Về ánh xạ đóng và tập compact

Ngoài ra, đối với ảnh cuả không gian mêtric qua ánh xạ đóng còn gọi làkhông gian lasnev, luận văn này đa ra một đặc trng của nó liên quan đến k-lới σ-HCP nh sau: Một không gian Hausdorff

Trờng đại học vinh

Khoa toán -

Nguyễn thị huyền nga

Về ánh xạ đóng và tập compact

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vinh-2004

Trờng đại học vinh

Mục lục

Trang Lời mở đầu 3

Chơng I Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Tính paracompact……… 5

1.2 Một số tính chất của ánh xạ đóng 7

Chơng II ánh xạ đóng và tập compact 10

2.1 Một số tính chất của q-không gian……… 10

2.2 ảnh đóng của không gian paracompact và tính compact……….12

Chơng III ảnh đóng của các không gian Mêtric 17

3.1 K-lới và họ HCP……….17

3.2 Một đặc trng của ảnh đóng của các không gian mêtric……… 24

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

Lời Mở ĐầU

ánh xạ đóng, tập compact, không gian mêtric là những khái niệm quenthuộc đối với chúng ta Nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng đã cho ta những kếtquả hay và các không gian đặc biệt

Một vài kết quả liên quan giữa ánh xạ đóng và tập compact đối với khônggian khả mêtric đã đợc các nhà bác học I A Vainstein, A Argangel'skii đề cập

đến ở luận văn này các kết quả đó đợc chứng minh cho một không gian tổng quáthơn, không gian paracompact

Ngoài ra, đối với ảnh cuả không gian mêtric qua ánh xạ đóng (còn gọi làkhông gian lasnev), luận văn này đa ra một đặc trng của nó liên quan đến k-lới

σ-HCP nh sau: Một không gian Hausdorff là không gian Lasnev nếu và chỉ nếu nó

là không gian Frechet với một k-lới σ-HCP

Trong khuôn khổ của một luận văn, chúng ta chỉ nghiên cứu đợc một số vấn

đề nh: Cho ƒ: X → Y là ánh xạ liên tục, đóng thì khi nào ∂ƒ-1(y) là tập compact,với mọi y∈Y; khi nào mọi tập con compact (tơng ứng compact đếm đợc) của Y

đều là ảnh của một tập con compact (tơng ứng compact đếm đợc) nào đó của X;khi nào thì một không gian Frechet trở thành không gian Lasnev,

Cụ thể ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn

có bố cục nh sau:

Chơng I trình bày một số kiến thức nh: khái niệm không gian paracompact,khái niệm ánh xạ đóng và các tính chất của chúng nhằm mục đích chuẩn bị choviệc trình bày các phần tiếp theo

Chơng II đa ra khái niệm q-không gian và một số tính chất của nó mà đợc ápdụng để chứng minh các định lý quan trọng liên quan đến ảnh của không gianparacompact, tính compact qua ánh xạ đóng đợc trình bày ở phần sau

Chơng III trình bày các khái niệm nh k-lới, họ HCP, các tính chất củachúng và một đặc trng của không gian Lasnev liên quan đến k-lới σ-HCP.

Trong luận văn này các ánh xạ đều đợc giả thiết là liên tục, toàn ánh, cáckhông gian nhắc đến trong chơng II đều là T1-không gian, các không gian trongchơng III đều là T2-không gian, các khái niệm cha đợc định nghĩa đề nghị xemtrong [2]

Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn Ân,

ng-ời trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn Đồng thng-ời cho tôi gửi lng-ời cảm ơn tớicác thầy cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm luậnvăn

Mặc dù đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện về thời gian và hạn chế về mặttrình độ, luận văn chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy côgiáo và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn chỉnh hơn

Vinh, tháng 4 năm 2004 Tác giả

Chơng I

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Tính Paracompact

1 1.1 Định nghĩa i) Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là

một phủ của tập con A trong X nếu A ⊂  { } P:P ∈ P Ta viết  P thay cho

 P : P ∈ P

ii) Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của X nếu

X = P

1.1.2 Định nghĩa Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một

họ hữu hạn địa phơng nếu với mỗi điểm x ∈ Xtồn tại lân cận U của x sao cho Uchỉ giao với hữu hạn phần tử của p.

