về các điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương của a. d. ioffe

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THANH LOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THANH LOAN

VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU

ĐỊA PHƯƠNG CỦA A D IOFFE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2011

Möc löc

Möc löc 2

Mð ¦u 3

1 ành l½ quy gån v  i·u ki»n tèi ÷u c§p 1 6 1.1 ành l½ quy gån 7

1.2 X§p x¿ c§p 1 cõa h m 9

1.3 i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1 11

1.3.1 Tr÷íng hñp dimY < ∞ 11

1.3.2 Tr÷íng hñp F kh£ vi 12

2 i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii 15 2.1 X§p x¿ kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii 15

2.2 èi ng¨u hâa i·u ki»n cüc tiºu 21

2.3 T½nh ch§t °c tr÷ng cõa nghi»m 23

2.4 T½nh chu©n t­c cõa b i to¡n 28

3 i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 37 3.1 Ph¡t biºu b i to¡n 37

3.2 i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u c§p 2 38

3.2.1 i·u ki»n c¦n c§p 2 39

3.2.2 i·u ki»n õ c§p 2 403.3 ành l½ h m ph¤t ch½nh x¡c trìn 433.4 B i to¡n trìn vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc 47K¸t luªn 52

Mð ¦u

Lþ thuy¸t c¡c b i to¡n tèi ÷u âng mët vai trá quan trång trong to¡nùng döng v  câ nhi·u ùng döng trong kinh t¸, kÿ thuªt º d¨n c¡c i·uki»n tèi ÷u, ng÷íi ta th÷íng x§p x¿ c¡c ¡nh x¤ v  tªp hñp câ trong b ito¡n b¬ng nhúng ¡nh x¤ v  tªp hñp ìn gi£n hìn (th÷íng l  tuy¸n t½nhho°c lçi) v  sau â ¡p döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cho b i to¡n trìn ho°clçi

A D Ioffe [2] ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p thi¸t lªp i·u ki»n c¦n r§t hi»uqu£ vîi mët ành l½ quy gån cì b£n º ÷a b i to¡n xu§t ph¡t v· b ito¡n khæng câ r ng buëc C¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u ÷ñc Ioffe thi¸t lªpd÷îi ngæn ngú c¡c x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc

v  h m kho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc Vîi þ t÷ðng ÷a b i to¡n xu§tph¡t v· b i to¡n khæng câ r ng buëc, A D Ioffe [3] ¢ nghi¶n cùu c¡chti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii d÷îi ngænngú c¡c LMO - x§p x¿, düa tr¶n ành l½ quy gån trong [2] C¡c i·u ki»nchu©n t­c v  chu©n t­c m¤nh ÷ñc ÷a v o nghi¶n cùu º xâa bä sü saikh¡c giúa t½nh ch§t nghi»m b i to¡n xu§t ph¡t v  b i to¡n khæng r ngbuëc Trong [4], A D Ioffe nghi¶n cùu b i to¡n tèi ÷u khæng câ r ngbuëc vîi h m möc ti¶u l  hñp cõa mët ¡nh x¤ kh£ vi li¶n töc v  mët

h m d÷îi tuy¸n t½nh, v  d¨n c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 Sû döng ànhl½ quy gån trong [2], c¡c k¸t qu£ â ¡p döng ÷ñc cho b i to¡n vîi r ng

buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc thæng th÷íng.

Luªn v«n tr¼nh b y l½ thuy¸t c¡c i·u ki»n tèi ÷u cõa A D Ioffe trong[2] - [4] bao gçm c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1 d÷îi ngæn ngú c¡c x§px¿ c§p 1, LMO - x§p x¿ cho b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc,b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp, v  c¡c c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 cho

b i to¡n khæng r ng buëc vîi h m möc ti¶u l  hñp cõa mët ¡nh x¤ kh£

vi li¶n töc v  mët h m d÷îi tuy¸n t½nh còng vîi c¡c ¡p döng cho b ito¡n trìn vîi r ng buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc nhí ành l½ quy gåntrong [2]

