Về tính chất i cofinite của một số môđun đối đồng điều

12 2 Tính I-cofinite của một số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 16 2.1 Sơ lược về các môđun I-cofinite và minimax... Việc nghiên cứu tínhI-cofinitecủa một số môđun đặc biệt như m

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

LƯƠNG THANH HUẾ

VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ

MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi xin cam đoan mọi sựgiúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành vào tháng 05/2018 dưới sự hướng dẫnkhoa học của PGS TS NGUYỄN VĂN HOÀNG- Giảng viên TrườngĐại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi phương pháp nghiêncứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiềuthời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy ở Viện Toán học và tất cả cácthầy cô ở Đại học Thái Nguyên với những bài giảng đầy nhiệt thành vàtâm huyết Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm-Đạihọc Thái Nguyên, Khoa Sau đại học và các thầy cô trong Tổ đại sốtrường ĐH Sư phạm Thái Nguyên đã luôn quan tâm, tạo mọi điều kiệnthuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập

Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo, anh, chị, bạn bè đồng nghiệp tại Trungtâm GDNN-GDTX Lạng Giang nơi tôi làm việc đã tạo mọi điều kiện,động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học và làm luận văn

Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạođiều kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019

Tác giả

Lương Thanh Huế

Mục lục

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun 4

1.2 Môđun Ext 6

1.3 Đối đồng điều địa phương 7

1.4 Đối đồng điều địa phương suy rộng 10

1.5 Sơ lược về dãy chính quy và phức Koszul 12

2 Tính I-cofinite của một số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 16 2.1 Sơ lược về các môđun I-cofinite và minimax 16

2.2 Một số bổ đề hỗ trợ 17

2.3 Chứng minh Định lý 0.0.1 19

2.4 Chứng minh Định lý 0.0.2 22

2.5 Chứng minh Định lý 0.0.3 33

MỞ ĐẦU

Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và M, N làhai R-môđun hữu hạn sinh Một R-môđun K được gọi là môđun I-cofinite nếu Supp (K) ⊆ V (I) và ExtjR(R/I, K) là hữu hạn sinh vớimọi j ≥ 0 Bài toán nghiên cứu tínhI-cofinite cho các môđun xuất hiệntrong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giớinhư A Grothendieck, R Hartshorne (những năm 1967), L Melkersson,

K Kawasaki, K Bahmanpour, Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Văn Hoàng,

Lê Thanh Nhàn, (những năm sau này) Việc nghiên cứu tínhI-cofinitecủa một số môđun đặc biệt như môđun Artin, môđun đối đồng điều địaphương HIj(N ), môđun ExtjI(M, K) đã mang lại những thông tin quantrọng về cấu trúc vành và môđun

Năm 1970, trong luận án tiến sĩ khoa học của mình, J Herzog đãđịnh nghĩa và nghiên cứu lớp môđun đối đồng điều địa phương suyrộng HIj(M, N ) ∼= lim−→nExtjR(M/InM, N ) Lớp môđun này bao hàmlớp môđun đối đồng điều địa phương và lớp môđun mở rộng nhưng nóvẫn có những tính chất khác biệt Do vây, như một điều tự nhiên đãthúc đẩy ta tìm hiểu về tính I-cofinite cho lớp môđun này Trong luậnvăn này, ta tập trung tìm hiểu câu hỏi: Với những điều kiện nào thìmôđun HIj(M, N ) là I-cofinite? Từ đó, ta thu được các tiêu chuẩn vềtính I-cofinite của một lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

và lớp môđun đối đồng điều địa phương (như những hệ quả)

Định lý 0.0.1 ([5, Định lý 1.1]) Nếu I là iđêan chính thì HIj(M, N )

là I-cofinite với mọi R-môđun hữu hạn sinh M, N và mọi j ≥ 0

Kết quả này là sự mở rộng của [14, Định lý 2.8] vì ta không cần giả

thiếtM có chiều hữu hạn Hơn nữa, những lý luận của đối đồng điều địaphương được sử dụng trong chứng minh của K I Kawasaki [19, Định

lý 1] là không thể áp dụng để chứng minh định lý này vì HIj(M, N ) làkhông triệt tiêu với mọi j > 1 Do vậy, ta cần dùng một tiêu chuẩn vềtính cofinite đã được đưa ra bởi L Melkersson trong [13] Định lý sauđây là kết quả chính thứ hai của luận văn:

Định lý 0.0.2 ([5, Định lý 1.2]) Cho t là số nguyên không âm saocho dim Supp (HIj(M, N )) ≤ 1 với mọi j < t Khi đó HIj(M, N ) là

I-cofinite với mọi j < t và Hom (R/I, HIt(M, N )) là hữu hạn sinh

Trong [2, Định lý 2.6], K Bahmanpour và R Naghipour đã sử dụngtính chất cơ bản của đối đồng điều địa phương làHIj(N ) ∼= HIj(N/ΓI(N ))

với mọi j > 0 Từ đó chỉ ra ΓI(N ) = 0 Tuy nhiên điều này là khôngđúng khi HIj(M, N ) ∼= HIj(M, N/ΓIM(N )) với mọi j > 0, trong đó

IM = annR(M/IM ) Do đó ta cần tới Bổ đề 2.2.3 chỉ ra rằng cho t,k làcác số nguyên không âm, nếu dim Supp (HIj(M, N )) ≤ k, với mọi j < t

thì dim Supp HIj(M, N/ΓIM(N )) ≤ k Hơn nữa, ta cũng cần tới các Bổ

đề 2.2.2 và 2.2.4 về môđun minimax Đặc biệt, Bổ đề 2.4.4 giúp ta thay

vì nghiên cứu tính cofinite đối với iđêan I của HIj(M, N ) thì ta chỉ cầnxét tính cofinite đối với iđêan IM Xét trường hợp số chiều nhỏ, trong[17, Bổ đề 3.1] đã chứng minh rằng nếu dim(N ) ≤ 2 thì thương bất kìcủa HIj(M, N ) đều chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi

j ≥ 0 Ta có một kết quả mạnh hơn sau đây

Định lý 0.0.3 ([5, Định lý 1.3]) Giả sửdim(M ) ≤ 2 hoặcdim(N ) ≤ 2.Khi đó HIj(M, N ) là I-cofinite với mọi j

Từ Định lý này, ta có một hệ quả trực tiếp về tính cofinite của một sốmôđun đối đồng điều địa phương (xem Bổ đề 2.5) Kết hợp Định lý 0.0.2

và 0.0.3, ta có được kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tốliên kết của ExtiR(R/I, HIj(M, N )) với mọi i, j ≥ 0 khi (R,m) là vànhđịa phương Noether và dim(N ) ≤ 3 hoặc dim(M ) ≤ 3.

Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại các chứng minhcủa các Định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3 đã nêu ở trên Các chứng minh nàydựa trên bài báo chính là [5] của N T Cuong, S Goto and N V Hoangnăm 2015, On the cofiniteness of generalized local cohomology modules,Kyoto Journal of Mathematics 55(1), 169–185

Luận văn gồm hai chương Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn

bị về tậpAss, tậpSupp, môđunExt, đối đồng điều địa phương, đối đồngđiều địa phương suy rộng, dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul, đồng điều

và đối đồng điều Koszul Chương 2 trình bày kết quả chính của luậnvăn về chứng minh chi tiết cho các Định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3 Sau mỗiđịnh lý ta trình bày các hệ quả quan trọng thu được

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I làiđêan của R và M, N là các R-môđun

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun

Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố pcủa R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần

tử 0 6= x ∈ M sao cho (0 : x)R = AnnR(x) = p Tập tất cả các iđêannguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M ) hoặc Ass (M )

Định nghĩa 1.1.2 (Giá của môđun) Kí hiệu

Supp (M ) = {p ∈ Spec (R)|Mp 6= 0},

ta gọi là tập giá của môđun M Đặt V (I) = {p ∈ Spec (R)|I ⊆ p} Khi

đó Supp (R/I) = V (I) Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp (M ) = V (Ann (M ))

Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết vàgiá của môđun

Mệnh đề 1.1.3 (i) Nếu p là phần tử tối đại của tập

{Ann (x)|0 6= x ∈ M }

thì p ∈ Ass (M ) Do đó Ass (M ) 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0

(ii) Cho p ∈ Spec (R) Khi đó p ∈ Ass (M ) nếu và chỉ nếu M có mộtmôđun con đẳng cấu với R/p

