Môđun con đóng và bao đóng của môđun

Trong những năm gần đây, kết quả và số lượng các bài báo về môđun con đóng, bao đóng của môđun và UC-môđun là rất lớn, nhưng chúng tôi tập trung xem xét công trình của Patrick F.Smith -

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Danh mục ký hiệu 5

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 6

1.1 Môđun con cốt yếu 6

1.2 Môđun đều - môđun nửa đơn - môđun phân phối 7

1.3 Môđun con đóng và bao đóng của môđun 7

1.4 Đồng cấu môđun 8

1.5 Một số bổ đề 9

Chương 2 Môđun con đóng và bao đóng của môđun 13 §1 Tính chất của môđun con đóng và bao đóng của môđun 13

§2 UC-môđun Điều kiện cần và đủ để một R-môđun phải trở thành một UC-môđun 17

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

I LỜI NÓI ĐẦU

Môđun con đóng, bao đóng của môđun và UC-môđun là các lớp môđun

đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong những năm gần đây, kết quả và số lượng các bài báo về môđun con đóng, bao đóng của môđun và

UC-môđun là rất lớn, nhưng chúng tôi tập trung xem xét công trình của

Patrick F.Smith - Khoa Toán - Đại học Glasgow, Scotlen Trong bài báo của

ông, ngoài một số kết quả về UC-môđun còn chứa đựng rất nhiều thông tin về môđun con cốt yếu, các môđun con R-đóng và các môđun có chiều uniform

hữu hạn địa phương Đặc biệt, ông đã đưa ra 19 điều kiện cần và đủ để một

R-môđun phải trở thành một UC-môđun, trong đó một số điều kiện đã được

chứng minh, một số điều kiện khác hoặc là không chứng minh, hoặc chỉ là gợi

ý chứng minh không chi tiết

Đối với các lớp môđun đã biết, R.E.Johnson đã chứng minh rằng môđun

không suy biến là UC-môđun Sẽ không cần thiết nếu lặp lại chứng minh của

R.E.Johnson, ở đây chúng tôi đưa ra một số kết quả khác, đó là mọi môđun

đều, môđun nửa đơn, môđun phân phối đều là các UC-môđun Mở rộng cốt yếu của UC-môđun, ảnh đồng cấu của UC-môđun không phải bao giờ cũng là UC-môđun Ngoài ra trong quá trình nghiên cứu chúng tôi cũng đã chứng

minh được một số tính chất của môđun con cốt yếu mà những tính chất này không được đề cập đến trong hàng loạt các tính chất của môđun con cốt yếu

Chẳng hạn, chúng ta đều biết rằng qua đồng cấu môđun f thì nghịch ảnh của

môđun cốt yếu là môđun cốt yếu nhưng ảnh của môđun cốt yếu không phải là

môđun cốt yếu Chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu f là đơn cấu thì

không chỉ nghịch ảnh mà ảnh của môđun cốt yếu cũng là môđun cốt yếu Mặt

khác, chúng ta cũng đã biết rằng: cho A là môđun con của B, B môđun con của M, nếu môđun thương B/A cốt yếu trong M/A thì B cốt yếu trong M Điều

ngược lại không đúng, nhưng nếu bổ sung thêm điều kiện A đóng trong M thì

chiều ngược lại luôn đúng Đó là những kết quả đẹp

Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các tính

chất của môđun con đóng, bao đóng của môđun và UC-môđun Đồng thời

chúng tôi cũng xem xét, chứng minh một cách chi tiết một số điều kiện cần và

đủ để R-môđun phải trở thành UC-môđun mà Patrick F.Smith đã đưa ra bằng

một hệ thống các bổ đề, mệnh đề và hệ quả

Ngoài mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Dựa vào tài liệu tham khảo [1],

