K vectơ trên không gian với tích vô hướng luận văn tốt nghiệp đại học

Trong khoá luận này, chúng tôi tập hợp trình bày và chứng minh chi tiết cáctính chất về tenxơ, tenxơ phản ứng và một số tính chất của k-vectơ trên không giangiả ơclit.. Khoá luận đợc chi

LờI NóI ĐầU

Các phép toán về tenxơ có ứng dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật, nó cũng là công cụ cho các nghiên cứu của các ngành trong vật lý nh tĩnh học, môi tr-ờng liên tục, các trạng thái biến đổi không gian

Trong khoá luận này, chúng tôi tập hợp trình bày và chứng minh chi tiết cáctính chất về tenxơ, tenxơ phản ứng và một số tính chất của k-vectơ trên không giangiả ơclit

Khoá luận đợc chia làm 3 bài:

Bài 1: Tenxơ

Bài 2: Tenxơ phản ứng

Bài 3: K-vectơ trên không gian với tích vô hớng

Trong bài 1, chúng tôi trình bày khái niệm về tenxơ, các phép toán củatenxơ, đồng thời chứng minh một số tính chất liên quan nh: phép đổi chỉ số, tínhchất tích tenxơ

Trong bài 2, chúng tôi trình bày khái niệm về tenxơ phản ứng các ánh xạphản xứng hoá, tính ngoài của 2 tenxơ phản xứng Chứng minh một số tính chấtcủa ánh xạ phản xứng hoá, tích ngoài và chứng minh đợc cơ sở của không gian cáctenxơ phản xứng

Trong bài 3, chúng tôi trình bày khái niệm tích vô hớng đối với k-vectơ đơn

và một số tính chất của k-vectơ đơn trên không gian với tích vô hớng

Khoá luận đợc hoàn thành vào tháng 5 năm 2011 tại trờng Đại học Vinh dới

sự hớng dẫn của thầy giáo T.S Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này chúng tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Chúng tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoatoán, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khoá luận này

Gọi là tenxơ r - lần phản biến, s- lần hiệp biến hay tenxơ kiểu ( s r, )trên Vnhận giá trị trong W Kí hiệu:

) , ,

Với v1 v s  V, mọi phép thế  của tập {1, 2, s}

Tơng tự ta có khái niệm tenxơ phản biến đối xứng

Tenxơ  T s (V) gọi là hiệp biến phản đối xứng nếu:

) , , (

)

Với v1 v s  V, b 1 b r V*

Ta gọi u1  ur   1   s là một vectơ đơn kiểu (r,s)

Phép tính ở trên ta có tính chất đa tuyến tính



 xác định bởi  : V*V  R

) ( ) ,

Nếu f là dạng song tuyến tính đối xứng trên V thì f là tenxơ 2-lần hiệp biến đốixứng.

s

j j

i i

i i j

T

1 1 1

, ,Trong đó: r

s

i i

j j

j j

s

j j

i i

i i j

T

1 1 1

, , = 0; i1 ,i r,j1 ,j s 1,n

1 1

1

,

kr k j j

i i

r r

j l

j i

k i k i i

j

j s j

j

j r

r i i

i

1 1

1 1

s

i j s j r

j i i

r s

j j

i i

i i

Cho V là không gian hữu hạn chiều Khi đó:

,

L

f  , f : V  V*

Vậy  là đẳng cấu tuyến tính  T2(V) LV ,V*

ii Ta cần chứng minh bổ đề: Cho V là không gian hữu hạn chiều, V* là không gian

đối ngẫu của V Khi đó, V V*

T (V) Xác định bởi:

