Về các tính chất của hội tụ thô

Liên tục thô và mối quan hệ với các khái niệm liên tục khác... Giáo s cũng đã đa ra khái niệm “liên tục thô” và đề xuất nhiều kết quả rộng hơn hay thậm chí không có trong giải tích kinh

Trờng đại học vinh

Vinh - 2003

Trờng đại học vinh

khoa toán

Về các tính chất của hội tụ thô

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành học: Cử nhân s phạm Toán

Chuyên ngành: Giải tích

Cán bộ hớng dẫn khoá luận: TS Đinh huy hoàng

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Đức

Lớp 40A2 - Toán

1.3 Mối quan hệ giữa các khái niệm hội tụ. 8 1.4 Sự phụ thuộc của LIMrxi vào r. 13 1.5 Mối quan hệ giữa độ tụ và độ Cauchy 15

Chơng 2. Liên tục thô và mối quan hệ với các

khái niệm liên tục khác.

Lời mở đầuKhái niệm hội tụ đã đợc trình bày trong chơng trình giải tích cổ điển, trong không gian metric, trong không gian tôpô, Chúng ta có thể nói rằng khái niệm hội tụ là một khái niệm cơ bản quan trọng và có nhiều ứng dụng trong giải tích

Đầu tháng 9 năm 2002 vừa qua, trong báo cáo tại Hội nghị Toán học toàn quốc

tổ chức tại Huế, với nhan đề “Mấy ý tởng của giải tích thô”, GS Hoàng Xuân Phú đã đa ra khái niệm “hội tụ thô” Khái niệm này là sự tổng quát của khái niệm hội tụ theo nghĩa thông thờng Giáo s cũng đã đa ra khái niệm “liên tục thô” và đề xuất nhiều kết quả rộng hơn hay thậm chí không có trong giải tích kinh điển, tuy nhiên Giáo s không đa ra chứng minh các tính chất này Để tìm hiểu sâu hơn khái niệm hội tụ thô một vấn đề đặt ra là chứng minh các kết quả

mà Giáo s đã đề xuất, tìm kiếm xem có tính chất nào khác nữa không? Liệu khái niệm hội tụ thô, liên tục thô có những mối liên hệ gì với các khái niệm liên tục khác Và một vấn đề cuối cùng đợc đặt ra là liệu có mở rộng khái niệm hội tụ thô trong không gian 3n đợc không? Nếu đợc thì mở rộng nh thế nào và khi đó

các tính chất mà Giáo s đã đề xuất sẽ biến đổi nh thế nào? Với những suy nghĩ

nh vậy, khoá luận tốt nghiệp này đã đợc chia làm 3 chơng:

Chơng 1 Hội tụ thô

Nội dung chủ yếu của chơng này là chứng minh các tính chất về hội tụ thô đã nêu trong [1] nhng cha có chứng minh Mặt khác chúng tôi cũng đa ra và chứng minh một số mệnh đề mới nh các mệnh đề 1.2.4, 1.2.5, 1.3.2, 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8 góp phần làm phong phú thêm các kết quả về hội tụ thô.Chơng 2 Liên tục thô và mối quan hệ với các khái niệm liên tục khác

Nội dung chủ yếu của chơng này là tìm mối quan hệ giữa các khái niệm liên tục thô, chỉ ra các hàm thoả mãn khái niệm này Cụ thể tác giả đã đề xuất và chứng minh mệnh đề 2.6 và cuối cùng là tìm hiểu mối quan hệ giữa khái niệm hội tụ thô, tập điểm r - hội tụ với khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Điều

này đợc thể hiện qua việc tác giả đã đề xuất và chứng minh các mệnh đề 2.8, 2.9, 2.10, 2.11

Chơng 3 Sự mở rộng khái niệm hội tụ thô trong không gian 3n

Trong chơng này, tác giả đa ra khái niệm hội tụ theo một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, chứng minh đợc khái niệm hội tụ thô trong không gian 3n chỉ là

một trờng hợp đặc biệt của khái niệm này Tác giả cũng đã đề xuất và chứng minh một số tính chất của khái niệm vừa đa ra, chỉ ra rằng một số tính chất đã nêu ở chơng 1 là những trờng hợp riêng của các tính chất này.

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS Đinh Huy Hoàng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã dành cho tác giả nhiều thời gian quý báu, tận tình chỉ bảo cho tác giả trong suốt quá trình làm khoá luận Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành khoá luận này

Cuối cùng, tác giả mong muốn nhận đợc sự góp ý chân tình của các thầy giáo, cô giáo và các bạn

Vinh ngày 20 tháng 4 năm 2003

Tác giả

Chơng 1

Hội tụ thô

Khái niệm hội tụ thô đã đợc GS Hoàng Xuân Phú trình bày trong bài “Mấy ý tởng của Giải tích thô” tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6 tháng 9 năm 2002.

