Về các điều kiện (ci) của môđun

1.3.2 Chiều đều: i Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều hay chiều Uniform hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong M.. Ngời ta đã chứng

bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh

Về các điều kiện (c i )

của môđun

luận văn thạc sĩ toán học

Chuyên ngành: đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Ngô sỹ tùng

Vinh – 2010

Mục lục Trang

Mục lục………………….1

Danh mục các ký hiệu ………………… 2

Mở đầu ……………….3

Chơng 1- kiến thức cơ sở ………………….5

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng……….5

1.2 Môđun con bù – giao……….6

1.3 Môđun đều, môđun con đều và chiều đều (chiều uniform)……… 7

1.4 Môđun M- nội xạ, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ .8

………

1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn và sự phân tích của môđun……… 9

1.6 Độ dài môđun……… 9

Chơng II- về các điều kiện (C i ) của môđun………11

2.1 Các điều kiện (Ci) của môđun, (1-C1)-môđun, môđun liên tục, môđun tựaliên tục……….112.2 Một số tính chất của (1 - C1)-môđun ……… 122.3 Một số tính chất của môđun thỏa mãn điều kiện (C1), (C2), (C3)……….152.4 Mối liên hệ giữa các môđun thỏa mãn điều kiện (C1), (C2), (C3) và

(1-C1)-môđun……… ……… 19

Kết luận……… 27

Tài liệu tham khảo……….28

Danh mục các ký hiệu

Các ký hiệu đợc sử dụng trong luận văn chủ yếu theoMohamed S.H and Muller B.J [8], Anderson F W, Fuller K

RF [3], N V Dung - D V Huynh - P F Smith - R Wisbauer[4], Sharpe D W and Vamos P [9] Sau đây là một số ký hiệu

đợc sử dụng nhiều nhất

K M : K là môđun con của môđun M

K<< M : K là môđun con bé của môđun M

K e M : K là môđun con cốt yếu của môđun M.

udim M : Chiều đều (chiều Goldie) của môđun M

l M( ) : Độ dài của môđun M.

K  M

 : K là hạng tử trực tiếp của môđun M.

i I Mi

 : Tổng trực tiếp các môđun Mi, với i I .

E M( ) : Bao nội xạ của môđun M.

 : Kết thúc một chứng minh

đa ra khái niệm CS-môđun (hay môđun Extending) Vào năm 1988, Kamal vàMullers đã đa ra khái niệm (1-C1)-môđun Năm 1994, Ngô Sỹ Tùng đã sửdụng các điều kiện liên tục và lớp CS-môđun để đặc trng một số lớp vành,…Hiện nay, nghiên cứu các điều kiện (Ci) của môđun, lớp (1-C1)- môđun đang

đợc nhiều tác giả trong và ngoài nớc quan tâm

Xuất phát từ hớng nghiên cứu trên và dới sự hớng dẫn, chỉ bảo của PGS.TS

Ngô Sỹ Tùng, chúng tôi tập trung nghiên cứu “Về các điều kiện (C i ) của môđun”

Luận văn trình bày trong hai chơng.

Chơng 1: Kiến thức cơ sở

Nội dung chính của chơng là nhắc lại một số khái niệm cơ sở của lý thuyếtmôđun

Chơng 2: Về các điều kiện (C i ) của môđun

Chơng này chúng tôi trình bày một cách có hệ thống về các điều kiện của

(Ci) của môđun, tìm hiểu và chứng minh chi tiết một số tính chất của cácmôđun thỏa mãn điều kiện (Ci) và (1-C1)-môđun Đặc biệt chúng tôi quan tâmnhiều đến mối liên hệ giữa các môđun đó (Mệnh đề 2.4.2, Định lý 2.4.4, Định

lý 2.4.6, Mệnh đề 2.4.9)

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng Tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã trựctiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình, chu đáo, nghiêm khắc, đầy lòng nhân ái và sựcảm thông trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Đồng thời tôi xin đợc chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán, khoasau Đại học- trờng Đại học Vinh đã giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ cho tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu

Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc

sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn đọc Chúng tôi xin chân thànhcảm ơn

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng

1.1.1 Định nghĩa Cho M là một R- môđun trái và A là môđun con của M.

i) Môđun A đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M nếu

0 X  M thì A X 0 Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở

rộng cốt yếu ( essential extention) của A và đợc ký hiệu A e M



ii) Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự

(properessential extention) nếu M  A

iii) Môđun con A đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có mở

rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi, A đợc gọi là đóng trong M nếu vớimọi môđun con X khác không của M mà Ae X thì X = A

iv) Môđun con B của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con A

trong M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B

v) Môđun con B của M đợc gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu)

trong M và ký hiệu BM , nếu mọi môđun con L của M, L  M thì B +

L  M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M

1.1.2 Mệnh đề Cho vành R và M, N, K là những R - môđun trái với

i) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại.

ii) Nếu K đóng trong N và N đóng trong M thì K đóng trong M.

