chuyen de tich phan ltdh

Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tích thành tổng Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác: Loại 1:... ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I.[r]

Trang 1

LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com

TÍCH PHÂN N

I PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số :

1) LOẠI 1:Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

Bước 1: Đặt tu(x)dtu'(x)dx (đạo hàm)

Bước 2: Đổi cận :

) (

a u t

b u t a x

b x







Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

) ) (

) ( )

( ' ) (

b u a u b

a

dt t f dx x u x u f

Bài tập1: Tính các tích phân sau

1)

2

3 2

0

cos x sin xdx



2 5 0

cos xdx



4

2 0

sin 4x

dx

1 cos x





1

0



5)

2

2 3 0

sin 2x(1 sin x) dx





4 4 0

1 dx cos x



e

1

1 ln x dx x



4

0

1 dx cos x



9)

1

1 ln x

dx

x



1

5 3 6 0

x (1 x ) dx

6

2 0

cos x

dx

6 5sin x sin x



3 4

0

tg x dx cos 2x

13)

4

0

3 sin 2

dx x





2

0 cos2 4sin2

2 sin



dx x x

x

15) 



5 ln 3

ln e x 2e x 3

dx

16) 



2

0(2 sin )2

2 sin



dx x

x

17) 



2

0 1 cos

cos

2

sin



dx x

x x

0

sin

cos ) cos (



xdx x





2

11 x 1dx

x

x x

1

ln ln 3 1

Bài tập2: Tính các tích phân sau

1

2011

0

1

x  x dx

2 2

2 3

0 (1 )

x dx x



2

0 4

x dx x



3 2

0

3

x  x dx

5

0 4

x dx x





6

1

0

1

x  x dx

1

0

1

x  x dx

2 2 5

2

0 1

x dx x



2 3

2

5 4

x dx x



2

0

sinx

1 cos x dx





11

3

2

0

sin x

1 cos x dx





2

1

0

x

e xdx

 ; 13

1

01

x x

e dx e



tanx 4 2 0

2

os dx

c x



2 3

2 2

1 4

dx

x x 



2) LOẠI 2: Tính I =

b

a

f(x)dx

 bằng cách đặt x = (t)

Bước 1: Đặt x(t)dx'(t)dt

Trang 2

Bước 2: Đổi cận :











t

t a x

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được







 t t dt f

dx x f I

b a

) ( ' ) ( )

a) Dạng 1: 2 2  

0

, 0

a

a  x dx a 

2 2

   

 

   

BT: Tính các tích phân sau:1

1 2 2 0

1 x dx 

6 2

2 1

4 2x dx 

3 2

2 3 0

(1  x dx )

2

2 0

8

x  x dx

5

3

2

0

3

x  x dx

3 2

0

3

x  x dx

2 3 2

3 x dx x



3 2 1

7 2 1



b) Dạng 2:  

2

2 2 0

1

, 0

a

dx a

a x





2 2

   

   

BT: Tính các tích phân sau:

1

2

0

1

2

dx

x



6 2

2

1 2

x dx x



2 2 2

2 3

0 (1 )

x dx x



2

0 4

x dx x



2

1

1 4

dx

x  x



c) Dạng 3: 2 2

0

1

a

dx

x  a

0

a

x  a dx

2 2

   

   

BT:: Tính tích phân: 1

1 2 0

1

1 dx

x 

3 2 1

1

3  x dx

1 2

x dx

x 

3 2 2

1 3

x dx x



2

2 2

, 0

a

x  a dx a 

2

2 2 3

2

1

, 0

a

dx a

x a





Cách giải: Đặt:

sin

a x t

 (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung và đưa x2 ra ngồi, rồi đặt t a

x

 thì các tích

phân này trở lại dạng 1 và dạng 2)

Tính:1 



2

3

2 x x2 1

dx

12



;2

1

2 1

3

2

dx

3



3

2 2 2

2

4

x dx x



2 2 2 2 2

4

x dx x



Trang 3

2) Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phân

BT: 1/Tính: 1  

2

0

2 x 1 cos xdx





2

2 0

(2cos 1)





2

4 0

( x c os x)sin xdx





2

2 0

( x c osx)sin xdx







2/ Tính: 1

1

2 0

(1 3 )  x e dxx

1 2 0

( x  2 ) x e dxx

1

2 0

(2 x  1)3xdx

1

0

(4 x  2 x  1) e xdx

3/ Tính: 1

1

ln

e

xdx

 ; 2

3 2 2

ln(x x dx)

