Về không gian vectơ symplectic

Chơng I Để thuận lợi cho việc trình bày các sự kiện ở chơng II, trong chơng này chúng tôi trình bày định nghĩa về dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, không gian đối ngẫu, không gian c

Chơng I

Để thuận lợi cho việc trình bày các sự kiện ở chơng II, trong chơng này chúng tôi trình bày định nghĩa về dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, không gian đối ngẫu, không gian con trực giao và một số tính chất cơ bản của chúng.

Đ1 Dạng tuyến tính trên không gian vectơ

Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng Vn là không gian vectơ thực n chiều với cơ sở {e1,  ,e n}

; V y x, f(y);

f(x) y)

x f(λ + β = λ + β ∀ ∈ n ∀ λ β ∈ .

x ( x ) n x i

1 i i

=α

1

i i n

i

i x y y)

x (α β α α β

=

i n

i i i

n i

βααα

i n

i i i

αβα

- n →

x  −f(x);∀x∈V n.

b) Để chứng minh dimV* =n, ta cần chỉ ra một cơ sở gồm n phần tử trong V*.

Từ nhận xét 2) của (1.2), ta lấy các bộ m i = ( 0 , 1 , 0 ) trong đó số 1 ở vị trí thứ i và ϕi là các ánh xạ tuyến tính tơng ứng với bộ m i, i =1, n.

iϕλ

n i i

i x = x ∀x∈V

∑

=

;)(0)(

1

ϕλ

n i i

i x = ∀x∈V

∑

=

;0)(

⇔ n j n

i i ij

,1

;0

1

)(

)(

∑

=

= n

i i

i x a

1

) (

) ( ϕϕ

j e x

1

) (

ϕ

n x i n

j ij

Thay (2) vào (1) ta nhận đợc:

(

1

x a

f x g

Từ nhận xét 2) của (1.2) ta thấy rằng luôn có cơ sở {f1,  , f n} trong *

n

V là cơ sở

đối ngẫu với {b1,  ,b n} , (nghĩa là f j(b i) = δij).

Để chứng minh a), ta cần chứng minh {f k+1,  , f n} là cơ sở củaW⊥.Trớc hết ta chứng minh f j ∈W⊥ ; ∀j =k+ 1 ,n.

Thật vậy, với j∈{k+ 1 ,  ,n}; ∀x∈W,x(x1,  ,x k, 0 ,  , 0 ), ta có:

j x f x b f

1

)(

∑

=

1 i

i j

i f ( b ) x

j b x x

i b x f x

f

) (

) ( )

( )

( )

j

j f b x

1

) ( (1)

k j

j j j

j

j f x b

f x

f

1

) ( ).

( )

n k j

j

j f x x V b

j

j f b f f

f = +1là cơ sở của W⊥ Do đó dimW⊥ =n−k.

Nh vậy dimW+ dimW⊥ =k+n−k=n.

Để tiếp tục chứng minh b), ta chú ý rằng: với mỗi x∈V n, ta xét ánh xạ

x : V * R

n →

f  x(f) = f(x).

Dễ thấy rằng x là ánh xạ tuyến tính.

Hơn nữa, với x∈W ,ta có f(x) = 0 ; ∀f ∈W⊥.

(

Chứng minh Đặt f(e i) =a i, khi đó ta lấy x(a1,  ,a n) Rõ ràng x thoả mãn

yêu cầu của mệnh đề (1.7) Thật vậy: 

i e y f y f

1

)(

1

)(

∑

=

i i

i a y

1.

1.8 Ví dụ Giả sử V4 là một không gian vectơ với cơ sở {e1 ,e2 ,e3 ,e4} ,và

{ϕ1 ,ϕ2 ,ϕ3 ,ϕ4} là cơ sở đối ngẫu của cơ sở trên trong *

4

V Giả sử W là không gian con của V nđợc sinh bởi hai vectơ độc lập tuyến tính

(1 , 2 , 0 , 0)

1

b và b2(0 , 1 , 2 , 1) Bây giờ, ta tìm cơ sở của W⊥.

Theo giả thiết, ta có W =b1 ,b2 nên phơng trình của W là:

−

0 2

0 2

43

42

1

x x

x x

x

Ta thấy rằng, nếu lấy α =2ϕ1− ϕ2 + ϕ4 và β = ϕ3 −2ϕ4 thì khi đó W⊥có cơ sở là

{α , β}, hay W⊥ = α , β .

