Bao đầy đủ của vành và môđun

bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học vinh trơng đức thanh bao đầy đủ của vành và môđun chuyên ngành: đại số & lý thuyết số... Trong số những tôpô tuyến tính thì những tôpô đợc xác định bở

bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

trơng đức thanh

bao đầy đủ của vành và môđun

chuyên ngành: đại số & lý thuyết số

Mục lục

Trang

Mở

đầu………

1 Chơng I Kiến thức chuẩn bị………. 4

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại……… 4

1.2 Các phép toán trên các iđêan……… 4

1.3 Không gian tôpô……… 5

1.4 Giới hạn ngợc……… 7

1.5 Vành địa ph-ơng………

9 1.6 Căn Jacobson……… 10

1.7 Môđun hữu hạn sinh……… 10

1.8 Môđun Noether………

10 1.9 Môđun phẳng………

11 Chơng II Bao đầy đủ của Vành và môđun……… 13

2.1 Định nghĩa……… 13

2.2 Bao đầy đủ I- adic………

14 2.3 Một số tính chất………

16 Kết luận ………

28 Tài liệu tham khảo………

29

Mở đầu

Bao đầy đủ của vành và môđun đã đợc nhiều nhà toán học trên thế giới nh Krull, Zariski, I.S Cohen quan tâm và nghiên cứu.…

Cho A là một vành, M là một A - môđun, Λ là một tập định hớng Giả sử

{ }Mλ λ∈Λ là một họ các môđun con của M đợc chỉ số hoá bởi Λ sao cho nếu

λ à< thì Mλ ⊃Mà Ta lấy { }Mλ λ∈Λ nh là một hệ các lân cận của 0 Khi đó

M trở thành một nhóm tôpô đối với phép cộng Trong tôpô này, với x M∈ thì

hệ các lân cận của x là {x M+ λ λ∈Λ} Trong M phép cộng, phép trừ và phép ,

nhân với vô hớng xa ax với a A∈ là các ánh xạ liên tục Khi M = A thì mỗi

Mλ là một iđêan nên phép nhân: (a M+ λ)(b M+ λ)⊂ab M+ λ là ánh xạ liên tục Tôpô này đợc gọi là tôpô tuyến tính trên M và nó là tôpô tách (tức là

Hausdorff) khi và chỉ khi Mλ 0

Cho ψ : M →Mˆ là ánh xạ A- tuyến tính tự nhiên Khi đó ψ là ánh xạ liên tục

và ( )ψ M trù mật trong ˆM Với mỗi phép chiếu p Mλ: ˆ M M

họ { }Mλ λ∈Λ* Vì pλ là toàn ánh nên Mˆ * M

M

Mλ ≅ λ và bao đầy đủ của ˆM lại

trùng với ˆM Nếu ψ : M →Mˆ là một đẳng cấu thì ta nói môđun M là đầy đủ

(theo tôpô đã cho) Khi M =A thì {M M , λà}

λ ϕ trở thành một hệ ngợc các vành, Mˆ = Aˆ là một vành và ψ : A→ Aˆ là một đồng cấu vành M* Aˆ

λ ⊂ không

phải là một A - môđun con nhng lại là một iđêan của ˆA.

Trong số những tôpô tuyến tính thì những tôpô đợc xác định bởi các iđêan là

đặc biệt quan trọng Cho I là một iđêan của A và M là một A- môđun, tôpô

trên M xác định bởi { } 1,2

n n

I M

= đợc gọi là tôpô I - adic Với tôpô này thì ˆA

và ˆM của A và M tơng ứng đợc gọi là bao đầy đủ I - adic của A và M Dễ thấy rằng ˆM là một ˆA - môđun

Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp và từ đó trình bày một cách có hệ thống về bao đầy đủ ˆA và Mˆ của vành A

và môđun M

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn

đ-ợc chia thành 2 chơng Để dễ theo dõi nội dung chính của luận văn, chơng đầu tiên chúng tôi trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở về Đại số giao hoán và Tôpô liên quan đến các kết quả và chứng minh ở chơng sau Trong Ch-

ơng 2, chúng tôi trình bày nội dung chính của luận văn Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày về khái niệm và chứng minh một số tính chất của bao đầy đủ ˆA

và Mˆ của vành A và môđun M

Luận văn này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh nhờ sự hớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sự biết ơn sâu sắc tới cô, ngời đã tận tình giúp

đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số và lý thuyết số đã giảng dạy và chỉ bảo những vấn đề liên quan đến đề tài nghiên cứu Chúng tôi xin cảm

ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trờng

Đại học Vinh, trờng THPT 1-5 Nghĩa Đàn, các đồng nghiệp, bạn bè và các bạn học viên lớp Cao học 15 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số đã giúp đỡ và tạo

điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, ngày 05 tháng 12 năm 2009

Tác giả: Trơng Đức Thanh

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại

Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành A Khi đó

(i) I đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu I ≠ A và với mọi ,x y A∈ mà xy I∈ thì

1.2.2 Định nghĩa Cho ,I J là các iđêan của vành A Nếu I J A+ = thì ta nói ,

I J nguyên tố cùng nhau.

1.2.3 Tích của các iđêan Cho ,I J là các iđêan của vành A Khi đó kí hiệu IJ

là iđêan sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab , trong đó a I b J∈ , ∈ Tức là

Iđêan IJ đợc gọi là tích của iđêan I và J

Đặc biệt, cho I là iđêan của A và n∈Ơ thì

1 2 1

| ,

n j

m n

1.3.2 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian tôpô ánh xạ : f X →Y đợc

gọi là liên tục tại x0∈X , nếu với mọi lân cận V của f x( )0 ∈Y , tồn tại lân cận

U của x sao cho ( )0 f U ⊂V

Nếu f liên tục tại mọi phần tử x X∈ , thì f đợc gọi là liên tục trên X

1.3.3 Định lý Giả sử : f X →Y và : g Y →Z là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô Khi đó ánh xạ hợp thành

:

h g f X= o →Z

cũng liên tục.

1.3.4 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, ,A B⊂ X, A, B là các bao

đóng của ,A B trong X ,A B gọi là tách đợc nếu A B A B∩ = ∩ = ∅

1.3.5 Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X τ đợc gọi là T - không gian, nếu với hai 1

phần tử khác nhau ,x y X∈ , tồn tại tập mở U chứa x nhng không chứa y

1.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là T - không gian hoặc không 2gian Hausdorff, nếu với mỗi cặp , x y X∈ , x≠ y , thì tồn tại các lân cận U của

x , V của y sao cho: U V∩ = ∅

1.3.7 Định lý Nếu X là T - không gian thì X là 2 T - không gian.1

1.3.8 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là T - không gian hoặc không 3gian chính quy, nếu X là T - không gian và với mọi phần tử x X1 ∈ , mọi tập F

đóng, sao cho x F∉ , tồn tại các tập mở ,U V sao cho mọi phần tử

A B luôn tồn tại các tập mở , U V sao cho U ⊃ A , V ⊃ B , U ∩ = ∅V

1.3.10 Định nghĩa Giả sử ( , )X τ là không gian tôpô, M là một tập con của X

Đặt: τM ={V =M ∩U U: ∈τ}

Khi đó τM là một tôpô trên M Cặp ( , X τM) đợc gọi là không gian con của

( , )X τ ; τM đợc gọi là tôpô cảm sinh bởi τ

1.3.11 Định nghĩa Giả sử ℜ là một quan hệ tơng đơng trong không gian tôpô

X Gọi X ℜ là tập các lớp tơng đơng, :i X → X ℜ là ánh xạ thơng, tức là

ánh xạ xác định bởi ( )i x =x % , trong đó x% là lớp tơng đơng chứa x Tôpô xác

định bởi ánh xạ i đợc gọi là tôpô thơng Đó là tôpô mạnh nhất trên X ℜ sao cho i liên tục

Tập X ℜ với tôpô thơng đợc gọi là không gian thơng.

1.3.12 Mệnh đề Giả sử : f X ℜ →Y là ánh xạ từ không gian thơng X ℜ vào không gian tôpô Y Khi đó, f liên tục khi và chỉ khi f i Xo : →Y liên tục.

