Về tính trơn, nửa trơn của vành và môđun

Một trong những hớng không kém phần hấp dẫn, thú vị và cũng gặp không ít khó khăn, đó là tập trung nghiên cứu các cấu trúc có tính chất cổ điển, các điều kiện thu hẹp của vành, môđun.. K

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Khoa toán



Đặng thanh hng

Về tính trơn, nửa trơn của vành và môđun

chuyên nghành: đạI số

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân s phạm toán

Vinh - 2006

Mục lục

Mậ đầU 2

CHơNG 1 V NH TRơN V NệA TRơN Μ Μ 4

1.1 V ΜNH TR ơ N , NệA TR ơ N 4

Định nghĩa 1.1.2 6

Định nghĩa 1.1.3 7

1.2 Cá C T í NH CH ấ T C ơ B ả N 13

CHơNG 2 MôđUN TRơN V NệA TRơN Μ 18

18

2.8 Cá C KH á I NI ệ M 30

KếT LUậN 32

T I LIệU THAM KHảO Μ 34

Mở đầu

Trong một vài thập niên gần đây, lý thuyết vành và môđun đã có những bớc phát triển rực rỡ Và đã trở thành một trong những lý thuyết giữ vai trò hết sức quan trọng trong việc nghiên cứu bộ môn Đại số và Lý thuyết số nói chung, đặc biệt là đại

số không giao hoán nói riêng Trong sự phát triển rực rỡ đó, việc tập trung nghiên cứu các lớp vành, môđun đã và đang thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới Đã xuất hiện nhiều hớng khác nhau khi nghiên cứu điều này Một trong những hớng không kém phần hấp dẫn, thú vị và cũng gặp không ít khó khăn, đó là tập trung nghiên cứu các cấu trúc có tính chất cổ điển, các điều kiện thu hẹp của vành, môđun

Trong khi nghiên cứu về lớp các vành thỏa mãn tính chất biến đổi (exchange property), W K Nicholson (1977) lần đầu tiên đã đa ra khái niệm vành trơn nh là

một ví dụ về vành thỏa mãn tính chất này (xem [5]) Khái niệm này tuy cha có sự giải

thích rõ ràng về thuật ngữ nhng nó đã thu hút sự quan tâm chú ý của nhiều nhà toánhọc Yuanquing.Ye (2003) đã có sự mở rộng khái niệm vành trơn thành khái niệm

vành nửa trơn, và đạt đợc một số kết quả đáng chú ý (xem [8])

Khóa luận tập trung tìm hiểu để tiến tới có sự hiểu biết sâu hơn về lớp vành(môđun) thỏa mãn tính chất trơn này Khóa luận gồm 2 chơng, có bố cục đợc trìnhbày nh sau:

Chơng 1: Vành trơn và nửa trơn trình bày các khái niệm về vành thỏa mãntính chất trơn, nửa trơn Mỗi một định nghĩa đều có các ví dụ minh hoạ cụ thể Khóaluận cũng đã đa ra những tính chất cơ bản có liên quan đến lớp vành này Tất cả cácchứng minh đều đợc trình bày chứng minh rõ ràng, chi tiết

Chơng 2: Môđun trơn, nửa trơn Nội dung chính của chơng này đa ra khái

niệm môđun trơn, nửa trơn, để từ đó nghiên cứu lớp các vành (nửa) trơn một cách dễdàng tiện lợi hơn Với việc đa ra Định lý 2.1 và Định lý 2.2 (những định lý đóng vaitrò quan trọng trong việc mở rộng vành (nửa) trơn), khóa luận đã đạt đợc các kết quảliên quan đến tính trơn, nửa trơn của vành ma trận cấp (nìn), môđun đơn, vành (nửa)

đơn, vành nửa hoàn chỉnh

Do khuôn khổ của khóa luận tốt nghiệp, trong quá trình chứng minh các tínhchất, khóa luận chỉ trích dẫn mà không chứng minh lại một số tính chất cơ bản.Những tính chất đó ta có thể tìm thấy trong các giáo trình cơ bản về Vành và Môđun,chẳng hạn nh [2], [7], [1]

Luận văn đợc thực hiện tại Trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình củapgs.ts Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầygiáo hớng dẫn, ngời đã dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòngnhân ái Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Đại số và khoaToán đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện học tập trong thời gian theo học tại lớp

43A 1Toán ,vừa qua Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thành viên trong nhómSeminar Đại số, các thành viên trong tập thể lớp 43A 1Toán đã động viên giúp đỡtrong thời gian qua Cuối cùng, với năng lực còn nhiều hạn chế nên không thể tránh

khỏi những sai sót và khiếm khuyết, tôi mong nhận đợc những sự chỉ bảo của quýthầy cô và các bạn.