) , , , , , , ( ) , , , ,

, ,

1 1

1

s v

r s

T (V)   ,   R;  (f 1) g1;  (f 2) g2

) , , , , , )(

2 1

1

r s

2 1 1

T (V) = n rs

Vậy  là đẳng cấu tuyến tính  T r V

s T s r11(V)Chứng minh tơng tự ta có: T r V



r s

) , )(

, ,

1

r s

s

i i j j i i j

s

i i j j i i j j

11 1

1 1

p p

1 1

 là toạ độ của tenxơ tơng ứng với 2 cơ sở {e1 ,en} và

s

l j

l j

i k l

k

i k k k p

1 1 1 1 1 1

Giả sử {e1 ,en},  , 1 ntơng ứng là 2 cơ sở đối ngẫu của {e1 ,en} và , 1 n

j j

i i

l

k

i i

j

1 1

1

1 1 1

e r

r r r

s

j j

l j j

j

l j i

i

i k i

i

i k l

s

l j

l j

i k l

i k k k

l

1 1

1 1

s

l j

l j

i k

i k l

k

k k l

1 1

1 1 1

) )(

l s k

k r r

2

1 2 2

2 1 2

1 1

2

2 2 1

1 2 1

2 1 1

1 1

1

5 2

3

6 4

3 2

e e e e e e e e e e

e

e

e e e e e e e e e e e

Khi đó  có toạ độ đối với cơ sở {e1, e2} của V là  ( 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;  3 ; 1 ;  2 ; 5 )

iii Cho V là không gian n chiều có cơ sở {e1, ,en} Khi đó V* có cơ sở đối ngẫu

i

i e g g

i

i e h h

1Lấy  T2 (V),  : V*  V*  R

i

i h g h

 )

1

v f h

g i

n i i





Bài 2: Tenxơ phản xứng

2.1 Định nghĩa

Giả sử V là không gian hữu hạn chiều Tenxơ  T k (V)gọi là phản ứng đốixứng nếu:

) ,

, , , , ( ) ,

, , , ,

!

1 ) , ,

)(

S k

k v v

l k

k S

v v

v v

sign l

) (

, , (

.

!

1 ) , , , , , ,

)(

S k

j i

k v v v v

i S

v v

v v

= ) (' ) (' )

'

) 1

(

!

1

k j

i S

v v

v v

1

S

v v

v v

v v

v v v

v Alt

S l k l

( ).

v v

( ).

v v

sign

l k

v v

 G (Mâu thuẫn với giả sử 0 G)

Tiếp tục chia S kl thành các tập con không giao nhau mà tổng lấy theo mỗitập đó đều bằng 0 cho nên tổng:

) ,

( ).

v v

1 (

2

k S

v v

k! k(1

Với  S k lấy  ' S klsao cho:

i i

i i



 ) ( '

) ( ' ) (

k i





Khi đó: sign  sign ' và      ' (    )

Vậy: sign Alt kl(    ) sign 'Alt kl ' (    )

= Alt kl  

Chứng minh tơng tự: Alt klAlt k Alt l= Alt kl  

iv Ta có: AltAlt     Alt   Alt   0

Theo (iii) 0 =Alt Alt        

= Alt Alt   Alt     

VËy Alt(Alt(    )) Alt(      ) Alt(  Alt(    ))

!

!

Alt l k

l k

!

!

Alt l k

l k

)]

( )

( [

k

l k

) (

!

!

)!

( ) (

l k Alt

l k

l k

k+1 k+2 k+l 1 .k

Khi đó: sign0  (  1 )kl Nh vậy:

) , ,

( ).

, , (

)!

(

1 )

, , )(

S l

l k v

v Alt

l k

1 ( ' )

( ' )

1 ( ' v k v k v k l v

sign l

m l k

m l m l

k

m l k

m l k

l k

m l

m l

1

0 ) , , (

1 1

i i

a

0 ) ( )

( 1 1 1

i i

a

i i

i

a Alt 

, , ( ) , , ,

( )

)

(

!

1 )

, , , )(

, , ,

l k

l k u

u u

u u sign l

) ( )

1 (

S

v v

Giả sử { v1, ,v k.} là hệ phụ thuộc tuyến tính khi đó, tồn tại một vectơ biểudiễn đợc qua các vectơ còn lại chẳng hạn:

1 1 1

(

(

) ( )

( )

(

1

1 1 1 1

k k k

k k

v y v y v v

y y

Do đó :v1  v k  0

Bài 3 K-VECTƠ TRÊN KHÔNG GIAN VớI TíCH VÔ HƯớNG

u

,

) ,

j i

)

(g ij gọi là ma trận của dạng song tuyến tính g đối với cơ sở {e , 1 e n}

Nếu g là dạng song tuyến tính đối xứng thì (g ij)là ma trận đối xứng.