1.1.3 Mệnh đề i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B  C M Khi đó: A e Be C  Ae C.

1.1.5 Mệnh đề Cho A là một môđun con của môđun M Nếu A đóng trong

một hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M.

1.2 môđun con bù – giao giao

1.2.1 Định nghĩa Cho A là môđun con của M Môđun con A’ của M tối đại

trong các môđun con của M có giao với A bằng 0 đợc gọi là bù – giao (complement ) của A trong M.

Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - giao (complement submodule)

nếu tồn tại một môđun A của M sao cho B là bù – giao của A trong M

Một môđun con B của môđun M là đóng trong M nếu và chỉ nếu B là mộtmôđun con bù- giao của M

Nhận xét Bù – giao của một môđun trong M luôn tồn tại nh ng nói chung không duy nhất.

1.2.2 Mệnh đề Cho A là môđun con của M, nếu môđun B là bù – giao của

1.2.3 Mệnh đề Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng ( bù –

giao ) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B.

1.2.4 Mệnh đề Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong

1.3.1 Môđun đều: Cho R là một vành, một R - môđun trái khác không M đợc

gọi là đều nếu với bất kỳ hai môđun con khác không A, B của M ta luôn có

0

AB Nói cách khác, M là đều nếu M 0 và mọi môđun con kháckhông của M là cốt yếu trong M

1.3.2 Chiều đều:

i) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều (hay chiều Uniform) hữu

hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

trong M Môđun M đợc gọi là có chiều đều vô hạn trong trờng hợp ngợc lại.

Ngời ta đã chứng minh đợc rằng nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì sốhạng tử lớn nhất của một tổng trực tiếp các môđun con đều, mà cốt yếu trong

M là một số bất biến, số đó đợc gọi là chiều đều của M và ký hiệu làudim(M).

ii) Cho R là một vành tuỳ ý, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của RR

và chiều đều trái của R là chiều đều của RR

1.3.3 Mệnh đề Cho M là một R - môđun và N là môđun con của M.

i) Cho N e M, khi đó M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều

đều hữu hạn và trong trờng hợp này udimM = udimN.

Ngợc lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udimM = udimN thì N e M ii) Nếu M = M 1 M n , thì udimM = udimM 1 + + udimM n

iii) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn Khi đó M có chiều đều hữu hạn và udimM  udimN + udimM/N.

iv) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đều hữu hạn.

1.4 môđun M- nội xạ, môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ

1.4.1 Định nghĩa Cho A và M là R- môđun.

i) Môđun M đợc gọi là A – nội xạ (A- injective) nếu XA, đồng cấu

self-1.4.2 Định nghĩa i) Cho M là một R- môđun trái Bao nội xạ (injective hull)

của M là môđun Q thoả mãn:

* Q là môđun nội xạ,

* Tồn tại đơn cấu R- môđun f : M Q mà f(M) e Q.

Ký hiệu: Q=E(M)

ii) Hai R-môđun trái M, N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively injective)

trong trờng hợp đồng thời M là N – nội xạ và N là M - nội xạ.

1.4.3 Mệnh đề Cho N là A-nội xạ và B A Khi đó:

i) N là B-nội xạ,

ii) N là A/B nội xạ.

1.4.4 Tính chất Bao nội xạ E(M) luôn tồn tại với mọi R-môđun trái M.

1.4.5 Nhận xét

i) Bao nội xạ của M là tối tiểu trong các mở rộng nội xạ của M

ii) Bao nội xạ của M là tối đại trong các mở rộng cốt yếu của M

1.5 môđun đơn, môđun nửa đơn và sự phân tích của môđun 1.5.1 Định nghĩa Cho vành R và một R-môđun trái M.

i) Một R-môđun khác không M đợc gọi là môđun đơn trong trờng hợp nó

không có những môđun con không tầm thờng

ii) Cho (Mi)i I là một tập hợp những môđun con của M Nếu M là tổng trựctiếp của tập hợp này thì M =  I Mi là một sự phân tích nửa đơn của M Một môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn trong trờng hợp nó có một sự phân tích

nửa đơn

1.5.2 Định nghĩa Cho vành R và một R-môđun trái M.

i) Một R-môđun trái M là không thể phân tích đợc trong trờng hợp nó khác

1.6.2 Định lý Nếu một môđun M có dãy hợp thành thì mọi cặp dãy hợp thành

trong M đều có cùng độ dài.