đến những đối tợng này

Các khái niệm, tính chất cơ bản và các thuật ngữ, kí hiệu liên quan đén vành(môđun) chủ yếu dựa theo Anderson-Fuller [2], Wisbauer [7] và Nguyễn HữuViệt H-

ng [1] Trong khóa luận này các vành luôn luôn đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn

vị Các môđun luôn luôn đợc coi là môđun phải unita Kí hiệu M R là môđun phải trênvành R

1.1 Vành trơn, nửa trơn.

Định nghĩa 1.1.1: Cho R là một vành

i) Một phần tử r ∈ R đợc gọi là trơn (clean) nếu ta có thể biểu diễn r=e+u, trong

đó e là một phần tử lũy đẳng ( nghĩa là e2=e) và u là một phần tử khả nghịch trong R.-Nếu nh cách biểu diễn đó là duy nhất thì r đợc gọi là phần tử trơn một cách duy nhất(uniquely clean)

- Nếu e và u là nhân giao hóan đợc với nhau ( có nghĩa là e.u=u.e) thì r đợc gọi làphần tử trơn mạnh ( strongly clean)

Ví dụ 1, +) Một phần tử x R ∈ đợc gọi là phần tử luỹ linh (nilpotent) nếu

n ∗

∃ ∈ Ơ sao cho x n = 0 Ta có x là phần tử trơn trong R Thật vậy vì x n = 0 nên ta có

(1 x 1 x x − ) ( + + + n 1 − ) (= + + + 1 x x n 1 − ) (1 x − ) = 1 Do đó (1-x)=u là phần tử khả nghịchtrong R Từ đó ta suy ra x=(1-u )là phần tử trơn (theo định nghĩa)

+) Một phần tử r∈ R đợc gọi là tựa chính quy (quasi-regular) nếu (1-r) làphần tử khả nghịch trong R Khi đó r là phần tử trơn

ii) Một vành R đợc gọi là trơn nếu mọi phần tử của nó đều là những phần tử trơn.

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 2 Một thể là vành trơn

Thật vậy, giả sử R là một thể, một phần tử r bất kỳ của R

+ nếu r=0 thì ta viết r= 0 = (1-1) là phần tử trơn (vì 1 là phần tử luỹ đẳng, -1 là phần

tử khả nghịch trong R)

+ Nếu r≠0 thì r là phần tử khả nghịch, ta có r =(0 +r) là phần tử trơn

Vậy mọi phần tử thuộc R đều là phần tử trơn Do dó vành R là vành trơn 

Ví Dụ 3. Vành Boolean là một vành trơn

Thật vậy, vành Boolean R là một vành mà mọi phần tử của nó đều là phần tử luỹ

đẳng.Với mọi x∈R thì x là phần tử luỹ đẳng .Ta có

(1 x) − = − 1 2x x + = − 1 2x 2x 1 x + = − .Suy ra (1-x) là phần tử luỹ đẳng (1)Mặt khác x= (1-x)+(2x-1).Ta có ( )2 2

2x 1 − = 4x − 4x 1 4x 4x 1 1 + = − + = Suy ra (2x-1) là phần tử khả nghịch trong R (2)

Từ (1) và (2) ta có x là phần tử trơn

Vậy R là vành trơn 

Ta có kết luận sau đây về tính trơn của một vành địa phơng (local) Nhng trớchết ta định nghĩa về vành địa phơng nh sau :

+> Vành địa phơng (local) là vành có tập các phần tử không khả nghịch trong nó,

khép kín đối với phép cộng Có nghĩa là nếu là R vành địa phơng, ∀ a, b ∈R mà a,bkhông khả nghịch thì (a+b) không khả nghịch Hay ta cũng có thể nói cách khác, nếu(a+b) khả nghịch trong R thì hoặc a hoặc là b khả nghịch trong R

Tính chất: Nếu R là vành địa phơng, với mọi x ∈R thì hoặc x hoặc (1-x) khảnghịch trong R

Thật vậy, R là một vành địa phơng, x∈ R ⇒ (1-x)∈ R.Ta có 1=[x+(1-x)] là mộtphần tử khả nghịch trong R Suy ra x hoặc (1-x) khả nghịch trong R (do R là vành địaphơng)

Mệnh đề1.1.1.1 Vành địa phơng là một vành trơn

Chứng minh Cho vành R là vành địa phơng

Với mỗi x∈ R thì hoặc x hoặc (1-x) khả nghịch trong R (theo tính chất trên)