(iii) Tập các ước của không của M, kí hiệu

p∈Ass (M )

p

(ii) Ass (M ) ⊆ Supp (M ) Hơn nữa, mỗi phần tử tối tiểu của tập

Supp (M ) đều thuộc tập Ass (M )

(iii) AssRp (Mp) = {qRp|q ∈ Ass (M ),q ⊆ p}

Mệnh đề 1.1.5 Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp các

R-môđun Khi đó

(i) Ass (M0) ⊂ Ass (M ) ⊂ Ass (M0) ∪ Ass (M00)

(ii) Supp (M ) = Supp (M0) ∪ Supp (M00)

1.2 Môđun Ext

Định nghĩa 1.2.1 (Môđun mở rộng Ext) Cho n là số tự nhiên và

M, N là R-môđun Hàm dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến

HomR(M, −) được gọi là hàm tử mở rộng thứ n, kí hiệu ExtnR(M, −).Khi đó ExtnR(M, N ) được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N

Cụ thể hơn, môđun mở rộngExtnR(M, N ) được xác định bằng cách nhưsau: Lấy 0 → N −→ Eα 0 u0

−→ HomR(M, E1) u

∗ 1

−→ HomR(M, E2) u

∗ 2

−→ · · ·

Khi đó, với n ≥ 1, ta đặt ExtnR(M, N ) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 Đặc biệt, do

HomR(M, −) là khớp trái nên

Ext0R(M, N ) = Ker u∗0/0 ∼= HomR(M, N )

Nhận xét 1.2.2 (i) Xây dựng môđun Ext không phụ thuộc vào việcchọn giải nội xạ của N

(ii) Môđun ExtnR(M, N ) có thể được xây dựng theo hai cách: nó vừa làmôđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR(M, −) ứngvới môđun N, vừa là môđun dẫn xuất phải thứ ncủa hàm tử phản biến

HomR(−, N ) ứng với môđun M

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext

Hệ quả 1.2.3 Cho P là môđun xạ ảnh và E là môđun nội xạ Khi đó

ExtnR(M, E) = 0 và ExtnR(P, M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi số

tự nhiên n ≥ 1

Mệnh đề 1.2.4 (i) NếuM, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ExtnR(M, N )

cũng là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.

(ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N0 → N → N00 → 0 Khi đó với mỗi

n ≥ 0, tồn tại các đồng cấu nối ExtnR(M, N00) → Extn+1R (M, N0) saocho ta có dãy khớp dài cảm sinh

0 → Hom(M, N0) → Hom(M, N ) → Hom(M, N00) → Ext1R(M, N0)

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M, N00) → Ext2R(M, N0) → · · ·

(iii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N0 → N → N00 → 0 Khi đó với mỗi

n ≥ 0, tồn tại các đồng cấu nối ExtnR(N0, M ) → Extn+1R (N00, M ) saocho ta có dãy khớp dài cảm sinh

0 → Hom(N00, M ) → Hom(N, M ) → Hom(N0, M ) → Ext1R(N00, M )

→ Ext1R(N, M ) → Ext1R(N0, M ) → Ext2R(N00, M ) → · · ·

1.3 Đối đồng điều địa phương

Đối đồng điều địa phương đã được giới thiệu bởi A Grothendieck vàonhững năm đầu thập kỉ 60 của thế kỉ trước Mục này nhằm nhắc lạiđịnh nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địaphương Kiến thức sau đây được trích theo tài liệu số [2] Trước tiên, tagiới thiệu khái niệm hàm tử và môđun I-xoắn

Định nghĩa 1.3.1 (Môđun I-xoắn) Cho I là iđêan của R, hàm tử Ixoắn kí hiệu là ΓI(−), được xác định bởi ΓI(N ) = [

Hơn nữa, ΓI(N ) gọi là môđun con I-xoắn của N Một R-môđun N

được gọi là môđun I-xoắn nếu ΓI(N ) = N, và N được gọi là môđunkhông I-xoắn nếu ΓI(N ) = 0

Sau đây, ta sẽ trình bày một số tính chất của ΓI(−) được dùng trongchương 2

được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với I

Cho N là R-môđun Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của N

đối với I kí hiệu làHIi(N )được xác định bằng cách: Lấy một giải nội xạcủa N là 0 → N −→ Eα 0 u0

