Về các điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương của A. D. Ioffe

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THANH LOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THANH LOAN

VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU

ĐỊA PHƯƠNG CỦA A D IOFFE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2011

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011

Möc löc

Möc löc 2

Mð ¦u 3

1 ành l½ quy gån v  i·u ki»n tèi ÷u c§p 1 6 1.1 ành l½ quy gån 7

1.2 X§p x¿ c§p 1 cõa h m 9

1.3 i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1 11

1.3.1 Tr÷íng hñp dimY < ∞ 11

1.3.2 Tr÷íng hñp F kh£ vi 12

2 i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii 15 2.1 X§p x¿ kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii 15

2.2 èi ng¨u hâa i·u ki»n cüc tiºu 21

2.3 T½nh ch§t °c tr÷ng cõa nghi»m 23

2.4 T½nh chu©n t­c cõa b i to¡n 28

3 i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 37 3.1 Ph¡t biºu b i to¡n 37

3.2 i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u c§p 2 38

3.2.1 i·u ki»n c¦n c§p 2 39

Mð ¦u

Lþ thuy¸t c¡c b i to¡n tèi ÷u âng mët vai trá quan trång trong to¡nùng döng v  câ nhi·u ùng döng trong kinh t¸, kÿ thuªt º d¨n c¡c i·uki»n tèi ÷u, ng÷íi ta th÷íng x§p x¿ c¡c ¡nh x¤ v  tªp hñp câ trong b ito¡n b¬ng nhúng ¡nh x¤ v  tªp hñp ìn gi£n hìn (th÷íng l  tuy¸n t½nhho°c lçi) v  sau â ¡p döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cho b i to¡n trìn ho°clçi

A D Ioffe [2] ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p thi¸t lªp i·u ki»n c¦n r§t hi»uqu£ vîi mët ành l½ quy gån cì b£n º ÷a b i to¡n xu§t ph¡t v· b ito¡n khæng câ r ng buëc C¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u ÷ñc Ioffe thi¸t lªpd÷îi ngæn ngú c¡c x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc

v  h m kho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc Vîi þ t÷ðng ÷a b i to¡n xu§tph¡t v· b i to¡n khæng câ r ng buëc, A D Ioffe [3] ¢ nghi¶n cùu c¡chti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii d÷îi ngænngú c¡c LMO - x§p x¿, düa tr¶n ành l½ quy gån trong [2] C¡c i·u ki»nchu©n t­c v  chu©n t­c m¤nh ÷ñc ÷a v o nghi¶n cùu º xâa bä sü saikh¡c giúa t½nh ch§t nghi»m b i to¡n xu§t ph¡t v  b i to¡n khæng r ngbuëc Trong [4], A D Ioffe nghi¶n cùu b i to¡n tèi ÷u khæng câ r ngbuëc vîi h m möc ti¶u l  hñp cõa mët ¡nh x¤ kh£ vi li¶n töc v  mët

h m d÷îi tuy¸n t½nh, v  d¨n c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 Sû döng ànhl½ quy gån trong [2], c¡c k¸t qu£ â ¡p döng ÷ñc cho b i to¡n vîi r ng

buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc thæng th÷íng.

Luªn v«n tr¼nh b y l½ thuy¸t c¡c i·u ki»n tèi ÷u cõa A D Ioffe trong[2] - [4] bao gçm c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1 d÷îi ngæn ngú c¡c x§px¿ c§p 1, LMO - x§p x¿ cho b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc,b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp, v  c¡c c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 cho

b i to¡n khæng r ng buëc vîi h m möc ti¶u l  hñp cõa mët ¡nh x¤ kh£

vi li¶n töc v  mët h m d÷îi tuy¸n t½nh còng vîi c¡c ¡p döng cho b ito¡n trìn vîi r ng buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc nhí ành l½ quy gåntrong [2]

Luªn v«n bao gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng, k¸t luªn v  danh möcc¡c t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n c¦n cõa Ioffe [2] tr¶n cì

sð thi¸t lªp mët ành l½ quy gån º ÷a b i to¡n gèc v· b i to¡n khæng

câ r ng buëc C¡c i·u ki»n c¦n ÷ñc thi¸t lªp d÷îi ngæn ngú d÷îi viph¥n cõa x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc v  h mkho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin Miljutin - Osmolovskii cõa Ioffe [3] düa tr¶n cæng cö LMO - x§p x¿ v 

