Lớp CS môđun và chiều đều của môđun luận văn thạc sỹ toán học

Trình bày các định nghĩa về môđun, noether, môđun con cốt yếu, môđun con đều, môđun hữu hạn sinh, CS - môđun, và các tính chất cơ bản có liên quan đến luận văn.. Cụ thể trong phần này ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THIỀU THỊ QUỲNH LÊ

MỤC LỤC

Mục lục

Danh mục các ký hiệu

Trang 1 2

Chương I: Kiến thức cơ sở 5

Chương II : Chiều đều của môđun và CS- môđun 14

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU.

N ⊆ M: N là môđun con của M

N ⊂*M: N là môđun con cốt yếu của môđun M

N ⊆ ⊕M: N là hạng tử trực tiếp của môđun M

A ⊕ B: Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B

r(x): Linh hóa tử phải cuả x

Soc(M): Đế của môđun M

Z: Vành các số nguyên (là Z - môđun).

Z(M): Môđun con suy biến của M

□ : Kết thúc một chứng minh

MỞ ĐẦU

Khi lớp các CS - môđun ra đời vào năm 1977 và cho đến nay, lý thuyết môđun được phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành Những năm gần đây số lượng các bài báo về CS - môđun rất lớn Đặc biệt N.V Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer là những người nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về CS - môđun và họ đã viết thành quyển sách bổ ích cho những người nghiên cứu

về vành và môđun có tên gọi là “Extending Modules” (xem [ ]5 )

Chiều đều của môđun là một hướng mở rộng chiều của không gian vectơ Xuất phát từ ý tưởng trên và dựa chủ yếu tài liệu [ ]5 luận văn của chúng tôi trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số vấn đề về lớp CS - môđun và chiều đều của môđun

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu và tài liệu tham khảo Cụ thể:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trình bày các định nghĩa về môđun, noether, môđun con cốt yếu, môđun con đều, môđun hữu hạn sinh, CS - môđun, và các tính chất cơ bản

có liên quan đến luận văn

Chương 2: Chiều đều của môđun và CS - môđun Chương này được chia làm hai phần:

Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm về chiều đều của môđun Cụ thể trong phần này chúng tôi đưa ra điều kiện của một môđun chứa các môđun con đều và điều kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun

Phần thứ hai : CS -môđun và một số tính chất của chiều đều hữu hạn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin được trình bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh

Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy, cô giáo trong khoa Toán, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh và các bạn lớp cao học khoá 17 chuyên ngành Đại số

và Lý thuyết số

Cuối cùng, khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý của quý thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong toàn bộ luận văn vành luôn hiểu là vành có đơn vị, không nhất thiết giao hoán, môđun là môđun phải unita (nếu không nói gì thêm)

1.1 Môđun noether.

1.1.1 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R có đơn vị

là 1:

i) Mọi dãy tăng các ideal phải đều dừng.

ii) Mọi tập hợp khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan

hệ bao hàm.

iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh.

iv) Đối với A là ideal của R thì A và R/A có tính chất i).

1.1.2 Định nghĩa Vành R thoả mãn một trong các điều kiện của Mệnh đề

1.1.1 được gọi là vành noether phải.

1.1.3 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với R – môđun M:

i) Mọi dãy tăng của môđun con của M đều dừng.

ii) Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan

hệ bao hàm.

iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh.

iv) Đối với môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i).

1.1.4 Định nghĩa Mọi R - môđun phải M thoả mãn một trong các điều

kiện của Mệnh đề 1.1.2 được gọi là R - môđun noether phải.

1.1.5 Ví dụ.

i) Z - môđun Z là noether.

ii) Không gian vectơ hữu hạn chiều là môđun noether, không gian vectơ vô hạn chiều không là môđun noether

1.1.6 Hệ quả Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun noether thì

M là noether.

Chứng minh Giả sử M =

1 i

i n i

A

=

=

∑ , ta biến thành qui nạp theo n

Với n = 1 mệnh đề là hiển nhiên

Giả sử mệnh đề đúng với n - 1 Khi đó môđun con N = ∑= −

=

1 1

n i i

Do R là noether nên R/ker Ψa là noether và do đó aR cũng noether Bây giờ

giả sử { a1, a2, , an } là hệ sinh của M, khi đó M =

1

i n i

=

=

∑ a1R Theo Hệ quả 1.1.6 ta suy ra M là noether □

1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con đều.