+) nếu x là khả nghịch thì x= 0 + x là phần tử trơn

+) nếu (1-x) khả nghịch thì (x-1) cũng khả nghịch trong R Ta có x= [ 1+(x-1)] làphần tử trơn

Vậy với mọi x thuộc vành địa phơng đều là phần tử trơn Do đó ta suy ra vành

địa phơng là vành trơn 

Mở rộng khái niệm “trơn” cho ta một khái niệm mới Đó là khái niệm “nửatrơn” Hãy xem xét trong định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.1.2.

i ) Một phần tử r ∈ R đợc gọi là nửa trơn nếu ta có thể biểu diễn r=a+u, trong đó

a là một phần tử chu kỳ ( có nghĩa là tồn tại k, l ∈ Z+ sao cho ak=al ), u là một phần tửkhả nghịch trong R

-Nếu a=0 thì r=a+u=0+u=u, đợc gọi là phần tử trơn (nửa trơn) tầm thờng

ii) Một vành R đợc gọi là vành nửa trơn nếu mọi phần tử của nó đều là những

phần tử nửa trơn.

Ta xét ví dụ về vành nửa trơn

Định nghĩa 1.1.3.

i) giả sử X là một tập hợp và Rlà một vành

Gọi Map (X,R) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào R

Map (X,R) cùng với hai phép tóan sau đây lập thành một vành

Trong đó: ánh xạ rgg: G →R biến g thành rg , và mọi phần tử khác g thành 0

Đặt R[G]=Map(G,R) và trang bị cho tập này 2 phép toán

Ta thờng gọi  (p)là địa phơng hóa của Ztại p với p là số nguyên tố

Mệnh đề1.1.4 Giả sử G là nhóm xiclic cấp 3 sinh bởi a

Khi đó các phần tử lũy đẳng trongZ(p)[G] , với p nguyên tố ≠ 3

z

zxz

2

y

xyz

=+

=+

3 q 2 q 1 q

1 q 0

1

2 q 1 q 0

k

kk

kk

k

kk

Chøng minh

Cho x=k0 +k1a+ +kq−1aq−1 lµ mét phÇn tö kh¶ nghÞch trong ¢ (p)[G] ⇔ ∃y =

1 q 1 q 1

0 l a l a

l + + + − − víi l i ∈ ¢ (p) ,i 0,q 1 = − sao cho xy=yx=1

Ta xét xy=1 (1) Khai triển (1) ta đợc:

3 q 2 q 1 q

1 q 0

1

2 q 1 q 0

k

kk

kk

k

kk

Ta thấy nghiệm l i ∈ Â (p) ( i 0,q 1) ∀ = − nếu và chỉ nếu p α 

Hệ quả1.1.5.1 Cho G là nhóm xilic cấp 3 sinh bởi a, x=k+la+ma 2 (k,l,m ∈ Â) Khi đó x khả nghịch trong (p) [G] ⇔ p không chia hết định thức sau

k l m 3klm

klm

mkl

lmk

3 3

3 + + −

=

=α

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.1.5 

Định lý1.1.6 Nếu G là nhóm xiclic cấp 3 thì vành nhóm  (p)[G] là vành nửa trơn (với p nguyên tố)

Chứng minh Giả sử G là nhóm xiclic cấp 3 sinh bởi a

→ G={ 1, a, a2 } (a3=1)

Vành nhóm  (p)[G] có dạng(m , n ) 1 i i =

2 3

man

m

n

2 3

3 2

n

maa)nl(ka

n

mala)nk(1

n

a)nm(laka

n

maa)nl(ka

n

mala)nk(1n

malak

2 2

2 2

2 2

2

2 2

++++

−

=

++++

−

=

++++

−

=

−+++

=

+

−++

=

++

−+

=+

+

Dễ dàng nhận thấy các phần tử {1, a, a2,-1, -a, - a2} ở cột đầu tiên của vế phải

phơng trình trên là những phần tử chu kỳ Do vậy để chứng minh

n

mala

k+ + 2 là

phần tử nửa trơn ta cần chỉ ra ít nhất 1 trong những phần tử ở cột thứ 2 của vế phải phơng trình là khả nghịch Có nghĩa là p không chia hết ít nhất một trong các biểu thức sau (Theo Hệ quả 1.1.5.1):

(k-n)3 + l3 + m3 - 3(k-n)lm (1)

k3 + (l-n)3 + m3 - 3k(l-n)m (2)

k3 + l3 + (m-n)3 - 3kl(m-n) (3)

(k+n)3 + l3 + m3 - 3(k+n)lm (4)

k3 + (l+n)3 + m3 - 3k(l+n)m (5)