Trong chơng này, một mặt chúng tôi chứng minh một số mệnh đề do GS Hoàng Xuân Phú giới thiệu nhng không có chứng minh Mặt khác chúng tôi cũng đa ra một số mệnh đề mới nh các mệnh đề 1.2.4, 1.2.5, 1.3.2, 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6, 1.5.7, 1.5.8 góp phần làm phong phú thêm các kết quả về hội

tụ thô

1.1 Các định nghĩa

Cho (X, ||.||) là không gian định chuẩn, r và ρ là 2 số thực không âm

+) Dãy (x i) ⊂X gọi là r - hội tụ tới x* ∈X và kí hiệu là x i   →r x * nếu với mọi ε >

0, tồn tại iε∈ℕ sao cho với mọi i ≥iε ta có ||x i - x *|| < r + ε

+) Với S ⊆X, tập LIM s, r x i := {x * ∈ S: x i   →r x *} gọi là tập điểm r- hội tụ thuộc S.

+) LIMr x i := LIMX, r x i

+) Nếu LIMr x i ≠φ thì ta nói (x i) r- hội tụ và gọi r là một độ tụ của (x i)

+) diamS := sup x,y∈ S||x - y|| gọi là đờng kính của tập S với S ⊂X.

1.2 Các tính chất của tập điểm r - hội tụ

Chứng minh Với mọi x, y ∈ LIMr x i thì x i   →r x và x i   →r y Do đó với mọi ε > 0 tồn tại iε1 ,iε2 ∈ℕ sao cho

Vậy ||x - y|| < 2r + 2ε với mọi ε > 0, với mọi x,y ∈LIM r x i Cho ε→ 0 ta có

||x-y|| ≤ 2r với mọi x,y ∈ LIM r x i Do đó

i LIM y

x, ∈ r x

sup ||x - y|| ≤ 2r hay diamLIM r x i ≤

2r (đpcm)

Chứng minh Nếu LIM r x i = φ thì LIMr x i đóng và lồi

Bây giờ ta chứng minh cho trờng hợp LIMr x i≠φ

Giả sử X \ LIM r x i không mở Khi đó tồn tại α ∈X \ LIM r x i sao cho với mọi ε

> 0, tồn tại x * ∉ X \LIM r x i sao cho ||x * -α|| <

Do đó λx + (1 - λ)y ∈ LIMr x i Vậy LIMr x i là đóng và lồi

Mệnh đề 1.2.3 Nếu ( x i′) là dãy con của (x i) thì LIM r x i ⊆ LIM r

i

x′.

Chứng minh Nếu LIM r x i = φ thì ta có điều phải chứng minh

Nếu LIMr x i≠φ thì với mọi α∈ LIMr x i cần chứng minh α∈ LIMr

k i

Chứng minh Nếu LIM r1x i= φ hoặc LIM r2y i= φ thì LIM r1x i+LIM r2y i = φ nên

ta có điều cần chứng minh

Xét trờng hợp LIM r1x i ≠φ và LIM r2y i ≠ φ Khi đó với mọi α ∈

i

r x

LIM 1 , với mọi β ∈LIM r2y ita cần chứng minh α + β∈

) (

2

1

i i

r

LIM + + Từ α∈LIM r1x i, β∈ LIM r2y i suy ra

Với mọi ε > 0, tồn tại iε1 ,iε2 ∈ℕ sao cho

Mệnh đề 1.2.5 λLIM r x i ⊆ LIM|λ|rλx i với mọi λ∈R.

Chứng minh Nếu LIM r x i = φ thì ta có điều phải chứng minh

Xét trờng hợp LIMr x i≠φ

Nếu λ = 0 thì λLIMr x i = {0} và LIM|λ|rλx i = LIM0λx i = {0} (vì λx i = 0 với mọi i ∈ℕ*)