2 2 1

x x x dx

3

2

(2x1) ln(x1)dx



4/ Tính: 1)

2 5 1

ln x dx x

2 2 0

x cos xdx



2

0

sin xdx



3 2 0

x sin x

dx cos x





2

0

s inx

x

e dx



III TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ:

Dạng: ( )

( )

b

a

P x

dx

Q x

 Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, khi đĩ ta cĩ các trường hợp sau:

+ Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x)

+ Nếu bậc P(x) <bậc Q(x) thì phân tích ( )

( )

P x

Q x thành các phân thức đơn giản theo 1 trong 3 quy tắc sau:

QT1:

n

A

Q x  x a x a x a  x a  x a   x a

QT2:

3

2

A

Q x  x a x c  x a x c  x c   x c

QT3:

3 3

2

( ) ( )

A x B



    

  

Lưu ý tích phân dạng tổng quát sau: I 2 dx  a 0 

ax bx c





 

 Xét   b2  4 ac

Bước 1: Đặt

hàm) nguyên

hàm) (đạo ( ) (

) ( ' )

( '

) (

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u







- Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa lnx thì đặt









lại còn phần

dv

x

u ln

- Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa {sinx, cosx, ex} thì đặt









dx e x x dv

u

x

} , cos , {sin

dv ngoài lại còn phần

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :

b a

udv uv   vdu

Trang 4

+)Nếu   0 thì

2 2

dx I

b

a x

a









+)Nếu   0 thì

I







     

+) Nếu   0thì đưa tích phân I về dạng 2 2

0

1

a

dx

x  a

BT: Tính các tích phân sau: 1.

3 2

dx

x 

3 3 2 1

dx

x x



1 7

4 2

0( 1)

x dx

x 

2 5

1 ( 2)

dx

x x 

5

2

1 ( 2)

dx

x x 

3 1

x x



2 0

1



2 1

1

x dx

x x





III TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

Dạng 1: sin x.cos

b

a

xdx

1 Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt: t= cosx

2 Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt: t= sinx

3 Nếu m chẵn, n chẵn thì đặt: t= tanx

4 Nếu m chẵn, n chẵn và dương thì áp dụng công thức hạ bậc

5 Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tích thành tổng

Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác:

Loại 1:

cos

dx I

asinx b x c





Đặt

2

2 tan

t

2 sin

1

t x

t



 và

2 2

1 cos

1

t x

t







Ví dụ: a)

4 c o s 3 sin 5

d x

x  x 

2

2 tan

t



2 1





dt

2

x t



sin cos

m x n x p

a x b x c



 Ta cần tìm A, B, C sao cho:

m x  n x  p  A a x  b x  c  B a x b  x  C  x

Trang 5

Ví dụ minh họa: Tính: cos 2sin

4 cos 3sin







Ta tìm A, B từ hệ thức: cos 2sin x  x A   4cos 3sin x  x B     4sin 3cos , x  x   x để từ đó thế vào và tính I

Loại 3: Tính

sin sin cos cos

dx I

a x b x x c x d



 Chia tử và mẫu cho cos2x, sau đó đặt t = tanx

BT: 1.

3

0

1

cos x dx



2 3 6

1 sin x dx



2

0

1

4 2 cos x dx





3 5

0

tan xdx



2

0

1 sin x cos x dx





2

0

1

1 sin x dx





Loại 3: I = a sin cos

dx



sinx cos sinx cos

A B

BT: Tính:1

2

0

2 inx-3cos

sinx cos

dx x





2

3

2 inx+3cos sinx-2cos 2

dx x



4

0

2 inx+cos sinx- cos

dx x



4

0

3 inx- cos 2s inx+cos

dx x



Loại 4:

2

0

sin sin os

n

x

x c x







2

0

sin

n

x

x c x









2

0

os

n

c x

dx

x c x







Từ đó: I+J=2I=

2

0

os

c x

dx

x c x





6 2

0

os

c x

dx

x c x





2011 2

2011 2011 0

sin

x dx







Chú ý: Một số dạng tích phân đặc biệt, vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Lượng để được hỗ trợ miễn phí

-

I Tính diện tích:

1 Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi:

b

a

dx x g x f

2 Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi:

b a

dy y g y f

S ( ) ( )





















b x

a x

x g y C

x f y C H

: :

) ( : ) (

) ( : ) ( :

)

