về tính chất tiệm cận của một số môđun phân bậc

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi... Trong khoa håc Th¦yluæn nghi¶m kh­c vîi håc trá, trong cuëc sèng Th¦y luæn d nh cho håctrá cõa m¼nh nhúng t¼nh c£m §m ¡p v sü y¶u th

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi C¡c k¸t qu£ vi¸tchung vîi t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v oluªn ¡n C¡c k¸t qu£ n¶u trong luªn ¡n l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc

ai cæng bè trong b§t ký mët cæng tr¼nh n o kh¡c

T¡c gi£

Ph¤m Húu Kh¡nh

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ¸n th¦y tæi- GS TSKH Nguy¹n Tü C÷íng.Th¦y ¢ tªn t¼nh d¤y dé tæi tø khi tæi b­t ¦u l m quen vîi ¤i sè giaoho¡n, Th¦y ¢ d¼u d­t tæi tø nhúng þ t÷ðng to¡n håc ¦u ti¶n v  ¢ki¶n tr¼ h÷îng d¨n º tæi ho n th nh luªn ¡n Trong khoa håc Th¦yluæn nghi¶m kh­c vîi håc trá, trong cuëc sèng Th¦y luæn d nh cho håctrá cõa m¼nh nhúng t¼nh c£m §m ¡p v  sü y¶u th÷ìng B¶n c¤nh nhúngki¸n thùc to¡n håc, tæi cán nhªn ÷ñc tø Th¦y nhúng b i håc trong cuëcsèng, b i håc l m ng÷íi nh¥n hªu.

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ¸n th¦y tæi- GS TS L¶ V«n Thuy¸t.Th¦y ¢ tªn t¼nh d¤y dé tæi tø khi tæi cán l  håc vi¶n cao håc v  tªnt¼nh h÷îng d¨n tæi l m luªn v«n Th¤c s¾ Trong thíi gian l m nghi¶ncùu sinh tæi luæn nhªn ÷ñc sü ëng vi¶n cõa Th¦y Th¦y luæn quant¥m ¸n tæi, nh­c nhð tæi º tæi ho n th nh luªn ¡n v  luæn t¤o måi

i·u ki»n thuªn lñi º tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùucõa m¼nh

Luªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n nghi¶m kh­c v 

¦y tr¡ch nhi»m cõa hai ng÷íi th¦y GS TSKH Nguy¹n Tü C÷íng v 

GS TS L¶ V«n Thuy¸t Mët l¦n núa tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c

¸n hai ng÷íi th¦y cõa tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn GS TSKH Ngæ Vi»t Trung v  GS TSKH.L¶ Tu§n Hoa ¢ t¤o i·u ki»n º tæi ÷ñc tham gia sinh ho¤t khoa håct¤i Vi»n To¡n håc

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håc Hu¸, Ban  o t¤o sau ¤i håc- ¤ihåc Hu¸ ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n

th nh ch÷ìng tr¼nh nghi¶n cùu sinh cõa m¼nh

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Tr÷íng ¤i håc T¥y Nguy¶n, Khoa Khoahåc Tü nhi¶n v  Cæng ngh», c¡c pháng chùc n«ng ¢ cho tæi cì hëi håctªp v  nghi¶n cùu Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong Bë mænTo¡n ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» º tæi ho n th nh luªn ¡n

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn TS o n Trung C÷íng, TS Nguy¹n V«n

Ho ng, c¡c nghi¶n cùu sinh Tr¦n Nguy¶n An, Ph¤m Hòng Quþ, Ho ngL¶ Tr÷íng v  Nguy¹n Tu§n Long ¢ d nh cho tæi nhúng t¼nh c£m th¥nthi¸t v  nhúng trao êi chuy¶n mæn bê ½ch Trong qu¡ tr¼nh håc tªp xa

nh  tæi luæn nhªn ÷ñc sü ëng vi¶n, kh½ch l» v  nhúng chia s´ buçn vuicõa c¡c anh, em nghi¶n cùu sinh ð C5, tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n hå.Nh¥n dàp n y, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Bè, Mµ v  c¡canh chà em trong gia ¼nh cõa m¼nh ¢ luæn y¶u th÷ìng, ch«m lo chu

¡o º tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu trong kho£ng thíi gian d i tr÷îc

¥y công nh÷ cê vô, ëng vi¶n º tæi ho n th nh b£n luªn ¡n n y.Cuèi còng, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Vñ, Con trai v  Con g¡i y¶uquþ cõa m¼nh- nhúng ng÷íi ¢ g¡nh v¡c måi cæng vi»c, ch§p nhªn måikhâ kh«n v  chàu nhi·u thi»t thái trong suèt thíi gian tæi håc tªp xa

nh  Ch½nh hå l  nhúng ng÷íi luæn mong mäi v  ñi chí th nh cæng cõatæi Tæi xin d nh b£n luªn ¡n n y t°ng Mµ, Vñ v  hai con th¥n y¶u cõam¼nh

MÖC LÖC

1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸t 13

1.2 D¢y ch½nh quy v  ë s¥u 16

1.3 èi çng i·u àa ph÷ìng 19

1.4 Mæun ph¥n bªc v  låc 22

Ch÷ìng 2 Ên ành ti»m cªn cõa ë s¥u chi·u > k 25 2.1 M−d¢y chi·u > k 26

2.2 Ên ành ti»m cªn cõa ë s¥u chi·u > k 33

2.3 Mët sè b§t ¯ng thùc cõa ë s¥u chi·u > k 38

2.4 K¸t luªn Ch÷ìng 2 43

Ch÷ìng 3 Ên ành ti»m cªn cõa mët sè tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ho°c g­n k¸t 44 3.1 Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i ë s¥u v  ë s¥u låc 45

3.2 Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i ë s¥u suy rëng v  t¤i d − 1 54

3.3 V½ dö v· t½nh khæng ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸t 62

3.4 K¸t luªn Ch÷ìng 3 69

K¸t luªn cõa luªn ¡n 71

MÐ †U

Vi»c nghi¶n cùu t½nh ên ành ti»m cªn cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸tcõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng b­t nguçn tø hai v§n · sau ¥y.Tr÷îc h¸t, n«m 1990 C Huneke [22, B i to¡n 4] ÷a ra gi£ thuy¸t:Tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng

HIi(M ) l  húu h¤n vîi måi R−mæun húu h¤n sinh M, vîi måi i¶an I

I(M ) l  húu h¤n? B i to¡n n y ¢

v  ang ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m nghi¶n cùu (xem [4], [11], [12], [13],[14], [15], [16], [21], [40], )

Ti¸p theo, b i to¡n nghi¶n cùu d¡ng i»u ti»m cªn cõa tªp i¶annguy¶n tè li¶n k¸t AssR(R/In) ÷ñc °t ra bði L J Ratliff [41] tø n«m

1976 M Brodmann [5] n«m 1979 ¢ gi£i quy¸t b i to¡n n y, khængch¿ cho c¡c v nh m  thªm ch½ cán têng qu¡t cho c£ mæun, æng ta ch¿

ra r¬ng c¡c tªp AssR(M/InM ) v  AssR(InM/In+1M ) khæng phö thuëc

v o n khi n õ lîn N«m 1986, Sharp [43] ¢ chùng minh c¡c tªp i¶annguy¶n tè g­n k¸t AttR(0 :A In) v  AttR((0 :A In+1)/(0 :A In)) ên ànhkhi n õ lîn, trong â A l  mët R−mæun Artin N«m 1990, Melkersson[37] ¢ dòng ph÷ìng ph¡p x²t b i to¡n v· t½nh ên ành cõa tªp i¶annguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸t cho tr÷íng hñp ph¥n bªc, tø â nhªn l¤ic¡c k¸t qu£ tr¶n N«m 1993, L Melkersson v  P Schenzel [38] ph¡t triºnc¡c k¸t qu£ cõa Brodmann v  Sharp cho mët sè tªp i¶an nguy¶n tèli¶n k¸t v  g­n k¸t cõa mæun Ext v  Tor Hi»n nay, v§n · nghi¶n cùud¡ng i»u ti»m cªn cõa mët sè tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸tv¨n ang ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m (xem [13], [14], [20], [27], [28], [36],[42], [44], [47], [49], ).