Luªn v«n bao gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng, k¸t luªn v  danh möcc¡c t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n c¦n cõa Ioffe [2] tr¶n cì

sð thi¸t lªp mët ành l½ quy gån º ÷a b i to¡n gèc v· b i to¡n khæng

câ r ng buëc C¡c i·u ki»n c¦n ÷ñc thi¸t lªp d÷îi ngæn ngú d÷îi viph¥n cõa x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc v  h mkho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin Miljutin - Osmolovskii cõa Ioffe [3] düa tr¶n cæng cö LMO - x§p x¿ v 

-ành l½ quy gån cõa Ioffe Vîi i·u ki»n chu©n t­c m¤nh th¼ s³ khæng câ

sü sai kh¡c v· t½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n gèc v  b i to¡n khæng câ

r ng buëc

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 c¦n v  õ cõa Ioffe [4]cho b i to¡n khæng r ng buëc vîi h m möc ti¶u l  hñp cõa mët ¡nh x¤kh£ vi li¶n töc v  mët h m d÷îi tuy¸n t½nh Sû döng ành l½ quy gåncõa Ioffe trong ch÷ìng 1 s³ d¨n ÷ñc c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 c¦n v 

õ cho b i to¡n trìn vîi r ng buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o PGS TS é V«nL÷u, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Banchõ nhi»m Khoa To¡n - Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc thuëc ¤i håcTh¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡håc.

Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  c¡c b¤ncòng lîp cao håc To¡n K3 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp ï tæitrong suèt thíi gian håc tªp v  l m luªn v«n

Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2011

T¡c gi£

Tr¦n Thanh Loan

Ch֓ng 1

ành l½ quy gån v  i·u ki»n tèi ÷u c§p 1

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n c¦n cõa Ioffe [2] tr¶n cì

sð thi¸t lªp mët ành l½ quy gån º ÷a b i to¡n gèc v· b i to¡n khæng

câ r ng buëc C¡c i·u ki»n c¦n ÷ñc thi¸t lªp d÷îi ngæn ngú d÷îi viph¥n cõa x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc v  h mkho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc

trong â f0, , fn l  c¡c h m gi¡ trà thüc tr¶n khæng gian Banach X, F

l  ¡nh x¤ tø khæng gian Banach X v o khæng gian Banach Y v  S ⊂ X.Trong ch÷ìng n y ta ch¿ quan t¥m tîi cüc tiºu àa ph÷ìng Do vªy,

ta ch¿ c¦n x²t nhúng h m fi v  ¡nh x¤ F ÷ñc x¡c ành trong mët l¥ncªn cõa iºm z ∈ S Ta gi£ thi¸t fi v  F Lipschitz trong mët l¥n cªn

Nh­c l¤i: iºm z ÷ñc gåi l  iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S n¸u tçnt¤i k>0 v  l¥n cªn U cõa z sao cho vîi måi x ∈ U ∩ S,

dQ(x) ≤ kkF (x) − F (z)k,trong â

Q = {x ∈ S|F (x) = F (z)}

Trong ph¦n n y, gi£ sû z thäa m¢n (1.2), (1.3) v  (1.4) trong tr÷ínghñp F (z) = 0, v  k½ hi»u

I = {i ∈ {1, 2, , n}|fi(z) = 0}

ành lþ 1.1.1 Gi£ sû z l  iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S Khi â, n¸u

z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìng cæ lªp) cõa (1.1) - (1.4) th¼ vîi måi

r > 0 õ lîn, h m

Mr(x) = max{f0(x) − f0(z), max

i∈I fi(x)} + r(kF (x)k + dS(x))

¤t cüc tiºu àa ph÷ìng (àa ph÷ìng ch°t) t¤i z

Ng÷ñc l¤i, n¸u Mr(x) ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng ch°t t¤i z vîi mët r n o

â th¼ z l  nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa b i to¡n (1.1) - (1.4)

Chùng minh Ph¦n thù hai cõa ành l½ l  hiºn nhi¶n n¶n ta ch¿ c¦n chùngminh ph¦n thù nh§t N¸u z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìng cæ lªp)cõa b i to¡n (1.1) - (1.4) th¼ z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìng cæ lªp)cõa b i to¡n sau:

Chån q > 0 v  l¥n cªn V cõa z sao cho vîi méi x ∈ V ∩ S, tçn t¤i

u ∈ S thäa m¢n hai i·u ki»n sau:

Gåi c > 0 l  h¬ng sè Lipschitz cõa F v  f tr¶n V L§y r1 ≥ qc, khi

â n¸u x ∈ V ∩ S v  u ∈ S thäa m¢n (1.8) v  (1.9) th¼

f (x) ≥ f (x) − f (u) + f (z) ≥ −ckx − uk + f (z)

≥ −cqkF (x)k + f (z) ≥ −r1kF (x)k + f (z)

i·u n y chùng tä z l  nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n:

minimize{f(x) + r1kF (x)k : x ∈ S} (1.10)Trong tr÷íng hñp z l  nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa (1.5) - (1.7), ta

câ thº chån r1 º z l  nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa b i to¡n (1.10).Chó þ r¬ng x ∈ S t÷ìng ÷ìng vîi dS(x) = 0 i·u n y chùng tä z

l  iºm ch½nh quy cõa dS(.) èi vîi X v  f(x) + r1kF (x)k l  Lipschitz.Chùng minh ho n to n t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta câ thº t¼m ÷ñc r2 > 0 saocho z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìngcæ lªp) cõa b i to¡n:

Theo ành ngh¾a, n¸u f l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z th¼ h m φ(x) =

f0(z, x) l  x§p x¿ c§p 1 cõa f t¤i z

Lîp quan trång c¡c x§p x¿ c§p 1 l  x§p x¿ tuy¸n t½nh thæng th÷íngcõa h m kh£ vi li¶n töc v  c¡c ¤o h m theo ph÷ìng cõa h m Lipschitz

vîi t õ nhä i·u n y m¥u thu¨n vîi z l  cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f

Do â, φ(h) ≥ 0, chùng tä φ ¤t cüc tiºu tuy¶t èi t¤i 0

M»nh · 1.2.3 Gi£ sû φ, φ1, , φn l¦n l÷ñt l  x§p x¿ c§p 1 cõa f, f1, , fnt÷ìng ùng t¤i z Khi â, c¡c kh¯ng ành sau óng:

(a) N¸u k ≥ 0 th¼ kφ l  x§p x¿ c§p 1 cõa kf t¤i z,

(a) Tçn t¤i c¡c h m lçi φ0, φ1, , φn, ψ, ρ l¦n l÷ñt l  x§p x¿ c§p 1 cõa c¡c

h m f0, f1, , fn, kF (.)k, dS(.) t¤i z v  chóng li¶n töc trø ra nhi·unh§t mët h m,

(b) z l  iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S

Khi â, n¸u z l  nghi»m àa ph÷ìng cõa (1.1) - (1.4) th¼ tçn t¤i

λ0 ≥ 0, , λn ≥ 0, r > 0 sao cho λ0+, , +λn = 1, λifi(z) = 0 vîi

trong â fn+j x¡c ành v  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z Theo [6], z l  iºmch½nh quy cõa F èi vîi S n¸u

µ1x∗1 + + µmx∗m ∈ NS(z), x∗j ∈ ∂fn+j(z), j = 1, , m,k²o theo µ1 = · · · = µm = 0

N¸u i·u ng÷ñc l¤i óng th¼ tçn t¤i λn+1, , λn+m khæng çng thíib¬ng 0 sao cho

0 ∈ λn+1∂fn+1(z) + · · · + λn+m∂fn+m(z) + NS(z) (1.13)

Sû döng k¸t qu£ â, ta nhªn ÷ñc ành l½ sau:

ành lþ 1.3.2 Gi£ sû F x¡c ành bði (1.12), trong â fn+j l  c¡c h mLipschitz àa ph÷ìng t¤i z v  φ0, φ1, , φn l¦n l÷ñt l  c¡c x§p x¿ c§p 1 lçi

v  li¶n töc cõa c¡c h m f0, f1, , fn N¸u z l  nghi»m àa ph÷ìng cõa

b i to¡n (1.1) - (1.4) th¼ tçn t¤i c¡c sè λ0, , λn+m khæng çng thíi b¬ng

ành lþ 1.3.3 Gi£ sû

(a) F kh£ vi ch°t t¤i z;

(b) R(F'(z)) l  khæng gian con âng trong Y;

(c) int TS(z) 6= ∅ v  ¡nh x¤ gi¡ trà nân x −→ TS(z) nûa li¶n töc d÷îitr¶n S t¤i z