−→ ΓI(E1) u

∗ 1

−→ ΓI(E2) u

∗ 2

−→ · · ·

Khi đó, với mỗi i ≥ 1, đặt HIi(N ) = Ker u∗n/ Im u∗n−1

Đặc biệt, do ΓI(−) là khớp trái nên HI0(N ) = Ker u∗0/0 ∼= ΓI(N )

Sau đây, là một số tính chất cơ bản về môđun đối đồng điều địaphương

Hệ quả 1.3.4 (i) Cho E là môđun nội xạ Khi đó HIi(E) = 0

(ii) Cho 0 → N0 → N → N00 → 0 là dãy khớp ngắn Khi đó với mọi

i ≥ 0 luôn tồn tại đồng cấu nối HIi(N00) → HIi+1(N0) sao cho dãy sau

Định lý 1.3.7 (Tính độc lập với vành cơ sở) Cho R0 là R-đại số và

N0 là R0-môđun Khi đó, với mọi i ≥ 0 ta có các đẳng cấu HIRi 0(N0) ∼=

HIi(N0) khi xem như các R-môđun

Khi R0 là R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [3, Định lý 4.3.2 ]).Định lý 1.3.8 (Định lý đổi cơ sở phẳng) Cho R0 là R-đại số phẳng và

N là R-môđun Khi đó ta có đẳng cấu HIi(N ) ⊗R R0 ∼= Hi

IR 0(N ⊗R R0)

giữa những R0-môđun với mọi i ≥ 0

Hai định lý sau đây được chứng minh bởi A Grothendieck là mộttrong những kết quả sớm nhất và có nhiều ứng dụng quan trọng trong

lý thuyết đối đồng điều địa phương (xem [3, Định lý 6.1.2 và Định lý6.1.4])

Định lý 1.3.9 (Định lý triệt tiêu Grothendieck) HIi(N ) = 0 với mọi

i > dim N và mọi iđêan I

Định lý 1.3.10 (Định lý không triệt tiêu Grothendieck) Cho (R,m)

là vành giao hoán địa phương Noether và N là R-môđun hữu hạn sinhkhác không có chiều n Khi đó, Hmn(N ) 6= 0

Định lý sau đây cho ta biết rằng một môđun đối đồng điều địa phươngvới giá cực đại hoặc có cấp cao nhất sẽ là môđun Artin

Định lý 1.3.11 Cho (R,m) là vành địa phương và M là R-môđun hữuhạn sinh Khi đó

(i) Hmi (N ) là R-môđun Artin với mọi i ≥ 0

(ii) Nếu dim M = d thì HId(N ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I

1.4 Đối đồng điều địa phương suy rộng

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nghiên cứu đầu tiênbởi J Herzog vào năm 1970 Nó trở thành một công cụ cần thiết trongnhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học đại số thế giới.Dưới đây là định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương suyrộng của J Herzog

Định nghĩa 1.4.1 Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và I làiđêan của R Với mỗi số nguyên j không âm, môđun đối đồng điều địaphương suy rộng thứ j củaM vàN ứng với iđêanI, kí hiệu làHIj(M, N )

được xác định bởi

HIj(M, N ) ∼= lim−→

n

ExtjR(M/InM, N )

Nhận xét 1.4.2 Định nghĩa trên là một mở rộng của khái niệm môđunđối đồng điều địa phương, vì nếu cho M = R thì ta được

có chiều xạ ảnh hữu hạn thìHmj(M, N ) = 0 với mọi j > pd M + dim N.Sau đó, M H Bijan-Zadeh đã mở rộng kết quả trên với iđêan I bất kì(xem [1, Bổ đề 5.1] Cùng với những giả thiết này, S Yassemi đã đưa rakết quả sau

Định lý 1.4.5 Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh Nếu pd M <

∞ thì HIj(M, N ) = 0 với mọi j > pd M + dim(M ⊗R N )

Các nhà nghiên cứu đại số đã không ngừng mở rộng tính triệt tiêunày Năm 2003, J Herzog và N Zamani đã đưa ra kết quả mới trongbài báo của mình như sau (xem [16, Định lý 3.2])