-k3 + l3 + (m+n)3 - 3kl(m+n) (6)

k3 + l3 + m3 - 3klm (7)

Giả sử nếu điều này không đúng, có nghĩa là p chia hết từ (1) → (7) Khi đó

p((1)-(7)) và p((4)-(7)) ta đợc:



⇒ 



Do đó ⇒ p 6kn2 mà p n ⇒ p 6k

Hoàn toàn tơng tự ta suy ra p 6l và p 6m

Mà p≠2 nên p 3k, p 3l và p 3m

Từ (9) ta suy ra p n3 Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với giả thiết p n Do đó

điều giả sử là sai

n

ma

la

⇒ là phần tử nửa trơn (p≠2)

⇒ Â (p)[G] là vành nửa trơn (p≠2)

TH2 p=2 ⇒ n lẻ (vì p n )

Ta xét các khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu một trong k, l, m là số lẻ, hai số còn lại là số chẵn

3 3 3

k l m 3klm

⇒ + + − M / 3

Ta thÊy (k-n)3+ l3 + m3 - 3(k-n)lm lµ sè lÎ (v× k,l,m ch½n)

n

mala)

mala

Do k ch½n, m, l lÎ ⇒ k3 + (l-n)3+ m3 - 3k(l-n)m lµ sè lÎ

n

maa)n

k+ + 2 lµ phÇn tö nöa tr¬n.

Kh¶ n¨ng 4: NÕu k, l, m lÎ

n3

a)nm3(a)nl3()n2k3(3

aa2n

a)nm3(a)nl3()

Theo Mệnh đề 1.1.4 ta có

3

aa

2− − 2 là phần tử lũy đẳng

Từ đó suy ra

n

mala

k+ + 2 là phần tử nửa trơn.

Vậy từ 4 khả năng xẩy ra đó ta đều suy ra

n

mala

k+ + 2 là phần tử nửa trơn.

⇒ Â (p)[G] là vành nửa trơn

Do đóÂ (p)[G] là vành nửa trơn với ∀p nguyên tố 

1.2 Các tính chất cơ bản

Tính chất1.2.1 Mọi vành trơn đều là vành nửa trơn

Thật vậy, giả sử R là một vành trơn, suy ra mọi phần tử r ∈ R có thể biểu diễndới dạng r=e+u, trong đó e là phần tử lũy đẳng trong R (tức là e2=e), u là một phần tửkhả nghịch trong R Ta thấy e cũng là phần tử chu kỳ (ở đây k=2, l=1)

⇒ R là vành nửa trơn (theo Định nghĩa 1.1.2.ii) 

Điều ngợc lại là không đúng Sau đây khóa luận sẽ chỉ ra trờng hợp một vành

1a3

132

3

aa85a3

1a3

131

2 2

2 2

+++

−

−

=

−+++

Nhng không một số hạng nào trong

(2+3a), (1+3a),

3

aa104

;3

aa8

5+ − 2 + + 2 là khả nghịch trong

(7)

 [G] (Ta có thểkiểm tra thông qua Mệnh đề 1.1.5.1)

⇒(2+3a) không phải là phần tử trơn trong  (7)[G]

⇒ ϕ(a+u)= ϕ(r)

⇔ ϕ(a)+ ϕ(u)=r’ (1)

Do a là phần tử chu kỳ trong R tức là tồn tại k,l ∈ Â +, k ≠ l sao cho ak=al => ϕ(ak)=

ϕ(al) => (ϕ(a))k= (ϕ(a))l

=> ϕ(a) là phần tử chu kỳ trong R’ (2)

Do u là một phần tử khả nghịch trong R nên ∃v ∈ R sao cho u.v=v.u=1

=> ϕ(1) là đơn vị trong R’

Từ đó suy ra ϕ(u) là phần tử khả nghịch trong R’ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra r’ là phần tử nửa trơn trong R’

=> R’ là vành nửa trơn

Đối với vành trơn ta chứng minh hoàn toàn tơng tự 

Hệ quả1.2.3.1: Vành thơng của vành nửa trơn (trơn) là một vành nửa trơn (trơn)

Thật vậy, giả sử R là một vành nửa trơn (trơn) và I là một iđêan bất kỳ của RXét phép chiếu chính tắc p: R → R/I là một toàn cấu vành từ vành R lên

r a r+I

vành thơng R/I Do R là vành nửa trơn (trơn) nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta suy ra R/I là

Câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào để khi cho một vành thơng R/I nửa trơn(trơn) ta có thể suy ra vành R là vành nửa trơn (trơn) Để trả lời cho câu hỏi này, ta sẽ