Gåi φ0, φ1, , φn l¦n l÷ñt l  c¡c x§p x¿ lçi c§p 1 cõa c¡c h m f0, f1, , fnt¤i z Khi â, n¸u z l  l  nghi»m àa ph÷ìng cõa (1.1) - (1.4) th¼ tçn t¤i

λi ≥ 0, i = 1, , n v  v²c tì y∗ ∈ Y∗ khæng çng thíi b¬ng 0 sao cho

(z)) l  mi·n gi¡ trà cõa F0

(z).Chùng minh N¸u R(F0

(z)) 6= Y th¼ tçn t¤i y∗ 6= 0 v  b¬ng khæng tr¶nR(F0(z)) Nh÷ vªy, F0 ∗(z)y∗ = 0 v  ành l½ ÷ñc chùng minh b¬ng c¡chl§y λ0 = = λn = 0

B¥y gií, gi£ sû R(F0

(z)) = Y Khi â, n¸u KerF0

(z) ∩intTS(z) = ∅th¼ tçn t¤i x∗ ∈ X∗, x∗ 6= 0 t¡ch KerF0

(z) v  intTS(z) Do â, hx∗, xi ≥ 0vîi ∀x ∈ TS(z) v  hx∗, xi = 0 vîi ∀x ∈ KerF0

(z) Bði v¼ R(F0

(z)) = Y,

ta suy ra x∗ = F0(z)y∗ = 0 vîi y∗ n o â thuëc Y∗, y∗ 6= 0 Khi â, ta câ

hF0(z)y∗, xi ≥ 0 n¸u x ∈ TS(z) Chån λ0 = = λn = 0, ta suy ra i·uph£i chùng minh

Cuèi còng, gi£ sû R(F0

(z)) = Y v  KerF0

(z) ∩intTS(z) 6= ∅ Tø (c)suy ra tçn t¤i h ∈ KerF0

(z), khk ≤ 1 v  α > 0 sao cho vîi ∀u ∈ X m 

ku − hk < α thuëc TS(x) n¸u x ∈ S õ g¦n z (do TS(x) l  lçi âng v nûa li¶n töc d÷îi theo x t¤i z) Vîi méi x nh÷ th¸, ta câ

C(F0(z), TS(x)) = sup

kyk≤1

inf{kuk F0(z)u = y, u ∈ TS(x)}

≤ α−1C(F0(z), X),

(z) l  ¡nh x¤ tø X l¶n Y Khi â, z l  iºm ch½nh quy cõa F

èi vîi S v  ta suy ra i·u ph£i chùng minh

-ành l½ quy gån cõa æng Vîi i·u ki»n chu©n t­c m¤nh th¼ s³ khæng câ

sü sai kh¡c v· t½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n gèc v  b i to¡n khæng câ

r ng buëc

2.1 X§p x¿ kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii

Trong ch÷ìng n y chóng ta v¨n x²t b i to¡n (1.1) - (1.4) trong Ch÷ìng

1 vîi gi£ thi¸t f0, , fn v  F l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z ∈ X, fi : X →

R, i = 0, , n, F : X → Y , X v  Y l  c¡c khæng gian Banach Ta k½ hi»u

h m tüa cõa A ⊂ X∗ bði

s(x, A) = sup{hx∗, xi|x∗ ∈ A}

C¡c k½ hi»u v  kh¡i ni»m ð ¥y nh÷ trong ch÷ìng 1

ành ngh¾a 2.1.1 Cho f(x) l  mët h m thüc x¡c ành trong mët l¥ncªn U cõa z Mët h m thüc φ(x, h) ành ngh¾a tr¶n tr¶n U × X ÷ñc

gåi l  x§p x¿ Levitin - Miljutin - Osmolovskii (LMO - x§p x¿) cõa f t¤i

l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z

V½ dö 2.3 Gi£ sû h m f l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z L§y k > 0 õlîn v 

φ(x, h) = f (x) + kkhk

Khi â φ l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z

ành ngh¾a 2.1.2 Gi£ sû A ⊂ X∗ l  mët tªp lçi v  compact y¸u* Tanâi r¬ng A l  tªp húu hi»u àa ph÷ìng cõa f t¤i z n¸u vîi måi  > 0, tçnt¤i δ = δ() > 0 sao cho ∂f(x) ⊆ A, khi kx − zk ≤ δ(), trong â A l 