Düa v o k¸t qu£ ên ành cõa c¡c tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸tAssR(JnM/Jn+1M )v  AssR(M/JnM ), Brodmann [6] chùng minh c¡c sènguy¶n depth(I, JnM/Jn+1M ) v  depth(I, M/JnM ) nhªn gi¡ trà khæng

êi khi n õ lîn G¦n ¥y, Brodmann v  L T Nh n [8] giîi thi»u kh¡ini»m M−d¢y chi·u > k l  mët mð rëng cõa kh¡i ni»m d¢y ch½nh quy

Hå công chùng minh r¬ng n¸u dim M/IM > k th¼ måi M−d¢y chi·u

> k chùa trong I ·u câ thº bê sung th nh mët d¢y cüc ¤i v  t§t c£

M −d¢y chi·u > k cüc ¤i trong I ·u câ còng ë d i ë d i chung n y

÷ñc chóng tæi gåi l  ë s¥u chi·u > k cõa M trong I v  ÷ñc kþ hi»u

l  depthk(I, M )

Tø c¡c v§n · tr¶n, möc ½ch cõa chóng tæi trong luªn ¡n n y

l  nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t ti»m cªn cõa mæun ph¥n bªc x¡c

ành bði mët mæun húu h¤n sinh Chóng tæi x²t mæun ph¥n bªc

M = ⊕n≥0JnM/Jn+1M v  °t rk(n) = depthk(I, JnM/Jn+1M ) l  ës¥u chi·u > k cõa mæun JnM/Jn+1M trong I Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t,gi£ thuy¸t cõa Huneke khæng óng cho tr÷íng hñp têng qu¡t Tuy nhi¶n,

trong tr÷íng hñp i ≤ r1(n) th¼ tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun

èi çng i·u àa ph÷ìng Hi

I(JnM/Jn+1M ) l  tªp húu h¤n v  do âchóng tæi nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa c¡c tªp hñp n y Tr÷îc h¸t,chóng tæi chùng minh t½nh ên ành cõa ë s¥u chi·u > k cõa mæun

JnM/Jn+1M trong I Sau â, chóng tæi ÷a ra mët sè b§t ¯ng thùccõa ë s¥u chi·u > k ùng vîi mët låc ên ành Ti¸p theo, chóng tæinghi¶n cùu t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun

èi çng i·u àa ph÷ìng t¤i gi¡ trà ên ành cõa rk(n), ùng vîi k = −1,

k = 0 v  k = 1 Ngo i ra, chóng tæi cán ÷a ra v½ dö v· t½nh khæng ên

ành cõa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸t cõa mët sè mæun èi

çng i·u àa ph÷ìng Song song vîi vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t ti»mcªn cõa mæun JnM/Jn+1M, b i to¡n t÷ìng tü cho mæun M/JnMcông ÷ñc chóng tæi nghi¶n cùu trong luªn ¡n n y

Luªn ¡n ÷ñc chia th nh 3 ch÷ìng Ch÷ìng 1 nh­c l¤i mët sè ki¸nthùc cì sð nh÷ i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t, i¶an nguy¶n tè g­n k¸t, d¢ych½nh quy, èi çng i·u àa ph÷ìng, mæun ph¥n bªc v  låc nh¬m giópcho vi»c tr¼nh b y rã r ng, câ h» thèng c¡c k¸t qu£ trong c¡c ch÷ìngsau

Trong to n bë Ch÷ìng 2 v  Ch÷ìng 3 chóng tæi luæn gi£ thi¸t (R, m)

l  v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l  hai i¶an cõa R, M l R−mæun húu h¤n sinh v  A l  R−mæun Artin Ngo i ra, chóng tæiluæn gi£ thi¸t R = ⊕n≥0Rn l  ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n

R0 = R v  M = ⊕n≥0Mn l  R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh

Nëi dung cõa Ch÷ìng 2 düa tr¶n c¡c b i b¡o [14] v  [16] Trong ch÷ìng

n y chóng tæi nghi¶n cùu mët sè cæng thùc t½nh ë s¥u chi·u > k, chùngminh t½nh ên ành cõa ë s¥u chi·u > k v  mët sè b§t ¯ng thùc cõa ës¥u chi·u > k ùng vîi mët J−låc ên ành

º ìn gi£n, chóng tæi kþ hi»u Nn thay cho Mn ho°c M/JnM K¸tqu£ thù nh§t cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y l  ành lþ sau.

ành lþ 2.2.3 Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n Khi â depthk(I, Nn)nhªn gi¡ trà h¬ng khi n õ lîn

K¸t qu£ thù hai cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y l  chùng minh t½nh

ên ành cõa d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc v  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n

và ÷ñc cõa Nn, ¥y ch½nh l  nëi dung cõa ành lþ 2.2.5

N«m 2005, J Herzog v  T Hibi [19] kþ hi»u c¡c gi¡ trà ên ànhcõa depth(m, Jn), depth(m, Jn/Jn+1) v  depth(m, R/Jn) l¦n l÷ñt bðilim

n→∞depth Jn, lim

n→∞depth Jn/Jn+1 v  lim

n→∞depth R/Jn v  hå chùng minhc¡c b§t ¯ng thùc

J −låc ên ành (Mn) Cö thº chóng ta câ ành lþ sau

ành lþ 2.3.3 Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng, I, J l  hai i¶an cõa R,

M l  R−mæun húu h¤n sinh v  (Mn) l  J−låc ên ành cõa M Khi âvîi méi k ≥ −1 ta câ c¡c m»nh · sau óng

(i) Tçn t¤i c¡c giîi h¤n lim

n→∞depthk(I, Mn), lim

(iii) N¸u J ⊆ I th¼ lim

n→∞depthk(I, Mn/Mn+1) = lim

n→∞depthk(I, Mn) − 1

Ch÷ìng 3 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [1], [14], [15] v  [16] Trongch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu t½nh húu h¤n v  t½nh ên ành cõa mët

sè tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸t cõa mæun èi çng i·u

àa ph÷ìng N«m 1999, K Khashyarmanesh v  Sh Salarian [26] chùngminh r¬ng n¸u Hj

I(M ) câ gi¡ húu h¤n vîi måi j < i th¼ AssR(HIi(M )) l tªp húu h¤n Sau â, L T Nh n [40] ¢ chùng minh depth1(I, M ) l  sènguy¶n i nhä nh§t sao cho Hi

I(M )câ gi¡ væ h¤n v  do â AssR(HIi(M ))l tªp húu h¤n vîi måi i ≤ depth1(I, M ) Tø ¥y chóng ta th§y r¬ng vîi måi

i ≤ r1(n) = depth1(I, JnM/Jn+1M ) v  j ≤ s1(n) = depth1(I, M/JnM )c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIj(M/JnM )) l  húu h¤n V¼vªy mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l :

C¥u häi 1 C¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIj(M/JnM )),vîi i ≤ r1(n) v  j ≤ s1(n), câ ên ành khi n õ lîn?

K¸t qu£ ch½nh cõa chóng tæi trong luªn ¡n n y nâi r¬ng trø i mëttªp húu h¤n c¡c i¶an nguy¶n tè th¼ c¥u häi tr¶n l  tr£ líi ÷ñc K¸tqu£ n y ÷ñc chóng tæi ph¡t biºu v  chùng minh trong 6 ành lþ cõaCh÷ìng 3 theo thù tü l  ành lþ 3.1.3, 3.1.4, 3.1.8, 3.1.10, 3.2.3 v  3.2.4

Ð ¥y chóng tæi ph¡t biºu gëp l¤i nh÷ sau:

ành lþ Gi£ sû rk v  sk l¦n l÷ñt l  c¡c gi¡ trà ên ành cõadepthk(I, JnM/Jn+1M ) v  depthk(I, M/JnM ) Khi â c¡c m»nh · sau

óng

(i) C¡c tªp AssR(Hr−1

I (JnM/Jn+1M )) v  AssR(Hs−1

I (M/JnM )) ên ànhkhi n õ lîn

I(JnM/Jn+1M ) v  Hj

I(M/JnM ) l  Artin khi i < r0 v  j < s0.V¼ vªy c¥u häi l  t¦m th÷íng cho c¡c tr÷íng hñp i < r0 v  j < s0 Trongtr÷íng hñp r−1 = r0 v  s−1 = s0 th¼ m»nh · (i) cõa k¸t qu£ ch½nh l c¥u tr£ líi khæng t¦m th÷íng cho c¥u häi tr¶n khi i = r−1 v  j = s−1.Hìn núa, m»nh · (ii) cõa k¸t qu£ ch½nh nâi r¬ng ngo¤i trø i¶an cüc

¤i, c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIj(M/JnM )) ên ành khi

i ≤ r0 v  j ≤ s0 Ngo i ra m»nh · (iii) cõa k¸t qu£ ch½nh nâi r¬ng c¡ctªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIj(M/JnM )) ên ành khi i ≤ r1

v  j ≤ s1 ngo¤i trø mët tªp húu h¤n c¡c i¶an nguy¶n tè

Trong ch÷ìng n y, thay v¼ dòng c¡c kþ hi»u depth−1(I, M ), depth0(I, M )

v  depth1(I, M ) chóng tæi dòng c¡c kþ hi»u quen thuëc l¦n l÷ñt l depth(I, M ), f-depth(I, M) v  gdepth(I, M) K¸t luªn thù nh§t cõa c¡cm»nh · (i), (ii) v  (iii) trong k¸t qu£ ch½nh ÷ñc chóng tæi chùng minhd÷îi d¤ng têng qu¡t hìn, ð ¥y chóng tæi x²t b i to¡n cho tr÷íng hñpph¥n bªc Cö thº hìn, chóng tæi x²t R = ⊕n≥0Rn l  ¤i sè ph¥n bªcchu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R v  M = ⊕n≥0Mn l  R−mæun ph¥nbªc húu h¤n sinh Khi â ành lþ 3.1.3 ch¿ ra r¬ng n¸u r l  gi¡ trà ên

ành cõa depth(I, Mn) th¼ tªp AssR(HIr(Mn)) ên ành khi n õ lîn Mëth» qu£ ngay tùc kh­c cõa ành lþ 3.1.3 l  k¸t luªn thù nh§t cõa m»nh

· (i) trong k¸t qu£ ch½nh Ti¸p theo, chóng tæi sû döng k¸t qu£ n y vîichó þ r¬ng Hi

I(M ) = 0 vîi måi i < depth(I, M) º chùng minh k¸t luªnthù hai cõa m»nh · (i) trong k¸t qu£ ch½nh, â l  nëi dung cõa ành lþ3.1.4

K¸t luªn thù nh§t cõa m»nh · (ii) trong k¸t qu£ ch½nh l  h» qu£ trücti¸p cõa ành lþ sau.

