Bộ giáo dục và đào tạo Tr ờng đại học vinh Mai Danh Hoan Về các điều kiện (C i ) của môđun và môđun liên tục luận văn thạc sĩ toán học 1 Vinh 2010 Bộ giáo dục và đào tạo Tr ờng đại học vinh Mai Danh Hoan Về các điều kiện (C i ) của môđun và môđun liên tục luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng 2 Vinh - 2010 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Các kí hiệu . 3 Chơng 1. Các kiến thức cơ sở . 4 1. Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và môđun con bé 4 2. Môđun nội xạ, tựa nội xạ và môđun xạ ảnh . 5 3. CS- môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục 8 4. Môđun đều và chiều đều(chiều Goldie) . 9 5. Môđun suy biến 10 6. Một số khái niệm khác . 11 Chơng 2: Về các điều kiện )( i C của môđun và môđun liên tục 12 1. Các điều kiện )( i C của môđun 12 2. Môđun liên tục . 25 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 3 Lời nói đầu Lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun đóng vai trò trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Các kết quả về chúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán Với tầm quan trọng nh vậy nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này đợc rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mở rộng lớp môđun nội xạ. Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, ngời ta đã đa ra các điều kiện sau đây đối với môđun M. (C 1 ) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (C 2 ) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau, nếu A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C 3 ) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu 0A B = thì A B cũng là hạng tử trực tiếp của M. Một môđun M đợc gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ) và (C 2 ). M đợc gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C 1 ) v (C 3 ). Một môđun thỏa điều kiện (C 1 ) đợc gọi là CS - môđun hay môđun extending. Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ giữa các điều kiện (C i ), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng. Luận văn gồm hai chơng: Chơng 1 : Các khái niệm cơ sở. Trong chơng này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở bao gồm: Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt yếu, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS - môđun, môđun suy biến. Chơng 2 : Về các điều kiện (C i ) của môđun và môđun liên tục. Trong chơng này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các điều kiện (C i ), mối liên hệ giữa chúng. Một số tính chất của CS - môđun, (1 - C 1 ) môđun, 4 môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh một cách chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp CS - môđun, môđun liên tục. Luận văn đợc thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành tại Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học, trờng Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành Đại số, trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả Các ký hiệu 5 Trong luận văn ngoại trừ các trờng hợp đặc biệt đợc nói rõ ở từng mục còn lại chúng tôi luôn giả thiết vành luôn phát biểu là một vành kết hợp có đơn vị và các môđun là môđun phải unita. N M : N là môđun con của môđun M. N e M : N là môđun con cốt yếu của môđun M N M : N là hạng tử trực tiếp của môđun M. i Ii M : Tổng trực tiếp các môđun M i , i I. J(R) : Căn Jacobson của R. Soc(M) : Đế của môđun M. r(m) : Linh hóa tử phải của phần tử m. r(M) : Linh hóa tử phải của môđun M. Z R (M) : Môđun con suy biến của môđun M. Chơng 1 Các khái niệm cơ Sở 6 Chơng này chúng tôi sẽ trình bày những định nghĩa, kết quả cơ bản liên quan đến nội dung của khóa luận. Các khái niệm, tính chất và kí hiệu cơ bản chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu: N.V.Dung - D.V.Huynh - P.F.Smith - R.Wisbauer[3]. Mohamed - Muller[6]. Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một vành luôn đợc hiểu là các môđun phải unita. 1. Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và môđun con bé 1.1. Định nghĩa. Cho R là vành và M là R môđun phải. Xét N môđun con của M. (a) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu (essential) trong M và kí hiệu N e M nếu với mọi môđun con K M, K 0 thì K N 0. Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N. (b) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói cách khác, N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M là N e K thì K = N. (c) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K. (d) Một môđun con B của môđun M đợc gọi là bé (Hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B << M, nếu với mọi môđun con L của M, L M thì B + L M, nói cách khác nếu B + L = M thì L = M. (e) Một môđun M đợc gọi là bé hay M là môđun bé nếu M là môđun con bé trong bao nội xạ E(M) của M. 1.2. Tính chất. Cho vành R và M, N là các R- môđun phải với N M (a)Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại. (b)Nếu N đóng trong K, K đóng trong M thì N đóng trong M (Xem [6]) 2. Môđun nội xạ, tựa nội xạ và môđun xạ ảnh 2.1. Định nghĩa. Cho vành R và M là R - môđun phải 7 (a) Một R- môđun phải N đợc gọi là M - nội xạ (M-injective) nếu với mọi môđun con X của M và mọi đồng cấu f: X N thì có thể mở rộng tới đồng cấu f * : M N thỏa mãn f = f * i với i: X M là phép nhúng. * Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ (quasi - injective) nếu M là M- nội xạ. * Môđun N đợc gọi là nội xạ (injective) nếu N là M - nội xạ với mọi R - môđun phải M. (b) Một R - môđun phải N đợc gọi là M - xạ ảnh (M-projective) nếu với mọi môđun thơng M/X và với mọi đồng cấu f: N M/X thì tồn tại đồng cấu h: N M thỏa mãn ph = f với p: M M/X là toàn cấu chính tắc. * Môđun M đợc gọi là tựa xạ ảnh (quasi - projective) nếu M là M - xạ ảnh. * Môđun N đợc gọi là xạ ảnh (projective) nếu N là M - xạ ảnh với mọi R - môđun phải M. 2.2. Tính chất. Cho M, N là các R - môđun phải. Ta có: (a) Nếu N là M - nội xạ thì mọi đơn cấu f: N M là chẻ ra, tức dãy khớp ngắn: 0 N f M p M/f(N) 0 chẻ ra hay f(N) M. (b) Nếu N là M - xạ ảnh thì mọi dãy khớp ngắn: 0 P f M g N 0 là chẻ ra hay f(P) M. (c) Mọi R - môđun phải N đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn. 0 N f M g P 0. Trong đó M là môđun nội xạ. (d)Mọi R - môđun phải N đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn. 0 P f M g N 0. Trong đó M là môđun xạ ảnh. 2.3. Định nghĩa. (a) Bao nội xạ (injective hull) của R - môđun phải N, ký hiệu E(N) là một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của N. (b) Các R - môđun phải M và N đợc gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively injective) nếu M là N - nội xạ và N là M - nội xạ. 2.4. Tính chất. Bao nội xạ E(N) luôn tồn tại với mọi môđun N. 8 2.5. Mệnh đề. Cho môđun N là A - nội xạ và B là môđun con của A thì: (i) N là B - nội xạ. (ii) N là A/B - nội xạ. Chứng minh. (i) Gọi X là môđun con của B thì X là môđun con của A. Gọi : X N là một đồng cấu. Do N là A nội xạ nên tồn tại mở rộng h: A N sao cho hk = .Với k: X A là phép nhúng đồng nhất. Lấy = h B thì là mở của cần tìm, tức i = . Với i: X B là phép nhúng đồng nhất. (ii) N là A - nội xạ, ta chứng minh N là A/B - nội xạ. Gọi X/B là môđun con của A/B và : X/B N là đồng cấu. Gọi : M 1 M 1 /X và = x Do N là A - nội xạ nên tồn tại đồng cấu : A N là mở rộng của . Ta có: B = B = 0)0( = Suy ra ker ker nên tồn tại : A/B N sao cho = Với mọi x X ta có: (x + B) = (x) = (x) = (x) = (x + B). Hay là mở rộng của . 2.6. Mệnh đề. Môđun N là A - nội xạ khi và chỉ khi N là Ra - nội xạ với Aa . 2.7. Mệnh đề. Một Môđun N là Ii A i - nội xạ khi và chỉ khi N là A i - nội xạ với .Ii Chứng minh. Điều kiện cần: Hiển nhiên. Điều kiện đủ: Giả sử N là A i - nội xạ với i I. Đặt A = Ii A i , gọi X là môđun con bất kỳ của A và : X N là đồng cấu. Theo bổ đề Zooc tồn tại cặp tối đại (X ; ) mà X X A và là mở rộng của . Suy ra X e A. Ta sẽ chứng minh X = A . Giả sử X A a 0; a A - X, do A = Ii A i j I để a A j . 9 Theo giả thiết N là A j - nội xạ N là Ra - nội xạ, chọn K = {r R ra X } Lấy : Ka N với (ra) = (ra) Do N là Ra - nội xạ nên tồn tại : Ra N là mở rộng của Lấy môđun X + Ra thì X là môđun con thực sự của X + Ra Xét h: X + Ra N x + ra (x) + (ra) thì h là đồng cấu Cặp (X + Ra, h) chứa thực sự (X , ) , mâu thuẫn với tính tối đại của (X , ) A = X. Do đó N là A - nội xạ. 2.8. Định nghĩa. Một môđun Q đợc gọi là nội xạ nếu Q là A - nội xạ với mọi môđun A. 2.9. Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ. Chứng minh. Cho Q là nội xạ và A Q ta chứng minh A nội xạ, do A Q nên ta có Q = A B. Với mọi môđun M và X là môđun con bất kỳ của M, với mọi đồng cấu f:X A. Lấy i A : A Q = A B a a + 0 Gọi = i A f : X Q Do Q nội xạ nên tồn tại * : M Q là mở rộng của , lấy f * = p A : M A. Với p A : Q = A B A a + b a thì f * là mở rộng của f hay A là M - nội xạ với mọi M nên A là nội xạ. 2.10. Định lý. Mọi môđun M luôn nhúng vào đợc một môđun nội xạ. 2.11. Định lý. Một môđun Q - nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực tiếp của các môđun chứa nó. 2.12. Định lý. i I Q nội xạ khi và chỉ khi Q nội xạ với mọi i I 10