1.3.13 Tôpô tuyến tính Cho A l mà ột v nh, v cho à à F l mà ột tập các iđêan của

A sao cho bất kỳ 2 iđêan I I1, 2∈F thì tồn tại I3∈F1 được chứa trong I1∩I2 Khi

đó chúng ta có thể định nghĩa một tôpô trên A bởi lấy {x I I+ | ∈F như một hệ }

cơ bản của lân cận điểm x với mỗi x A∈ Chúng ta thấy một cách trực tiếp rằng trong tôpô n y và ới phép cộng v phép nhân các ánh xạ liên tà ục Nói cách khác A

l mà ột v nh tôpô.à

Tôpô trên một v nh xây dựng theo cách n y à à được gọi l à tôpô tuyến tính

Cho M l m à ột A - môđun, ta định nghĩa một tôpô tuyến tính trên M theo phương

pháp này bằng cách thay các iđêan bởi các môđun con

(i) θii là ánh xạ đồng nhất trên M , với mọi i I∈ ;

(ii) θki =θ θji kj tức biểu đồ sau giao hoán

θkj

M k M j

θkj θji

M i

với mọi i≤ ≤j k Ta kí hiệu hệ ngợc này là (M i, )θji

1.4.2 Định nghĩa Giới hạn ngợc (hay giới hạn nội xạ) của một hệ ngợc các A- môđun (M i, )θji là một A- môđun M cùng với họ các A- đồng cấu ( )f i i I∈ , trong

đó :f M i →M i sao cho các điều kiện sau đợc thoả mãn:

(i) θji f j = f i, tức biểu đồ sau giao hoán

1.4.3 Định lý Giới hạn của một hệ ngợc các A - môđun ( M i, )θji luôn tồn tại và

duy nhất sai khác một đẳng cấu Ngời ta kí hiệu giới hạn ngợc này là limsuuuM i

1.4.4 Nhận xét Trong trờng hợp tập định hớng là tập các số tự nhiên, thì họ

( )M n n≥0 cùng họ đồng cấu ( :θn M n →M n−1)n≥1 là một hệ ngợc, và viết gọn là (M n, )θn Cũng cần lu ý rằng θji:M j →M i với j i> đợc hiểu là

1.4.5 Ví dụ Giả sử R A X X= [ 1, 2, ,X d] là một vành đa thức d biến trên vành

giao hoán A và I =( X X1, 2, ,X d) là iđêan của R Khi đó hệ ( ) 0

n n

R I

≥ cùng họ toàn cấu tự nhiên ( 1)

là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên A của các biến X X1, 2, ,X d

1.4.6 Định lý Giới hạn ngợc là hàm tử khớp trái trên phạm trù các A - môđun, nghĩa là, nếu

1.5.1 Định nghĩa (i) Vành A đợc gọi là vành địa phơng nếu nó chỉ có duy nhất

một iđêan cực đại M Khi đó vành thơng A M là một trờng và đợc gọi là trờng

thặng d của vành A

(ii) Vành A đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu nó có hữ hạn iđêan cực đại.

1.5.2 Mệnh đề (i) Giả sử M là iđêan cực đại của vành A sao cho với mọi

\

x A∈ M đều khả nghịch Khi đó A là vành địa phơng với iđêan cực đại duy nhất M

(ii) Cho M là iđêan cực đại của vành A Khi đó nếu mọi phần tử của tập hợp

1+M = {1+a a| ∈M đều khả nghịch trong vành A thì A là vành địa phơng }

với iđêan cực đại duy nhất là M

1.7 Môđun hữu hạn sinh

1.7.1 Định nghĩa Cho M là một A - môđun Một tập { }x i i I∈ , x i∈M đợc gọi

là một hệ sinh của M nếu x M∀ ∈ thì i i

i J

x a x

∈

=∑ , J ⊆ I , J < ∞, a i∈A

Đặc biệt, khi I < ∞ thì ta nói M là A - môđun hữu hạn sinh.

Chú ý M là A- môđun, I là một iđêan của A Kí hiệu

n

i i i i i

IM a x a I x M n

=

Khi đó IM là môđun con của M

1.7.2 Bổ đề Nakayama Cho M l một à A - môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của A sao cho I ⊆rad A Khi đó nếu ( ) IM =M thì M =0.