ành lþ 3.1.8 Cho R = ⊕n≥0Rn l  ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinhtr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l  R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh v  I

l  i¶an cõa R Gi£ sû r0 l  gi¡ trà ên ành cõa f-depth(I, Mn) Khi âtªp S

j≤r 0

AssR(HIj(Mn)) ên ành khi n õ lîn

º chùng minh ành lþ 3.1.8, b÷îc ¦u ti¶n v  công l  b÷îc quantrång, chóng tæi chùng minh S = S

K¸t luªn thù nh§t cõa m»nh · (iii) trong k¸t qu£ ch½nh l  mët h»qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ sau

ành lþ 3.2.3 Cho R = ⊕n≥0Rn l  ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤nsinh tr¶n R0 = R, M = ⊕n≥0Mn l  R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh

v  I l  i¶an cõa R Gi£ sû r1 l  gi¡ trà ên ành cõa gdepth(I, Mn) Khi

â vîi méi l ≤ r1 tªp S

j≤l

AssR(HIj(Mn)) ∪ {m} ên ành khi n õ lîn.Công nh÷ trong chùng minh cõa ành lþ 3.1.8, tr÷îc h¸t chóng tæichùng minh S = S

lþ 3.1.8 º chùng minh ành lþ 3.2.3

Cuèi còng chóng tæi sû döng ành lþ 3.2.3 vîi chó þ r¬ng SuppR(HIj(M ))

l  tªp húu h¤n vîi måi j < gdepth(I, M) º chùng minh k¸t luªn thùhai cõa m»nh · (iii) trong k¸t qu£ ch½nh, â l  nëi dung cõa ành lþ3.2.4

N«m 2001, T Marley [33] chùng minh r¬ng mæun èi çng i·u àaph÷ìng Hdim R−1

I (M ) câ gi¡ húu h¤n Tø ¥y æng ta ÷a ra c¥u tr£ líikh¯ng ành cho gi£ thuy¸t cõa Huneke [22, B i to¡n 4] trong tr÷ínghñp v nh R câ chi·u nhä hìn ho°c b¬ng 3 B¬ng c¡ch thay v nh R bði

v nh R/ annR(M ), chóng ta câ thº ch¿ ra r¬ng SuppR(HIdim M −1(M ))

l  tªp húu h¤n, v¼ vªy AssR(HIdim M −1(M )) l  tªp húu h¤n Do âAssR(HId−1(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HId0−1(M/JnM )) l  c¡c tªp hñp húuh¤n, trong â d = dim(JnM/Jn+1M ) v  d0 = dim(M/JnM ) Mët c¡ch

tü nhi¶n chóng tæi quan t¥m ¸n t½nh ên ành cõa c¡c tªp hñp n y º

ìn gi£n, chóng tæi dòng Nn º kþ hi»u R−mæun JnM/Jn+1M ho°cM/JnM v  gåi d l  gi¡ trà ên ành cõa dim Nn Khi â k¸t qu£ ti¸p theocõa chóng tæi trong ch÷ìng n y nâi r¬ng, ngo¤i trø i¶an cüc ¤i, tªpAssR(HId−1(Nn)) ên ành khi n õ lîn, â l  nëi dung cõa ành lþ 3.2.7.Chóng ta bi¸t r¬ng mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Hi

I(M )nâi chungkhæng húu h¤n sinh Sè nguy¶n i nhä nh§t sao cho Hi

I(M ) khæng húuh¤n sinh ÷ñc gåi l  chi·u húu h¤n sinh cõa mæun M èi vîi i¶an I

v  ÷ñc kþ hi»u bði fI(M ) Chó þ r¬ng, v¼ H0

I(M ) l  mæun húu h¤nsinh n¶n fI(M ) ≥ 1 Theo Brodmann v  Faghani [7], tªp AssR(HIi(M ))

l  húu h¤n vîi måi i ≤ fI(M ) Do â c¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M ))

v  AssR(HIj(M/JnM )) húu h¤n vîi måi i ≤ r(n) = fI(JnM/Jn+1M ) v 

j ≤ s(n) = fI(M/JnM ) V¼ vªy mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l :C¥u häi 2 C¡c tªp AssR(HIi(JnM/Jn+1M )) v  AssR(HIj(M/JnM )),vîi i ≤ r(n) v  j ≤ s(n), câ ên ành khi n õ lîn?

K¸t qu£ ti¸p theo cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y l  ÷a ra ph£n v½

dö cho c¥u häi tr¶n èi vîi mæun M/JnM Cö thº chóng ta câ ành lþsau

ành lþ 3.3.1 Tçn t¤i R−mæun húu h¤n sinh M v  c¡c i¶an I, Jcõa R sao cho AssR(HI1(M/JnM )) khæng ên ành khi n õ lîn

Düa v o ành lþ 3.1.3, chóng tæi d¹ d ng chùng minh ÷ñc tªpAssR(HI1(JnM/Jn+1M )) ên ành khi n õ lîn K¸t qu£ n y tr¡i vîinhúng suy luªn thæng th÷íng Bði v¼ nhi·u t½nh ch§t ti»m cªn m  óngcho mæun JnM/Jn+1M th¼ công óng cho mæun M/JnM

Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Hi

m(M ) l mæun Artin vîi måi R−mæun húu h¤n sinh M Do â tªp i¶annguy¶n tè g­n k¸t AttR(Hmi(M )) luæn húu h¤n N¸u chóng ta kþ hi»u

Nn l  JnM/Jn+1M ho°c M/JnM th¼ rã r ng AttR(Hm0(Nn)) ên ành khi

n õ lîn Hìn núa, theo k¸t qu£ cõa I G Macdonald v  R Y Sharp[32, ành lþ 2.2], tªp AttR(Hmd(Nn)) ên ành khi n õ lîn, trong â d l gi¡ trà ên ành cõa dim Nn V¼ vªy mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l :C¥u häi 3 Tªp AttR(Hmi(Nn)), vîi i b§t ký, câ ên ành khi n õ lîn?K¸t qu£ cuèi còng cõa chóng tæi trong luªn ¡n n y l  ÷a ra v½ dö ºch¿ ra r¬ng nâi chung c¡c tªp tr¶n khæng ên ành khi n õ lîn Cö thºchóng ta câ ành lþ sau

ành lþ 3.3.8 C¡c kh¯ng ành sau l  óng

(i) Tçn t¤i v nh àa ph÷ìng (T, m) v  i¶an I cõa T sao cho c¡c tªpAttT(Hm3(T /In)) v  AttT(Hm4(In)) khæng ên ành khi n õ lîn.(ii) Tçn t¤i mæun húu h¤n sinh M tr¶n v nh àa ph÷ìng (R, m) v i¶an J cõa R sao cho tªp AttR(HIi(JnM/Jn+1M )) khæng ên ànhkhi n õ lîn, vîi i n o â

Melkersson v  Schenzel [38] khi nghi¶n cùu v· t½nh ên ành cõa tªpi¶an tè li¶n k¸t v  g­n k¸t cõa mæun Ext v  Tor ¢ ÷a ra c¥u häi:Vîi méi i ≥ 0, tªp AssR(ExtiR(R/In, M )) câ ên ành khi n õ lîn?