1.1.3 Định nghĩa Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một

họ rời rạc nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giaovới nhiều nhất một phần tử của p.

1.1.4 Nhận xét Một họ các tập con rời rạc là họ hữu hạn địa phơng.

1.1.5 Mệnh đề Với mỗi họ hữu hạn địa phơng {A s}s∈S , ta có

∈ Điều phải chứng minh.

1.1 6 Định nghĩa Phủ B của tập hợp X đợc gọi là cái mịn của phủ p khi

và chỉ khi mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong một phần tử nào đó của phủ p.

1.1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi là không gian paracompact

khi và chỉ khi nó là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đều có cái mịn hữu hạn

địa phơng mở

1.1 8 Nhận xét ([6]) Mọi không gian compact đều là không gian

paracompact

1.1.9 Bổ đề Cho X là không gian paracompact, A và B là hai tập đóng

con của X Nếu với mỗi x∈ B đều tồn tại các tập mở U x , V x sao cho U x ⊃ A, x∈

V x và U x ∩ V x = φ thì tồn tại các tập mở U, V sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U∩ V =

φ.

Chứng minh Họ { }Vx x∈B (X \ B) là một phủ mở của không gian paracompact

X, do đó có một cái mịn hữu hạn địa phơng mở {Ws}s ∈ B

Gọi S0 = {s∈ S : Ws∩B ≠φ}, ta có A ∩ Ws=φ, với mọi s∈ S0 và B ⊂ S

∈ thoã mãn yêu cầu

1.1.10 Mệnh đề Mọi không gian paracompact đều là không gian chuẩn

tắc.

Chứng minh áp dụng bổ đề 1.1.9 cho trờng hợp A = {x} là tập một điểm và

B là tập đóng không chứa x ta đợc không gian paracompact là không gian chínhquy

áp dụng bổ đề 1.1.9 cho không gian chính quy một lần nữa ta đợc điều phảichứng minh

1.1.11 Mệnh đề ([6]) Mọi không gian compact đếm đợc và paracompact

là không gian compact.

1.1.12 Mệnh đề Tập con đóng của không gian paracompact là không

gian paracompact.

Chứng minh Giả sử A là tập con đóng bất kỳ của không gian paracompact

X Gọi u là phủ mở bất kỳ của A Khi đó thêm vào phủ u tập X \ A mở ta đợcphủ mở vcủa X Do X là không gian paracompact nên phủ vcó cái mịn hữu hạn

địa phơng mở b, tức là b = {B mở: B ⊂ U ∈u hoặc B ⊂ X \ A}

Khi đó họ a ={B∈b: B ⊂ U∈u} là cái mịn mở hữu hạn địa phơng của u.

Vậy mọi phủ mở u của A đều có cái mịn hữu hạn địa phơng mở

Hơn nữa A là tập con đóng của không gian Hausdorff X nên A cũng làkhông gian Hausdorrf Vậy A là không gian paracompact

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ ƒ: X → Y đợc gọi là ánh xạ đóng nếu với mọitập đóng A ⊂ X, ảnh ƒ(A) là tập đóng trong Y.

f ⊃ nên A Mặt khác ƒ liên tục nên f(A) Do đó f( A ) =f( A )

Đủ Giả sử f( A ) = f( A ) , với mọi A ⊂ X Khi đó với ƒ liên tục và A = A thìf(A) = f( A ) =f( A ) là tập đóng trong Y Do đó ƒ là ánh xạ đóng

1.2.3 Mệnh đề Nếu f : X → Y là ánh xạ đóng và f -1 (y) là tập compact với mọi y ∈ Y thì với mọi tập compact Z ⊂ Y ta có f -1 (Z) là tập compact.