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R môđun và N là môđun con của M.

* Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và kí hiệu là N⊂* M, nếu với mọi môđun K ⊂ M, K ≠ 0 thì N∩ K ≠ 0

* Nếu N ⊂* M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.

* Nếu ⊂* M thì M = 0 (quy ước).

1.2.2 Định nghĩa Cho R là vành, một R – môđun U được gọi là đều (hay

uniform) nếu U≠ 0và A ∩ B≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A,B của U

Hay nói cách khác U là đều nếu U≠ 0 và mọi môđun con khác không

Z - môđun Q là môđun đều vì:

Lấy 0 ≠ A,B ⊆ ZQ => ∃ A, m n ∈ B (a, b, m, n ∈ Z*)

Ta có: am = bm b a ∈ A

am = an m n ∈ B

Khi đó: 0≠am ∈ A ∩ B

* Mọi môđun con khác không của môđun đều là đều

1.2.4 Mệnh đề Cho M là R môđun Khi đó ta có:

i) A ⊂* M khi và chỉ khi ∀x ∈ M, x ≠ 0, xR ∩ A ≠ 0

ii) Cho A ⊂ B, B ⊂ M thì A ⊂* M khi và chỉ khi A ⊂*B và B ⊂* M.

iii) Nếu Ai ⊂* Bi (∀i 1,2, ,n), Ai, Bi⊂ M thì i n

iv) Cho A ⊂ B, B ⊂ M Nếu B/ A ⊂ * M/ A thì B ⊂ * M.

v) Nếu f: M   →N là đồng cấu môđun và A ⊂ * N thì f -1 (A) ⊂ * M.

vi)Cho M = Mi , A = ⊕i∈I Ai và Mi là môđun con của M, ∀i ∈ I, trong đó Ai

⊂* Mi Khi đó tồn tại ⊕i∈I Mi và Ai⊂* ⊕i∈I Mi

Chứng minh i) Giả sử A ⊂* M, với 0 ≠ x ∈ M ⇒ xR ≠ 0, xR ≠ M, hiển nhiên xR∩A ≠ 0 (theo định nghĩa)

Ngược lại, nếu xR ∩ A ≠ 0, ∀0 ≠ x ∈ M Khi đó giả sử 0 ≠ X ⊂ M

Mà X ∩ A = 0 Do X ≠ 0 ⇒ ∃x ∈ X, X ≠ 0 ta có:

0 = (X∩ A) ⊃ xR ∩ A ≠ 0.Vô lý

Vậy X ∩ A ≠ 0 hay A ⊂*M □ ii) Giả sử A ⊂*M Lấy 0 ≠ X ⊂ B ⇒ X ⊂ M ⇒ X ∩ A ≠ 0 (do A ⊂*M) suy ra A ⊂*B

Ta có (X A)/A ⊂ M/A Do B/A ⊂* M/A nên ((X A)/A) ∩ (B/A) ≠ 0 Suy ra tồn tại x +a + A = b + A ⇒ b+ a’∈ X ∩ B (a’ ∈ A) Vô lý.

⇒ (A1 ⊕ M2) ∩ (A2 ⊕ M2) ⊂ (M1 ∩ M2) ⇒ (A1 ⊕ A2) ⊂ * (M1 ∩ M2)

Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn.

Lấy x ∈ Mi ta có thể biểu diễn x = Xi, với F hữu hạn thuộc I, theo trường

hợp trên thì tồn tại ⊕i∈F Mi và sự biểu diễn đó là duy nhất

Tiếp theo lấy 0 ≠ X ⊂ ⊕i∈I Mi ⇒∃ 0 ≠ x ∈ X; mà x ∈ ⊕i∈F Mi, ⊕i∈F Ai

⊂* ⊕i∈F Mi (với F hữu hạn thuộc I) ⇒ xR ∩ ⊕i∈F Ai ≠ 0 ⇒ X ∩⊕i∈F Ai

≠ 0

⇒ X ∩ ⊕i∈I Ai ≠ 0

Vậy ⊕i∈I Ai ⊂* ⊕i∈I Mi.

□

1.2.5 Định nghĩa Cho M là R – môđun.