Đ2 dạng song tuyến tính trên không gian vectơ

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất của dạng song tuyến tính, song tuyến tính phản xứng Các sự kiện trong mục này sẽ đợc sử dụng

nh là phần chuẩn bị cho chơng sau

Cũng trong mục này, ta luôn giả thiết rằng V nlà không gian vectơ thực n chiều với cơ sở {e1,  ,e n}

y' ' y , x ' x

i y x

y x ) y , x (

ϕ

Giả sử x' (x'i ), y(y'i ), khi đó ta có:

) y' y

x x )

y' y x

','

'

1

ààλλà

àλ

λ

=

i

i i n

i

i i n

i

i i n

1 1

'''

x' y'

x y

x

1 1

1 1

'''

λàλà

'

' '

' (x, y' ) (x' , y) (x' , y' ) y)

n

a a

a a

.Khi đó ánh xạ ϕ: V nìV n →R

n

* A.[y]; x, y V [x]

1

*

y

y [y]

];

x , , [x

y A x

x x

n n

n 1

y' y

y' y

a a

a a

x x

x x

'

'

].

' ' ,

, ' ' [

1

1

1

1 11

1

à à

à

à λ

λ λ

+ + +

+ + + +

=

1

1 nn

n n

n 1

n n n

1

y' y

y' y

a x x a

x x a

x x a

x

x

'

'

) ' ' (

) ' ' (

, , ) ' ' (

) '

'

(

1

1 1

1 1

11 1

à à

à à λ

λ λ

λ λ

λ λ

) ' ' ](

) ' ' (

) '

'

[(

) ' ' ](

) ' ' (

) '

'

[(

1 1

1 1

1 11

1

n n

nn n n

n 1

n n n

1

y y

a x x

a x

x

y y

a x x a

x

x

à à λ

λ λ

λ

à à λ

λ λ

λ

+ +

+ + +

+

+ + +

+ + + +

=







n nn n nn

n n

n

1

n nn n nn

n n

n

1

n n n

n 1

n n n

n 1

y a x a

x a

x a

x

y a x a

x a

x a

x

y a x a

x a

x a

x

y a x a

x a

x a

x

' ' ) ' ' '

' (

) ' ' '

' (

' ' ) ' ' '

'

(

) ' ' '

' (

1 1 1

1 1 1

1 1 1

11 1 11

1 1 1

11 1 11

à λ

λ λ

λ

à λ

λ λ

λ

à λ

λ λ

λ

à λ

λ λ

λ

+ +

+ +

+

+ +

+ + +

+

+ +

+ + +

+

+ +

+ + +

n

n

n n

n

y

y A x x

y

y A x x

y

y A x x y

y A x x

'

' ].

' , , ' [ ' '

].

' , ,

, , [ '

1 1

λ

λàλà

] ' [

] ' [ ' ' ] [

] ' [ ' ] ' [

] [ ' ] [

.

]

y A x y

A x y

A x y

' ) , ' ( ' ) ' , ( '.

Vậy ϕ là dạng song tuyến tính.

Bây giờ, ta xét dạng song tuyến tính ϕ: V nìV n →R

Ta đặt: a ij = ϕ (e i,e j); ∀i, j = 1 ,n và A= [a ij] Ma trận A đợc gọi là ma trận của ϕ

đối với cơ sở {e1,  ,e n} Với ∀x(x i),y(y i) ∈V n ta luôn có sự biểu diễn

] [

] [ ) ,

Biểu thức trên đợc gọi là biểu thức toạ độ của ϕ đối với cơ sở {e1,  ,e n}

Ta ký hiệu: L2 ( V n = {) ϕϕ là dạng song tuyến tính: Vnì Vn → R } và trang bị cho L2 (V n)

hai phép toán sau:

1/ Với f , g∈L2 (V n) thì f +g:V nìV n →R

(x, y)  f(x, y)+g(x, y);∀x, y∈V n.2/ Với f ∈L2(V n)và λ ∈R thì λf :V nìV n →R

∈ +g

f L2(V n) vµ λ f ∈ L2(V n), ∀ f, g ∈L2(V n),∀λ∈R)

ThËt vËy:

• f + g )( λ x + λ ' x ' , µ y + µ ' y ' ) = ( λ x + λ ' x ' , µ y + µ ' y ) + g ( λ x + λ ' x ' , µ y + µ ' y )

