
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =21
b) a4+b4+c4 a3+b3+ c3
3 ( a4+b4+c4 ) ( a3+b3+ c3)(a+b+c)
4
3 2 4
3 2 4
3 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
a
11.Cho a,b,c là các số dương,
Chứng minh rằng:
1 2
c a
c c b
b b a a
Hướng dẫn:
Do a,b,c> 0 nên: a a b ac a a b ( ) a b c a a b ( )
a a b c a b a c a a c
Tương tự ta cũng chứng minh được: b b c a a b b c a a c a a b b c
Ta có : a b a c a a ba abcc
a b b c b b c a a b b c
a b c c a c ca bb cc
c a
c c b
b b a a
12 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :
Trang 61 2
b a d
d a d c
c d c b
b c b a a
Hướng dẫn:
Ta có :
c a
a c b a
a d
c
b
a
a
d b
a d c b
b d
c
b
a
b
………
Sau đó cộng từng vế của BĐT
13.Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:
c
ab b
ac
a
bc
b) a ab b b bc c c ca a a2bc
a
c c
b
b
a
3 3
3
Hướng dẫn:
b
a a
b c b
ac
a
bc
2
c
ab b
ac
2
a
bc c
ab
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
b) Aùp dụng bất dẳng thức x xyy x4y
với x,y >0 , ta có :
4
b
a
b
a
,b bc cb4c
,c ca a c4a
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
c) Ta có: a3+b3 ab(a+b) với a,b>0
b
a
2
3
Tương tự : c bb c
c
b
2
3
,
a ca c
a
c
2
3
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
14.Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:
a)b a b a2 b aa b
2
2
2
a
c c
b
b
a
2 2
2
c)b a2c c b2a a c2b a2bc
Trang 7Hướng dẫn:
a
b b
a a
b b
a a
b b
a a
b b
a a
b b
a
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
a
b b
a a
b b
a a
b b a
b
ab b
b a b b
a
2 2
2 2 2
c
b
2
2
a
c
2
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh
c Xét :
c b
c b a c
b
c b a c
b
c
b
a
4 )
( 4
2 4
2 2
2
(do b,c>0)
a c
b
2
b a
c
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ĐPCM
15 Cho x y z , , 0 và xyz 1 Chứng minh 3 3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
Hướng dẫn:
Ta cĩ
Dự đốn dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 1
x
16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da 1 Chứng minh:
3 3 3 3 1
3
b c d c d a a b d a b c
Hướng dẫn:
Ta cĩ
a
b c d
Ta cĩ
2
2
a b c d
Trang 8
17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:
a a b( 1 )b b c( 1 )c c a( 1 )2(a b c d27 )2
Hướng dẫn:
Ta có
3
a a b b b c c c a abc a b b c c a abc a b b c c a
3 abc.3 (a b b c c a )( )( ) a b c a b b c c a
18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2 y2 z2 3. Chứng minh xy yz zx 3
z x y
Hướng dẫn:
Nháp xy yz 2y
z x ,
xy yz zx
x y z
, tới đây ta không sử dụng được già thiết (x y z )23(x2y2z2) 9 , ngược dấu.Từ đây ta thấy cần thiết phải bình phương hai vế bđt cần chứng minh:
Ta có
2 2 2 2
2
y
2 2 2 2
2
z
2 2 2 2
2
x
19 Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1 Chứng minh
5 xy 5 5 yz 5 5 zx 5 1
x xy y y yz z z zx x
Hướng dẫn:
Ta C/m bất đẳng thức phụ:x5y5x y x y2 2( )
( C/m Bđt phụ: Áp dụng BĐT ( ) 1( )( )
2
a b a b a b , ta có
x y x y x y x y x y xy x y x y x y )
Trang 920 Cho a b c , , 0. Chứng minh:
abcd
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd
Hướng dẫn:
Xét bổ đề sau : x y z, , thì x4 y4 z4 xyz x y z( )
C/m bổ đề:
Ta có x4y z2 2 2x yz2 ,
Suy ra x4 y4 z4 (x y2 2 y z2 2 z x2 2 ) 2( x yz y zx z yx2 2 2 )
Ta lại có x y2 2 y z2 2 z x2 2 x4 y4 z4
Cách trình bày điêu luyện:
2(x y z ) x y z (x y y z z x ) 2(x yz y zx z yx) 2xyz x y z( )
Với a b c d , , , 0, ta có :
abc a b c abcd abc a b c d
bcd b c d abcd bcd a b c d
cda c d a abcd cda a b c d
dab d a b abcd dab a b c d
VT
abc a b c d bcd a b c d cda a b c d dab a b c d
a b c d abc bcd cda dab a b c d abcd abcd bcda cdab
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh
Hoặc
abc a b c abcd abc a b c d
1
Nguyễn Văn Xê – TRUNG TÂM LUYÊN THI ĐẠI HỌC THÀNH ĐẠT – ĐÀ NẴNG