1.8 Môđun Noether

1.8.1 Định nghĩa Cho M là A- môđun Khi đó:

(i) M đợc gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M :

đều dừng, tức là tồn tại số tự nhiên k sao cho M k =M n với mọi k n≥

(ii) Vành A gọi là vành Noether nếu A là A- môđun Noether

Chú ý M là Noether khi và chỉ khi mọi tập khác rỗng các môđun con của M

luôn có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm

1.8.2 Hệ quả Cho dãy khớp ngắn các A - môđun

(ii) ảnh đồng cấu của môđun Noether là môđun Noether.

1.8.4 Hệ quả Cho M M1, 2, ,M là các A-môđun Khi đó n M M1, 2, ,M là n

các A - môđun Noether khi và chỉ khi

1

n i

i M

=

⊕ là A - môđun Noether.

1.8.5 Mệnh đề Cho M là A - môđun với A là vành Noether Khi đó M là

A - môđun Noether khi và chỉ khi M là A - môđun hữu hạn sinh.

1.8.6 Định lý cơ sở của Hilbert Nếu A là vành Noether thì vành đa thức n biến A x[ 1, ,x cũng là vành Noether n]

Định lý sau đây đợc gọi là Định lý I S Cohen

1.8.7 Định lý Cho A là vành giao hoán có đơn vị Khi đó A là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên tố của vành A đều hữu hạn sinh.

1.9 Môđun phẳng

0 1 2

M ⊆M ⊆M

1.9.1 Định nghĩa (i) Cho M là một A- môđun, M đợc gọi là môđun phẳng

nếu hàm tử M ⊗R:A−mod→ −A mod là hàm tử khớp

(ii) Cho :f A→S là đồng cấu vành Khi đó f đợc gọi là đồng cấu phẳng nếu

1.9.4 Định lý Cho A là một vành, M là một A - môđun thì M là một môđun

phẳng trên A khi và chỉ khi mọi iđêan hữu hạn sinh I của A , ánh xạ chính tắc I ⊗A M → ⊗A A M là đơn cấu và I ⊗M ≅IM

1.9.5 Định nghĩa Một A - môđun đuợc gọi là hoàn toàn phẳng nếu M là một

A - môđun phẳng và với mọi A - môđun N mà M ⊗A N =0 thì N =0

1.9.6 Định lý Các phát biểu sau là tơng đơng

(i) M là một A - môđun hoàn toàn phẳng;

(ii) Mọi dãy các A - môđun: 0→N'→ →f N g N''→0 (C);

là khớp khi và chỉ khi C⊗A M là khớp;

(iii) M là một A - môđun phẳng và MM ≠M với mọi iđêan cực đại M của A

Nhận xét Nếu ( , A M là một vành địa phơng và M là một A- môđun hữu hạn sinh )khác không thì điều kiện MM ≠M là hiển nhiên đúng nhờ vào Bổ đề Nakayama Do đó

M là A- môđun phẳng khi và chỉ khi M là A- môđun hoàn toàn phẳng

1.9.7 Hệ quả Cho A và S là hai vành địa phơng, : Aϕ →S là một đồng cấu địa phơng, M là một A - môđun hữu hạn sinh Khi đó M là một A -môđun phẳng khi

và chỉ khi M là một A - môđun hoàn toàn phẳng.

1.9.8 Định lý Cho : f A→B là một đồng cấu vành sao cho B là A - môđun hoàn toàn phẳng:

(i) Với bất kỳ A - môđun M , ánh xạ M →M ⊗A B xác định bởi ma m⊗1 là

đơn cấu, đặc biệt : f A→B là đơn cấu.

(ii) Nếu I là một iđêan của A thì IB∩ =A I

Chơng 2

Bao đầy đủ của vành và môđun

Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất về bao

đầy đủ của vành và môđun Trong suốt chơng này chúng tôi cũng luôn giả thiết vành là giao hoán, có đơn vị, Noether