1.6.3 Định nghĩa Độ dài của môđun M (ký hiệu l(M)) đợc xác định bởi

l(M) =0 nếu M=0 và l(M)= n nếu M có một dãy hợp thành có độ dài n

1.6.4 Mệnh đề Cho M là một môđun có độ dài hữu hạn và gọi K và L là

những môđun con của M thì l(K+N)+l(KN)=l(K)+l(N)

1.6.5 Luật môđula Cho M là R-môđun trái, A, B là các môđun con của M

sao cho M=A+B Nếu X là môđun con của M thỏa mãn A X, thế thì X=A+B

X

Chơng 2: về các điều kiện (C i ) của môđun

Trong chơng này, chúng tôi hệ thống lại các điều kiện (Ci) của môđun,khái niệm môđun liên tục, môđun tựa liên tục, một số tính chất của môđunthỏa mãn điều kiện (Ci), (1-C1)-môđun và nghiên cứu về mối liên hệ giữachúng Những vấn đề này, chúng tôi trình bày chi tiết hơn từ một số kết quả cótrong các tài liệu [2], [3], [4], [6], [7], [8]

2.1 Các điều kiện (C i ) của môđun, (1-C 1 )-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục

2.1.1 Các điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ), (1-C i ) môđun Cho M là một R-môđun

trái Ta xét các điều kiện sau đối với môđun M:

C1 Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Nóicách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M

C2 Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là mộthạng tử trực tiếp của M thì B cũng là một hạng tử trực tiếp của M

C3 Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M sao cho  = 0 thì   cũng là một hạng tử trực tiếp của M

(1 - C1) Mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của

M

2.1.2 Định nghĩa i) Một môđun M đợc gọi là CS - môđun (hay extending

môđun) nếu M thoả mãn điều kiện (C1)

ii) Một môđun M đợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thoả mãn điều kiện

2.2 một số tính chất của (1 - C 1 )-môđun

2.2.1 Mệnh đề Một môđun M là (1- C 1 ) - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều trong M là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử M là (1 - C1) - môđun và N là một môđun con đóng và

đều bất kỳ của M Khi đó, N là cốt yếu trong chính nó và dẫn đến N là hạng tửtrực tiếp của M Ngợc lại, giả sử rằng mọi môđun con đóng và đều trong Mluôn là một hạng tử trực tiếp của M Gọi K là một môđun con đều bất kỳ của

M thì khi đó bao đóng E(K) của K là đóng và đều trong M và do đó K là mộthạng tử trực tiếp của M Vậy M là (1 - C1) - môđun 

2.2.2 Mệnh đề Nếu M là (1 - C1)-môđun thì mọi hạng tử trực tiếp của Mcũng là (1 - C1)-môđun

Chứng minh Giả sử môđun con N là một hạng tử trực tiếp của M và U là một

môđun con đóng đều trong N Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.1 thì U đóng trong M

Vì M có (1 - C1) - môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M, dẫn đến M = UU’,với U’ là môđun con nào đó của M Vì U N nên theo luật môđula ta có

N = U(NU’)

Do đó U là một hạng tử trực tiếp của N vậy N là (1 - C1) - môđun 

2.2.3 Bồ đề Giả sử M là (1 - C 1 ) - môđun và V  U là một môđun con đóng của M, trong đó U là một môđun con đều và V là một hạng tử trực tiếp của M Khi đó U  V là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Vì V là hạng tử trực tiếp của M nên ta có M V M1, với mộtmôđun con M1 nào đó của M Gọi : M  M1 là phép chiếu tự nhiên Giả sử X

là mở rộng cốt yếu của ( )U trong M1 Vì U V 0 nên  U là một đơn cấu,

do đó ta có ( )U U Từ đó X là một môđun con đóng đều của M1 Theo Mệnh

đề 2.2.2, M1 là (1 - C1) - môđun Do vậy X là hạng tử trực tiếp của M1 Ta có

của M1 nên suy ra V  X là hạng tử trực tiếp của M, hay V  U là hạng tửtrực tiếp của M 

2.2.4 Bổ đề Cho R là vành tuỳ ý và một R - môđun M là (1- C 1 ) - môđun với chiều

đều hữu hạn Khi đó, M là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun con đều Chứng minh Gọi U là môđun con đều tối đại của M, thì U là đóng trong M.