+ µ

λ + µ

λ + λµ

+ λµ

+

+ µ

λ + µ

λ + λµ

+ λµ

=

) ' y , ' x ( g ' ' ) y , ' x ( g ' ) ' y , x ( g ' ) y ,

x

(

g

) ' y , ' x ( f ' ' ) y , ' x ( f ' ) ' y , x ( f ' ) y ,

x

(

)]

' y , ' x ( g ) ' y , ' x ( f ' ' )]

y , ' x ( g ) y , ' x

y , x ( g ) y , x

(

f

+ µ

λ + +

µ

λ

+

+ +

λµ + +

λµ

=

) ' y , ' x )(

g f ' ' ) y , ' x )(

g f ' ) ' y , x )(

g f ' ) y , x )(

f + γµ λ + γ µλ + γ µ λ γµλ

=

) ' , ' )( ( ' ' ) , ' )(

( ' ) ' , )(

( ' ) , )(

1

,

0

ϕλ

( e , e ) 0 ( e , e ; l , k 1 , n

n

1 j

i

k l k

l ij

=

ϕλ

n ( e , e ) 0 ; l , k 1 , n

1 j

k l ij

=

ϕλ ⇒ λlk =0 ;∀l , k =1 , n

Vậy { }n

1 j i

ij =

Ta tiếp tục chứng minh { }n

j i

j j n

j i

i

i e y e x

y x

1 , 1 ,

, )

j i j

i y e e x

1 ,

) ( ϕ

n j i

ij j

1 ,

.Mặt khác, theo bổ đề (2.5) ta có ϕij(x,y) =x i y j; ∀x,y∈V n.

n ij

ij x y V a

y x

1 ,

,

; )

ij ij

a

1 ,

ϕ

Vậy { }n

j i

ij , =1

ϕ là cơ sở của L2 (V n) Do vậy dimL2 (V n) =n2

2.6 Định nghĩa Dạng song tuyến tính ϕ : Vnì Vn → R đợc gọi là phản xứng nếu

n

V y x x y y

x]

[ y) x, (

R R R :

*

4 4

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

Khi đó ϕ là dạng song tuyến tính, phản xứng

4 3 2 1 4

3 2

1 , , , ), ( , , , ) (x x x x y y y y y R

4 3 2

0010

0001

1000

0100]

[

y y y

y x

x x x

y y y

y ].

x x x x [

4 3 2

0010

0001

1000

0100]

[

x x x

x y

y y y

x x x

x ].

y y y y [

= −(−y 3 x 1 −y 4 x 2 +y 1 x 3 +y 2 x 4 )

=x 1 y 3 +x 2 y 4 −x 3 y 1 −x 4 y 2 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã ϕ (x,y) = − ϕ (y,x)

VËy ϕ lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh, ph¶n xøng.

B©y giê ta ký hiÖu: A2( V n ) = { f ∈ L2(V n) f :ph¶n xøng }

i i

) ' ' (

) ' ' (

) ' '

) ' ( ) ' ( ' ' ) ( ) ' ( ' ) ' ( ) ( ' ) ( ) (

2 1

2 1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

x f y f x

f y f x

f y f x

f y f

y f x f y

f x f y

f x f y

f x f

µ λ µ

λ λµ

λµ

µ λ µ

λ λµ

λµ

− +

−

−

− +

+ +

=

)] ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( [ ' ' )]

' ( ) ( ) ( ) ' ( [ '

)]

( ) ' ( ) ' ( ) ( [ ' )]

( ) ( ) ( ) ( [

2 1

2 1

2 1 2

1

2 1

2 1 2

1 2

1

x f y f y f x f y

f x f x f y f

x f y f y f x f x

f y f y f x f

− +

− +

+

− +

−

=

µ λ λµ

λµ λµ

) ' , ' ( '

' ) , ' ( '

) ' , ( '

) ,

l l l j i j

i f x y f f x e y e f

1 1

,,

),(

k l j i k

l y f f e e x

1 ,

) , (

l j k i k j l i k

l y f e f e f e f e x

1 ,

) ( ) ( ) ( ) (

+

− +

+

−

=

k l

l j k i k j l i k l

k l

l j k i k j l i k l

k l

l j k i k j l i k l

e f e f e f e f y x

e f e f e f e f y x

e f e f e f e f y x

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

l j k i k j l i k l

ef ef ef

ef yx

ef ef ef

ef yx

2.9 Mệnh đề A2(V n)là một không gian con của L2(V n)và dim A2(V n) =C n2.

Chứng minh Trớc tiên ta chứng minh A2(V n) là không gian con của L2 (V n) Thật vậy, với ∀ f , g ∈ A2(V n)và λ , β ∈R, ta xét ánh xạ:

R V V g

Cho hai vế tác động vào {e , l e k}, ta thu đợc:

k l

; 0

k l );

e , e ( 0 ) e , e ( f f

lk

k l j

i

k l j i ij

, )

j i

ij x y a

=

j i

j i ij j

i

j i ij j

i

j i

j i ij j

i

j i

i j j i

j i

ij f f ; x , y V a

) y , x

j i

ij f f a

) y , x (

Vậy {f i ∧f j}i<j là cơ sở của A2(V n) Do đó dimA2

2

) (V n =C n.

Chơng II

Đẳng cấu Symplectic và không gian con Lagrangian

Đ3 không gian vectơ Symplectic

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian vectơ Symplectic và các tính chất về không gian Symplectic cùng với các không gian

con đẳng hớng của chúng.

Trong suốt mục này, ta luôn giả thiết ánh xạ Ω: V nìV n →R là một dạng song

tuyến tính, phản xứng và ta ký hiệu:

} V y

; 0 ) y , x ( V x {

Vậy X là không gian vectơ con của V n

Bây giờ ta giả thiết rằng Ω ≠0 và V n =X ⊕W, ta có các bổ đề sau:

3.2 Bổ đề Với e1∈W;e1 ≠ 0, khi đó tồn tại f1 ∈W , sao cho Ω( e 1 f 1 )=1

Chứng minh Trớc hết, ta nhận thấy rằng trong W luôn có f ≠ 0và f thoả mãn

;

0

Tiếp theo, ta giả sử Ω( e 1 f 1 )= α, ta lấy α

f

f1 = Rõ ràng f1 thoả mãn yêu cầu của bổ đề (3.2)

Do Ω( e 1 , f 1 )=1 nên {e1, f1} độc lập tuyến tính, điều này sẽ dẫn đến tồn tại không gian vectơ con 2 chiều W1, tạo bởi <e1, f1 > Ta ký hiệu:

0 ) e, y (

1

1

Ω Ω

=

+

⇒

0 ) f, bf ae (

0 ) e, bf ae (

1 1 1

1 1 1

Ω Ω

=

+

⇒

0 ) f, f(

b ) f, e(

a

0 ) e, f(

b ) e, e(

a

1 1 1

1

1 1 1

1

Ω Ω

Ω Ω

⇒a=b= 0 ⇒y = 0

Sau cùng ta chứng minh rằng với mỗi y∈W thì y= y1 +y2, trong đó y1 ∈W1 và

) ( cf1 de1 y cf1 de1

Khi đó ta có −cf1 +de1 ∈W1.

1 1

1 de W cf

y+ − ∈ Thật vậy, với α = α 1f1 + α 2f1 bất kỳ trong

1

W , ta xét:

) e , ( d ) f , ( c ) y , ( ) de cf

1 1 1

W de cf y y

W cf de

y

3.4 Mệnh đề (Dạng tiêu chuẩn của ánh xạ song tuyến tính, phản xứng)

dim W

W = ⊕

Vì số chiều của V n là hữu hạn nên sau m lần phân tích, ta thu đợc

Ω Ω

Ω

m 2

3.6 Mệnh đề Ω~ là một đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi X = 0.

Chứng minh Ω~ là một đẳng cấu tuyến tính ⇔kerΩ~ =0

2) Không gian vectơ V n , cùng với tích vô hớng Symplectic Ω , đợc gọi là

3.8 Nhận xét

i) V n là không gian vectơ Symplectic thì n= 2m (tức n là chẵn)

ii) V n là không gian vectơ Symplectic thì ma trận của Ω đối với cơ sở tiêu

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

3.10 Định nghĩa

Giả sử W là không gian con của (V n ,Ω) Khi đó W đợc gọi là không gian con

Từ nay trở đi, ta nói x vuông góc với y (x ⊥ y ) khi và chỉ khi Ω( x , y )=0 Nh vậy

W là không gian con đẳng hớng của V n khi và chỉ khi x ⊥ y ; ∀x,y∈W

Ta ký hiệu WΩ ={y∈V n Ω( y , x )=0 ;∀x∈W}

Khi đó rõ ràng WΩ cũng là một không gian vectơ con của (V n ,Ω) Không gian con của WΩ đợc gọi là không gian con

3.11 Định lý Giả sử W là không gian vectơ con của V n Khi đó ta có

n W

= λϕy ( x ; ∀x∈W, ∀y∈V n

Suy ra ϕλy = λϕy .

