Về tích ba vectơ trong không gian vectơ và ứng dụng

Định nghĩatích ba vectơ đã đợc trình bày và sử dụng để khảo sát các độ cong trên mặt trong[5].. Mục đích của khoá luận này là tập hợp ,bổ sung và chứng minh chi tiết một sốtính chất của

Lời nói đầu

E đợc trình bày rất nhiều trong các tài liệu ởcác trờng phổ thông và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán Định nghĩatích ba vectơ đã đợc trình bày và sử dụng để khảo sát các độ cong trên mặt trong[5] Mục đích của khoá luận này là tập hợp ,bổ sung và chứng minh chi tiết một sốtính chất của tích ba vectơ trên 4

Khoá luận này chia làm 3 mục:

Đ1 Tích ba vectơ trên 4

E

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích bavectơ trên 4

tạp; trình bày định thức Gram và mối quan hệ giữa định thức Gram với tích ba

E

E Trong mục này, chúng tôi trình bày về khoảng cách từ một điểm đến m- phẳng;khoảng cách giữa hai phẳng và ứng dụng của tích ba vectơ để xác định khoảngcách từ một điểm đến một siêu phẳng; khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

E Đ3 Thể tích trong 4

E Trong mục này , chúng tôi xét thể tích của hộp và đơn hình; một số ứng dụngtích ba vectơ để tính thể tích của m- hộp, m-đơn hình và đa ra công thức tính thểtích của một số đơn hình

Sau mỗi mệnh đề chúng tôi đều đa ra các ví dụ ứng dụng cụ thể

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn HữuQuang Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hớng dẫnNguyễn Hữu Quang Và chúng tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo trongkhoa cùng bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoáluận này

Vinh, th¸ng 5 n¨m 2005 T¸c gi¶

Giả sử 4

e là không gian vectơ Ơclit 4-chiều với cơ sở trực chuẩn {e1,e2

, e3 , e4 } Trong mục này , chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích ba vectơ trên 4

e

1.1.Định nghĩa: Tích ba vectơ a1 a2 a3 (theo thứ tự ấy ) , là một vectơ đợc kíhiệu a1 a2 a3 và đợc xác định nh sau :

a

a a

a

a' a a' a a' a ,- a a

a

a a

a

a' a a' a a' a a a

31

24 23

21

14 14 13 13 11 11 34

33 32

24 23

22

14 14 13 13 12 12 3

a

a a

a

a' a a' a a' a - , a a

a

a a

a

a' a a' a a' a ,

33 32

31

23 22

21

13 13 12 12 11 11 34

32 31

24 22

21

14 14 12 12 11 11

a a

a

33 31

31 



= a1 a2 a3 + a'1 a2 a3 

Bây giờ ta sẽ đi chứng minh ii/

Theo định nghĩa tích ba vectơ , ta có :

a

a

a

33 13 11 34 32 22 14 34 33 31 14 11 34 24 23



 ( a  (1)  a  (2)  a  (3) ).( ở đây s3 là số các phép thế của {1,2,3 } ) Chứng minh :

i/ Ta chứng minh , chẳng hạn b  a1 ( còn các trờng hợp còn lại đợc chứng minh tơng tự )

e và tích vô hớng của hai véc tơ ta có:

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a - a

nha u

gi ống hàng 2 có thức ịnh

Đ 0 a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

14 13 12 11





Từ đó suy ra : b  a1 

3 2 1 S :

a a

a a

a

33 13 34 14 34 14 34 14



 ( a  (1)  a  (2)  a  (3) ) 

1.4 Mệnh đề : (Xem [5])

{ a1 a2 a3}phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi a1 a2  a3  0 Chứng minh :

*Điều kiện cần : Giả sử { a1 a2 a3}phụ thuộc tuyến tính ta chứng minh b 0 Thật vậy , do { a1 a2 a3}phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số





 , , khác 0 sao cho  a1  a2  a3 0

a - a - a

a

*Điều kiện đủ : Giả sử b 0 Ta cần chứng minh { a1 a2 a3}phụ thuộc tuyến tính

Thật vậy , nếu ngợc lại { a1, a2 a3}độc lập tuyến tính Khi đó

rank { a1 a2, a3}=3 Do đó tồn tại ít nhất một ma trận con cấp 3 có định thức khác