Tø chùng minh cõa ành lþ 3.3.8, chóng tæi thu ÷ñc mët h» qu£ tr£ líicho c¥u häi tr¶n Cö thº chóng tæi ch¿ ra r¬ng tçn t¤i v nh àa ph÷ìng(T, m) v  i¶an I cõa T sao cho S

n≥0

AssT(Ext2T(T /In, T )) l  tªp væ h¤n

v  do â tªp AssT(Ext2T(T /In, T )) khæng ên ành khi n õ lîn, ¥y ch½nh

l  nëi dung cõa H» qu£ 3.3.10

Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cì sð nh÷ i¶annguy¶n tè li¶n k¸t, i¶an nguy¶n tè g­n k¸t, d¢y ch½nh quy, ë s¥u, èi

çng i·u àa ph÷ìng, phùc Koszul, mæun ph¥n bªc v  låc º gióp chovi»c tr¼nh b y rã r ng, h» thèng c¡c k¸t qu£ trong c¡c ch÷ìng sau Taluæn kþ hi»u R l  v nh giao ho¡n Noether v  I l  i¶an cõa R

1.1 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  g­n k¸t

Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  mët

sè t½nh ch§t theo c¡c cuèn s¡ch [34] v  [35]

ành ngh¾a 1.1.1 Cho M l  R−mæun I¶an nguy¶n tè p ÷ñc gåi

l  nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i x ∈ M sao cho p = annR(x).Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M ÷ñc kþ hi»u bði AssR(M ).Tªp {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0} ÷ñc gåi l  gi¡ cõa M v  ÷ñc kþ hi»ubði SuppR(M )

Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i k¸t qu£ ìn gi£n sau m  th÷íng ÷ñcdòng trong luªn ¡n

ành lþ 1.1.2 [35, ành lþ 6.1, ành lþ 6.3]

(i) R−mæun M l  kh¡c khæng khi v  ch¿ khi AssR(M ) 6= ∅

(ii) N¸u 0 → M → N → K → 0 l  d¢y khîp c¡c R−mæun th¼

AssR(M ) ⊆ AssR(N ) ⊆ AssR(M ) ∪ AssR(K) v SuppR(M ) ⊆ SuppR(N ) = SuppR(M ) ∪ SuppR(K)

ành lþ sau ch¿ ra r¬ng tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun húuh¤n sinh luæn l  tªp húu h¤n çng thíi ÷a ra mèi quan h» bao h mgiúa tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  gi¡ cõa mët mæun

ành lþ 1.1.3 [35, ành lþ 6.5] Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh Khi

â c¡c m»nh · sau óng

(i) AssR(M ) l  tªp húu h¤n

(ii) AssR(M ) ⊆ SuppR(M )

(iii) p l  ph¦n tû cüc tiºu cõa AssR(M ) n¸u v  ch¿ n¸u p l  ph¦n tû cüctiºu cõa SuppR(M )

º t¼m tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun Mp chóng ta sû döng

ành lþ sau

ành lþ 1.1.4 [35, ành lþ 6.2] Cho M l  R−mæun, p ∈ Spec(R).Khi â

AssRp(Mp) = {qRp|q ∈ AssR(M ), q ⊆ p}

Nh­c l¤i r¬ng, chi·u cõa v nh R, kþ hi»u dim R, ÷ñc x¡c ành bði

dim R = sup{n|∃p0 p1 pn, pi ∈ Spec(R)}

Hìn núa, chi·u cõa mæun M ÷ñc x¡c ành bði dim M = dim R/ annR(M ).N¸u M l  R−mæun húu h¤n sinh th¼ SuppRM = V(annR(M )) v 

do â

dim M = sup{dim R/p|p ∈ SuppR(M )}

= sup{dim R/p|p ∈ AssR(M )}

Mæun con N cõa R−mæun M ÷ñc gåi l  mæun con nguy¶n sìn¸u AssR(M/N ) ch¿ chùa mët ph¦n tû Gi£ sû r¬ng AssR(M/N ) = {p}th¼ ta nâi N l  mæun con p−nguy¶n sì cõa M.

Mët ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N l  mët biºu thùc câ d¤ng N =

N1 ∩ ∩ Nr trong â Ni l  mæun con pi−nguy¶n sì cõa M vîi måi

i = 1, , r Ph¥n t½ch nguy¶n sì N = N1 ∩ ∩ Nr ÷ñc gåi l  thugån n¸u khæng câ Ni n o thøa v  pi 6= pj vîi måi i 6= j V¼ giao cõa haimæun con p−nguy¶n sì l  mët mæun p−nguy¶n sì n¶n måi ph¥n t½chnguy¶n sì cõa N ·u câ thº ÷a ÷ñc v· d¤ng thu gån

Chóng ta câ ành lþ quan trång sau

ành lþ 1.1.5 [35, ành lþ 6.8] Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh.Khi â måi mæun con thüc sü N cõa M ·u câ ph¥n t½ch nguy¶n sìthu gån Hìn núa, n¸u N = N1 ∩ ∩ Nr l  mët ph¥n t½ch nguy¶n sìthu gån cõa N sao cho AssR(M/Ni) = {pi} vîi måi i = 1, , r th¼AssR(M/N ) = {p1, , pr}

Ti¸p theo, chóng tæi nh­c l¤i lþ thuy¸t biºu di¹n thù c§p ÷ñcMacdonald [31] giîi thi»u n«m 1973, theo mët ngh¾a n o â nâ èi ng¨uvîi lþ thuy¸t ph¥n t½ch nguy¶n sì

Mët R−mæun S ÷ñc gåi l  thù c§p n¸u S 6= 0 v  vîi måi r ∈ R,ph²p nh¥n bði r tr¶n S l  to n c§u ho°c lôy linh N¸u S l  thù c§p th¼pannR(S) = pl  mët i¶an nguy¶n tè Khi â ta nâi S l  mæun p−thùc§p

Mët biºu di¹n thù c§p cõa R−mæun M l  mët ph¥n t½ch M =

M1 + + Mr th nh têng húu h¤n c¡c mæun con pi−thù c§p Mi.Mæun M ÷ñc gåi l  biºu di¹n ÷ñc n¸u M = 0 ho°c M câ mët biºudi¹n thù c§p Biºu di¹n thù c§p M = M1+ + Mr ÷ñc gåi l  tèi tiºu

n¸u khæng câ Mi n o thøa v  pi 6= pj vîi måi i 6= j V¼ têng cõa haimæun con p−thù c§p l  mæun con p−thù c§p n¶n måi biºu di¹n thùc§p cõa M ·u câ thº ÷a ÷ñc v· d¤ng tèi tiºu.

I¶an nguy¶n tè p ÷ñc gåi l  nguy¶n tè g­n k¸t cõa R−mæun Mn¸u M câ mæun th÷ìng l  p−thù c§p Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè g­n k¸tcõa M ÷ñc kþ hi»u AttR(M )

ành lþ sau ch¿ ra r¬ng n¸u M l  mæun biºu di¹n ÷ñc th¼ AttR(M )

1.2 D¢y ch½nh quy v  ë s¥u

Chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m d¢y ch½nh quy v  mët sè t½nh ch§t theocuèn s¡ch [10] ho°c [35]

ành ngh¾a 1.2.1 Cho M l  R−mæun Mët ph¦n tû x ∈ R ÷ñc gåi

l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M n¸u x.m 6= 0 vîi måi 0 6= m ∈ M Mët d¢y

x1, , xr c¡c ph¦n tû cõa R ÷ñc gåi l  d¢y ch½nh quy cõa M n¸u nâthäa m¢n hai i·u ki»n sau:

(i) xi l  ph¦n tû ch½nh quy cõa M/(x1, , xi−1)M vîi måi i = 1, , r.(ii) M/(x1, , xr)M 6= 0

Tø ành ngh¾a chóng ta th§y r¬ng x ∈ R l  ph¦n tû ch½nh quy cõa

M n¸u v  ch¿ n¸u x 6∈ p vîi måi p ∈ AssR(M ) Ngo i ra, n¸u (R, m) l 

v nh àa ph÷ìng, x1, , xr ∈ m v  M l  R−mæun húu h¤n sinh kh¡ckhæng th¼ i·u ki»n (ii) luæn thäa m¢n bði Bê · Nakayama

Trong tr÷íng hñp M l  R−mæun húu h¤n sinh chóng ta câ thº t½nh

ë d i cõa mët d¢y ch½nh quy cüc ¤i cõa M trong I nh÷ sau

ành lþ 1.2.2 [10, ành lþ 1.2.5] Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh v 

I l  i¶an cõa R sao cho IM 6= M Khi â måi d¢y ch½nh quy cüc ¤icõa M trong I ·u câ còng ë d i n ÷ñc cho bði

n = inf{i| ExtiR(R/I, M ) 6= 0}

Tø ành lþ 1.2.2 chóng ta câ ành ngh¾a sau (xem [35, Trang 130])

ành ngh¾a 1.2.3 Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh v  I l  i¶ancõa R sao cho IM 6= M Khi â ë d i chung cõa måi d¢y ch½nh quycüc ¤i cõa M trong I ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M trong I v  kþ hi»u bðidepth(I, M ) N¸u IM = M th¼ ta quy ÷îc depth(I, M) = +∞

Nh÷ vªy, ë s¥u cõa M trong I ÷ñc cho bði cæng thùc sau

depth(I, M ) = inf{i| ExtiR(R/I, M ) 6= 0}

Trong tr÷íng hñp (R, m) l  v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng th¼depth(m, M ) ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa M v  kþ hi»u bði depth(M)

M»nh · sau ¥y cho chóng ta mët cæng thùc quy n¤p º t½nh ë s¥u.M»nh · 1.2.4 [10, M»nh · 1.2.10] Cho M l  R−mæun húu h¤nsinh Khi â n¸u x1, , xr l  mët d¢y ch½nh quy cõa M trong I th¼

depth(I, M/(x1, , xr)M ) = depth(I, M ) − r

Cho x = x1, , xt l  h» c¡c ph¦n tû cõa R v  Hi(x; M ) l  mæun

çng i·u thù i cõa phùc Koszul K•(x; M ) Chóng tæi nh­c l¤i mët sèt½nh ch§t cì b£n cõa mæun çng i·u Koszul Tr÷îc h¸t chóng ta câm»nh · sau