Chứng minh Giả sử {Uα}α∈I là một phủ mở bất kỳ của ƒ-1(Z) thì với mỗi

z ∈ Z, {Uα}α∈I cũng là một phủ mở của ƒ-1(z) Vì ƒ-1(z) là một tập compact nêntồn tại phủ con hữu hạn {Uzα1 ,Uαz2 , , Uαzn z} phủ ƒ-1(z) Đặt Vz = n z i

i 1= U αz Khi đó Vz mở và ƒ-1(z) ⊂ Vz

Z

f

1 1 k

1 i

z 1 j

n i

U

= =

i j

Vậy phủ {Uα}α∈ I có phủ con hữu hạn là {Uzi

αj} Do đó ƒ-1(z) là tậpcompact

1.2.4 Mệnh đề Nếu f: X → Y là ánh xạ đóng và f -1 (y) là compact đếm

đ-ợc với mọi y∈Y, thì với mọi tập compact đếm đợc Z ⊂ Y, ta có f -1 (Z) là tập compact đếm đợc.

Chứng minh Giả sử Z ⊂ Y, Z là tập compact đếm đợc Gọi { } Un n 1

i Vnz

= = k 

1 i

n 1

z i

U

= = , trong đó Uj ∈{ } Un ∞n 1

= với mọi j = 1, 2, , nzi ;i =1, 2, , k

Vậy ƒ-1(Z) là compact đếm đợc

1.2.5 Mệnh đề Cho f: X → Y là ánh xạ đóng Giả sử A ⊂ X sao cho mọi tập con của A đều đóng trong X Khi đó mọi tập con của f(A) đều đóng trong Y Chứng minh Giả sử F là tập con bất kỳ của ƒ(A) Khi đó tồn tại B ⊆ A saocho ƒ(B) = F Do mọi tập con của A đều đóng, suy ra B đóng Mà ƒ là ánh xạ đóngnên ƒ(B) đóng Vậy F đóng, với mọi F ⊂ƒ(A).

1.2.6 Định nghĩa Khônh gian X đợc gọi là không gian Frechet nếu với

mọi A⊂ X và x∈A, thì tồn tại {xn}⊂ A sao cho xn→ x

1.2.7 Mệnh đề Giả sử f: X → Y là ánh xạ đóng từ không gian Frechet X lên không gian tôpô Y Khi đó Y là không gian Frechet

Chứng minh Với tập con bất kỳ B ⊂ Y, lấy bất kỳ y∈B Do B ⊂ Y nên tồntại A⊂ X sao cho ƒ(A) = B, suy ra B= f(A) Vì ƒ là ánh xạ đóng nên theo mệnh

đề 1.2.2 ta có f(A)= ƒ(A) Do đó B = ƒ(A) Từ y∈B suy ra tồn tại x∈A saocho ƒ(x) = y Vì X là không gian Frechet nên tồn tại {xn}⊂ A sao cho xn→ x khi n

→∞ Do ƒ liên tục nên ƒ(xn) →ƒ(x) = y khi n →∞ Do {xn}⊂A nên {ƒ(xn)}⊂ B

Nh vậy với bất kỳ y∈B luôn tồn tại dãy {yn} = {ƒ(xn)}⊂ B sao cho yn → y khi n

→∞

Vậy Y là không gian Frechet

Chơng II

ánh xạ đóng và tập compact

2.1 Một số tính chất của q -không gian

2.1.1 Định nghĩa i) Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X Tập A ∩ X \ A

đ-ợc gọi là tập biên của tập hợp A và ký hiệu ∂A

ii) Mỗi điểm x ∈∂A đợc gọi là điểm biên của A

2.1.2 Định lý ([5]) Điểm x∈ X là điểm biên của A khi và chỉ khi với lân cận U bất kỳ của x, ta có U∩ A ≠ φ và U∩ (X \ A) ≠φ

2.1.3 Định nghĩa Giả sử A là một tập hợp con của không gian tôpô X.

Điểm x∈X đợc gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu x∈

{ } x

\

A Tập hợp tất cả các điểm tụ của tập hợp A đợc kýhiệu là Ad

2.1.4 Nhận xét Điểm x là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi một lân

cận bất kỳ U của x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x

2.1.5 Bổ đề ([5]) Với mọi tập con A của không gian tôpô X, ta có A =A∪

A d

2.1.6 Mệnh đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Khi đó mọi

tập con của A đều đóng trong X khi và chỉ khi A không có điểm tụ trong X.