0 Suy ra  a1 a2  a3 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết b 0

Vậy { a1, a2 a3}phụ thuộc tuyến tính 

B3, B4 Khi đó vectơ pháp tuyến của P đợc xác định là :

ở đây điểm B1 không có vai trò gì đặc biệt so với các điểm Bi khác

chứng minh tơng tự

B B B B B B -

) B B - B B ( B B B B - ) B B - B B ( B B B B

) B B - B B ( ) B B - B B ( B B B B B B B

1 2 4 2 1 2 2 1 1 2 4 2 3

2 2 1

1 2 4 2 1

2 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1

(1,1,1,0) B

(0,3,0,1) B

Ta có : B1B2  B1B3 B2B4 =  0 

1

1

,-1 = (3, 0, -3, 0)

Do B1B2  B1B3 B2B4 =(3,0,-3,0) (0,0,0,0)nên hệ { B1B2 , B1B3 B2B4 } độc lập tuyến tính Từ đó suy ra hệ {B1 , B2 , B3 , B4 } độc lập Vậy tồn tại , duy nhất một siêu phẳng P qua 4 điểm đó Theo mệnh đề ( 1.5 ) vectơ pháp tuyến của siêu phẳng P là :

B B B B B B

nP  1 2  1 3 1 4 = ( 3, 0,-3,0)

Ta chọn vectơ pháp tuyến của P là n'p (1, 0 ,  1,0) Phơng trình của siêu phẳng P

là :

1(x1- 1) + 0(x2 - 0) - (x3 - 0) + 0(x4 - 0) = 0

Vậy P : x1 - x3 -1 = 0

2/Giả sử siêu phẳng P qua bốn điểm C1( 0, 2, 1, 1); C2(1, 3, 0, 2); C3(1, 1, 0, 1);

C4 (3 ,1 ,2 ,1) Bây giờ ta lập phơng trình đờng thẳng a qua A (1, 4 ,2 ,5) và vuông góc với P

C3C1  ( - 1 ,1 ,1 ,0)

C3C2  ( 0 ,2 ,0 ,1)

,0) ,2 ,0 2 ( C

C3 4 

) 2,8 4, 2,-

2 0

2 0 2

0 1

1

1 - ,-0

0 2 1

2 0 0

1 1 -0 2 2 1 0 0 1 1 2 0 1

0 2 0 1

1 C C C 1 2 4 : có Ta             3 } { C C , C C , C C hệ n nê ) 0 0, 0, 0, ( ) 8 2, 4, 2, -( C C C C C C Do 3 1 3 2 3 4  3 1 3 2 3 4 độc lập tuyến tính Từ đó suy ra hệ { C1 , C2 , C3 , C4 } độc lập Theo mệnh đề (1.5) vectơ pháp tuyến của siêu phẳng P là np  (-2, - 4, 2, 8)

Mặt khác , đờng thẳng a vuông góc với P nên nhận vectơ pháp tuyến của P làm vectơ chỉ phơng Ta chọn vectơ chỉ phơng của a là (1, 2, -1, -4 ) Phơng trình đờng thẳng a là : a: 

















5 4t

-x

2

t -x

4 2t

x

1 t

x

4 2

x x x x 0 x x x x 0 x x x x :

3 34 3 33 2 32 1 31 2 24 3 23 2 22 1 21 1 14 3 13 2 12 1 11

b

b

b

































Δ

Khi đó , siêu phẳng P vuông góc với  có phơng trình là :

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + b = 0 Trong đó (a1, a2, a3 , a4) là toạ độ của a1  a2  a3 với ai(aij) ;i=1, 2, 3 ;j =1, 2, 3,4 Chứng minh:

Gọi  là siêu phẳng có phơng trình :

ai1x1+ ai2x2+ ai3x3 + ai4x4 +b1= 0 Khi đó , ai(ai1, ai2, ai3, ai4);với i = 1, 2, 3 là vectơ pháp tuyến của i (xem[2;tr 88])

và  chính là giao tuyến của ba siêu phẳng 1 , 2 , 3 Do  là một đờng thẳng nên

hệ { a1, a2, a3 }độc lập tuyến tính ( Ma trận toạ độ của hệ vectơ có hạng là 3 )