M»nh · 1.2.5 [35, Trang 127, 128] Cho M l  R−mæun, x =

x1, , xn l  d¢y c¡c ph¦n tû cõa R Khi â ta câ c¡c ¯ng c§u sau.(i) H0(x; M ) ∼= M/xM

(ii) Hn(x; M ) ∼= (0 :

M x).(iii) (x).Hi(x; M ) = 0, vîi måi i

Mèi li¶n h» giúa d¢y ch½nh quy v  t½nh tri»t ti¶u cõa mæun çng i·uKoszul ÷ñc cho bði ành lþ sau

ành lþ 1.2.6 [35, ành lþ 16.5] Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng,

x1, , xn ∈ m v  M l  R−mæun húu h¤n sinh Khi â ta câ hai m»nh

· sau t÷ìng ÷ìng

(i) x = x1, , xn l  d¢y ch½nh quy cõa M

(ii) Hi(x; M ) = 0 vîi måi i > 0

Chóng ta câ thº t½nh ë s¥u cõa mæun qua çng i·u Koszul nh÷sau

ành lþ 1.2.7 [3, ành lþ 1.7] Gi£ sû I l  i¶an sinh bði x = (x1, , xn)

v  M l  R−mæun húu h¤n sinh sao cho IM 6= M Khi â

depth(I, M ) = n − sup{i|Hi(x; M ) 6= 0}

1.3 èi çng i·u àa ph÷ìng

èi çng i·u àa ph÷ìng ÷ñc Grothendieck [18] giîi thi»u v o ¦unhúng n«m 1960, tø â ¸n nay èi çng i·u àa ph÷ìng trð th nhmët cæng cö quan trång trong vi»c nghi¶n cùu ¤i sè giao ho¡n º ànhngh¾a mæun èi çng i·u àa ph÷ìng chóng ta c¦n kh¡i ni»m h m tûI−xo­n

ành ngh¾a 1.3.1 [9, ành ngh¾a 1.1.1] Cho I l  i¶an cõa v nh R, h m

tû I−xo­n kþ hi»u bði ΓI(−) ÷ñc x¡c ành bði ΓI(M ) = S

n≥0

(0 :M In)vîi måi R−mæun M Khi â ΓI(M ) ÷ñc gåi l  mæun con I−xo­ncõa M

Ta câ ành ngh¾a h m tû èi çng i·u àa ph÷ìng nh÷ sau

ành ngh¾a 1.3.2 [9, ành ngh¾a 1.2.1] Vîi méi sè nguy¶n i ≥ 0, h m

tû d¨n xu§t ph£i thù i cõa h m tû ΓI(−) kþ hi»u bði Hi

Mæun M ÷ñc gåi l  mæun I−xo­n n¸u ΓI(M ) = M v  ÷ñc gåi

l  mæun khæng I−xo­n n¸u ΓI(M ) = 0 Ta câ mët sè t½nh ch§t cì b£nsau

M»nh · 1.3.3 [9, Bê · 2.1.1] Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh.Khi â M l  khæng I−xo­n n¸u v  ch¿ n¸u I chùa mët ph¦n tû ch½nhquy cõa M

M»nh · 1.3.4 [9, Bê · 2.1.2, H» qu£ 2.1.7] Cho M l  R−mæun.Khi â c¡c m»nh · sau l  óng

(i) M/ΓI(M ) l  mæun khæng I−xo­n.

(ii) Hi

I(M ) ∼= HIi(M/ΓI(M )) vîi måi i > 0

Nhªn x²t 1.3.5 Cho M l  R−mæun v  I, J l  hai i¶an cõa R Khi â

ΓI(ΓJ(M )) = ΓI+J(M ) Tø ¥y ta suy ra ΓI(M )l  mæun I−xo­n Hìnnúa, måi mæun con v  mæun th÷ìng cõa mæun I−xo­n l  mæunI−xo­n Do â mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Hi

I(M ) l  mæun I−xo­n vîi måi i

Ti¸p theo chóng tæi nh­c l¤i mët sè t½nh ch§t quan trång cõa mæun

èi çng i·u àa ph÷ìng ành lþ sau ch¿ ra r¬ng mæun èi çng i·u

àa ph÷ìng khæng phö thuëc v o v nh cì sð (xem [9, ành lþ 4.2.1])

ành lþ 1.3.6 (T½nh ëc lªp èi vîi v nh cì sð) Cho R0 l  R−¤i sè,

M0 l  R0−mæun, I ⊂ R l  mët i¶an v  xem M0 nh÷ R−mæun Khi

â vîi måi i ≥ 0 ta câ R−¯ng c§u Hi

IR 0(M0) ∼= HIi(M0).Nhªn x²t 1.3.7 Gi£ sû r¬ng M bà tri»t ti¶u bði J, tùc l  JM = 0 Khi

â M ÷ñc xem l  R/J−mæun Theo ành lþ 1.3.6, tçn t¤i R−¯ng c§u

HIi(M ) ∼= HI(R/J )i (M ) = H(I+J )/Ji (M ) Mët c¡ch dòng kh¡c cõa ành lþ1.3.6 ta công câ R−¯ng c§u Hi

I+J(M ) ∼= H(I+J )/Ji (M ) Do â ta luæn

câ R−¯ng c§u Hi

I(M ) ∼= HI+Ji (M ).Mët k¸t qu£ quan trång kh¡c li¶n quan ¸n thay êi v nh â l  ành

lþ thay êi cì sð ph¯ng nh÷ sau (xem [9, ành lþ 4.3.2])

ành lþ 1.3.8 (ành lþ thay êi cì sð ph¯ng) Cho R0 l  R−¤i sèph¯ng v  M l  R−mæun Khi â vîi måi i ≥ 0 ta câ R0−¯ng c§u

HIRi 0(M ⊗R R0) ∼= HIi(M ) ⊗R R0

Cho M l  R−mæun v  p l  i¶an nguy¶n tè b§t ký cõa R Chóng tabi¸t r¬ng h m tû àa ph÷ìng hâa t¤i p l  mët h m tû ph¯ng v  do â

v nh Rp l  R−¤i sè ph¯ng Tø ành lþ 1.3.8 ta luæn câ Rp−¯ng c§u

ành lþ 1.3.9 (ành lþ tri»t ti¶u Grothendieck) Cho M l  R−mæun.Khi â Hi

I(M ) = 0 vîi måi i > dim M

Hai ành lþ ti¸p theo ch¿ ra mët sè mæun èi çng i·u àa ph÷ìng

l  Artin

ành lþ 1.3.10 [32, M»nh · 2.1] Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng v 

M l  R−mæun húu h¤n sinh Khi â Hi

m(M ) l  R−mæun Artin vîimåi i

ành lþ 1.3.11 [45, ành lþ 3.3] Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng, I l i¶an cõa R v  M l  R−mæun húu h¤n sinh kh¡c khæng câ chi·u d.Khi â Hd

I(M ) l  R−mæun Artin

Macdonald v  Sharp [32] ÷a ra cæng thùc t½nh tªp nguy¶n tè g­n k¸tcõa mæun èi çng i·u àa ph÷ìng bªc cao nh§t vîi gi¡ cüc ¤i nh÷sau

Trong [24], Katzman ÷a ra v½ dö v· R−mæun húu h¤n sinh M v i¶an I cõa R sao cho AssR(HIi(M )) l  tªp væ h¤n, vîi i n o â Tuynhi¶n v¨n cán nhi·u mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi húu h¤n i¶annguy¶n tè li¶n k¸t ành lþ sau cõa Brodmann v  Faghani ch¿ ra mët sèmæun èi çng i·u àa ph÷ìng câ t½nh ch§t nh÷ vªy.

ành lþ 1.3.13 [7, ành lþ 2.2] Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh v 

r l  sè nguy¶n d÷ìng Khi â n¸u Hi

I(M ) húu h¤n sinh vîi måi i < rth¼ AssR(HIr(M )) l  tªp húu h¤n

Cho x = x1, , xn l  d¢y c¡c ph¦n tû cõa R Vîi méi u ∈ N, chóng

ta kþ hi»u xu = xu1, , xun Khi â chóng ta câ thº t½nh èi çng i·u

àa ph÷ìng cõa mæun M vîi gi¡ (x) thæng qua giîi h¤n cõa h» thuªnc¡c mæun çng i·u Koszul nh÷ sau

ành lþ 1.3.14 [9, ành lþ 5.2.9] Vîi méi i ≥ 0 v  méi R−mæun M

ành lþ 1.4.1 [35, ành lþ 13.1] C¡c m»nh · sau l  óng

(i) V nh ph¥n bªc R = ⊕n≥0Rn l  Noether khi v  ch¿ khi R0 l  Noether

v  R l  R0−¤i sè húu h¤n sinh

(ii) N¸u R = ⊕n≥0Rn l  v nh ph¥n bªc Noether v  M = ⊕n≥0Mn l 

R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh th¼ Mn l  R0−mæun húu h¤nsinh vîi måi n.