Do M là (1 - C1) - môđun nên U là một hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là

M = U  U’,

với môđun con U’ nào đó của M Từ giả thiết và Mệnh đề 2.2.2 dẫn đến U’ là(1 - C1) - môđun với chiều đều hữu hạn Bằng quy nạp trên chiều đều và Mệnh

đề 2.2.2 dẫn đến U’ là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều Vậy M

là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun con đều 

2.2.5 Bổ đề Cho R là vành tuỳ ý và R - môđun M là (1 - C 1 ) - môđun Khi đó mọi môđun con N đóng trong M và có chiều đều hữu hạn, thì N là một hạng

tử trực tiếp của M.

Chứng minh Gọi U là một môđun con đều và đóng trong N Khi đó U là đóng

trong M Từ giả thiết suy ra U là một hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là, M =

U  U’, với môđun con U’ nào đó của M Do U  N nên N = U  (N U’)bởi luật môđunla Do vậy U là hạng tử trực tiếp của N, hay N có (1 - C1) Khi

đó theo Bổ đề 2.2.4 ta có sự phân tích của N thành tổng trực tiếp hữu hạn

i) M là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều,

ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều đều 2 là một (1 - C 1 ) - môđun.

Chứng minh Giả sử rằng M là (1 - C1) - môđun với chiều đều hữu hạn khác không.Khi đó dễ thấy rằng, có i) bởi Bổ đề 2.2.4 và sử dụng Mệnh đề 2.2.2 ta có ii)

Ngợc lại, giả sử M thoả mãn i), ii) Đặt M M1 M n trong đó n là một

số nguyên dơng và Mi là một môđun đều với mỗi 1in Gọi V là một môđuncon đóng đều của M Giả sử V  M thì sẽ tồn tại một chỉ số nào đó 1insao cho VMi = 0 Không làm mất tính tổng quát ta cho i =1 Đặt M’=M2

 Mn Thì tồn tại một môđun con K đóng trong M sao cho V  M1

e

 K.Khi đó K = M1 (KM’) bởi luật môđunla

Mặt khác, do KM’ đóng trong K nên dẫn đến cũng đóng trong M Nh vậy

K  M’ đóng trong M’

Bằng phép quy nạp theo chiều đều, (K M’) 

 M’, và dẫn đến K M.

Mặt khác, K có chiều đều 2 nên theo ii), K là (1- C1) - môđun

Bởi vì V đóng đều trong M nên V cũng đóng, đều trong K, do đó V 

Hay V 

 M Vậy M là (1 - C1) - môđun 

2.3 một số tính chất của môđun thỏa mãn (C 1 ), (C 2 ), (C 3 )

2.3.1 Mệnh đề Một môđun M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con

đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Tơng tự Mệnh đề 2.2.1

2.3.2 Mệnh đề Cho R là vành Một R - môđun M = M 1  M 2 là một tổng trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài 2 Khi đó M là CS - môđun.

Chứng minh Thật vậy, giả sử môđun M = M1M2 với M1 là môđun đơn vàmôđun M2 có độ dài 2 (khi M có độ dài 3) Gọi K là một môđun con đóngtrong M, thì từ M1 là môđun con đơn nên KM1 = 0 hoặc K  M1 = M1 Taxét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1 K  M1 = M1, thì rõ ràng K 

Trờng hợp 2 KM1= 0 Gọi : M1  M2  M2 là phép chiếu và gọi  = K.Khi đó với phần tử bất kì x  K: x = x1+ x2 với x1 M1, x2 M2 Cho  (x) = 0thì dẫn đến  (x1+x2) =  (x1) +  (x2) = x2 = 0, bởi vì KM1 = 0 nên suy ra

x1= 0 hay x = 0 Vậy  là một đơn cấu và nh vậy ta có K  (K)M2 Do K

M (có l(M) = 3) nên l(K)  2

Nếu l K( )l M( 2) 2 thì đơn cấu  là một đẳng cấu và nh vậy ta có K

 (K) = M2 hay M = M1K Điều này cho thấy K 

Nếu ( ) 1(K là môđun đơn) thì K  (K)M2 Vì l M ( ) 3 nên nếu nh

KM2 = 0 thì dễ thấy M = K  M2 (vì nếu không thì từ K  M2  M dẫn