Gọi u là vectơ chỉ phơng của  thì u  ai ; i = 1, 2, 3

Mặt khác , ( a1 a2  a3 )  ai i  1, 2, 3 Từ đó suy ra : u // ( a1 a2 a3 )

Ta chọn vectơ chỉ phơng của đờng thẳng  là : a1 a2  a3 ( a1 , a2 , a3 , a4 )

Siêu phẳng P vuông góc với  nhận vectơ chỉ phơng của đờng thẳng a làm

vectơ pháp tuyến Do đó , phơng trình của siêu phẳng P là :

a1x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4+ b = 0 1.8 Ví dụ Giả sử đờng thẳng  có phơng trình :             (3 )

0 1 x x x

(2)

0 1 x

x x (1)

0 1

x x -2x 4 3 2 4 2 1 3 2 1 2 2 Ta viết phơng trình siêu phẳng P qua A(1, 3, 1, 2) và vuông góc với  Vectơ pháp tuyến của siêu phẳng có phơng trình (1) , (2) , (3) lần lợt là : a1( 2, - 1, 1, 0 ) a2( 1, 1, 0, 1 ) a3( 0, 2, 1, 2 ) Ta có : a1  a2  a3 = 1

2

0

1

1 1

1 ,-

2

0

1

1 0

1 2

0

1 0

2 ,-

2

1 0

    = ( 1, 4, 2, -5) Theo mệnh đề (1.7) phơng trình của siêu phẳng P là : - x1 - 4x2- 2x3+ 5x4 + b = 0 Do siêu phẳng P qua A(1, 3, 1, 2 ) nên ta có : -1- 4.3- 2.1 + 5.2 +b = 0  b=5 Vậy phơng trình của siêu phẳng P là : -x1- 4x2 -2x3+ 5x4 + 5 = 0 1.9 Định nghĩa Tích hỗn tạp của 4 véc tơ a a a a E4 4 3 2 1 , ,  là một số thực , kí hiệu D( a1, a2, a3 a4) và đợc xác định nh sau :

) a a a

a1, 2 3 4 (

D = ( a1 a2 a3) a4

1.10 Nhận xét : Giả sử ai (ai1 , ai2 , ai3, ai4 ) ;i = 1, ,4 Khi đó :

D( a1, a2 a3 a4) = - det(aij)

Thật vậy , theo định nghĩa tích hỗn tạp ta có :

D( a1 a2 , a3 a4) = ( a1 a2 a3) a4 =

a a a a a a a a a a - a a a a a a a a a a a a a

a

a a

a

a a

31

24 23

21

14 13

d et(a -

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

44

4 3 42

41

3 4

3 3 32

31

2 4

2 3 22

2 1

14

1 3

1 2 11

Chứng minh :

Trớc hết ta chứng minh i/

Từ nhận xét (1.10) ta có :

a

a a a

a a a a

a a a

a

a a a a - ) a , a , a , a

D(

44 43

42 41

34

3 3 32

31

24 23

22

2 1

14 13

12 1

4 3 2

) ( )

,

ij a det - a a a a D(

(1.10) xét

nhận theo

Thật vậy,

4 3 2

Det(a j ) là định thức ma trận toạ độ của hệ{ a1 a2 a3, a4}

Do đó D( a1 a2 a3 a4)  0 khi và chỉ khi a1, a2, a3, a4}phụ thuộc

) e c b a D(

) d e, b a D(

) d c e a D(

) d c b e D(

)

) d c b a (

, ( 4

.

.

.

) ,

Gr(

m m

2 m 1

m

m 2

2 2 1

2

m 1

2 1 1

1 m

2 1

u u

u u

u u

u u u

u u

u

u u u

u u

u u

u u

.

.

.

.

.

,

1.15 Mệnh đề : (Xem [2])

Định thức Gram của hệ m vectơ luôn không âm và bằng không khi và chỉ

khi hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh:

e chứa ( u1 u2, , um ) và gọi

 ={e1,e2, ,em } là cơ sở trực chuẩn của V.Giả sử ui có toạ độ (a1i ,a21, , ami)

đối với cơ sở  và a là ma trận (aki)m x m Khi đó :

.