Tiếp theo ta chứng minh ϕ là toàn ánh:

Với mỗi y* ∈W*, ta thấy luôn tồn tại một vectơ y∈W, y(y1, ,y n), sao cho

Nh vậy, ta có ϕx =y* Điều này chứng tỏ ϕ là một toàn cấu.

Bây giờ, quay trở lại chứng minh định lý (3.11)

Ta thấy rằng: ker ϕ ={x∈V n ϕx = 0}

={x∈V n Ω( x , y )=0 ;∀y∈W}

=WΩ.Mặt khác, ta có: dimKerϕ + dim Im ϕ = dimV n

⇒dim WΩ +dim W * =n

n W dim W

3.13 Hệ quả Giả sử W là không gian vectơ con của V n Khi đó ta có

W ) W

Lấy bất kỳ x ' ∈W ⇒ Ω( x ' , y )=0 ;∀y∈WΩ

⇒x '∈( WΩ )Ω ⇒W⊂( WΩ)Ω (1) Ngợc lại, lấy ( Ω)Ω

W

z∈ thì Ω( z , y )=0 ;∀y∈WΩ Khi đó z∈W vì nếu z∉W

thì ta xét Y =< W z, > Rõ ràng WΩ ⊥Ynên WΩ =YΩ Từ đó suy ra

n W dim Y

2 dimW ≤n

⇒W ⊂WΩ ⇒dim W ≤dim WΩ Hơn nữa, theo định lý (3.11) thì dim W+dim WΩ =n Do đó dimW ≤n2

3.15 Định nghĩa

Một không gian vectơ con W của (V n ,Ω) đợc gọi là không gian con Symplectic

nếu và chỉ nếu (W n ,ΩW ) là một không gian Symplectic.

3.16 Mệnh đề Giả sử W là không gian con Symplectic Khi đó ta có

n

V W

W ⊕ Ω =

vectơ Symplectic nên ta suy ra x = 0 Do đó W∩WΩ ={ 0 }

Vậy theo định lý (3.11), ta có W ⊕WΩ =V n

Đ4 Đẳng cấu Symplectic và không gian con Lagrangian

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản của ánh xạ đẳng cấu Symplectic và không gian con Lagrangian

4.1. Định nghĩa

Giả sử ( V n ,Ω)và ( V ' , ' )

n Ω là hai không gian vectơ Symplectic n= 2m chiều Một

đẳng cấu tuyến tính ϕ :V n →V n' đợc gọi là một đẳng cấu Symplectic nếu và chỉ nếu

Ω

Ω

' '

*Ω ( x , y )= Ω(ϕ( x ),ϕ( y ));∀x , y∈V

Nếu có một đẳng cấu Symplectic từ không gian vectơ Symplectic ( V n ,Ω)vào

không gian vectơ Symplectic ( V ' , ' )

n Ω thì ta nói không gian V n đẳng cấu Symplectic

Tiếp theo, ta chứng minh tính chất đối xứng:

n

V ≅ Khi đó tồn tại ánh xạ ϕ :V n →V n'

' ' (x , y ); ∀x , y ∈V

Do đó (ϕ −1 ) *Ω = Ω'

Sau cùng, ta chứng minh tính chất bắc cầu:

Giả sử ϕ :V n →V n', ψ :V n' →V n'' là các đẳng cấu Symplectic Ta xét  ϕψ : V n → V n "

Khi đó ψ ϕ cũng là Symplectic và ta cần chứng minh (  ψ ϕ ) * Ω " = Ω

4.3 Hệ quả Ta ký hiệu: p VS n )( = ϕ :{ V n → V n , ϕ − đẳng cấu Symplectic} Khi đó S p(V n)

lập thành một nhóm.