Chứng minh Cần Giả sử A ⊂ X sao cho mọi tập con của A đều đóng Giả

sử ngợc lại A có điểm tụ là x∈X, khi đó x∈ A \ { } x Mặt

khác A\ {x}⊂ A nên A\ {x} đóng, do đó A \ { } x = A\

{x}, suy ra x∈A\ {x} Điều vô lý này chứng tỏ A không có điểm tụ trong X

Đủ Trớc hết ta chứng minh với A ⊂ X, A không có điểm tụ trong X thì A

đóng Thật vậy, theo bổ đề 2.1.5 ta có A =A ∪ Ad, mà A không có điểm tụ nên

Ad =φ, suy ra A =A hay A đóng

Bây giờ, với B bất kỳ con A, vì A không có điểm tụ nên B cũng không có

điểm tụ, do đó B đóng Vậy mọi tập con của A đều đóng

2.1.7 Mệnh đề Mọi tập con vô hạn của không gian compact đều có điểm

tụ trong X.

Chứng minh Giả sử A là tập con của không gian compact X và A không có

điểm tụ trong X Khi đó với mọi x ∈ X tồn tại lân cận mở Ux sao cho Ux∩A\ {x} =φ

Họ C = {Ux: x ∈ X} là phủ mở của X Vì X compact nên tồn tại phủ con hữuhạn Ux1, Ux2, , Ux n , với xi ∈ X với mọi i = 1, 2, ,k, nghĩa là X ⊂n

2.1.8 Định nghĩa i) Điểm x thuộc không gian tôpô X đợc gọi là q-điểm

nếu có một dãy các lân cận Ui của xsao cho, nếu xi ∈ Ui và các xi khác nhau thì x1,

x2, có một điểm tụ trong X

ii) Không gian tôpô X đợc gọi là q-không gian nếu mọi x∈X đều là q-điểm 2.1.9 Mệnh đề Mọi không gian thõa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất đều là

q-không gian

Chứng minh Giả sử X là không gian thoã mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất Lấy

bất kỳ x∈X, khi đó hệ các lân cận của x có cơ sở đếm đợc là { } Bi i∞=1sao cho Bi+1⊂

Bi , với i∈N Với mỗi i∈N lấy xi∈Bi sao cho các xi phân biệt khi đó do { } Bi i 1

∞

= là

cơ sở của hệ lân cận tại x nên với lân cận bất kỳ U của x tồn tại i0 sao cho x i0∈

Bio⊂ U, nghĩa là x i0∈ U ∩ {x1, x2, } Do đó mọi lân cận U của x đều chứa điểm

0

i

x nào đó khác x mà x i0∈{ x1, x2, } hay x là điểm tụ của {x1, x2 , }

Vậy x là q-điểm với mọi x∈X Do đó X là q-không gian

2.1.10 Mệnh đề Mọi không gian compact địa phơng đều là q-không gian.

Chứng minh Giả sử X là không gian compact địa phơng Lấy bất kỳ x∈X,khi đó tồn tại lân cận U của x sao cho Ucompact

Lấy {Ui }i ∈N là dãy những lân cận của x sao cho Ui ∩ U ≠ Uj ∩ U với mọi

i≠j Khi đó lấy Vi = Ui ∩ U, i = 1, 2, thì {Vi}i ∈N là dãy các lân cận của x thoảmãn Vi ⊂ U

Lấy các xi ∈ Vi, i = 1, 2, sao cho các xi phân biệt thì {x1, x2, } là tập convô hạn của tập compact Unên theo mệnh đề 2.1.7 ta có dãy {x1, x2, } có điểm tụtrong U Do đó nó có điểm tụ trong X Vậy x là q-điểm với mọi x∈X Suy ra X làq-không gian.