V nh ph¥n bªc R = ⊕n≥0Rn ÷ñc gåi l  mët ¤i sè ph¥n bªc chu©nhúu h¤n sinh tr¶n v nh Noether R0 n¸u R = R0[x1, , xr] trong âdeg(xi) = 1 vîi måi i = 1, , r

Nhªn x²t 1.4.2 Cho I l  i¶an cõa v nh R v  M l  R−mæun húuh¤n sinh Khi â v nh Rees R(I) = ⊕n≥0In l  ¤i sè ph¥n bªc chu©nhúu h¤n sinh tr¶n R v  G(I, M) = ⊕n≥0InM/In+1M l  R(I)−mæunph¥n bªc húu h¤n sinh

Ti¸p theo chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m låc cõa mæun theo cuèn s¡ch[2]

ành ngh¾a 1.4.3 Cho M l  R−mæun v  I l  i¶an cõa v nh R.Mët x½ch M = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ , trong â Mn l  c¡c mæun concõa M ÷ñc gåi l  mët låc cõa M v  ÷ñc kþ hi»u (Mn) Låc (Mn) ÷ñcgåi l  I− låc n¸u IMn ⊆ Mn+1 vîi måi n v  ÷ñc gåi l  I− låc ên ànhn¸u tçn t¤i n0 sao cho IMn = Mn+1 vîi måi n ≥ n0

Cho (Mn) l  I− låc cõa R−mæun M Chóng ta x²t R(I) = ⊕n≥0In

v  M = ⊕n≥0Mn Khi â M l  mët R(I)−mæun ph¥n bªc Ta câ bê

· sau

Bê · 1.4.4 [2, Bê · 10.8] Cho I l  i¶an cõa v nh R, M l  R−mæunhúu h¤n sinh v  (Mn) l  I−låc cõa M Khi â hai m»nh · sau t÷ìng

֓ng

(i) M l  R(I)−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh

(ii) (Mn) l  I−låc ên ành

Cho N l  mæun con cõa R−mæun húu h¤n sinh M v  (Mn) l  I−låc

ên ành cõa M Khi â (Mn∩ N ) l  I−låc cõa N v  ⊕n≥0(Mn ∩ N ) l R(I)− mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh Tø Bê · 1.4.4 ta câ (Mn ∩ N )

l  I−låc ên ành cõa N Do â ta câ m»nh · sau

M»nh · 1.4.5 [2, M»nh · 10.9] Cho I l  i¶an cõa v nh R, M l R−mæun húu h¤n sinh v  (Mn) l  I−låc ên ành cõa M N¸u N l mæun con cõa M th¼ (Mn ∩ N ) l  I−låc ên ành cõa N

B¬ng c¡ch l§y Mn = InM, chóng ta thu ÷ñc Bê · Artin-Rees nêiti¸ng sau (xem [2, H» qu£ 10.10])

ành lþ 1.4.6 (Bê · Artin- Rees) Cho I l  i¶an cõa R, M l R−mæun húu h¤n sinh v  N l  mæun con cõa M Khi â tçn t¤i

sè nguy¶n d÷ìng k sao cho vîi måi n > k ta câ

InM ∩ N = In−k(IkM ∩ N )

N«m 1978, trong khi nghi¶n cùu v· lîp mæun Cohen-Macaulay suyrëng, N T C÷íng, P Schenzel v  N V Trung [50] ¢ ÷a ra kh¡i ni»md¢y låc ch½nh quy l  mët mð rëng cõa kh¡i ni»m d¢y ch½nh quy ¸nn«m 2001, R Lu v  Z Tang [29] chùng minh r¬ng måi d¢y låc ch½nhquy cüc ¤i cõa M trong I câ còng ë d i, ë d i chung n y ÷ñc gåi l 

ë s¥u låc cõa M trong I v  ÷ñc kþ hi»u l  f-depth(I, M) N«m 2005,

L T Nh n [40] giîi thi»u kh¡i ni»m d¢y ch½nh quy suy rëng l  mët mðrëng cõa d¢y låc ch½nh quy v  chùng minh r¬ng måi d¢y ch½nh quy suyrëng cüc ¤i cõa M trong I ·u câ còng ë d i, ë d i chung n y ÷ñcgåi l  ë s¥u suy rëng cõa M trong I v  ÷ñc kþ hi»u l  gdepth(I, M).Têng qu¡t hìn, n«m 2008 Brodmann v  L T Nh n [8] ¢ giîi thi»u kh¡ini»m M−d¢y chi·u > k Hå công chùng minh r¬ng måi M−d¢y chi·u

> k cüc ¤i trong I câ còng ë d i, chóng tæi [14] gåi ë d i chung n y

l  ë s¥u chi·u > k cõa M trong I v  kþ hi»u bði depthk(I, M )

N«m 1979, Brodmann [6] düa v o k¸t qu£ ên ành cõa c¡c tªp

AssR(JnM/Jn+1M )v  AssR(M/JnM )æng ta chùng minh c¡c sè nguy¶ndepth(I, JnM/Jn+1M ) v  depth(I, M/JnM ) nhªn gi¡ trà khæng êi khi

n õ lîn Möc ½ch cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y l  mð rëng k¸t qu£tr¶n cõa Brodmann cho ë s¥u chi·u > k, tø ¥y chóng tæi chùng minhmët sè b§t ¯ng thùc cõa ë s¥u chi·u > k trong I ùng vîi mët J−låc

ên ành cõa mæun M

Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [14] v  [16].2.1 M−d¢y chi·u > k

Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m M−d¢y chi·u > k ÷ñc giîi thi»ubði Brodmann v  L T Nh n trong [8]

ành ngh¾a 2.1.1 [8, ành ngh¾a 2.1] Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n.Mët d¢y x1, , xr c¡c ph¦n tû cõa m ÷ñc gåi M−d¢y chi·u > k(ho°c d¢y ch½nh quy chi·u > k cõa M) n¸u xi 6∈ p vîi måi p ∈AssR(M/(x1, , xi−1)M ), dim R/p > k, vîi måi i = 1, , r

Tø ành ngh¾a ta th§y r¬ng x1, , xr l  M−d¢y chi·u > −1 n¸u v ch¿ n¸u nâ l  d¢y ch½nh quy cõa M; x1, , xr l  M−d¢y chi·u > 0 n¸u

v  ch¿ n¸u nâ l  d¢y låc ch½nh quy cõa M ÷ñc giîi thi»u bði N T.C÷íng, P Schenzel v  N V Trung trong [50] Hìn núa, x1, , xr l 

M −d¢y chi·u > 1 n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  d¢y ch½nh quy suy rëng cõa M

÷ñc giîi thi»u bði L T Nh n trong [40]

Nh­c l¤i r¬ng, mët d¢y x1, , xr c¡c ph¦n tû cõa m ÷ñc gåi l  d¢y låcch½nh quy cõa M n¸u xi 6∈ pvîi måi p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M )\{m},vîi måi i = 1, , r (xem [50, ành ngh¾a 2.1]) Hìn núa, mët d¢y

x1, , xr c¡c ph¦n tû cõa m ÷ñc gåi l  d¢y ch½nh quy suy rëng cõa Mn¸u xi 6∈ p vîi måi p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ), dim R/p > 1, vîi måi

i = 1, , r (xem [40, ành ngh¾a 2.1]).

Gi£ sû r¬ng dim(M/IM) > k Khi â måi M−d¢y chi·u > k trong

I ·u câ thº bê sung th nh d¢y cüc ¤i v  måi d¢y cüc ¤i n y ·u câcòng ë d i b¬ng sè nguy¶n i nhä nh§t sao cho tçn t¤i i¶an nguy¶n

tè p ∈ Supp(Hi

I(M )) vîi dim R/p > k (xem [8, Bê · 2.4]) N¸udim(M/IM ) ≤ k th¼ vîi måi sè nguy¶n d÷ìng r ta câ thº chån mët

M −d¢y chi·u > k câ ë d i r Tø ¥y chóng ta câ ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 2.1.2 Cho M l  R−mæun húu h¤n sinh v  I l  i¶an cõa

R sao cho dim M/IM > k Khi â ë d i cüc ¤i cõa mët M−d¢y chi·u

> k ð trong I ÷ñc gåi l  ë s¥u chi·u > k cõa M trong I v  kþ hi»u bðidepthk(I, M ) N¸u dim(M/IM) ≤ k th¼ ta quy ÷îc depthk(I, M ) = +∞

Chóng ta chó þ r¬ng depth−1(I, M ) ch½nh l  ë s¥u cõa M trong Ith÷íng ÷ñc kþ hi»u bði depth(I, M), depth0(I, M ) ch½nh l  ë s¥u låccõa M trong I ÷ñc R Lu v  Z Tang [29] kþ hi»u bði f-depth(I, M) v depth1(I, M ) ch½nh l  ë s¥u suy rëng cõa M trong I ÷ñc L T Nh n[40] kþ hi»u bði gdepth(I, M)

Trong to n bë luªn ¡n n y, chóng tæi luæn quy ÷îc

inf(∅) = +∞ v  sup(∅) = −∞

Ngo i ra, vîi méi tªp con S cõa Spec(R), chóng tæi kþ hi»u:

S≥i = {p ∈ S| dim(R/p) ≥ i} v 

S>i = {p ∈ S| dim(R/p) > i}

Bê · sau l  ìn gi£n nh÷ng ÷ñc dòng º chùng minh mët sè k¸tqu£ cõa luªn ¡n

Bê · 2.1.3 Cho k ≥ −1 l  sè nguy¶n Khi â c¡c m»nh · sau l 

(ii) N¸u x l  M−d¢y chi·u > k th¼ dim(0 :M x) ≤ k

Chùng minh (i) B¬ng quy n¤p, chóng ta ch¿ c¦n chùng minh cho tr÷ínghñp r = 1 Cho x1 l  M−d¢y chi·u > k v  p ∈ (SuppR(M ))≥j sao cho

x1 ∈ p Gi£ sû x 1

1 khæng ph£i l  Mp−d¢y chi·u > k − j Khi â tçnt¤i qRp ∈ (AssRp(Mp))>k−j sao cho x 1

1 ∈ qRp Tø ¥y ta câ x1 ∈ q v 

q ∈ (AssR(M ))>k i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t x1 l  M−d¢y chi·u

> k v  ta suy ra i·u ph£i chùng minh

(ii) Cho x l  M−d¢y chi·u > k Gi£ sû r¬ng dim(0 :M x) > k Khi

â ta câ thº chån p ∈ (AssR(0 :M x))>k Tø ¥y chóng ta th§y r¬ng

p ∈ (AssR(M ))>k v  x ∈ p i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t x l 

M −d¢y chi·u > k V¼ vªy ta câ dim(0 :M x) ≤ k

Brodmann v  L T Nh n [8] ÷a ra c¡ch t½nh depthk(I, M ) nh÷ sau

Bê · 2.1.4 [8, Bê · 2.4] Cho k ≥ −1 l  sè nguy¶n Khi â

depthk(I, M ) = inf{i| dim(Supp(HIi(M ))) > k}

º chùng minh k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng n y, chóng tæi ÷a ra mëtc¡ch kh¡c º t½nh depthk(I, M ) Cö thº l  m»nh · sau

M»nh · 2.1.5 Cho k ≥ −1 l  sè nguy¶n Khi â

depthk(I, M ) = inf{i | dim(ExtiR(R/I, M )) > k}

= inf{depthk−j(Ip, Mp) | p ∈ (Supp(M/IM ))≥j}vîi måi 0 ≤ j ≤ k + 1

Chùng minh N¸u dim(M/IM) ≤ k th¼ depthk(I, M ) = +∞ M°t kh¡cv¼ dim(Exti

R(R/I, M )) ≤ dim(M/IM ) ≤ k vîi måi i n¶ninf{i | dim(ExtiR(R/I, M )) > k} = inf(∅) = +∞

Do â ta câ ¯ng thùc thù nh§t B¥y gií vîi méi p ∈ (SuppR(M/IM ))≥j

ta câ dim(M/IM)p ≤ k − j Do â depthk−j(Ip, Mp) = +∞ v  ta suy ra

¯ng thùc thù hai trong tr÷íng hñp n y

X²t tr÷íng hñp dim(M/IM) > k Khi â depthk(I, M ) = r l  sènguy¶n khæng ¥m Tø Bê · 2.1.4 chóng ta câ

R(R/I, M )) Tø ¥y

ta suy ra dim(Extr

R(R/I, M )) > k Do â ta câ ¯ng thùc thù nh§t

r = inf{i | dim(ExtiR(R/I, M )) > k}

B¥y gií ta i chùng minh ¯ng thùc thù hai Gåi x1, , xr ∈ I l 

M −d¢y chi·u > k v  j ∈ {0, , k + 1} Vîi méi p ∈ (Supp(M/IM))≥j,

nguy¶n tè q0 sao cho q0 ⊇ q, dim(R/q0) = j v  dim(Rq 0/qRq0) > k − j.Khi â qRq 0 ∈ SuppR

q0((ExtrR(R/I, M ))q 0)>k−j Suy ra

r ≥ inf{i| dimRq0(ExtiR(R/I, M ))q0 > k − j}

= depthk−j(Iq0, Mq0) ≥ r

Do â

r = inf{depthk−j(Ip, Mp)|p ∈ Supp(M/IM ), dim R/p ≥ j},

m»nh · ÷ñc chùng minh

Cho x = x1, , xt l  mët h» sinh cõa i¶an I v  Hi(x; M ) l  mæun

çng i·u thù i cõa phùc Koszul K•(x; M ) Tø ành lþ 1.3.14 chóng tabi¸t r¬ng depth−1(I, M ), th÷íng ÷ñc kþ hi»u depth(I, M), câ thº ÷ñcx¡c ành bði

depth(I, M ) = t − sup{i|Hi(x; M ) 6= 0}

M»nh · sau ¥y l  mët mð rëng cõa ành lþ 1.3.14 cho depthk(I, M ).M»nh · 2.1.6 Gi£ sû r¬ng I l  i¶an sinh bði x = x1, , xt Khi â

depthk(I, M ) = t − sup{i| dim(Hi(x; M )) > k}

Chùng minh N¸u dim(M/IM) ≤ k th¼ depthk(I, M ) = +∞ M°tkh¡c, tø Bê · 1.2.5 ta câ I.Hi(x; M ) = 0 vîi måi i Ta suy ra

I ⊆ annR(Hi(x; M )) Do â annR(M/IM ) ⊆ annR(Hi(x; M )) Tø ¥y

ta suy ra

dim(Hi(x; M )) = dim R/ annR(Hi(x; M ))

≤ dim R/ annR(M/IM )

= dim(M/IM ) ≤ kvîi måi i V¼ vªy

t − sup{i| dim(Hi(x; M )) > k} = t − sup(∅) = +∞

¯ng thùc óng trong tr÷íng hñp n y.

Gi£ sû r¬ng dim(M/IM) > k Khi â depthk(I, M ) = r < +∞.Chóng ta s³ chùng minh ¯ng thùc b¬ng quy n¤p theo r N¸u r = 0th¼ tçn t¤i p ∈ AssR(M )>k sao cho I ⊆ p Chóng ta chån u ∈ M saocho p = ann(u) V¼ I ⊆ ann(u) n¶n u ∈ (0 :M I) = Ht(x; M ) Do â

p ∈ AssR(Ht(x; M )) Tø â ta câ dim(Ht(x; M )) ≥ dim(R/p) > k V¼

Hi(x; M ) = 0 vîi måi i > t n¶n ta suy ra

0 → Mp

x 1

→ Mp → Mp → 0chóng ta câ d¢y khîp d i c¡c mæun çng i·u Koszul

→ V¼ I.Hi(x, M ) = 0 vîi måi i v  x ∈ I n¶n (x

1).Hi(x1

1 , ,xt

1 ; Mp) = 0 vîimåi i Do â ta câ d¢y khîp sau

Nh÷ vªy vîi måi p ∈ SuppR(M/IM )>k ta câ (Hi(x; M ))p = 0 vîi måi

i > t − r v  tçn t¤i q ∈ SuppR(M/IM )>k sao cho (Ht−r(x; M ))q 6= 0

Do â dim Hi(x; M ) ≤ k vîi måi i > t − r v  dim Ht−r(x; M ) > k i·u

çng i·u Koszul ùng vîi mët M−d¢y chi·u > k

M»nh · 2.1.7 Cho x = x1, , xr l  M−d¢y chi·u > k Khi âdim(Hi(x; M )) ≤ k vîi måi i > 0

Chùng minh Chóng ta chùng minh m»nh · b¬ng quy n¤p theo r Vîi

r = 1, tø Bê · 2.1.3 ta câ dim(H1(x; M )) = dim(0 :M x1) ≤ k M»nh

Do â dim(Hi(x1, , xr; M )) ≤ k vîi måi i > 1 Ph¦n cán l¤i ta chùngminh dim(H1(x1, , xr; M )) ≤ k Ta câ d¢y khîp sau

H1(x1, , xr−1; M ) → H1(x1, , xr; M ) → H0(x1, , xr−1; M )

xr

→ H0(x1, , xr−1; M ).V¼ dim(H1(x1, , xr−1; M )) ≤ k v  dim(0 :M/(x1, ,xr−1)M xr) ≤ k n¶ndim(H1(x1, , xr; M )) ≤ k M»nh · ÷ñc chùng minh

Nh­c l¤i r¬ng, mët d¢y x1, , xr ∈ I ÷ñc gåi l  d¢y I−låc ch½nh quycõa M n¸u xi 6∈ p vîi måi p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ) \ V (I), vîi måi

i = 1, , r, trong â V (I) l  tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè chùa I.Chó þ r¬ng kh¡i ni»m d¢y I−låc ch½nh quy cõa M l  mët mð rëng cõakh¡i ni»m d¢y låc ch½nh quy cõa M ÷ñc ành ngh¾a bði N T C÷íng,

P Schenzel v  N V Trung trong [50]

Tø ành ngh¾a cõa d¢y I−låc ch½nh quy ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc

Chùng minh B¬ng quy n¤p chóng ta ch¿ c¦n chùng minh cho tr÷íng hñp

r = 1 Cho x1 ∈ I l  d¢y I−låc ch½nh quy cõa M v  p ∈ Spec(R) \ V(I),

x1 ∈ p Gi£ sû r¬ng x1

1 khæng ph£i l  ph¦n tû ch½nh quy cõa Mp Khi

â tçn t¤i qRp ∈ AssRp(Mp) sao cho x

1 ∈ qRp Tø ¥y ta câ x1 ∈ q,

q ∈ AssR(M ) \ V(I) i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t x1 l  d¢y I−låcch½nh quy cõa M Ta suy ra i·u ph£i chùng minh

2.2 Ên ành ti»m cªn cõa ë s¥u chi·u > k

Cho R = ⊕n≥0Rn l  ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n R0 = R

v  M = ⊕n≥0Mn l  R−mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh º ìn gi£n,trong möc n y chóng tæi kþ hi»u Nn thay cho Mn ho°c M/JnM Tr÷îch¸t chóng tæi nh­c l¤i k¸t qu£ sau v· t½nh ên ành cõa tªp i¶an nguy¶n

tè li¶n k¸t ÷ñc chùng minh bði Brodmann trong [5] èi vîi c¡c mæun

JnM/Jn+1M v  M/JnM v  sau â ÷ñc chùng minh bði Melkersson[37, ành lþ 3.1] cho tr÷íng hñp ph¥n bªc C¡c k¸t qu£ â ÷ñc ph¡t

biºu l¤i nh÷ sau.