2.1 Định nghĩa

Cho A là một vành, M là một A- môđun, Λ là một tập định hớng Giả sử

{ }Mλ λ∈Λ là một họ các môđun con của M đợc chỉ số hoá bởi Λ sao cho nếu

λ à< thì Mλ ⊃Mà Ta lấy { }Mλ λ∈Λ nh là một hệ các lân cận của 0 Khi đó

M trở thành một nhóm tôpô đối với phép cộng Trong tôpô này, với x M∈ thì

hệ các lân cận của x là {x M+ λ λ∈Λ} Trong M , phép cộng, phép trừ và phép

nhân với vô hớng xa ax với a A∈ là các ánh xạ liên tục Khi M = A thì mỗi

Mλ là một iđêan nên phép nhân: (a M+ λ)(b M+ λ)⊂ab M+ λ là ánh xạ liên

tục Tôpô này đợc gọi là tôpô tuyến tính trên M và nó là tôpô tách (tức là

Hausdorff) khi và chỉ khi Mλ 0

λ∈ΛI = Mỗi M M

λ ⊂ là một tập mở, mỗi lớp

x M+ λ cũng là một tập mở và phần bù M M\ λ của Mλ là hợp của các lớp nên

λ ϕ các A- môđun Khi đó giới hạn ngợc

lim M Msuuu λ đợc gọi là bao đầy đủ của M và ký hiệu là ˆM Chúng ta xét mỗi

M

Mλ là tôpô rời rạc, tích trực tiếp ∏λ M Mλ với tôpô tích và ˆM là không gian

tôpô con trong M M

λ λ

∏ Cho ψ : M →Mˆ là ánh xạ A- tuyến tính tự nhiên Khi đó ψ là ánh xạ liên tục và ( )ψ M trù mật trong ˆM Với mỗi phép chiếu ˆ

p Mλ M

λ

→ , đặt kerp r =Mλ* Dễ thấy rằng tôpô của ˆM trùng với tôpô

tuyến tính xác định bởi họ { }Mλ λ∈Λ* Vì pλ là toàn ánh nên Mˆ * M

à ∈Λ sao cho Mà ⊆M 't Khi đó dễ thấy có một đẳng cấu các môđun tôpô

λ ⊂ không phải là một A-

môđun con nhng lại là một iđêan của ˆA.

2.2 Bao đầy đủ I- adic

Trong số những tôpô tuyến tính thì những tôpô đợc xác định bởi các iđêan là

đặc biệt quan trọng

Cho A là một vành, I là một iđêan của A Ta xét A nh một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan ,I t t =0,1,2, Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tuỳ ý r A∈ gồm các lớp ghép r I+ t với t =0,1,2 Khi đó

vành đầy đủ của A theo tôpô này đợc gọi là bao đầy đủ I - adic của A ký hiệu bởi ˆA Theo Nhận xét 1.4.4, trong trờng hợp này ˆA có thể đợc định nghĩa bằng

cách thông thờng theo ngôn ngữ của dãy Cauchy nh sau: Một dãy Cauchy trong

A là một dãy ( )r các phần tử của A sao cho với mọi n t >0, tồn tại số tự nhiên 0

Hai dãy Cauchy ( )r và n ( )s đợc gọi là tơng đơng, ký hiệu n ( )r : n ( )s nếu dãy n

(r n −s n) hội tụ về dãy không Khi đó quan hệ : trên tập các dãy Cauchy là

quan hệ tơng đơng Ta ký hiệu ˆA là tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy.

Chú ý rằng nếu ( )r và n ( )s là các dãy Cauchy thì các dãy ( n r n −s n), (r s cũng n n)

là các dãy Cauchy và lớp tơng đơng của các dãy (r n −s n), (r s là không phụ n n)thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy ( )r n

và ( )s , tức là nếu ( ) ( ') n r n : r n và ( ) ( ')s n : s n thì (r n +s n) ( ': r n +s n') và (r s n n) ( ' '): r s n n Vì thế ˆA đợc trang bị hai phép toán 2 ngôi + và ; cùng với

hai phép toán này, ˆA lập thành một vành Mỗi phần tử r A∈ có thể đồng nhất

với lớp tơng đơng của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì

thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

Cho I là một iđêan của A và M là một A - môđun, tôpô trên M xác định

bởi { } 1,2

n

n

I M

= đợc gọi là tôpô I - adic Với tôpô này ˆ M đợc gọi là bao đầy đủ

I - adic của M Dễ thấy rằng ˆM là một ˆA - môđun: với mỗi α =(a a1, , 2 )∈Aˆvới / n

x x− ∈I M với mọi i Một dãy ( )x đợc gọi là dãy Cauchy trong n M khi và

chỉ khi với mọi số nguyên dơng r tồn tại số tự nhiên n sao cho 0