(

2 1 2 1

x

y

)

(H

) ( : ) (C1 y f x

) ( : ) (C2 y g x

a

x  x  b

O





















b y

a y

y g x C

y f x C H

: :

) ( : ) (

) ( : ) ( : )

(

2 1 2 1

x

y

)

(H

a b

) ( : ) (C2 xg y

a

y 

b

y 

O

Trang 6

II Tính thể tích:

1 Quay quanh Ox

 V f x dx

b a

2

) (





2 Quay quanh Oy

b a

2

) (





Bài tập Tính thể tích 1 y=-x2+4x và trục Ox : a.Quanh Ox (ĐS : )

15

512

; b Quanh Oy (ĐS : )

3

128

2 y=(x-2)2 và y=4 a Quanh Ox (ĐS : )

5

256

3

128

3 y=x2+1 ,Ox ,Oy và x=2 a Quanh Ox (ĐS : )

15

206

; b Quanh Oy (ĐS : 12)

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau:

x

ln

2

x

2

1

x



2

D y xc x y x x 

-

TỔNG HỢP CÁC BÀI TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y x22x3 y x 3 ĐS : 109

6

S 

Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2

4

x

2

4 2

x

3

S   

Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân :

2 3

2

dx I

x x





 ĐS : 1ln5

Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân :

2 4

0

1 2 sin

1 sin 2

x









2

Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân :

a y0 b

) ( : ) (C y f x

b

a

x 

b

x 

x y

O

b

a

x

y

0



x

O

) ( : ) (C x f y

b

y 

a

y 





















b x

a x

y Ox

x f y C H

: :

0 :

) ( : ) ( : ) (

2 1





















b y

a y

x Oy

y f x C H

: :

0 :

) ( : ) ( :

)

(

2 1 1

Trang 7

2

0

I x x dx

ĐS : I 1

2

11 1

x I

x





ĐS : 11 4 ln 2

3

I  

0

1 3ln ln

e

x





ĐS : 116

135

I 

3

2 2

I  x x dx

ĐS : I 3 ln 3 2

2

0

1 3cos

x





 

 ĐS :

34 27

I 

2

0

sin 2 cos

1 cos

x









ĐS : I 2 ln 2 1

2

sinx

0



ĐS : 1

4

I e 

  

2

0

sin 2

x









ĐS : 2

3

I 

ln 5

ln 3

x x

dx I





ĐS : ln3

2

I 

1

2 0

I  x e dx

ĐS :

2

5 3 4

e

Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y(e1)x, y(1e x x) ĐS : 1

2

e

S  

Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường yxlnx, y 0 , x Tính thể e

tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox ĐS :

3

27

e

3 2

1

ln

e

Ix xdx ĐS :

4

32

e

I 

4 6

tan x



 ĐS : I  1ln(2 3) 10

Trang 8

4

0

4





4

2

3

1

ln x

x

16

2

0



 

3

2 1

x







3

x

1

dx

I





I e  e 

0

2

x

e





e

1

ln

e

x





I  l

1

3

e

x

2

1 2

e

I  

4

0







3

2 0

os





3

4

0

x





 

I  l   

 

3

2 1

1 ln(x 1)

x

4 2

0

x



2

/ 4

0



2 1

 

Trang 9

2 2

2 1

1 ln



x

ln 2

1

2 0

2

3

2 0

1

x







TỔNG HỢP MỘT SỐ ĐỀ THI CAO ĐẲNG

1

4

e

x

xdx KQ e x



2 4 2 0

x x

dx KQ x





 1 3

x

a

x

1

0

5

f x dx 

4 CĐ2003

3

3 1

: 15

dx KQ

x x

2 cos 0

x

e xdx KQ





6 CĐ2003B

2 4

2 0

x x

dx KQ x



3 2 0

3

8

x dx KQ





8.CĐ2004B

7

3 0

: 10 1

x

dx KQ x

2 4

0

1

2



2

0

4

x xdx KQ





1

: 3

1 2ln

e

x

dx KQ

2 0

:1 ln 2 ln 3

x x

dx KQ x

4

0

: 2 ln 2

x

dx KQ x





-

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT

Lớp bồi dưỡng kiến thức và LTĐH chất lượng cao

www.huynhvanluong.com Lớp học thân thiện của học sinh Tây Ninh

0918.859.305 – 01234.444.305 – 0996.113.305 0929.105.305-0967.859.305-0666.513.305

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	329,85 KB