Hàm vectơ hầu tuần hoàn và sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian banach

bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------TRầN THị THIÊN HƯƠNG HàM VECTƠ HầU TUầN HOàN Và Sự TồN TạI CáC NGHIệM HầU TUầN HOàN CủA PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TUYếN TíNH THUầN NHấT TRO

Trêng §¹i häc Vinh

-

 -TRÇN THÞ THI£N H¦¥NG

HµM VECT¥ HÇU TUÇN HOµN Vµ Sù TåN T¹I C¸C NGHIÖM HÇU TUÇN HOµN CñA PH¦¥NG TR×NH VI PH¢N TUYÕN TÝNH THUÇN NHÊT TRONG KH«NG GIAN BANACH

luËn V¡N TH¹C sÜ TO¸N HäC

Vinh – 2007 2007

bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh

- -TRầN THị THIÊN HƯƠNG

HàM VECTƠ HầU TUầN HOàN Và Sự TồN TạI CáC NGHIệM HầU TUầN HOàN CủA PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TUYếN TíNH THUầN NHấT TRONG KHôNG GIAN BANACH

Mục lục

Mở đầu……… 2

Chơng I Các hàm vectơ hầu tuần hoàn 1.1 Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn ……… 4

1.2 Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân các hàm hầu tuần hoàn 6

1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier……… 7

1.4 Không gian Hilbert của hàm hầu tuần hoàn……… 9

1.5 Định lý duy nhất và Định lý xấp xỉ……… 10

ChơngII Các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach 2.1 Tiêu chuẩn về tính hầu tuần hoàn của tất cả các nghiệm……… 13

2.2 Đa ra ví dụ để chứng tỏ rằng Định lý 2.1.5 ở mục 2.1 không đúng trong trờng hợp vô hạn chiều……… 17

2.3 Định lý Rcốp……….20

2.4 Tính hầu tuần hoàn của các nghiệm giới nội……… 20

2.5 Nêu ví dụ nói về sự trù mật của bao tuyến tính của nghiệm giới nội…… 25

Kết luận……… 28

Tài liệu tham khảo……… 29

Mở đầu

Lý thuyết hàm hầu tuần hoàn là một bộ phận quan trọng của lý thuyết

định tính phơng trình vi phân Lý thuyết hàm hầu tuần hoàn đợc ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật

Mục đính của luận văn là khảo sát các tính chất hàm vectơ hầu tuần hoàn

và từ đó khảo sát một số tiêu chuẩn về sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach

Trên cơ sở tài liệu về hàm hầu tuần hoàn của Левинтан В.М (1952) [4], [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], dới sự hớng dẫn của PGS.TS Tạ Quang Hải luận

văn đã nghiên cứu đề tài Hàm vectơ hầu tuần hoàn và sự tồn tại các“Hàm vectơ hầu tuần hoàn và sự tồn tại các

nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach”

Nội dung của luận văn đợc trình bày theo 2 chơng

Chơng I Các hàm vectơ hầu tuần hoàn

1.1 Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn.

1.2 Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân các hàm hầu tuần hoàn 1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier.

1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn.

1.5 Định lý duy nhất và Định lý xấp xỉ.

Chơng II Các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach

2.1 Tiêu chuẩn về tính hầu tuần hoàn của tất cả các nghiệm

nêu và chứng minh 4 định lý về sự hầu tuần hoàn các nghiệm của phơngtrình vi phân tuyến tính thuần nhất Xét sự liên hệ giữa tính giới nội và tínhhầu tuần hoàn các nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất, và đ-

a ra hai ví dụ: Chứng tỏ điều khẳng ở Định lý 2.1.5 mục 2.1 không đúng trongtrờng hợp vô hạn chiều và chứng tỏ rằng bao tuyến tính của các nghiệm giớinội etA  trù mật trong E thì phổ của toán tử A cha hẳn đã thuần ảo

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáoPGS.TS Tạ Quang Hải Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận đợc sựquan tâm giúp đỡ của các Thầy Cô giáo, bạn bè Qua đây tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy giáo hớng dẫn, tới các Thầy Cô

giáo trong tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học trờng Đại học Vinh cùngtất cả các bạn đồng nghiệp và gia đình.

Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy Cô giáo và bạn

Vinh, tháng 12/2007

Tác giả

Chơng I Các hàm vectơ hầu tuần hoàn

Trong chơng này trình bày một số nét cơ bản về hàm vectơ hầu tuầnhoàn với giá trị trong không gian Banach

1.1 Không gian Banach các hàm số hầu tuần hoàn

Giả sử  là trục số, E không gian Banach phức, f xác định trên  với giátrị trong E, f :   E Số  đợc gọi là chu kỳ của f nếu

t

Sup

 f t    f t    Tập các  - hầu chu kỳ của f kí hiệu () = (f)

Tập các số thực gọi là trù mật tơng đối nếu trong mỗi khoảng tuỳ ý của

đờng thẳng số với độ dài cố định có ít nhất một điểm của tập này

Hàm vectơ liên tục f :  E gọi là hầu tuần hoàn (theo Bore) nếu với

 > 0 tập (,f) trù mật tơng đối

Hàm hầu tuần hoàn giới nội, liên tục đều và compact tơng đối

Gọi Q = Q (, E) không gian Banach các hàm liên tục giới nội f :   E

minh rằng f  Q hầu tuần hoàn khi và chỉ khi họ tịnh tiến {fh} compact tơng

đối ở trong Q (Định lý Bocnerơ).

Từ Định lý này dễ dàng suy ra tổng các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầutuần hoàn, vì tích của hàm hầu tuần hoàn với một đại lợng vô hớng cũng làhầu tuần hoàn, cho nên tập tất cả các hàm hầu tuần hoàn làm thành một khônggian vectơ

Đa vào trong không gian với chuẩn nh đã xác định ở trên ta sẽ đợc khônggian định chuẩn B = B (, E) Dễ dàng chứng minh đợc giới hạn dãy hội

tụ các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn, cho nên B là một khônggian đầy đủ, tức là B là không gian Banach

  , là một thí dụ đơn giản về hàm số hầu tuần hoàn.

Nếu f :   E hàm vectơ hầu tuần hoàn thì với   E* hàm số

f(t) deff t , ,   f :  C (C trờng số phức) cũng là hàm hầu tuần hoàn

Hàm số có tính chất đó đợc gọi là hàm hầu tuần hoàn yếu Hàm hầu tuần hoàn

yếu là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó là compact tơng đối

Để phát biểu tiêu chuẩn compact tơng đối của họ hàm hầu tuần hoàn cầnnhắc lại các định nghĩa sau đây:

Họ hàm  f  I = F gọi là liên tục đều nếu với  > 0 tồn tại  > 0 để

h

f  f  , với h   và  f   f I

Họ hàm  f  I = F gọi là hầu tuần hoàn đều nếu với  > 0 tồn tại tậptrù mật tơng đối  để f f

   với    và với f  F và là compact tơng

đối ở t   nếu tập F(t) deff (t),f F  compact tơng đối ở E.

Họ F =  f  Icác hàm hầu tuần hoàn f :   E compact tơng đối ở Bkhi và chỉ khi nó liên tục đều, hầu tuần hoàn đều và compact tơng đối ở mỗi

điểm t  

1.2 Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân

1.2.1 Định lý Kađexơ [8] Giả sử f :   E hầu tuần hoàn khả vi ở

khi nó liên tục đều.

Trong trờng hợp hữu hạn chiều, định lý Bol-Bore khẳng định tích phâncủa hàm hầu tuần hoàn là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi tích phân đó giới nội

ở trong trờng hợp vô hạn chiều Định lý này không đúng Chẳng hạn xét hàm f với giá trị trong không gian Banach E = C tất cả các dãy số hội tụ

x = (x1, x2, , xn, ) có dạng sau đây:

 của n có thể làm cho lớn tuỳ ý.