-ành l½ quy gån cõa Ioffe Vîi i·u ki»n chu©n t­c m¤nh th¼ s³ khæng câ

sü sai kh¡c v· t½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n gèc v  b i to¡n khæng câ

r ng buëc

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 c¦n v  õ cõa Ioffe [4]cho b i to¡n khæng r ng buëc vîi h m möc ti¶u l  hñp cõa mët ¡nh x¤kh£ vi li¶n töc v  mët h m d÷îi tuy¸n t½nh Sû döng ành l½ quy gåncõa Ioffe trong ch÷ìng 1 s³ d¨n ÷ñc c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 c¦n v 

õ cho b i to¡n trìn vîi r ng buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc

4

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o PGS TS é V«nL÷u, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Banchõ nhi»m Khoa To¡n - Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc thuëc ¤i håcTh¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡håc.

Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  c¡c b¤ncòng lîp cao håc To¡n K3 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp ï tæitrong suèt thíi gian håc tªp v  l m luªn v«n

Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2011

T¡c gi£

Tr¦n Thanh Loan

Ch֓ng 1

ành l½ quy gån v  i·u ki»n tèi ÷u c§p 1

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n c¦n cõa Ioffe [2] tr¶n cì

sð thi¸t lªp mët ành l½ quy gån º ÷a b i to¡n gèc v· b i to¡n khæng

câ r ng buëc C¡c i·u ki»n c¦n ÷ñc thi¸t lªp d÷îi ngæn ngú d÷îi viph¥n cõa x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc v  h mkho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc

l  ¡nh x¤ tø khæng gian Banach X v o khæng gian Banach Y v  S ⊂ X.Trong ch÷ìng n y ta ch¿ quan t¥m tîi cüc tiºu àa ph÷ìng Do vªy,

f (u + th) − f (u)

t

l  lçi v  li¶n töc tr¶n X, v  tªp

l  kh¡c réng v  compact y¸u*, nâ ÷ñc gåi l  gradient suy rëng cõa f

Nh­c l¤i: iºm z ÷ñc gåi l  iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S n¸u tçnt¤i k>0 v  l¥n cªn U cõa z sao cho vîi måi x ∈ U ∩ S,

trong â

Q = {x ∈ S|F (x) = F (z)}

Trong ph¦n n y, gi£ sû z thäa m¢n (1.2), (1.3) v  (1.4) trong tr÷ínghñp F (z) = 0, v  k½ hi»u

ành lþ 1.1.1 Gi£ sû z l  iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S Khi â, n¸u

z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìng cæ lªp) cõa (1.1) - (1.4) th¼ vîi måi

r > 0 õ lîn, h m

Mr(x) = max{f0(x) − f0(z), max

¤t cüc tiºu àa ph÷ìng (àa ph÷ìng ch°t) t¤i z

â th¼ z l  nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa b i to¡n (1.1) - (1.4)

Chùng minh Ph¦n thù hai cõa ành l½ l  hiºn nhi¶n n¶n ta ch¿ c¦n chùngminh ph¦n thù nh§t N¸u z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìng cæ lªp)cõa b i to¡n (1.1) - (1.4) th¼ z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìng cæ lªp)cõa b i to¡n sau:

Chån q > 0 v  l¥n cªn V cõa z sao cho vîi méi x ∈ V ∩ S, tçn t¤i

Gåi c > 0 l  h¬ng sè Lipschitz cõa F v  f tr¶n V L§y r1 ≥ qc, khi

â n¸u x ∈ V ∩ S v  u ∈ S thäa m¢n (1.8) v  (1.9) th¼

f (x) ≥ f (x) − f (u) + f (z) ≥ −ckx − uk + f (z)

i·u n y chùng tä z l  nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n:

Trong tr÷íng hñp z l  nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa (1.5) - (1.7), ta

cho z l  nghi»m àa ph÷ìng (àa ph÷ìngcæ lªp) cõa b i to¡n:

v 

lim supt↓0

f (z + th) − f (z) − tφ(h)

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read