) , Gr( m m 2 m 1 m m 2 2 2 1 2 m 1 2 1 1 1 m 2 1 u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u , ,  a a a a a a

a a a a a a a a a a a a m i m i m m i 2 i m m i1 im m i1 i2 m i1 i 2 m i1 i2 m im i1 m i2 i1 m i1 i1                    1 1 1 1 1 1 1 1 1

i i i i i i i i i a

a a

a .

a a a

a a a

a a

a

a a a

a a

m m 2m 1 m m 2 2 2 1 2 m1 2 1 11 m m m2 m1 2 m 22 21 1m 1 2 11  = det(A) det(AT) = (detA)2  0

Vậy định thức Gram luôn không âm , Gr( u1, u2 , , um)= 0  detA = 0  hệ } u ,

u u { 1, 2, m phụ thuộc tuyến tính Bổ đề đợc chứng minh  1.16 Nhận xét Giả sử u1 u2 , u3  3 e Khi đó : Gr( u1 u2 u3)  ( u1 u2) u32

Chứng minh : Giả sử toạ độ của các vectơ u1, u2, u3 đối với cơ sở   { e1 e2 e3} là ,3 2 1 với ) u u (u ui i1 i2 i3  Theo bổ đề trên ta có : u

u

u u

u

u u

u

u

) u u u Gr( 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 , , 

u u u

2 33 32 31    

 ( u1  u2 ) u3 2 Vậy Gr( u u u ) ( u u ) u 2 3 2 1 3 2 1 ,   

a a a c c c

a a a c c c

a a a c c

c

a a

4 3

2

4 3

2

2

b b b b b b b b b b b

a

c c

- a

2 2 3 3 2 2 4 4

c c b b c c b b c c b b c c b b a 2a -

2 3 4 4 3

3 3 4 4 2

c b b

c b b c

4

4

c c b b c c b b c

4

4

2 4 3

4

4

2 3 4

b c

b a 2 4 4 2 3 3 2 2

2 b b c

4

1

2 1 2 1 3 2 3 2 4 1 4 1 4 3 4 3

3

1

3 1 3 1 3 2 3 2 4 1 4 1 4 2 4 2

-a

2a

3 1 3 1 4 1 4 1 3 2 3 2 4 2 4 2

4

3

2 1 2 1 4 1 4 1 3 2 3 2 4 3 4 3

4

2

2 1 2 1 3 1 3 1 4 2 4 2 4 3 4 3

k j k

k j 2 i 4

b c c c )b b c b (c - c b b b c c c b ) b c c (b - c b

3

1

2 2

a

2a

2 4 1 2 4 1 2 2 1 4 4 1 2 3 4 1 3 4 1 3 3 4 1 4 1 4



c )b b c c (b c b b b c c c b ) b c b (c - b c c c b

2 4 3 2 4 3 2

3

2

2 2

3 2

4

2

2 2

2 2

4

3

2 2

2 2

k j k

k j 2 i 4

k j k

k j 2 i 4

c b a b a 2

- b c a

2 c b c b a 2

-4 1 2 4

k

j, j1 k j 4 1 2 4 i

1 j i, j i 4 1 k 4

i

j j1 i, j

c b b b a b

c a b a a a ) c b a Gr(

: cã

a ) - c2.( a b )2

c b a - b

c a

c b c

-a b

a c b - c b

.