 - l¥n cªn cõa A trong X∗

V½ dö 2.4 Gi£ sû f nh÷ V½ dö 2.3 v  A ⊂ X∗ l  tªp húu hi»u àaph÷ìng cõa f t¤i z Khi â,

φ(x, h) = f (x) + s(h, A)

l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z

Thªt vªy, i·u ki»n (a), (b) trong ành ngh¾a 2.1.2 hiºn nhi¶n thäam¢n L§y η > 0 v  δ > 0 sao cho ∂f(x) ⊆ Aη n¸u kx − zk ≤ δ N¸u

kx − zk ≤ δ/2, khk ≤ δ/2 th¼ kx + th − zk ≤ δ vîi ∀t ∈ (0, 1) Theo ànhl½ gi¡ trà trung b¼nh Lebourg [6], tçn t¤i t0 ∈ (0, 1) v  x∗ ∈ ∂f (x + t0h)sao cho

(kh¡c réng n¸u x ∈ domf) ÷ñc gåi l   - d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, trong

â f∗ l  h m li¶n hñp cõa f Tªp n y luæn lçi, âng y¸u* v  bà ch°ntheo chu©n n¸u f li¶n töc t¤i x (xem [5]) Hìn núa,

∂f (u) ⊂ ∂f (x)n¸u u õ g¦n x Do vªy, ∂f (x) l  tªp húu hi»u àa ph÷ìng cõa f t¤i x

°c bi»t,

sup{hx∗, ui − f∗(x∗)|x∗ ∈ ∂f (x)} = f (u), (2.1)n¸u u õ g¦n x

V½ dö 2.5 Gi£ sû φ(x, h) l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z v 

φ(x, h) = sup{hh∗, hi − φ∗(x, h∗)|h∗ ∈ ∂φ(x, 0)}

M»nh · 2.1.3 N¸u f l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z v   > 0 th¼ φ(x, h)

l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z

Chùng minh i·u ki»n (a), (b) cõa ành ngh¾a LMO - x§p x¿ ÷ñc suy

ra tø t½nh ch§t cõa d÷îi vi ph¥n v  li¶n hñp Fenchel

Gåi k l  h¬ng sè Lipschitz cõa f L§y k > η > 0 v  chån δ thäa m¢n

Tø (2.1) suy ra t0 > 0 v  ta câ thº gi£ thi¸t t0 < 1

Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra sü tçn t¤i cõa h∗ ∈ ∂φ(x, t0h) sao cho

M»nh · 2.1.5 ([3]) Gi£ sû f1, , fn, f l  c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìngt¤i z v  φ1, , φn, φ l¦n l÷ñt l  c¡c LMO - x§p x¿ cõa chóng t¤i z Khi

â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

(a) N¸u k ≥ 0 th¼ kφ l  LMO - x§p x¿ cõa kf t¤i z;

dS(x) − dS(x + h)

M»nh · 2.1.7 Hai i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

(a) W l  LMO - x§p x¿ ti¸p tuy¸n cõa S t¤i z;

(b) W (x) = {h ∈ X|φ(x, h) ≤ φ(x, 0)}, trong â φ l  LMO - x§p x¿cõa dS(.) t¤i z sao cho måi h m h 7−→ φ(x, h) − φ(x, 0) ·u l  d÷îituy¸n t½nh

Chùng minh (b) ⇒ (a) l  hiºn nhi¶n Ta chùng minh chi·u ng÷ñc l¤i.Gi£ sû(a) óng °t

φ(x, h) = dS(x) + 2dW (x)(h)

Cè ành η > 0 Theo ành ngh¾a, tçn t¤i δ > 0 sao cho

dS(x + u) ≤ dS(x) + ηkuk,

2.2 èi ng¨u hâa i·u ki»n cüc tiºu

Gi£ sû φ(x, h) l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z Vîi η > 0 cho tr÷îc, x²t

M»nh · 2.2.1 Gi£ sû f l  h m Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z v  φ(x, h)

l  LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng:(a) f ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i z;