Định lý 1.4.6 Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh Nếu pd M <

∞ thì Hmj(M, N ) = 0 với mọi j > dim R

Gần đây nhất, vào năm 2008, N V Hoàng đã mở rộng định lý trên

từ iđêan cực đại m tới trường hợp iđêan I bất kì như sau:

Định lý 1.4.7 Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh Nếu pd M <

∞ thì HIj(M, N ) = 0 với mọi j > dim R

1.5 Sơ lược về dãy chính quy và phức Koszul

Phần này được tham khảo trong tài liệu [3], [23] và [4]

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa phần tử M-chính quy và M-dãychính quy

Định nghĩa 1.5.1 Một phần tử x ∈ R được gọi là M-chính quy nếu

xm 6= 0 với mọi 0 6= m ∈ M Một dãy các phần tử (x1, , xn) của R

được gọi là một M-dãy chính quy (hay M-dãy) nếu các điều kiện sauđược thỏa mãn:

(i) xj là phần tử M/(x1, , xj−1)M-chính quy với mọi j = 1, , n.(ii) M/(x1, , xn)M 6= 0

Một M-dãy (x1, , xn) các phần tử trong I được gọi là M-dãy cựcđại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho (x1, , xn, y)

là M-dãy

Định lý sau đây cho ta độ dài của một M-dãy chính quy cực đạitrong iđêan I.

Định lý 1.5.2 Cho N là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R

sao cho IM 6= M Khi đó, mọi M-dãy chính quy cực đại trong I cócùng độ dài là n được xác định bởi

n = inf{i| ExtiR(R/I, N ) 6= 0}

Từ định lý trên ta có định nghĩa độ sâu của M trong I như sau

Định nghĩa 1.5.3 Độ dài của chung của các M-dãy chính quy cực đạitrong I được gọi là độ sâu của M trong I và kí hiệu là depth (I, M ).Nếu IM = M thì ta quy ước depth (I, M ) = ∞

Phần còn lại của mục này nhằm trình bày lại một số kiến thức vềphức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul

Định nghĩa 1.5.4 (i) Một phức C• là một dãy các R-môđun và cácđồng cấu R-môđun

C• : · · · −−→ Cdi+2 i+1 −−→ Cdi+1 i di

−→ Ci−1 −−→ · · ·di−1

sao cho didi+1 = 0 với mọi i

(ii) Một đối phứcC• là một dãy cácR-môđun và các đồng cấu R-môđun

C• : · · · −−→ Cdi−2 i−1 d−−→ Ci−1 i d−→ Ci i+1 d−−→ · · ·i+1

sao cho didi−1 = 0 với mọi i

Ta gọi các đồng cấu di và di tướng ứng là các vi phân của phức C•

và đối phức C•

Với mỗi i, ta đặt Zi = Ker(di) và Zi = Ker(di) Đặt Bi = Im(di+1)

và Bi = Im(di−1) Khi đó, môđun Hi(C) = Zi/Bi gọi là môđun đồngđiều thứ i của phức C• và môđun Hi(C) = Zi/Bi gọi là môđun đốiđồng điều thứ i của đối phức C•

Định nghĩa 1.5.5 (Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul)(i) Cho phần tử x ∈ R Khi đó phức

· · · → 0 → 0 → R −→ R → 0x

gọi là phức Koszul sinh bởi x trên R và được kí hiệu là K(x; R)

(ii) Cho dãy x = x1, , xn các phần tử của R Ta định nghĩa phứcKoszul sinh bởi x = x1, , xn trên R, kí hiệu là K•(x1, , xn; R)

(hoặc K•(x; R)) như sau

kí hiệu làHi(x1, , xn; M )(hoặcHi(x; M )) là môđun đồng điều Koszulthứ i của M ứng với dãy x.