a

4 1

k

2 k

2 4

1 j

j j 4

1

k

2 k

2 4

1

i

i i

4 1

k

k k 4

1 j

j j 4

1 i

i i

2 4

1 j

j j 4

1

k

2 k 4

1 j

2 j 4

ij 1j, j i 4

1 i i 2 i

1

k k j 4

k 1 j, j 2 j 2 j k

4 i 1 j j j i 4

1 2

k j

c b c b a ) c b - c (b

-a

4 1

k k k 4

1 i i 2 i 4

k 1 k,

2 j k k j 4

- 2 a c c - a c - a b

k

ik i, 2 2 1 2 2 1

k 2 4

j

i j 1

i

j j i

2 j 2 j 2

2 2 j 2 j

k 2 4

k j

j , k 1

k k j

a

4 1 i k

k i 2 i 2 i 2 i 4

k

j

k,

2 k j k j 4

2 a b c b c 2 - a c b - 2 a b a b c

4 1 2 4

k

j1 , j k j 4 1 2 4

i

j j1 i, j i 4

1

k 4

- b c

k j

1 , j k j 4 1 2 4

4 1 i

k j k

k j 2 i 4

k j 1 k, 2 k j k j 4 1 2

c b a b a 2

- b c a

2 c b c b a 2

-4 1 2 4

k j

1

k , j k j 4 1 2 4

i j

1 j i, j i 4 1 k 4

i j

1 j i, j

1.18 Mệnh đề : Giả sử u ,u u u E

4 3 2

i/ Gr( u u u u ) u u u u

2 4 3 2 1 4

3 2

3 2

1 ,     ii/ Ta có :

u u u u u

-.

u

u u u

2 1 1 1

2

2 i i

2 2

2 2

2.2 Mệnh đề : ( xem [2]) Nếu hai cái phẳng  và  không có điểm chung thì

chúng có đờng vuông góc chung và đờng vuông góc chung đó là duy nhất khi vàchỉ khi     { 0 }

Chứng minh :

Ta sẽ chỉ ra đờng vuông góc chung của  và  bằng cách xác định hai giao điểmcủa nó với  và 

- Xét tổng    và gọi  là không gian con bù trực giao với tổng   nghĩa là  (   ) và (   ) ⊕ = E4

- Lấy P   , Q   và PQ  4

E  PQ  U  V, U    , V; U,

V tồn tại và duy nhất

Giả sử U= x+ y , x  , y   Lấy các điểm I , J sao cho PI= x

JQ = y thì I   và J   Khi đó :PQ  PI  IJ  JQ  U  IJ Do PQ  U  V nên IJ

chung nên đờng thẳng  qua I , J là đờng vuông góc chung của  và 

Nếu ngoài  còn có đờng vuông góc chung của  và  là ' cắt  ,  lần lợt tại I'

và J' thì : I J  I'J'I I'  J' J

I J I ' J' I I' J' J

2 2

qua I trực giao với  là đờng vuông góc chung của  và , đồng thời : d(  , )

= d(I ,  )

Chứng minh :

  là đờng vuông góc chung của  ,  và d(  , ) = d(I , J)

= d(I ,  ) ;  I   ( J là giao của  với  )

⊕ Nếu  và  là 2 phẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa  và  bằng khoảng cách

từ một điểm thuộc phẳng này tới cái phẳng chứa phẳng còn lại và song song với

phẳng đó

Chứng minh :

Giả sử dim  dim Gọi  là phẳng chứa  và  //  I là một điểm thuộc 

Theo nhận xét trên d(  ,  ) = d(I ,  ) = d(I , J ) ; với J là hình chiếu vuông góc

của I trên phẳng  Với mọi P   và Q   , ta có :

PQ  PI  I J  J Q

P Q P I I J J Q I J P I J Q

2 2

2 2

, u , u (

Gr

) SI u ,

, u , u (

Gr ) (I, d

m 2

1

m 2

,

, u , u (

Gr ) u ,

, u , u (

) (

.

)

( )

(

.

.

) I J

S J (

) I J

S J (

) I J SJ

)(

I J SJ

( u

I J SJ

u I

J SJ

u I

J SJ

u u

u u

u u

u

u u

u u

u u

u

m 2

1

2 m

2 2

2 1

2

1 m

1 2

1 1

u

u

u

.

.

.

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

2 2

m 2

1

2 m

2 2

2 1

2

1 m

1 2

1 1

1

I J SJ

SJ SJ

S J

SJ u

S J u

.

S J u

SJ

u

SJ u

S J

u

u

u

u u

u

SJ u

u

u

u

u u

u

m 2

1

2 m

2 2

2 1

2

1 m

1 2

1 1

1

I

J u

SJ

u

SJ u

SJ

.

.

0 u

u

u

u u

u

0 u

u

u

u u

u

2 m

2 1

m 2

2 2

1 2

m 1

2 1

1 1

= Gr (u , u , ,u SJ) I J2 Gr (u1, u2 , ,um )

m 2

= I J2 Gr (u1 u2 um )

.(Do{ u1 , u2 , , um S J }phụ thuộc tuyến tính )