[3], [8] và [9] chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về môđun con cốt

yếu, môđun con đóng, các môđun R-đóng và bao đóng của môđun Đặc biệt,

để nghiên cứu một số tính chất của UC-môđun chúng tôi đưa ra một loạt các

bổ đề, trong đó một vài bổ đề hay sử dụng chúng tôi chỉ nêu kết quả, những

bổ đề còn lại được chứng minh chi tiết và chặt chẽ Đây là những kiến thức cơ

sở để chúng tôi xem xét một vài điều kiện cần và đủ để một R-môđun phải trở thành một UC-môđun

Chương 2: Môđun con đóng và bao đóng của môđun Chương này

được chia làm 2 tiết:

Tiết 1 trình bày một số tính chất của môđun con đóng và bao đóng của môđun, chúng tôi đã chứng minh chi tiết được sự tồn tại bao đóng của một môđun bất kì

Tiết 2 chúng tôi trình bày về UC-môđun và một số điều kiện cần và đủ

để R-môđun phải trở thành một UC-môđun.

Luận văn được thực hiện từ tháng 2 năm 2010 và hoàn thành tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PSG.TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin được bày tỏ lòng

biết ơn chân thành và sâu sắc của mình đến thầy giáo hướng dẫn, người đã đặt

ra vấn đề, thường xuyên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.này

Cũng trong dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo cô giáo thuộc khoa Toán, trường Đại học Vinh - những người thầy đã trang bị cho tôi một nền kiến thức cơ sở vững chắc

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2010.

DANH MỤC KÝ HIỆU

Trong toàn bộ luận văn, trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ở các mục, còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau:

N ⊆ M: N là môđun con của M

N ⊆e M: N là môđun con cốt yếu của M Trong một số tài liệu còn được

ký hiệu là N ⊆ *M.

N ⊆c M: N là môđun con đóng của M.

N ⊆r M: N là môđun con R-đóng của M.

I

⊕M i : Tổng trực tiếp các môđun con M i (i ∈I).

U(M): Chiều đều của môđun M.

Z/pZ: Các lớp đồng dư theo môđun p.

CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất cơ bản và kí hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo F.W.Anderson và K.R.Fuller [1]; N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith và R Wisbauer [3]; S.H Mohamed và B.J Muller [8]

Các vành luôn được hiểu là các vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải unita (nếu không nói gì thêm)

1.1 Môđun con cốt yếu

Cho R-vành kết hợp, có đơn vị và M là một R- môđun phải unita, N là môđun con của M.

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và ký hiệu

N ⊆e M, hoặc N ⊆ *M nếu với mọi 0≠X ⊆M thì N  X ≠ 0.

Ta quy ước 0 ⊆e M ⇔M= 0.

Nói cách khác, N được gọi là cốt yếu trong M nếu với mọi môđun A⊆M

mà N  A = 0 thì A= 0.

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Nếu N ⊆e M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.

1.1.3 Ví dụ Môđun M ⊆e M; nZ ⊆e Z, với mọi số nguyên n khác 0.

1.1.4 Định nghĩa quan hệ tương đương ρ trên dàn các môđun con của M ([9])

Cho K, L ⊆M, KρL khi và chỉ khi K L ⊆e K và K L⊆e L.

1.1.5 Mệnh đề ([1]) Giả sử M là R-môđun phải và A⊆M Khi đó, luôn tồn tại B ⊆ M sao cho A ⊕B ⊆e M Nói cách khác, mọi môđun con luôn tồn tại phần bù cốt yếu.

1.2 Môđun đều - môđun nửa đơn - môđun phân phối

1.2.1 Định nghĩa ([1]) Môđun U được gọi là môđun đều nếu U ≠ 0 và AB

≠ 0 với mọi môđun con A, B khác không của U.

Nói cách khác, U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con khác không của U đều cốt yếu trong U.

1.2.2 Ví dụ Z môđun Z là đều, vì bất kì môđun con A, B khác không của Z thì

A = nZ, B = mZ với n, m ∈ N*và AB = [m, n]Z ≠ 0 ([m, n] là bội chung nhỏ nhất của m và n).

1.2.3 Định nghĩa ([1]) Môđun M được gọi là môđun nửa đơn nếu mỗi

môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M.