Nếu λ≠ 0 thì với mọi α ∈ LIMr x i ta chứng minh λα∈ LIM|λ|rλx i Từ α ∈

LIMr x i suy ra với mọi ε > 0, tồn tại iε ∈ℕ sao cho với mọi i ≥iε ta có ||x i - α|| <

r + λε Do đó với mọi ε > 0, tồn tại iε ∈ ℕ sao cho với mọi i ≥iε ta có ||λx i -

λα|| = ||λ(x i -α)|| = |λ|.||x i - α|| < |λ|(r + λε ) = |λ|r + ε

Vậy λα∈ LIM|λ|.rλx i

≠φ

Chứng minh a) Giả sử (x i) bị chặn khi đó tồn tại r ≥ 0 sao cho LIMr x i≠φ

Vì (x i) bị chặn nên tồn tại r ≥ 0 sao cho ||x i|| ≤ r với mọi i ∈ ℕ Do đó với mọi ε > 0 ta có ||x i - 0|| = ||x i|| < r +ε với mọi i ∈ ℕ Từ đó 0 ∈ LIMr x i hay LIMr x i≠φ

b) Tồn tại r ≥ 0 sao cho LIMr x i≠φ suy ra (x i) bị chặn

Vì LIMr x i ≠ φ nên tồn tại α ∈ LIMr x i Khi đó với ε0 > 0 tồn tại iε0∈ ℕ sao cho i ≥ iε 0ta có ||x i - α|| < r +ε0 Do đó

||x i|| = ||x i -α + α||≤|x i - α|| + ||α|| < r + ε0 + ||α||

Đặt M = max{||x0||,||x1||, ,||x iε 0||, r+ε0 +||α||} thì ||x i||≤M với mọi i ∈ℕ Vậy (x i) bị chặn

1.3 Mối quan hệ giữa các khái niệm hội tụ

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ thô với sự hội tụ thông thờng

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử r ≥ 0 và (x i) ⊂ X Khi đó x i   →r x * khi và chỉ khi tồn tại

(y i) ⊂X sao cho y i→x * và ||x i - y i||≤r với mọi i = 1, 2, 3,

Chứng minh a) Giả sử tồn tại (y i) ⊂X sao cho y i →x * và ||x i - y i||≤r với mọi

x x x

r x

r x x x

i i

i i

nếu

r

i i

r x

x x x

r

i i

i i

ℕ sao cho với mọi i ≥iε ta có ||x i - x *|| < r +ε Do đó

||y i - x *|| = * *

*

) (x x x x

r

i i

r

i i

r

i i

*

*

2 1

*

x

x x x

r r

x

x

i i

r r x

x x x

r r

i i

i i

Nếu y i tính theo (1) thì ||y i - x *|| = ||x * - x *|| = 0 < r2 + ε

Nếu y i tính theo (2) thì từ x i   →r1 x * suy ra tồn tại iε ∈ℕ sao cho với mọi i ≥iε

ta có ||x i - x *|| < r1 + ε Khi đó:

r r

r r

i i

r r

i i

x x

r r

i } Khi đó với mọi i ≥iε ta có

Vậy với mọi ε > 0 ta có ||x * - α|| < r +ε

Cho ε→ 0 ta đợc ||x * - α||≤r hay α∈ B r(x *) Từ đó suy ra

Vì (x i) ⊂ X1 - compact nên (x i k ) ⊂ (x i) ⊂ X1 - compact Do đó dãy (x i k ) có dãy con hội tụ Giả sử là (x i k) ⊂ (x i k ) và x i k →α∈X1 Do x i k →α nên LIM r



k

i

x = B r(α) (theo mệnh đề 1.3.3) Do (x i k) ⊂ (x i k ) ⊂ (x i) nên theo mệnh đề 1.2.3 ta có:

B r(x *) = LIM r x i ⊆LIM r

k i

r ≥||y - α|| = αα − α

−

− +

Điều này là mâu thuẫn vì ||x i k- x *||≥ε0 với mọi λ∈ℕ*

φ thì LIM r x i⊆ c∈C B r(c)

Chứng minh Nếu LIM r x i = φ ta có điều phải chứng minh

Xét trờng hợp LIMr x i ≠ φ Lấy α ∈ LIMr x i Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại iε ∈

ℕ sao cho với mọi i ≥iε ta có ||x i - α|| < r +

Cho ε→ 0, ta có ||c - α||≤r Vậy α∈ B r (c).

LIM r x i = c∈C B r (c), với C là tập tất cả các điểm tụ của (x i)

Chứng minh Giả sử (x i) ⊂ X1 ⊂ X sao cho X1 là tập compact Vì (x i) ⊂X1 nên

từ dãy (x i) trích đợc dãy con hội tụ Vì thế C ≠φ Theo mệnh đề 1.3.5 ta có

LIM r x i ⊆ c∈C B r(c)

Vậy để hoàn thành chứng minh mệnh đề 1.3.6 ta cần chứng minh:

c∈C B r(c) ⊆ LIMr x i

Lấy α∈ c∈C B r(c) Ta có ||α - c|| ≤r với mọi c ∈C (1)