(iv) Cho M là R-môđun và dãy x = x1, , xn các phần tử của R Vớimỗi i = 0, , n, ta gọi môđun đối đồng điều của đối phức

Hom(K•(x; R), M ) : · · · → Hom(Ki−1(x; R),M ) → Hom(Ki(x; R), M ) · · ·

kí hiệu là Hi(x1, , xn; M ) (hoặc Hi(x; M )) là môđun đối đồng điềuKoszul thứ i của M đối với dãy x

Ta có mối quan hệ giữa đồng điều và đối đồng điều Koszul như sau.Mệnh đề 1.5.6 Cho dãy x = x1, , xn và M là R-môđun Khi đó ta

có các đẳng cấu

(i) Hi(x; M ) ∼= Hn−i(x; M )

(ii) Hn(x; M ) ∼= (0 :M x)

Chương 2

Tính I-cofinite của một số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

Mục tiêu của chương này là nhằm tìm hiểu về tính I-cofinite của một

số lớp môđun, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

HIj(M, N ) = lim

−→nExtjR(M/InM, N )

Cụ thể, ta sẽ trình bày chứng minh chi tiết định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3,các bổ đề cần thiết cho chứng minh và các hệ quả được suy ra từ mỗiđịnh lý đó Trong chương này, ta luôn giải thiết R là một vành giaohoán Noether, I là một iđêan của R và M, N là hai R- môđun hữuhạn sinh Kí hiệu IM là linh hóa tử của R - môđun M/IM, nghĩa là

IM = AnnR(M/IM ) Chương này viết dựa trên bài báo [5]

2.1 Sơ lược về các môđun I-cofinite và minimax

Năm 1970, R Hartshorne đã định nghĩa về môđun I-cofinite như sau

Định nghĩa 2.1.1 (R Hartshorne) MộtR-môđunK được gọi là môđun

I-cofinite nếu Supp (K) ⊆ V (I) và ExtjR(R/I, K) là hữu hạn sinh với

mọi j ≥ 0.

Ví dụ 2.1.2 Các môđun hữu hạn sinh và các môđun có I ⊆ Ann(M )

lá các môđun I-cofinite

Trong [24], H Zo¨schinger đã giới thiệu lớp các môđun minimax

Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun K được gọi là minimax nếu có mộtmôđun con hữu hạn sinh T của K sao cho K/T là môđun Artin

Từ định nghĩa ta thấy lớp các môđun minimax bao gồm tất cả cácmôđun hữu hạn sinh và các môđun Artin

Bổ đề 2.1.4 ([2, Định lý 2.3]) Cho t là số nguyên không âm sao cho

HIj(M, N ) là minimax với mọi j < t Khi đó HomR(R/I, HIt(M, N ) làhữu hạn sinh

(ii) HIj(M, N ) là IM-xoắn với mọi j ≥ 0

Bổ đề 2.2.2 Cho t là số nguyên không âm sao cho HIj(M, N ) là imax với mọi j < t Khi đó HIj(M, N ) là I-cofinite với mọi j < t

min-Chứng minh Ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng quy nạp theo j ≥ 0.Nếu j = 0 thì rõ ràng rằng HI0(M, N ) là I-cofinite Giả sử j > 0 và giả

thiết khẳng định trên là đúng với mọi giá trị nhỏ hơnj Khi đó theo bài

và giải thiết quy nạp ta có HI0(M, N ), , HIj−1(M, N ) là các R-môđun

I-cofinite minimax Áp dụng kết quả của Bổ đề 2.1.4 ở trên ta được

Hom (R/I, HIj(M, N )) là hữu hạn sinh Do đó HIj(M, N ) là I-cofinitetheo [13, Tính chất 4.3] Như vậy, bổ đề đã được chứng minh

Bổ đề 2.2.3 Cho các số nguyênt, k ≥ 0 Nếu dim Supp (HIj(M, N )) ≤

k, với mọi j < t thì dim Supp HIj(M, N/ΓIM(N )) ≤ k

với mọi j, trong đó, N = N/ΓIM(N ) Giả sử tồn tại số nguyên i <

t và iđêan p ∈ SuppHIi(M, N ) sao cho dim(R/p) > k và p ∈/SuppHIj(M, N ) với mọi j < i Khi đó từ dãy khớp dài ở trên tathu được dãy khớp sau

· · · → ExtjR M, ΓIM(N )
p → HIj(M, N )p → HIj(M, N )p

→ Extj+1R M, ΓIM(N )
p → · · ·

Hơn nữa ta chú ý rằng HIj(M, N )p = 0 với mọi j ≤ i, trong khi

HIj(M, N )p = 0 với mọi j < i và HIi(M, N )p 6= 0 Do đó, kết hợpđiều này với dãy khớp trên ta có ExtjR M, ΓIM(N )
p = 0 với mọi j ≤ i