1.2.4 Nhận xét ([1]) Giả sử M là môđun nửa đơn Khi đó

A ⊆e M ⇔ A = M

1.2.5 Định nghĩa ([9]) Một môđun M được gọi là phân phối nếu

N (K + L) = (NK) + (N L) với mọi N, K, L ⊆M.

1.3 Môđun con đóng và bao đóng của môđun

1.3.1 Định nghĩa ([1]) Môđun con N được gọi là đóng trong M, ký hiệu là

N ⊆c M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M

Nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ⊆e K thì N = K

1.3.2 Định nghĩa ([9]) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun

con N trong M nếu K đóng trong M và N ⊆e K

Nói cách khác, môđun con K được gọi là bao đóng của N trong M nếu K

là môđun con tối đại trong M sao cho N ⊆e K.

1.3.3 Nhận xét ([8]) Bao đóng của một môđun con N trong M là luôn tồn tại.

Nhận xét này được chứng minh trong tiết 1 của chương 2

1.3.4 Định nghĩa ([9]) Môđun con K của M được gọi là R-đóng nếu KmR không cốt yếu trong mR, với mọi m ∈M \ K, viết K mR ⊄e mR Ký hiệu

K ⊆r M.

1.4 Đồng cấu môđun

1.4.1 Định nghĩa ([1]) Cho hai môđun M và N Một đồng cấu R-môđun

f: M → N là một ánh xạ f thỏa mãn điều kiện

f(x + y) = f(x) + f(y) và f(xr) = f(x)r, với mọi x, y ∈ M, r ∈ R.

Nếu N = M thì f được gọi là một tự đồng cấu của M.

1.4.2 Mệnh đề ([1]) Giả sử f : M → N là đồng cấu môđun và U, V tương ứng

là môđun con của M và N Khi đó

1) f(U) là môđun con của N.

2) f− 1(V) = {x ∈ M: f(x) ∈V} là môđun con của M Đặc biệt, Imf và Kerf

là những môđun con tương ứng của N và M.

1.4.3 Định lý (Định lý thứ nhất về đẳng cấu [1]) Nếu B, C là hai môđun con

của A thì (B + C) / C ≅ B/(B  C).

1.4.4 Định lý (Định lý thứ hai về đẳng cấu [1]) Nếu C ⊆ B ⊆ A thì

A/B≅ (A/C) / (B/C).

1.5 Một số bổ đề

1.5.1 Bổ đề ([1]) Các khẳng định sau đúng cho một R- môđun phải M

(i) A ⊆e M khi và chỉ khi xR  A ≠ 0, với mọi 0 ≠ x ∈ M.

B A

e e

Đặc biệt, nếu A i ⊆e M với mọi i = 1 , n thì n

i= 1 A i ⊆e M Kết luận trên nói chung không còn đúng cho giao vô hạn.

(v) Nếu A ⊆ B ⊆ M và B/A ⊆e M/A thì B ⊆e M Điều ngược lại nói chung không đúng.

(vi) Nếu f : M → N là đồng cấu môđun và B ⊆e N thì f -1 (B) ⊆e M Tuy nhiên, ảnh của môđun cốt yếu nói chung không là môđun cốt yếu Nghĩa là, nếu A ⊆e M thì chưa hẳn f(A) ⊆e f(M).

(vii) Nếu A i , M i ⊆ M, A i ⊆e M i với mọi i ∈ I sao cho M = ∑

∈I i i

M = ⊕I M i

⊕I A i ⊆e ⊕I M i

1.5.2 Hệ quả (i) Nếu A ⊆c M, A ⊆ B ⊆e M thì B/A ⊆e M/A.

(ii) Cho f : M → N là đơn cấu môđun Nếu A ⊆e M thì f(A) ⊆e f(M) Chứng minh (i) Lấy môđun N sao cho A ⊆ N ⊆ M và B/A  N/A = 0.

Để chứng minh B/A ⊆e M/A ta cần chứng minh N/A = 0.