* Môđun A ⊂ M được gọi là đóng trong M nếu A không có mở rộng cốt

yếu thực sự trong M, tức là nếu: A ⊂ * B ⊂ M ⇒ A = B

* Môđun con X của M được gọi là bao đóng của U trong M nếu U ⊂* X

1.3 CS-môđun, môđun hữu hạn sinh.

1.3.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là CS-môđun (hay extending –

môđun) nếu mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp

của M, tức là với ∀A ⊂ M sao cho A ⊂* X, X ⊆⊕ M

Hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp

của M.

1.3.2 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp cuả CS- môđun là CS- môđun

Chứng minh Giả sử M là CS- môđun và M = P ⊕ Q, ta sẽ chứng minh P

1.3.3 Định nghĩa Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu có một tập sinh

gồm hữu hạn phần tử

Nói cách khác, M là hữu hạn sinh nếu có các phần tử nào đó S1, S2, ,Sn∈

M sao cho: M = S1R + S2R + + SnR

* Nếu tập sinh của M chỉ gồm một phần tử s thì M được gọi là môđun

xiclic sinh bởi s, ta ký hiệu < s > = sR.

1.3.4 Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và

A không chứa trong một môđun con thực sự nào cuả M Tức là nếu:

A ⊂ B ⊂ M và A ≠ M thì B = M hoặc B = A

1.3.5 Mệnh đề i) Môđun con của môđun hữu hạn sinh có thể không hữu

hạn sinh Tuy nhiên môđun con là hạng tử trực tiếp của môđun hữu hạn sinh

là hữu hạn sinh.

ii) Nếu N là môđun hữu hạn sinh của M và môđun thương M/N cũng là môđun hữu hạn sinh thì M cũng là môđun hữu hạn sinh.

Chứng minh i) Ta lấy ví dụ sau để chứng tỏ môđun con của môđun hữu

hạn sinh không nhất thiết hữu hạn sinh

Tập Z∞ là một Z∞ - môđun xiclic với phần tử sinh là ε = (1,1, )

Vậy Z∞ là một môđun hữu hạn sinh □ ii) Xét tập B là con của Z∞ xác định như sau:

B = { x = (x1, x2,…) ∈ Z∞ : Chỉ có một hữu hạn xi ≠ 0}

Dễ thấy B là một môđun con của Z∞- môđun Z∞, môđun B không phải Z∞- môđun hữu hạn sinh

Thật vậy, nếu B có hệ sinh hữu hạn b1, b2, ,bk Khi đó trong B sẽ có phần tử

có thành phần n+1 khác không, phần tử này không thể là Z∞- tổ hợp tuyến tính của b1,b2,…,bk □

1.3.6 Mệnh đề Trong môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thực sự được

chứa trong một môđun con tối đại.

Chứng minh Giả sử S = {x1, x2, , xn} là hệ sinh của M

Ta có M = < x1, x2,…, xn>, A là môđun con của M và A ≠ M

Gọi S = {A ⊂ B ⊂ M, B≠ M} ta có S ≠ ∅ do A ∈ S , hơn nữa S sắp thứ

tự theo quan hệ bao hàm

Đặt C = ∪ B, B ∈ S , ta chứng minh C là cận trên

Ta có A ⊂ C, giả sử C = M suy ra{ x1, x2,…, xn} ⊆ C, do đó tồn tại môđun con B∈ S sao cho {x1, x2, ,xn} ⊆ B suy ra B = M Trái với giả thiết về S , vậy C ≠ M suy ra C ∈S Theo Bổ đề Zorn, trong S tồn tại phần tử tối đại

T Ta chứng tỏ T là phần tử tối đại trong M

Thật vậy nếu N là môđun con của M sao cho T ⊂ N ⊂ M, N ≠ M suy ra

N ∈S, và do tính tối đại của T trong M ta có T = N □

1.3.7 Hệ quả Mỗi môđun hữu hạn sinh M khác không đều chứa môđun

con tối đại.

CHƯƠNG II

CS – MÔĐUN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN.

2.1 Xây dựng chiều đều của môđun.

2.1.1 Định nghĩa môđun đều

và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác A, B của U

Hay nói cách khác U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U

2.1.2 Chiều đều.

2.1.2.1 Định nghĩa Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều hữu

hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

trong M, M được gọi là có chiều đều vô hạn trong trường hợp ngược lại.