chứng minh định lý trên, ta nhận thấy rằng phần tử đơn vị trong S p(V n) là ánh xạ

d

i

e= và với mỗi ϕ ∈S p(V n) đều có phần tử nghịch đảo là ϕ− 1 :V n' →V n

4.4 Định lý Giả sử ϕ là ánh xạ đẳng cấu tuyến tính từ '

y , x

tính Symplectic Thật vậy, do Ω'là dạng song tuyến tính, phản xứng trên '

n

V nên

dễ thấy rằng Ω cũng là dạng song tuyến tính, phản xứng trên V n Ta xét

* n

V :

Ωα +β = + Vậy Ω~ là ánh xạ tuyến tính (1)

Mặt khác, giả sử y 1 y 2

~

⇒ Ω~ y 1 ( x )= Ω~ y 2 ( x );∀x∈V n

⇒ Ω~ ( x , y 1 )= Ω~ ( x , y 2 )

~ ( x , y ) ~ ( x , y ' )

2 ' ' '

1 '

y ( x ) ~ ( x ); x V

~

' 2 '

Bây giờ ta xét ( V , ), ( V 2 , 2 )

m 1

=

∈

∈ +

=

22

1121

22

1121

, );

(

, );

(

m n

m n

V y V y y y y

V x V x x x x

ta đa vào trong V hai phép toán nh sau:

• x+y=[( x 1+y 1 )+( x 2 +y 2 )];∀x , y∈V.

• λx=(λx 1 + λx 2 );∀x∈V ,λ ∈R.

4.5 Nhận xét

dễ thấy rằng hai phép toán trên thoả mãn các tiên đề của không gian vectơ ở đây, ta lu

ý rằng vectơ không trong V là (θ +1 θ2 ); trong đó θ1 ,θ2 là hai vectơ không tơng ứng

1 2 1

1 n 1

y y y

V V : p

 +

→

2 2 1

2 m 2

y y y

V V : p

 +

→

' 2

' 1 2 1

' 1 2 1 2 1

'

2 m 2

' 2 2

1 n 1

1 n 1 1 2 1 2 1

; V y

,

m 2 2

1 n 1

• [ y y ,( x x ) ( x x )] ( y , x x ' )

1 1 1 1

' 2

' 1 2 1 2 1

' 1 2 1 2 1

'

2 m

' 2 2 2

1 n 1

1 n 1

1 2 1

' ) y y (

2 2 1

' ) y y (

) y y ( 1

' ) y y (

2 ' 1 2

' ) y y (

2 ' 1 2

' 2

' 1 2 1

' 2

' 1 2

Ω

)]

x x ( ), y y ( ) y y [(

)]

x x ( ), y y ( ) y y

2

' 1 2 1

' 2 2

1

' 2

' 1 2 1

'

) x x ( ), y y ( ) x x , y y ( )]

x x , y y ( ) x x , y y

2

' 1

' 2 2 1 2 1

' 2 2

1

' 2

' 1

' 1 2 1 2 1

'

) x x , y y )(

( ) x x , y y )(

2

' 1

' 2

' 1 2 1 2 1

y

2

' 1 2

1 2

2 2 2

1 1

' 1

1 2

1+ + = Ω +Ω λ + +

λ

Ω

) x x ), y y ( ( ) x x ), y y

(

2 2 1 2 1

'

) x x , y y ( )

x x , y y

2 2

1 2 1

'

) x x , y y )(

= λ Ω ; ∀x ,y ∈V n, ∀x ,y , ∈V m2 ∀λ∈R

2 2

1 1

2

' 1 2

1 2

1+ λ + = Ω +Ω + λ +

Ω

)) x x ( , y y ( )) x x ( , y y

2 2

1 2 1

'

) x x , y y ( )

x x , y y

2 2

1 2 1

'

) x x , y y )(

= λ Ω ; ∀x ,y ∈V n, ∀x ,y ∈V m2 , ∀ λ ∈R

2 2

1 1 1

• ( y y (, x x ) ( x x )) ( )( y y (, x x ) ( x x ' ))

2

' 1 2 1 2 1

' 2

' 1

' 2

' 1 2 1 2

Ω

)) x x ( ) x x (, y y ( )) x x ( ) x x (, y y

2

' 1 2 1 2 1

' 2

' 2

' 1 2 1 2 1

'

) x x , y y ( ) x x , y y ( ) x x , y y ( ) x x , y y

2

' 1 2 1

' 2 2 1 2 1

' 2

' 2

' 1 2 1

' 1 2 1 2 1

'