Thật vậy, do B/A  N/A = 0 nên B  N = A Lại vì B⊆e M và N ⊆ M

nên BN ⊆e N (theo Bổ đề 1.5.1 iii)) Do đó A ⊆e N ⊆ M Mà A⊆c M nên

Chứng minh (i) Giả sử K ⊆r M và K ⊆e L ⊆ M Lấy x∈L Khi đó, do

xR ⊆e xR và K⊆e L nên theo Bổ đề 1.5.1 (iv) ta có KxR ⊆e LxR Mà L

xR = xR nên ta có K  xR ⊆e xR, với mọi x∈L.

Mặt khác, do K⊆r M nên với mọi x∈M \ K thì KxR ⊄e xR Từ đó suy

ra x∈K Vậy L⊆K Mà hiển nhiên K⊆L Do đó L = K Theo định nghĩa

(vi) Giả sử N ⊆ M, K ⊆r M Ta chứng minh K  N ⊆r M

Thật vậy, lấy x ∈ N \ NK Khi đó, x ∈ N ⊆ M và x ∉ NK Từ đó suy ra x ∉ K , tức là x ∈ M \ K Mà K ⊆r M nên theo định nghĩa ta có

K  xR ⊄e xR (3) Mặt khác, do x∈ N nên xR ⊆ N suy ra

(K  N)  xR = K (N xR) = K  xR (4)

Từ (3) và (4) ta được (K  N)  xR ⊄e xR suy ra K  N ⊆r N tức là

K  N ⊆r M

CHƯƠNG II

MÔĐUN CON ĐÓNG VÀ BAO ĐÓNG CỦA MÔĐUN

§1.Tính chất của môđun con đóng và bao đóng của môđun

Trong chương trước chúng tôi đã trình bày định nghĩa về môđun con đóng và bao đóng của môđun, trong tiết này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại bao đóng của môđun và một số tính chất của nó

2.1.1 Định lý (Định lý về sự tồn tại bao đóng của môđun [8]) Bao đóng

của một môđun luôn tồn tại.

Chứng minh Gọi N là môđun con của M , ta chứng minh tồn tại bao đóng của N trong M.

Thật vậy, đặt S = { K ⊆ M / N ⊆e K }, khi đó ta có: S ≠ φ, vì N ∈ S Sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm, gọi Г là tập sắp thứ tự tuyến tính của S là:

K 1 ⊆ K 2 ⊆ K 3 ⊆ ⊆ K n

Đặt A = ∞

= 1

i K i , ta thấy A là cận trên của Г , ta chứng minh A ∈ S, tức là

N ⊆e A Thật vậy, lấy x ∈ A, x ≠ 0 suy ra tồn tại số tự nhiên n để x ∈ K n mà

N ⊆e K n nên suy ra xR N ≠ 0 mà xR ⊆ A suy ra N ⊆e A.

Như vậy mỗi tập con sắp thứ tự tuyến tính của S đều có cận trên, theo Bổ

đề Zorn suy ra S có phần tử tối đại K Ta chứng minh K là bao đóng của N Thật vậy, do K ∈ S ⇒ N ⊆e K Nếu tồn tại B⊆ M sao cho K ⊆e B, theo Bổ

đề 1.5.1 (ii) ⇒ N ⊆e B Do đó B ∈ S, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của

K, suy ra B = K.

Vậy luôn tồn tại bao đóng của môđun

2.1.2 Mệnh đề Giả sử M là môđun nào đó và A là môđun con tùy ý của M,

nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M.

Chứng minh Giả sử M = M 1 ⊕ M 2 và A là môđun con đóng trong M 1,

ta cần chứng minh A là môđun con đóng trong M , thật vậy.

Xét phép chiếu π: M 1 ⊕ M 2 → M 1 Giả sử A ⊆e B với B ⊆ M, ta cần

chứng minh A = B.

Ta có A ⊆ M 1 ⇒A M 2 = 0, vì thế π|A là đơn cấu Do đó theo Hệ quả 1.5.2

(ii) suy ra A = π (A) ⊆e π(B) ⊆ M 1 Do A ⊆c M 1 nên π(B) = A ⊆ B suy ra (1 - π) B ⊆ B Mặt khác, (1 - π ) B  A = 0 và A ⊆e B

nên (1 - π) B = 0 hay B = π(B) ⊆ M 1 Do đó A = B.