2.1.2.2 Mệnh đề Nếu M là một môđun con khác không, không chứa tổng

trực tiếp vô hạn các môđun con khác không, thì M chứa môđun con đều Chứng minh - Nếu là môđun đều: Chứng minh xong.

- Nếu M không là môđun con đều Khi đó tồn tại 0 ≠ U1, U ⊂ M mà

U1 ∩ U = 0 suy ra (U1 ⊕ U) ⊂ M

- Nếu U1 là môđun đều: chứng minh xong

- Nếu U1 không là môđun đều, khi đó tồn tại V1, V2⊂ U1, V1, V2≠ 0

Mà V1∩ V2 = 0 suy ra (V1 ⊕ V2) ⊂ U1 suy ra tồn tại (V1⊕ V2 ⊕ U) ⊂ M.Quá trình này tiếp tục, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không, nên quá trình trên phải dừng lại sau hữu hạn bước

Vậy tồn tại môđun Uk đều □

2.1.2.3 Hệ quả Cho R- môđun M:

i) Nếu M là môđun noether khác không thì M chứa môđun con đều.

ii) Cho R là một vành trái noether thì bất kỳ R - môđun trái khác không đều chứa môđun con đều.

Chứng minh i) Giả sử M là môđun noether mà chứa tổng vô hạn các

môđun con khác không ⊕i∞=1 A1 ⊂ M Khi đó ta có dãy tăng thực sự các môđun con của M:

A1⊂ (A1 ⊕ A2) ⊂ … ⊂ ⊕i 1=n Ai ⊂ …

Mâu thuẫn với giả thiết M noether Do đó M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không Theo Mệnh đề 2.1.2.2, M chứa môđun con đều.

ii) Nếu M là R - môđun trái, do R là vành noether trái nên mọi R - môđun hữu hạn sinh là noether Vì vậy với x ≠ 0, x ∈ M, ta có Rx là môđun noether Do đó theo i) Rx chứa môđun con đều

Vậy M chứa môđun con đều □

2.1.2.4 Mệnh đề Cho môđun M khác không có tính chất mọi môđun con là

chứa môđun đều Thế thì tồn tại môđun A là tổng trực tiếp các môđun đều

và A là môđun con cốt yếu trong M.

Chứng minh Gọi T = { ⊕i∈I UiUi đều, Ui ⊂ M, ∀i ∈ I}

Xác định quan hệ thứ tự ⊕i∈I Ui⊆ ⊕i∈J Vj ⇔ I ⊆ J và Vi = Ui, ∀i ∈ I Theo giả thiết M chứa môđun đều U ⇒ có ⊕I U với = 1 ⇒ S ≠ Ø

Ta có ⊕i∈I Ui = U1 ⊆ U2 ⊆ …⊆ Un ⊆ … suy ra ∞

= 1

k Uk ∈ T là cận trên

Theo Bổ đề Zorn, trong T tồn tại phần tử tối đại A = ⊕i∈I Ui và ta có

A ⊂ * M bởi vì nếu A không là môđun con cốt yếu trong M suy ra tồn tại

B ⊂ M, B ≠Ø mà A ∩ B =0 Theo giả thiết A chứa môđun đều V, suy ra

A ∩ V=0 suy ra tồn tại A’ = A ⊕ V mà A ⊂ A’, A ≠ A’, A ≠ A’, mâu thuẫn với tính tối đại của A

Vậy A ⊂ * M □

2.1.2.5 Hệ quả i) Nếu mô đun M là noether thì tồn tại môđun A = ⊕i∈I Ui

Chứng minh Giả sử N ⊂* M suy ra N ∩ X ≠ 0 với mọi X ⊂ M, X ≠ 0 suy ra N ∩ Ui ≠ 0, ∀i ∈ I

Ngược lại, giả sử N ⊂ M, N ∩ Ui ≠ 0, ∀i ∈ I Đặt Ni = N ∩ Ui, theo giả

thiết Ni ≠ 0, ∀i ∈ I Vì Ui là môđun đều suy ra Ni ⊂* Ui, ∀i ∈ I Do có ⊕i∈I

Ui, mà Ni ⊆ Ui, ∀i ∈ I nên tồn tại tổng trực tiếp ⊕i∈I Ni và ⊕i∈I Ni ⊂*⊕i∈I Ui

2.1.2.8 Định nghĩa Ta gọi dim M = n nếu tồn tại tổng trực tiếp hữu hạn

U1 ⊕ U2 ⊕ U3 ⊕ …⊕ Un ⊂ * M, với các môđun Ui đều, ∀i = 1,2,3,…n và n

được gọi là chiều đều của môđun M.