Ta cần chứng minh x i  →r α Giả sử ngợc lại x i không r - hội tụ tới α Khi đó tồn tại

ε0 > 0 và dãy con (x i k ) ⊂ (x i) sao cho

ε α

ε α

r x

r x

Cho dãy (x i) ⊂X Kí hiệu r = inf{r ∈3+ : LIMr x i ≠φ} (3+ là tập các số thực không âm)

LIM r x i⊆LIM r x i + B r'−r(0) ⊆LIM r’ x i

Chứng minh Với mọi α ∈ LIMr x i ta có α = α + 0 ∈ LIMr x i + B r'−r(0) Do

đó LIMr x i ⊆ LIMr x i + B r'−r(0)

Lấyα∈ LIMr x i, β ∈B r'−r(0) Từ β ∈B r'−r(0) suy ra ||β|| ≤ r - r’ Mặt khác, α∈ LIMr x i nên x i   →r α Khi đó với mọiε > 0, tồn tại iε∈ℕ sao cho với mọi

i ≥iε ta có ||x i -α|| < r +ε Do đó ||x i - (α +β)|| = ||x i - α - β|| ≤||x i - α|| + ||β|| < r +ε + r - r’ = r +’ ε với mọi i ≥ ε

Vậy α + β∈ LIMr’ x i và do đó LIMr x i + B r'−r(0) ⊆ LIMr’ x i

1.5 Mối quan hệ giữa độ tụ và độ cauchy

(x i) nếu với mọi ε > 0, tồn tại iε ∈ℕ sao cho với mọi i, j ≥iε ta có ||x i - x j|| < ρ +

ε

Chứng minh Giả sử (x i) là dãy r- hội tụ Khi đó LIM r x i ≠φ nên tồn tại α∈

LIMr x i Vì thế với mọiε > 0, tồn tại iε∈ℕ sao cho với mọi i ≥iε ta có ||x i - α|| <

điểm tụ của (x i) Khi đó nếu C ≠φ thì với mọi α, β∈C ta có ||α - β||≤ρ

Chứng minh Vì α, β∈ C nên tồn tại các dãy con ( x i k ) và (x i' ) của (x i) sao cho x i k →α, x i'  →β Kết hợp với giả thiết (x i) là dãyρ - Cauchy ta có

Với mọi ε > 0, tồn tại iε∈N sao cho i k, i'

Do hình cầu đóng B h(0) là tập đóng, bị chặn trong 3n nên là tập compact

Mệnh đề 1.5.5 Giả sử (X, ||.||) = (3, ||.||), r ≥ 0 Nếu (x i) ⊂ 3 là dãy 2r- Cauchy thì (x i) là dãy r- hội tụ.

Chứng minh Giả sử (x i) ⊂3 là dãy - 2r Cauchy, theo mệnh đề 1.5.4 thì (x i)

đ-ợc chứa trong một tập compact Giả sử (x i) ⊂X1⊂ R, trong đó X1 là tập compact Gọi C là tập tất cả các điểm tụ của (x i) Do (x i) ⊂X1 nên từ (x i) trích đợc dãy con hội tụ Nh vậy C ≠φ Khi đó theo mệnh đề 1.3.6 ta có

LIMr x i = cC B r c

∈

) ( Cũng từ (x i) ⊂X1 mà X1 là tập compact nên C ⊂ X1 Do đó C bị chặn Vậy ta

∈

) ( = LIMr x i Nh vậy LIMr x i≠φ và do đó (x i) là dãy r- hội tụ.

Chứng minh Suy trực tiếp từ mệnh đề 1.5.2 và mệnh đề 1.5.5.

với mọi r thoả mãn ρ > r 3 > 0

Chứng minh Trong mặt phẳng 32, dựng tam giác đều ABC sao cho AB =

Khi đó rõ ràng (x i) là dãy ρ - Cauchy và (x i) có đúng 3 điểm tụ là A, B, C Vì tam

giác ABC đều cạnh ρ nên bán kính đờng tròn ngoại tiếp

với mọi r thoả mãn ρ > 38r > 0.