Vậy A là môđun con đóng trong M.

2.1.3 Mệnh đề Giả sử M là một môđun nào đó Khi đó mọi hạng tử trực tiếp

của M đóng trong M.

Chứng minh Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, khi đó tồn tại B là môđun con của M sao cho M = A ⊕ B Ta cần chứng minh A ⊆c M, thật vậy Lấy N ⊆ M sao cho A ⊆e N , khi đó AB ⊆e N B hay 0 ⊆e N B suy ra N B = 0.

Xét phép chiếu π: A ⊕ B → A Ta có Ker(π) = B , mà N B = 0 nên N  Ker(π ) = 0 suy ra π|B là đơn cấu Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A mà A ⊆ N Do đó A = N.

Vậy A là môđun con đóng trong M.

2.1.4 Mệnh đề (i) Nếu K ⊆c H ⊆c M thì K ⊆c M

(ii) Nếu K ⊆ L ⊆c M thì L/K ⊆c M/K.

(iii) Nếu K ⊆ L, K ⊆c M, L/K ⊆c M/K thì L ⊆c M.

Chứng minh (i) Giả sử K ⊆c H ⊆c M Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.5 tồn tại K' ⊆ H sao cho K ⊕ K' ⊆e H.

Tương tự, ta có H ⊕H' ⊆e M

Từ đó suy ra K ⊆ K ⊕ K' ⊆e H

Mà K ⊆c H nên từ Hệ quả 1.5.2 ta có (K ⊕ K') / K ⊆e H / K (5) Hoàn toàn tương tự ta có (H ⊕H') / H ⊆e M / H

K H K H H H H

H

/ / / /

/ / /

Bây giờ ta chứng minh K ⊆c M Giả sử K ⊆e N ⊆ M Ta phải chứng

minh K = N Vì K ⊆e N và K' ⊕ H' ⊆e K'⊕ H' nên từ Bổ đề 1.4.1 (iv) ta suy ra K ( K' ⊕H') ⊆e N ( K'⊕ H').

Mà K ( K' ⊕H') = 0 nên ta có N ( K'⊕ H') = 0

suy ra (N / K) (K' ⊕H' / K) = 0 tức là (N / K)  [K ⊕( K' ⊕H') / K] = 0 Kết hợp với (9) và Định nghĩa 1.1.1 ta có N / K = 0 hay N = K

(ii) Giả sử K ⊆ L ⊆c M và L / K ⊆e N / K ⊆ M / K Ta cần chứng minh

§2 UC-môđun Điều kiện cần và đủ để một R- môđun phải trở

thành một UC-môđun ([9])

Cho R là một vành kết hợp có đơn vị bất kỳ và M là một R-môđun phải

unita Chúng ta nghiên cứu một lớp môđun mà mỗi môđun con của nó chỉ có duy nhất một bao đóng

2.2.1 Định nghĩa ([9]) Môđun M được gọi là UC-môđun nếu mỗi môđun

con của nó có duy nhất bao đóng

2.2.2 Ví dụ Z- môđun Z là UC- môđun

2.2.3 Định lý.(Điều kiện cần và đủ để một R-môđun phải trở thành một

UC-môđun) Cho R là một vành bất kỳ và M là một R-môđun phải Khi đó các

mệnh đề sau tương đương

(1) M là UC-môđun.

(2) Nếu K, L, K', L' ⊆ M mà K ⊆e K', L ⊆e L', thì K + L ⊆e (K'+L') (3) Nếu K, L, K', L' ⊆ M mà KρK' và LρL', thì (K + L)ρ(K' + L').