Dạng song tuyến tính g đợc gọi là:

Giả sử V là không gian với tích vô hớng g,chỉ số k (k= 0 ,n) và {e , 1 e n} làcơ sở của V sao cho

) (e i , j e

1 nếu k1 ijn

{e ,1 e n} gọi là cơ sở trực chuẩn của V

Cho V là không gian với tích vô hớng g, khi đó không gian con W của V gọi

là không suy biến nếu g/W là không suy biến

Giả sử V là không gian n chiều với tích vô hớng <,> khi đó k V

 là không gian với tích vô hớng đợc cảm sinh từ tích vô hớng trên V và đợc xác định bởi:



























k k k

k k

v u v

u

v u v

u v

v v u

,

1 1 1 1 1 1 1 Với u1, ,u k,v1, ,v kV và mở rộng tuyến tính đối với 2 phần tử bất kỳ thuộc k V  ánh xạ g: k V k V R     là dạng song tuyến tính, đối xứng       , ) , ( 3.2 Mệnh đề. Cho V là không gian với tích vô hớng n chiều, chỉ số  Khi đó k V  là không gian với tích vô hớng C n k chiều và có có chỉ số là (2 1) 1 2 1 2        k p n X p p C C  Trong đó: X  {2p - 1  N : 2p - 1   , 2p - 1  k, k - (2p - 1)  n -  } Chứng minh Giả sử {e , 1 e n} là cơ sở trực chuẩn của V khi đó, k V  có cơ sở { n i e e i1 ,  i k, 1  i1  k  } ta có       k k j j i i e e e e1 , , 1 , 0 nếu(i1 ,i k)  (j1, ,j k) 1  nếu (i1 ,i k)  (j1, ,j k) 1 ,

, ,

1



k

i

1 có 1 số lẻ các vectơ

ei sao cho: e i,e i  1 Tơng ứng với mỗi số lẻ 2p 1 k, 2 p 1   các vectơ ei thoả mãn e i,e i  1 thì có k ( 2p 1 ) các vectơ ei thoả mãn e i, e i 1 trong n  vectơ còn lại

Vậy tơng ứng với mỗi số lẻ ( 2p 1 ) có thì số k- vectơ đơn đơn vị e i1  ,  e i k

mà trong đó có ( 2p 1 ) vectơ bình phơng lên bằng -1 là 2 1: (2 1)



n

Điều kiện: 2 p 1  ,2p 1k,k ( 2p 1 ) n 

,

3.4 Bất đẳng thức Schwart trong V.

Cho V là không gian với tích vô hớng <,> ánh xạ

k k k

k

v v v

v

v v v

v v

v b v v b

v v b v v b

,

,

,

, )

)(

( )

)(

(

.

) )(

( )

)(

(

1

1 1

1

1

1 1

,

,

,

1

1 1

k

v v v

v

v v v

Y={k vectơ đơn đơn vị }Khi đó có 1 tơng ứng 1-1 giũa x và Y

Chứng Minh

Giả sử{e1, ,ek }là cơ sở trực chuẩn của W Xét ánh xạ

Y X

f :  xác định bởi f( W ) e1  e k Ta chứng minh f là song ánh

0 det 0

A I

A I

A

A

n k

j j

f

1 1

k i

,

- Trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản, chứng minh các tínhcách tính chất tenxơ.

- Chứng minh chi tiết các mệnh đề 1.4, 1.6

- Chứng minh chi tiết các tính chất của không gian tenxơ phản ứng mệnh đề

- Chứng minh các tính chất về ánh xạ phản ứng hoá, tính ngoài của k-tenxơ

- Trình bày một số tính chất của k vectơ trên không gian với tích vô hớng :mệnh đề 3.2, mệnh đề 3.5, mệnh đề 3.6

Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thêm các tính chất của vectơ trên không gian với tích vô hớng.

k-TàI LIệU THAM KHảO

1 Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, NXB Đại học s phạm.

2 Ngô Thúc Loan (1970), Đại số tuyến tích, NXB Đại học và trung học

chuyên nghiệp Hà Nội

3 Nguyễn Thị Hơng (2007), Về trờng tenxơ trên không gian IR Luận văn

thạc sĩ toán học, đại học vinh

4 Nguyễn Thị Dung (2009), Tích tenxơ của các không gian vectơ khoá luận

tốt nghiệp toán học, Đại học Vinh