Nh vậy vấn đề xét tính hầu tuần hoàn của tích phân các hàm hầu tuầnhoàn trong trờng hợp vô hạn chiều là một bài toán lý thú

Bocnerơ chứng minh rằng Định lý Bol - Bore đúng trong không gian Banachnếu nh tích phân là compact tơng đối Sau đó Amerio chứng minh đợc rằng

Định lý này đúng cho trờng hợp không gian Hilbert và sau đó cho các khônggian Banach lồi đều

Câu trả lời cuối cùng về tính đúng đắn của Định lý Bol - Bore là doKađexơ Chứng minh, Định lý Bol - Bore đúng khi và chỉ khi không gianBanach không chứa các không gian con, đẳng cấu với không gian C các dãy

số hội tụ

Chúng ta sẽ gọi tính chất các không gian Banach ở trên là không gian có

K tính chất Do đó không gian Hilbert, các không gian Banach lồi đều có K

tính chất, nên Định lý Bol - Bore đúng

1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier

Với mọi hàm hầu tuần hoàn tồn tại duy nhất vectơ J{f} =J{f(t)} E gọi

là giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn f: Với  > 0 tồn tại () > 0 để

3) J f  J f 

Thật vậy, với f B, ta có

J f Sup J f t J.Sup f t J f ;4) J{c} = c với f(t)  c;

Từ Định nghĩa giá trị trung bình suy ra giá trị trung bình thuộc bao lồi

đóng các giá trị của hàm hầu tuần hoàn

Chú ý rằng, Định lý Vâylia - Maka về sự tồn tại của giá trị trung bình củahàm hầu tuần hoàn trên nhóm tơng đơng với Định lý Markop về sự tồn tại

điểm bất động chung của nhóm các toán tử tuyến tính

Hàm xác định bởi công thức f = J{f(t) e- i  t} gọi là hàm phổ, tập

(f) = {: f  0} gọi là phổ của f, số   (f) gọi là số mũ Fourier của f

và f là hệ số Fourier.

Chứng minh đợc rằng (f) không quá đếm đợc Điều đó cho phép chúng

ta thiết lập chuỗi sau:

Đối với mỗi hàm hầu tuần hoàn f lập chuỗi Fourier tơng ứng

1.4 Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn

Giả sử E là không gian Hilbert (E = H) Đối với các hàm hầu tuần hoàn

f, g:   H

<f, g> = J{(f(t), g(t))}

Thấy rằng kí hiệu <,> có tất cả các tính chất của tích vô hớng Khônggian vectơ các hàm hầu tuần hoàn f :   E với tích vô hớng trên là khônggian Hilbert

H = H (, E).

Đặt f f ,f  , khi đó f1 f

ở trong H có đồng nhất thức sau

với là tập hữu hạn thuộc , C là các hệ số vectơ tuỳ ý trong H, e:   C

có dạng e(t) = eit Từ đồng nhất thức này suy ra tính chất cực trị của hệ sốFourier và đồng nhất thức Betxen (với C  0)

2

2 2

Đẳng thức này tơng đơng với Định lý nhân sau đây

Nếu f, g H thì (f(t), g(t)) là hàm hầu tuần hoàn số và ta có

J{(f(t), g(t))} =

0

(f ,g ) 

 , thêm vào đó chuỗi ở vế phải hội tụ

1.5 Định lý duy nhất và định lý xấp xỉ

ở đây ta xét hàm hầu tuần hoàn ở trong không gian Banach tuỳ ý

1.5.1 Định lý duy nhất [4] Nếu với hàm hầu tuần hoàn mà hàm phổ (f  0)

1.5.2 Định lý xấp xỉ Giả sử f:   E là hàm hầu tuần hoàn, khi đó với  > 0 tồn tại đa thức lợng giác p :   E để f p   và (p)  (f)

Để nhận đợc đa thức xấp xỉ với hàm hầu tuần hoàn đã cho chúng ta cóthể tiến hành nh sau:

Đặt ở trong chuỗi Fourier của hàm số đã cho một số hữu hạn các số hạng

và nhân các hệ số còn lại với các số dơng bé hơn 1 Giả sử f  B, , , ,

n, cơ sở của phổ Với m, n là các số tự nhiên tuỳ ý, a, a, , an là các sốthực Xây dựng nhân hỗn hợp Bocnerơ - Phâyơre:

Đa th ức l ợ ng gi ác : fa(t) = Js{ Ka( s)f( t + s)} g ọi là đa th ứcBocnerơ - Phâyơrơ của hàm hầu tuần hoàn f

Chứng minh đợc rằng với > 0 tìm đợc các số tự nhiên m, n, a1, an để

a

f  f  

Tập các giá trị của đa thức Bocnerơ - Phâyơrơ nằm trong bao lồi đóng Wf

của tập các giá trị của hàm f Đa thức Bocnerơ - Phâyơrơ nằm trong bao lồi

thêm vào đó dấu bằng sẽ không xảy ra ở bất cứ đẳng thức nào.

Vì K0 = 1 suy ra

Js{Re[K(s)f (t0+s), } < c < Js {Re[K(s)p(t0), ]}

tức là

Re[p(t0), ] < c < Re[p(t), ]

Điều mâu thuẫn này chứng minh tính chất 1

Tính chất thứ 2 đa về tính chất 1 với chú ý rằng p = Js{K(s)ˆf(s)}, với

ˆf :   B xác định bởi công thức ˆf(s) = fs

Từ Định lý xấp xỉ suy ra với  > 0 tập (f) = {:   , f  }không quá hữu hạn Thật vậy, chọn đa thức l ợng giác p để f p <,vì f  p   với    thì f < p +  với   (p) có f <  Nh vậy

(f)  (p), vì phổ của đa thức lợng giác là hữu hạn, cho nên điều khẳng

định trên đợc chứng minh

Chơng II Các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Trong chơng này chúng tôi sẽ khảo sát sự tồn tại các nghiệm hầu tuầnhoàn của phơng trình vi phân sau đây:

x = Ax, (2.1)với A toán tử giới nội hằng số, thực hiện trong không gian Banach E Kí hiệuU(t) = exp (At) và f(t) = f(t, ) = U(t)

Rõ ràng f(t, ) là nghiệm của phơng trình (2.1) thoả mãn điều kiện

đầu X(0) = 

2.1 Tiêu chuẩn về tính hầu tuần hoàn của tất cả các nghiệm

2.1.1 Định nghĩa Gọi toán tử tuyến tính A là toán tử đúng nếu

C(A) =

t

Sup U(t)

 < + (2.2)

Dễ thấy rằng, toán tử đúng có phổ thuần ảo

2.1.2 Định nghĩa Không gian Banach E đợc gọi là có tính chất K nếu Ekhông chứa các không gian con đẳng cấu với không gian C các dãy số hội tụ

2.1.3 Định nghĩa Toán tử tuyến tính A đợc gọi đơn giản nếu

U(t) =

 

i t U

củ a SôlôkhôVich

Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng nếu bỏ giả thiết không gian có tính chất K

thì Định lý không còn đúng

Ví dụ Trong không gian Banach C các phần tử x = (x1, , xn , ) Xét toán tử

Ax = (ix1, , in.xn, ), với 0 < n  0

Toán tử này đúng và hoàn toàn liên tục, nhng nghiệm e , ,e i t  1 i t  n 

của

ph-ơng trình (2.1) với điều kiện đầu x(0) = (1, , 1, ) không phải là hầu tuầnhoàn vì họ các hàm hầu tuần hoàn {ei t  n } không compact

2.1.5 Định lý Tất cả các nghiệm của phơng trình (2.1) hầu tuần hoàn khi và

chỉ khi A là toán tử đúng, hệ các vectơ riêng của nó là đầy đủ.

Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử tất cả các nghiệm của ph ơng

trình (2.1) là hầu tuần hoàn, do đó chúng giới nội và do Định lýBanach - Stein hàm toán tử U(t) giới nội, tức là toán tử A là đúng Đặt

U() = f(t,) = J {U(t) e-it} = J {e(A-i)t},với mỗi  cố định toán tử U là tuyến tính và U  C(A) Do đó

f(t,) ~ U eit (2.3)

Có thể cho đẳng thức cuối cùng này ở dạng toán tử

U(t) ~ Ueit (2.4) Chứng minh rằng các hệ số toán tử U có các tính chất sau đây

AU = U A = i U, (  ) (2.5)

UU = ,U , (,  ) (2.6)Thật vậy, từ phơng trình (2.1) ta có

A U(t) = U(t) A = (U(t) ) .Theo quy tắc lấy vi phân chuỗi Fourier

A U  = U A  = iU 

Vì  tuỳ ý nên suy ra có hệ thức (2.5) Hơn nữa

U U  = Jt {e(A-i)t U } = Jt {e(A-i)t Js{e(A-i)s }}

= Jt {Js (eA(t+s) - i(t+s) ) e-i(-)t} = Jt {U e-i(-)t} = , U 

vì   E tuỳ ý, suy ra có hệ thức (2.6)

Hệ thức (2.5) và (2.6) chứng tỏ rằng với   cố định toán tử U là toán

tử chiếu mà tập các giá trị của nó lập nên từ các vectơ riêng của toán tử A,

t-ơng ứng với giá trị riêng i, và không của không gian E (chúng ta chỉ xét các

 mà U  0)

Bây giờ, giả sử hệ các vectơ riêng của A không đầy đủ Khi đó tồn tại

0    E* biến thành không trên các vectơ riêng

Do (2.3) ta có

[f(t, ), ] ~ [U , ] eit,nhng ở đây nh đã nói ở trên tất cả các hệ số Fourier bằng không và theo Định

lý duy nhất thì [f(t,0, với t = 0 suy ra [, ] = 0, với   E Điềunày vô lý

b) Điều kiện đủ Giả sử A đúng và hệ các vectơ riêng đầy đủ Cố định   Echứng minh rằng nghiệm f(t, ) hầu tuần hoàn Với  > 0, tìm   E để

C(A)





    ,  = c, với c là các số phức: A = i

Ta có f(t,) = ceit là đa thức lợng giác và

f (t, ) f (t, )   C(A)      ,vì  tuỳ ý suy ra f(t,) hầu tuần hoàn Định lý đợc chứng minh

2.1.6 Định lý Giả sử E = H là không gian Hilbert Khi đó tất cả các nghiệm

của phơng trình (2.1) hầu tuần hoàn khi và chỉ khi toán tử A tơng đơng tuyến tính với toán tử dạng iB, với B là toán tử tự liên hợp với phổ điểm

Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử tất cả các nghiệm của (2.1) là hầu tuần

hoàn Đặt

<x, y> = J {(etAx, etAy)}

Tích vô hớng này thoả mãn tất cả các tiên đề về tích vô hớng, và nó tơng đơngtôpô với tích vô hớng cũ

Do <x, y> = (Tx, y) với T là toán tử tự liên hợp dơng đều Và

<Ax, y> = J {etAAx, etAAy)} = J {(etAx, etAy) - (etAx, etAAy)}

= - J {(etAx, etAAy)} = - <x, Ay>

vì giá trị trung bình của đạo hàm hầu tuần hoàn bằng không Do đó

A = - A*.

iB =  A1  1Khi đó

A = T12 (iB) 12

và

B = B*.Theo Định lý 2.1.5 toán tử A có hệ đầy đủ các vectơ riêng, thì toán tử Bcũng có tính chất đó Điều kiện cần đợc chứng minh

b) Điều kiện đủ Hiển nhiên

2.1.7 Định lý Hàm toán tử U(t) = exp(tA) hầu tuần hoàn khi và chỉ khi toán

tử A thuộc loại đơn giản và phổ của nó thuần ảo.

Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử U(t) là hàm hầu tuần hoàn và

U(t) ~ Ueit với mỗi   , trong đó toán tử U là chiếu Do đó

ảo

b) Điều kiện đủ Ngợc lại nếu có (2.8) và (2.9) thì (2.7) đúng và do đó U

là đa thức toán tử lợng giác (ở trong (2.7) và (2.9) cần thay (U) bởi (A)/i).i)

Định lý đợc chứng minh