(b) 0 ∈ ∂φ(z, 0) v  vîi måi η > 0, ϕη ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i z;(c) 0 ∈ ∂φ(z, 0) v  h m ϕη ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i z vîi mët η > 0

n o â

φ(x, h) + η

2khk ≥ f (x + h) ≥ f (z)khi kx − zk ≤ δ0, khk ≤ δ0 Vîi méi x v  h nh÷ vªy, ta câ

pη(x, 0) = f (x) ≤ f (z) + η

2δ0.N¸u khk = δ0 th¼ bði (2.6)

pη(x, h) ≥ f (z) + η

2khk = f (z) + η

2δ0.Bði v¼ p(x, ) lçi n¶n tø hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta suy ra

inf

h∈Xpη(x, h) = inf

khk≤δ 0

pη(x, h),

khi kx − zk ≤ δ Tø (2.4) - (2.6) suy ra vîi x nh÷ vªy ta câ

ra r¬ng n¸u Mr ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng ch°t t¤i z vîi mët r > 0 n o âth¼ z l  nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa b i to¡n (1.1) - (1.4)

B¥y gií, ta gi£ sû

Vîi méi η > 0 x¡c ành, gåi Γη l  tªp t§t c£ c¡c v²c tì câ d¤ng(λ0, , λn, h∗0, , h∗n, h∗, u∗) thäa m¢n

ành lþ 2.3.1 Gi£ sû φ0, , φn, ψ, ρ l  LMO - x§p x¿ cõa f0, , fn,

kF (.)k, dS(.) t÷ìng ùng t¤i z Khi â hai kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng:(a) Gi£ sû z l  iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S N¸u z l  nghi»m àaph÷ìng cõa b i to¡n (1.1) - (1.4) th¼ vîi måi η > 0 v  r > 0 õ lîn,

h m M∗

ηr ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng t¤i z

(b) N¸u vîi η > 0, r > 0 n o â, tçn t¤i λ0, , λn sao cho (2.8) v  (2.10)

óng v  M∗

ηr ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng ch°t t¤i z th¼ z l  nghi»m àaph÷ìng cæ lªp cõa (1.1) - (1.4)

Nhªn x²t 2.2 ành l½ 2.3.1 l  mët d¤ng t÷ìng ÷ìng èi ng¨u cõa

Ð ¥y, Bη l  h¼nh c¦u câ t¥m ð gèc v  b¡n k½nh η

V½ dö 2.7 Gi£ sû dimY = m < ∞ Trong tr÷íng n y, ta câ thº çngnh§t Y vîi Rm v  x²t h m

F (x) = (fn+1(x), , fn+m(x)), (2.14)vîi chu©n

kF (x)k = |fn+1(x)| + + |fn+m(x)| (2.15)

N¸u Ai l  húu hi»u àa ph÷ìng cõa fi th¼ −Ai l  húu hi»u àa ph÷ìngcõa −fi Do vªy,

ψi(x, h) = max{fi(x) + s(h, Ai), −fi(x) + s(h, −Ai)}

l  LMO - x§p x¿ cõa |fi| t¤i z Do â,

ψ(x, h) = ψn+1(x, h) + + ψn+m(x, h)

l  LMO - x§p x¿ cõa |F (.)| t¤i z Khi â, ta câ

ψi∗(x, h∗) =min{−αfi(x)+(1−α)fi(x)| 0 ≤ α ≤ 1, h∗ ∈ αAi−(1−α)Ai}.B¬ng c¡ch l§y µ = 2α − 1 ta nhªn ÷ñc

C¡c kẵ hiằu v khĂi niằm Ơy nhữ chữỡng

ành ngh¾a 2.1.1 Cho f(x) l  mët h m thüc xĂc nh mởt lƠncên U cừa z Mởt hm thỹc (x, h) nh nghắa trản trản U ì X... yáu* Tanõi rơng A l têp hỳu hiằu a phữỡng cừa f tÔi z náu vợi mồi  > 0, tỗntÔi = () > cho f(x) ⊆ A, kx − zk ≤ δ(), â A l

 - lƠn cên cừa A X... tÔi z

Thêt vêy, iÃu kiằn (a), (b) nh nghắa 2.1.2 hin nhiản thọamÂn LĐy > v  δ > cho ∂f(x) ⊆ Aη n¸u kx − zk ≤ δ N¸u

kx − zk ≤ δ/2, khk ≤ δ/2 th¼ kx + th −