(4) Nếu K, L ⊆ M thì

K L ⊆e K ⇔ L ⊆e K + L (5) Mọi môđun con cốt yếu N của M đều có tính chất

(N K) + (N L) ⊆e K + L , với mọi K, L ⊆ M

(6) Tồn tại một môđun con cốt yếu N của M sao cho N là một UC-môđun

và (N K) + (N L) ⊆e K + L , với mọi K, L ⊆ M

(7) Nếu K là một môđun con đóng của M và N là môđun con của M, thì

K  N là môđun con đóng của N.

(8) Giao của hai môđun con đóng bất kì trong M là môđun con đóng trong M.

(9) Giao các tập tùy ý môđun con đóng của M là đóng.

(10) Nếu K λ , L λ là các môđun con của M sao cho Kλ đóng trong L λ , với mọi λ ∈ Λ thì 

Λ

∈

λ K λ đóng trong λ∈Λ L λ (11) Mọi môđun con sinh bởi hai phần tử của M là một UC-môđun.

(12) Nếu K ⊆c M , thì M /K là UC-môđun.

(13) Giả sử N ⊆M và φ: N → M là đồng cấu sao cho N  φ(N) = 0 Khi

đó, Ker φ là môđun con đóng của N.

(14) Giả sử N ⊆ M và φ: N → M là đồng cấu sao cho N  φ(N) = 0 Khi

đó, nếu L là môđun con đóng của φ(N) thì φ -1 (L) là môđun con đóng của N (15) Giả sử các phần tử m, m' ∈M thỏa mãn mRm'R=0, r(m) ⊆r(m') và

là môđun con của M Trong trường hợp này, với mỗi môđun con N của M thì

N* = {m ∈M : N ⊆e N + mR} và N*là bao đóng duy nhất của N

2.2.4 Chứng minh định lý

2.2.4.1 Mệnh đề Cho R là một vành bất kỳ và M là một R - môđun phải Khi

đó các mệnh đề sau là tương đương.

duy nhất H ⊆c M sao cho K + L ⊆e H ⊆c M

Mặt khác, vì K ⊆ H nên tồn tại J ⊆c H sao cho K ⊆e J ⊆c H ⊆c M Theo Mệnh đề 2.1.4 (i) ta được J⊆c M Theo giả thiết K⊆e K' và K⊆e J⊆c M nên K' ⊆ J Do đó K'⊆ J ⊆ H Tương tự ta có L'⊆ H suy ra K'+L' ⊆ H.

Vậy ta có K+L ⊆ K'+L' ⊆ H mà K + L⊆e H nên theo Bổ đề 1.5.1 (ii) ta

Hoàn toàn tương tự ta có (K + L)  (K'+L') ⊆e (K' + L').

Vậy, (K + L)ρ(K' + L').

(3) ⇒ (4) Giả sử K, L ⊆ M và K  L ⊆e K Khi đó, vì

(K L)  K = K  L ⊆e K (K L)  K = K  L ⊆e K  L nên theo Định nghĩa ta có (K L) ρ K Mà L ρ L nên theo 3) ta có

[(K L) + L] ρ(K + L)

suy ra L ρ (K + L), tức là L  (K + L) ⊆e (K + L).

Mà L  (K + L) ⊆ L ⊆ K + L nên theo Bổ đề 1.5.1 (ii) ta có L ⊆e K + L Ngược lại, K, L ⊆ M, L ⊆e K + L mà K ⊆e K nên K  L ⊆e (K + L)  K hay K  L ⊆e K

(4) ⇒ (1) Giả sử K, L ⊆ M và K  L ⊆e K ⇔ L ⊆e K + L Ta sẽ chứng minh M là UC-môđun.

Thật vậy, lấy N ⊆e K ⊆c M và N ⊆e K' ⊆c M Ta chứng minh K = K' Từ

N ⊆ K  K'⊆ K , N ⊆e K và Bổ đề 1.5.1 (ii) ta có K  K' ⊆e K Theo (4) K'

⊆e K + K' ⊆ M và K' ⊆c M nên K' = K + K'

Tương tự, ta có K = K + K' Vậy K = K', tức là M là UC-môđun.

2.2.4.2 Mệnh đề Các khẳng định sau là tương đương