2.1.11 Mệnh đề ([3]) X là T 1 -không gian Khi đó X là không gian comapct đếm đợc nếu và chỉ nếu mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn

2.2.1 Định lý Giả sử X là T 1 -không gian và f: X → Y là ánh xạ đóng, liên tục, toàn ánh Nếu y∈ Y là một q-điểm thì mọi hàm giá trị thực liên tục trên X

đều bị chặn trên ∂ f -1 (y)

Chứng minh Giả sử h: X →R là hàm liên tục và không bị chặn trên ∂ƒ-1(y)

Do h không bị chặn nên lấy đợc x1, x2, thuộc ∂ƒ-1(y) sao cho

Bây giờ ta lấy một dãy {zi}i sao cho zi∈Vi ∩ ƒ-1(Ui) và tất cả các ƒ(zi) đềuphân biệt Ta lấy đợc nh vậy nhờ phép quy nạp sau Lấy z1 = x1 Giả sử đã lấy đợccác z1, z2, , zi-1 thoả mãn yêu cầu Đặt

Wi = [Vi ∩ƒ-1(int Ui )] \ ƒ-1({( z2) , , ƒ(zi-1)})

Khi đó, do {zj} đóng, ƒ là ánh xạ đóng nên ƒ(zj) đóng, j = 1, 2, , i-1 Suy

ra {ƒ(z1) , , ƒ(zi-1)} đóng Vì ƒ liên tục nên ƒ-1({ƒ( z1) , , ƒ(zi-1)}) đóng

Mặt khác Vi ∩ ƒ-1(intUi) mở chứa xi Vì vậy Wi là một tập mở Do đó theo

định lý 2.1.2 ta có Wi \ ƒ -1(y) ≠φ Vì vậy ta lấy đợc zi ∈ Wi\ ƒ -1(y), thoả mãn

zi ∈ Wi = [Vi ∩ƒ-1(int Ui ) ] \ ƒ-1({ƒ( z2), , ƒ(zi-1)}), suy ra zi ∈Vi ∩ƒ-1(intUi ) ⊂ Vi ∩ƒ-1(Ui), hay zi∈Vi∩ƒ-1( Ni )

và zi ∉ƒ-1({ƒ(z1), , ƒ(zi-1)}) nên ƒ(zi) ≠ƒ(zj), với mọi j = 1, 2, , i-1 Do đó zi lấy

nh trên thoả mãn yêu cầu của dãy {zi}i

Đặt Z = {z1, z2, } Gọi C là tập con bất kỳ của Z thì C đóng Thật vậy, lấy x

∈X \ C Do {Vi}i là họ rời rạc nên tồn tại lân cận V của x sao cho V∩(

Vậy mọi tập con của Z đều đóng Từ đó theo mệnh đề 1.2.5, ta có mọi tậpcon của ƒ(Z) đều đóng Nhờ mệnh đề 2.1.6, ƒ(Z) không có điểm tụ trong Y Vì

ƒ(zi)∈Ui, các ƒ(zi) đều phân biệt, Ui là các lân cận của q-điểm y nên theo địnhnghĩa q-điểm thì ƒ(Z) = {ƒ(z1), ƒ(z2), } phải có điểm tụ Điều này mâu thuẫn vớilập luận trên Định lý đợc chứnh minh

2.2.2 Hệ quả Trong định lý 2.2.1, nếu X là không gian chuẩn tắc thì ∂f -1 (y)

là compact đếm đợc.

Chứng minh Vì X là T1-không gian, ∂ƒ-1(y) là tập đóng của X nên ∂ƒ-1(y) là

T1-không gian Giả sử ngợc lại ∂ƒ-1(y) không phải là compact đếm đợc, theo mệnh

đề 2.1.11 suy ra ∂ƒ-1(y) có một có một dãy S = {x1, x2, }, (các xi phân biệt) saocho S không có điểm tụ trong ∂ƒ-1(y) Mà ∂ƒ-1(y) đóng trong X nên S cũng không

có điểm tụ trong X Do đó theo mệnh đề 2.1.6 thì mọi tập con của S đều đóng

Ta xác định hàm g:S →R, cho bởi g(xn) = n với mọi xn ∈ S

Vì mọi tập con của S đều đóng nên g liên tục Hơn nữa, S là tập con đóngcủa không gian chuẩn tắc X nên theo hệ quả của bổ đề Titzơ-Urxơn ([5]) tồn tạithác triển liên tục h:X→R của g.