Khi M = 0 ta quy ước dim M = 0

2.2 Một số tính chất của chiều đều hữu hạn.

2.2.1 Mệnh đề i) Nếu dim M < ∞ thì dim A < ∞ với mọi A là môđun con của M.

ii) Nếu A,B là các môđun con của M và tồn tại A ⊕ B với dim(A ⊕ B) < ∞

thì dim (A ⊕ B) = dim A + dim B.

Chứng minh i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác

không.Do A ⊂ M nên suy ra M chưa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không

Vậy M có chiều đều vô hạn Mâu thuẫn với giả thiết dim M < ∞.

Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không hay dimA < ∞, với mọi A là môđun con cuả M □ii) Do A, B ⊂ (A ⊕ B), theo giả thiết dim (A ⊕ B) < ∞, nên theo i) dim A

< ∞, dim B < ∞ Đặt dim A = n, dim B = m Do vậy trong A tồn tại ⊕i 1=n Ui

⊂ * A, và trong B tồn tại ⊕i 1=n Vj ⊂ * B, với Ui, Vj là đều, ∀i = 1,2, ,n, ∀j = 1,2,…,m

Do tồn tại A ⊕ B ⇒ Ui ∩ Vj = 0 với ∀i,j, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

⇒ U = (⊕i 1=n Ui) ⊕ (⊕i 1=n Vj) Khi đó ta có U ⊂ * A ⊕ B (theo Mệnh đề 1.2.4)

Vậy dim (A ⊕ B) = n + m = dim A + dim B □

2.2.2 Bổ đề Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì dim A = dim M.

Chứng minh Giả sử dim M = n ⇒⊕i 1=n Ui ⊂* M, với các Ui là môđun đều với ∀i = 1,2, ,n

2.2.3 Bổ đề Nếu môđun M/A có chiều hữu hạn, A có chiều đều hữu hạn thì

M có chiều đều hữu hạn và dim M ≤ dimA + dim M/A.

Chứng minh Gọi S = {X ⊂ MX ∩ A = 0} với quan hệ thứ tự bao hàm

Ta có 0 ∈ S ⇒ S ≠ Ø

Theo Bổ đề Zorn tồn tại phần tử tối đại L sao cho L∩A = 0 ⇒ (L ⊕ A) ⊂*

M

(vì nếu L ⊕ A không là môđun con cốt yếu của M thì tồn tại B ⊂ M, B ≠ 0,

mà (L ⊕ A) ∩ B = 0 => (L ⊕ B) ∩ A = 0 Mâu thuẫn với tính tối đại của L)

Ta có L≅ ((L ⊕ A)/A) ⊂ M/A, do M/A có chiều điều hữu hạn nên (L ⊕ A)/A có chiều dài hữu hạn ⇒ có chiều dài hữu hạn

Giả sử dim M/A= n, dim A = m, dim L = 1 (1≤ n) Theo Mệnh đề 2.2.1 ta

có dim M = dim (L⊕A) = dim L + dim A = 1 + m ≤ n + m = dim M/A + dim A

Vậy dim M ≤ M/A + dim A

2.2.4 Chú ý Nếu M có chiều đều hữu hạn, A có chiều đều hữu hạn thì chưa

hẳn M/A có chiều đều hữu hạn, chẳng hạn: dim Qz= 1, dim ZZ = 1 nhưng dim Q/Z = + ∞

2.2.5 Bổ đề Nếu L ⊂* M thì (L ∩ A) ⊂* A, ∀A⊂ M.

Chứng minh Giả sử L ∩ A không là môđun con cốt yếu của A, suy ra tồn tại X ≠ 0, X ⊂ A mà X ∩ (L ∩ A) = 0 ⇒ L ∩ (X ∩ A) = 0

Do X ⊂ A ⇒ X ∩ A = X

Từ đó ta có X ∩ L = 0 ⇒ L không là môđun con cốt yếu của M

Mâu thuẫn với giả thiết

Vậy (L ∩ A) ⊂* A, ∀ A ⊂ m □