đi đến mệnh đề sau đây:

Định nghĩa1.2.4 Cho vành R

Iđêan I đợc gọi là căn Jacobson của vành R nếu nó là giao tất cả các iđêan phải(trái) cực đại trong R Ký hiệu là J(R)

Trong [2, Định lý 15.3] đã chứng minh rằng J(R) bằng một trong các tập sau:

i) {x R / rxs ∈ tựa chính quy trong R,∀ r,s, x R ∈ }

ii) {x R / rx ∈ tựa chính quy trong R,∀ r,s, x R ∈ }

iii) {x R / xs ∈ tựa chính quy trong R, ∀ r,s, x R ∈ }

Từ đó ta thấy mỗi x ∈ J(R)thì (1-x) khả nghịch trong R.

Định nghĩa1.2.5 Cho I là iđêan của vành R

Ta nói rằng chu kỳ (lũy đẳng) trong R có thể đợc nâng theo iđêan I nếu với

mọi phần tử a ∈ R sao cho (a+I) là phần tử chu kỳ (t.ứ lũy đẳng) trong vành thơngR/I, thì tồn tại b ∈ R là phần tử chu kỳ (t.ứ lũy đẳng) và a+I=b+I

Có nghĩa là: chu kỳ (lũy đẳng) trong R có thể đợc nâng theo iđêan I nếu và chỉnếu với ∀a ∈ R sao cho ak-al ∈ I (t.ứ a2-a ∈I), thì tồn tại b ∈ R sao cho bk=bl ∈ R(t.ứ b2=b) và a-b ∈ I

Mệnh đề1.2.6 Cho A là iđêan trong vành R, A ⊆ J(R), trong đó J(R) là căn Jacobson của vành R Nếu vành thơng R/A là vành nửa trơn (trơn) và chu kỳ (t.ứ lũy đẳng) có thể nâng lên theo iđêan A thì R là vành nửa trơn (t.ứ trơn).

Chứng minh Ta có vành thơng R/A =r+A / r ∈ R 

Do A ⊆ J(R) với J(R) là căn Jacobson của vành R nên ta suy ra

Ta thấy: u’v khả nghịch trong R ⇒∃u1∈R thỏa mãn u’v u1= u1u’v = 1

vu’ khả nghịch trong R ⇒∃v1∈R thỏa mãn vu’ v1= v1vu’ = 1

u’ có nghịch đảo phải là vu1

u’ có nghịch đảo trái là v1v

Chơng 2 Môđun trơn và nửa trơn

Chơng này tập trung vào việc mở rộng lớp vành trơn, nửa trơn, bằng cách đa ra khái niệm môđun trơn, nửa trơn Định lý sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc

mở rộng đó

Định lý2.1 Nếu e là phần tử lũy đẳng trong R và eRe, (1-e)R(1-e) là 2 vành

nửa trơn Khi đó R cũng là vành nửa trơn.

Chứng minh Ký hiệu e =(1−e)

Ta có sự phân tích sau đối với vành R :

R =eRe+eRe+eRe+eRe

Với λ bất kỳ thuộc R ta viết: λ= a+b+c+d

Với a, b, c, d lần lợt thuộc eRe , eR , Ree e và eRe

Theo giả thuyết eRe là vành nửa trơn nên suy ra a là phần tử nửa trơn

⇒ ∃x, u1 sao cho a=x+ u1 trong đó n 1 m 1

x = x (x ∈ eRe, m1>n1; m1, n1∈Ơ ∗) và u1 khảnghịch trong eRe với nghịch đảo là v1.

Dễ dàng kiểm tra đợc rằng d-cv1b ∈ eRe, mà eRelà vành nửa trơn(giả thiết) Khi đód-cv1b=y+ u2 (do eRelà vành nửa trơn) Trong đó n 2 m 2

+> Do x ∈ eRe , y ∈eRe= (1-e)R(1-e)

⇒ x.y=y.x=0

(x y) + = x + y ∀ ∈ n Ơ (∗) Không mất tính tổng quát giả sử n1 ≤ n2

Ta có x x n 1 m n 1−1 = x m n n 1− +1 1 x m n 1− 1 (vì n 1 m 1 m n n 1 1 1

x = x = x − + ) Khi đó x m 1 = x 2(m n ) n 1−1+ 1

ii) e là đơn vị trong eRe , e là đơn vị trong eRe

Với những nhận xét này và qua tính tóan ta dễ chứng minh đợc:

(u1+b+c+ u2 + cv1b)(v1+ v1bv2cv1- v1bv2- v2cv1 + v2)=1=