Do g không bị chặn trên S nên h cũng không bị chặn trên S ⊂∂ƒ-1(y) Do đó

h cũng không bị chặn trên ∂ƒ-1(y), mâu thuẫn với định lý 2.2.1 Ta có điều phảichứng minh

2.2.3 Định lý Cho X là không gian paracompact, Y là một không gian

compact địa phơng hoặc thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất và ánh xạ f: X → Y liên tục, đóng Khi đó ∂f -1 (y) là tập compact, với mọi y ∈ Y

Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.9 và 2.1.10 ta có y là q-điểm với mọi y∈Y.Vì X là không gian paracompact nên theo mệnh đề 1.1.10 X là không gian chuẩntắc Do đó áp dụng hệ quả 2.2.2 ta có với mọi y∈Y, ∂ƒ-1(y) là compact đếm đợc.Mặt khác ∂ƒ-1(y) là tập con đóng của không gian paracompact X nên theo mệnh đề1.1.12 thì ∂ƒ-1( y) là không gian paracompact áp dụng mệnh đề 1.1.11, ∂ƒ-1(y)vừa là không gian compact đếm đợc vừa là không gian paracompact nên ∂ƒ-1(y) làkhông gian compact Vậy ∂ƒ-1(y) là tập compact, với mọi y ∈ Y

2.2.4 Hệ quả Cho X là không gian paracompact và ánh xạ f: X → Y liên tục, đóng, toàn ánh Khi đó mọi tập con compact của Y đều là ảnh của một tập con compact nào đó của X.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng Y là không gian

compact Ta phải tìm một tập compact C ⊂ X sao cho ƒ(C) = Y

Với mỗi y∈Y, lấy py ∈ƒ-1(y) và đặt Cy = ∂ƒ-1(y) nếu ∂ƒ-1(y) ≠φ; Cy = p y nếu

Do đó tồn tại x∈∂ƒ-1(y) ∩ ƒ-1(y) Khi đó x∈ Cy ∩ C và ƒ(x) = y, suy ra y∈ ƒ(C).Vậy Y ⊂ ƒ(C) (2)

2.2.5 Hệ quả Cho X là không gian chuẩn tắc và ánh xạ f: X → Y liên tục,

đóng, toàn ánh Khi đó mọi tập con compact đếm đợc của Y đều là ảnh của một tập con compact đếm đợc nào đó của X.

Chứng minh Giả sử K là tập con compact đếm đợc của Y, ta phải tìm một

tập compact đếm đợc C ⊂ X sao cho ƒ(C) = K Với mỗi y∈K, lấy py ∈ƒ-1(y) và đặt

Cy = ∂ƒ-1(y) nếu ∂ƒ-1(y) ≠ φ; Cy = p y nếu ∂f-1(y) =φ

có nếu ∂f-1(y)=φ thì Cy = p y ∈ f-1(y) Suy ra f(Cy) = y Do đó y∈ƒ(C) Nếu ∂ƒ-1(y)≠

φ, thì vì ƒ-1(y) đóng nên ∂ƒ-1(y)⊂ƒ-1(y) và ∂ƒ-1(y) ≠φ Do đó tồn tại x∈∂ƒ-1(y) ∩ƒ

-1(y) Khi đó x ∈ Cy ∩ C và ƒ(x) = y, suy ra y∈ƒ(C) Vậy K ⊂ ƒ(C).(2)

Từ (1) và (2) ta đợc ƒ(C) = K Do C đóng trong X, ƒ là ánh xạ đóng nên

g = ƒC cũng là ánh xạ đóng

Với mỗi y∈Y, ta có g-1(y) = Cy Mà theo định lý 2.2.2 thì ∂ƒ-1(y) là tậpcompact đếm đợc, còn {py} cũng là tập compact đếm đợc Do đó g-1(y) là tậpcompact đếm đợc với mọi y∈Y

Nh vậy, g: C→Y là ánh xạ đóng g-1(y) là tập compact đếm đợc với mọi

y∈Y áp dụng mệnh đề 1.2.4 ta có C = g-1(K) là tập compact đếm đợc trong Y mà

ta cần tìm