Bê · 2.2.1 Tªp AssR(Nn) ên ành khi n õ lîn

º chùng minh k¸t qu£ ch½nh cõa möc n y, chóng ta c¦n bê · sau

Bê · 2.2.2 Cho k ≥ −1 v  r ≥ 1 l  c¡c sè nguy¶n N¸udim(ExtiR(R/I, Nn)) ≤ k vîi væ h¤n n v  vîi måi i < r th¼ tçn t¤imët d¢y r ph¦n tû x1, , xr ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > k khi n õ lîn

Chùng minh Gi£ sû T l  mët tªp con væ h¤n cõa tªp c¡c sè nguy¶n saocho dim(Exti

R(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ T v  vîi måi i < r Ta s³chùng minh bê · b¬ng quy n¤p theo r

N¸u r = 1 th¼ dim(Hom(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ T Khi â vîimåi p ∈ AssR(Nn), p ⊇ I, ta câ dim(R/p) ≤ k Suy ra I * p vîi måi

p ∈ AssR(Nn)>k v  vîi måi n ∈ T Theo Bê · 2.2.1, AssR(Nn) ên ànhkhi n õ lîn Do â tçn t¤i a ∈ T sao cho I * p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k

v  vîi måi n ≥ a Tø ¥y chóng ta câ thº chån ph¦n tû x1 ∈ I sao cho

x1 l  Nn−d¢y chi·u > k vîi måi n ≥ a

Tø Bê · 2.1.3 ta câ dim(0 :Nn x1) ≤ k vîi måi n ≥ a Ngo i ra, theoM»nh · 2.1.5 ta câ dim(Exti

R(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ T , n ≥ a

v  vîi måi i < r Düa v o hai d¢y khîp c¡c mæun mð rëng tr¶n ta câdim(ExtiR(R/I, Nn/x1Nn)) ≤ kvîi måi n ∈ T , n ≥ a v  vîi måi i < r−1.Theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i x2, , xr ∈ I l  Nn/x1Nn−d¢y chi·u

> k vîi måi n ≥ a, trong â a l  sè nguy¶n n o â Khi â x1, , xr ∈ I

l  Nn−d¢y chi·u > k khi n õ lîn

ành l½ sau l  k¸t qu£ thù nh§t cõa möc n y

ành lþ 2.2.3 Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n Khi â depthk(I, Nn)nhªn gi¡ trà h¬ng khi n õ lîn

Chùng minh Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº chån sè nguy¶n u sao cho

d = dim Nn v  d0 = dim(Nn/INn) vîi måi n ≥ u N¸u d0 ≤ k th¼depthk(I, Nn) = +∞ vîi måi n ≥ u

Gi£ sû r¬ng d0 > k V¼ méi Nn−d¢y chi·u > k l  mët ph¦n cõa h»tham sè cõa Nn n¶n 0 ≤ depthk(I, Nn) ≤ d − d0 vîi måi n ≥ u Do âtçn t¤i mët tªp con væ h¤n T cõa Z v  mët sè nguy¶n r ∈ {0, , d−d0}sao cho

r = depthk(I, Nn) = inf{i| dim(ExtiR(R/I, Nn)) > k}

vîi måi n ∈ T Chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng r = depthk(I, Nn) khi n õ lîn.Thªt vªy, n¸u r = 0 th¼ dim(Hom(R/I, Nn)) > k vîi måi n ∈ T Theo

Bê · 2.2.1, AssR(Hom(R/I, Nn)) = AssR(Nn) ∩ V (I) ên ành khi n ≥ avîi a ∈ T n o â Ta suy ra dim(Hom(R/I, Nn)) > k vîi måi n ≥ a v 

tø ¥y depthk(I, Nn) = 0 vîi måi n ≥ a

Tr÷íng hñp r ≥ 1 V¼ dim(Exti

R(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi i < r v  måi

n ∈ T n¶n theo Bê · 2.2.2 tçn t¤i v > 0 sao cho depthk(I, Nn) ≥ rvîi måi n ≥ v Tø ¥y dim(Exti

R(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi i < r v 

måi n ≥ v Gi£ sû r¬ng tçn t¤i mët tªp con væ h¤n S cõa Z sao chodim(ExtrR(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi n ∈ S L¤i ¡p döng Bê · 2.2.2 ta câthº chån b > v sao cho depthk(I, Nn) ≥ r + 1 vîi måi n ≥ b i·u

n y m¥u thu¨n vîi c¡ch x¡c ành r Do â tçn t¤i c ≥ v sao chodim(ExtrR(R/I, Nn)) > k v  dim(Exti

R(R/I, Nn)) ≤ k vîi måi i < r

v  vîi måi n ≥ c Nh÷ vªy

r = inf{i| dim(ExtiR(R/I, Nn)) > k},vîi måi n ≥ c Tø M»nh · 2.1.5 ta câ r = depthk(I, Nn) vîi måi n ≥ c

ành lþ ÷ñc chùng minh

Gi¡ trà h¬ng cõa depthk(I, Nn) khi n õ lîn cán ÷ñc gåi l  gi¡trà ên ành cõa depthk(I, Nn) khi n õ lîn v  ÷ñc kþ hi»u bðilim

n→∞depthk(I, Nn)

Ti¸p theo, chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m M−d¢y chi·u > k ho¡n và

÷ñc v  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa M ÷ñc giîi thi»u bðiBrodmann v  L T Nh n trong [8] nh÷ sau

ành ngh¾a 2.2.4 [8, ành ngh¾a 2.3] Mët d¢y x1, , xr ∈ I ÷ñc gåi

l  M−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc n¸u xσ(1), , xσ(r) l  M−d¢y chi·u

> k vîi måi σ ∈ Sr T÷ìng tü, mët d¢y x1, , xr ∈ I ÷ñc gåi l  d¢yI−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa M n¸u xσ(1), , xσ(r) l  d¢y I−låcch½nh quy cõa M vîi måi σ ∈ Sr

K¸t qu£ thù hai cõa möc n y, chóng tæi ch¿ ra t½nh ên ành cõa d¢ychi·u > k ho¡n và ÷ñc v  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn

ành lþ 2.2.5 Cho k ≥ −1 l  mët sè nguy¶n v  r l  gi¡ trà ên ànhcõa depthk(I, Nn) khi n õ lîn Gi£ sû r¬ng 1 ≤ r < +∞ Khi â tçnt¤i mët d¢y x1, , xr ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > k ho¡n và ÷ñc çng thíi

l  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn khi n õ lîn

Chùng minh Cho l l  sè nguy¶n sao cho 1 ≤ l ≤ r Chóng ta s³ chùngminh b¬ng quy n¤p theo l r¬ng tçn t¤i mët d¢y gçm l ph¦n tû thuëc Ithäa m¢n k¸t luªn cõa m»nh ·.

Tr÷íng hñp l = 1 Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº gi£ sû AssR(Nn) ên ànhkhi n ≥ a vîi a n o â V¼ r ≥ 1 n¶n I * p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k v måi n ≥ a Do â I * p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn) \ V(I))

v  måi n ≥ a Tø ành lþ tr¡nh nguy¶n tè ta suy ra tçn t¤i ph¦n tû

x1 ∈ I sao cho x1 6∈ p vîi måi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn) \ V(I)) v måi n ≥ a M»nh · óng trong tr÷íng hñp n y

Gi£ sû 1 < l ≤ r v  tçn t¤i d¢y x1, , xl−1 ∈ I l  Nn−d¢y chi·u > kho¡n và ÷ñc çng thíi l  d¢y I−låc ch½nh quy ho¡n và ÷ñc cõa Nn vîimåi n ≥ a vîi a n o â Tø Bê · 2.2.1 ta câ thº gi£ sû

n o â Tø ¥y xσ(1), , xσ(t) ∈ p v  x σ(1)

1 , ,xσ(t)

1 khæng ph£i l  d¢ych½nh quy cõa (Nn)p V¼ vªy x σ(1)