Chứng minh Trong 33 xét tứ diện A1A2A3A4 có cạnh bằng ρ Xét dãy (x i) ⊂

Khi đó dễ thấy (x i) là dãy ρ - Cauchy và (x i) có đúng 4 điểm tụ là A1, A2,

2 4

1

2 2

2

4

j i

j i j

2

j

OA OA

j i

j OA OA OA

4 1

2

− +

2 (

j

OA OA R

j

OA OA

2

2

j i

j i i

Chơng 2

Liên tục thô và mối quan hệvới các khái niệm liên tục khácCho (X, ||.||X), (Y, ||.||Y) là các không gian định chuẩn, r X và r Y là hai số thực không âm

f đợc gọi là liên tục tại x ∈ D nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x’ ∈D mà ||x’ - x||X < δ ta có ||f(x’) - f(x)||Y < ε

f đợc gọi là liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi x ∈D.

mọiε > 0, tồn tạiδ > 0 sao cho với mọi x’∈D mà ||x -x’ ||X <δ ta có

||f(x’) - f(x)||Y < r Y + ε

f đợc gọi là o- r Y liên tục trên D nếu f -o- r Y liên tục tại x ∈D.

mọiε > 0, tồn tạiδ > 0 sao cho với mọi x’ ∈D mà ||x - x’ ||X < r X + δ ta có

d(f(x’), f( B r X (x))) = y finf(B (x))

X r

∈ ||f(x’) - y||Y < ε

f đợc gọi là r X - o liên tục trên D nếu f - r X -o liên tục tại mọi x ∈D.

mọiε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x’ ∈D mà ||x - x’ ||X < r X + δ ta có

d(f(x’), f( B r X (x))) = y finf(B (x))

X r

∈ ||f(x’) - y||Y < r Y + ε

f đợc gọi là r X - r Y liên tục trên D nếu f - r X - r Y liên tục tại mọi x ∈D.

Định nghĩa 2.5 Giả sử X, Y là các không gian mêtric Ta kí hiệu:

P(Y) = {các tập con của Y}

ánh xạ s : X →F C(Y) đợc gọi là nửa liên tục trên nếu với mọi U mở trong Y

thì s-1(U) mở trong X.

Nhận xét: Từ f liên tục trên D suy ra f - o - r Y liên tục trên D.

Từ f - r X - o liên tục trên D suy ra f - r X - r Y liên tục trên D.

Để chứng minh mệnh đề này, trớc hết ta chứng minh bổ đề sau

1

) ( || (do f tuyến tính)

) ( )

≤ 2

1

2 2

1

2

) (

0 ≤||f(x’) - f(x)|| = ||f(x - x’)|| ≤M.||x - x’ || với mọi x,x’ ∈3n

Với mọi ε > 0, chọn δ = Mε Khi đó, từ ||x - x’ || < δ suy ra

||f(x’) - f(x)||≤M.||x -x’ || < M.δ = ε

Vậy f liên tục trên 3n và do đó f - o - r Y liên tục trên 3n

Bây giờ ta chứng minh f - r X - o liên tục.

Giả sử x∈3n, với mọi ε > 0, chọn δ = Mε Ta sẽ chứng minh với mọi

x’ ∈3n

mà ||x’ - x||X < r X + δ ta đều có

d(f(x’), f( B r X (x))) = inf ( ( ))

x B f

y∈ r X ||f(x’) - y||Y < ε

Thật vậy, ta có

d(f(x’), f( B r X (x))) = inf ( ( ))

x B f

y∈ r X ||f(x’) - y||Y

= z infB (x)

X r

∈ ||f(x’) - f(z)||Y

= z infB (x)

X r

∈ ||f(x’ - z)||Y (do f tuyến tính)

≤ z infB (x)

X r

∈ M||x - z’ ||X (theo bổ đề 2.7)Nếu ||x - x’ ||X ≤ r X thì x’ ∈ B r X (x) nên inf ( )

x B

z∈ r X M||x - z’ ||X = M inf ( )

x B

x x

x x r

−

− '

'

= r X

X

X x x

x x

x x r x x

X

x x

r x

∈ M||x - z’ ||X = M inf ( )

x B

z∈ r X ||x - z’ ||X ≤ M.||x - z’ 0||X < M.δ = M Mε = ε

Nh vậy ta có d(f(x’), f( B r X (x))) ≤ inf ( )

x B

z∈ r X M ||x’ - z||X < ε

Từ đó suy ra f - r X - o liên tục tại x, với mọi x ∈ 3n hay f - r X - o liên tục trên

3n và do đó f - r X - r Y liên tục trên 3n

||x|| = supi∈N ||x i||, trong đó x = (x i) ∈C0, chuẩn trong 3n là chuẩn thông thờng, r là

số thực không âm Khi đó, ánh xạ

s r : C0 → F C(3n)

(x i) α LIM r x i

là nửa liên tục trên.

Chứng minh Từ (x i) ∈C0 suy ra x i → 0 Do đó theo kết quả đã chứng minh ở chơng 1 ta có LIMr x i = B r(0) Vì B r(0) là tập đóng khác rỗng, bị chặn trong 3n

nên là tập compact khác rỗng Do đó LIMr x i là tập compact khác rỗng