định lí krasnosel’skii về ánh xạ nén và giãn mặt nón và ứng dụng

Tôi thành thật cảm ơn các Anh, Chị đồng nghiệp của lớp Cao học khóa 18 Chuyên ngành Toán giải tích niên khóa 2007-2010 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và các Người thân trong gia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Bùi Nguyễn Khánh Bình

ĐỊNH LÍ KRASNOSEL’SKII VỀ ÁNH XẠ NÉN VÀ GIÃN MẶT NÓN

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh- 2010

LỜI CẢM ƠN

Tôi vô cùng biết ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy đã giảng dạy, hướng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập, nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ cấp Bộ môn và cấp Trường đã cho tôi những nhận xét, đánh giá và bình luận quý báu cùng với những lời chỉ bảo, đề nghị quan trọng tạo điều

kiện để tôi hoàn thiện luận văn một cách tốt nhất

Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, bộ môn Toán giải tích và Phòng Khoa học Công nghệ- Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và

bảo vệ luận văn, những lời cảm ơn chân thành và trân trọng

Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường và tổ Toán của Trường Trung học Phổ thông Nguyễn Hữu Thọ huyện Bến Lức, tỉnh Long An nơi tôi giảng dạy

đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như

tinh thần để tôi hoàn thành tốt khóa học, những lời cảm ơn sâu sắc

Tôi thành thật cảm ơn các Anh, Chị đồng nghiệp của lớp Cao học khóa 18 Chuyên ngành Toán giải tích (niên khóa 2007-2010) đã giúp đỡ tôi trong quá trình

học tập và các Người thân trong gia đình tôi đã cho tôi nguồn động viên to lớn

Tôi rất kính trọng và xin được ghi ơn tất cả mọi người

Bùi Nguyễn Khánh Bình

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm và tính ổn định của nghiệm cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ Toán học, Khoa học tự nhiên, Kinh tế học,…

Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì định lí Krasnosel’skii về điểm bất động của ánh xạ nén hoặc giãn mặt nón đóng vai trò rất quan trọng Vai trò của định lí này

có thể so sánh với định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lí Schauder về điểm bất động của ánh xạ compắc Vì tầm quan trọng như thế nên định lí Krasnosel’skii được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu cho đến ngày nay theo hướng mở rộng nó và tìm các ứng dụng ngày càng đa dạng của định lí này cho các lớp phương trình cụ thể

Từ các kết quả khá phong phú về định lí Krasnosel’skii, các mở rộng và ứng dụng của nó được trình bày trong các bài báo trên các tạp chí Khoa học và trong các tài liệu về Giải tích phi tuyến, luận văn đã cố gắng trình bày một cách hệ thống với các chứng minh chi tiết cho các kết quả để có một cách nhìn khá hoàn chỉnh về định lí Krasnosel’skii và các vấn đề liên quan

Luận văn gồm có hai chương:

Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm về nón trong không gian Banach có thứ tự, chỉ số điểm bất động của ánh xạ dương, định lí điểm bất động của ánh xạ nén

và giãn mặt nón của Krasnosel’skii và những định lí về nhiều điểm bất động

Ở chương 2 trình bày các ứng dụng của định lí điểm bất động của ánh xạ nén và giãn mặt nón của Krasnosel’skii vào việc giải các bài toán phương trình tích phân và các bài toán phương trình vi phân

mỗi x ÎK \ { }q gọi là dương

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử '' ''  là thứ tự sinh bởi nón Khi đó:

a) x £  + £ +y x z y z, , l x £l y , " Îz E " ³l 0

b) (x n £y n n( Î *), limx n =x, limy n =y) £x y

c) Nếu { }x n là dãy tăng, hội tụ về x thì x n £x, " Î  n *

Chứng minh mệnh đề 1.1.1 b) Suy từ tính chất đóng của K

c) Cho m  ¥ trong bất đẳng thức x n £x n m+ ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử '' ''  là thứ tự sinh bởi nón chuẩn Khi đó:

a) Nếu u £ thì đoạn v u v, = {x ÎE u: £ £x v} bị chặn theo chuẩn

b) Nếu x n £y n £z n n( Î  và *) limx n =a, limz n =a thì limy n =a

c) Nếu { }x n đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì limx n =a

Chứng minh mệnh đề 1.1.2 a) " Îx u v,  £ - £ - q x u v u

Dãy s n = u1 +u2 + + u n tăng và bị chặn trên ( bởi v ) nên hội tụ

Suy ra limu n = q Ta gặp mâu thuẫn 

Ví dụ 1.1.1 Nón các hàm không âm trong L p(1£ < ¥p ) là nón chính qui

1) Nón các hàm không âm trong ( ), C K L p là nón sinh

2) Nếu nón K có điểm trong u0 thì ta có

a-x Î B  $x Î C a-x -x < ,…

Do định lí tách tập lồi g E* g x g y y K

0: ( ) ( ),

Cố định x ÎK , ta có

g x( )0 <g tx( ), " >t 0 Cho t  ta có g x ³( ) 0

Vậy g ÎK*, nhưng g x <( )0 0 Ta gặp mâu thuẫn

Vậy định lí được chứng minh 

1.2 Chỉ số điểm bất động của ánh xạ dương

Cho E là không gian Banach thực Một tập con X ÌE được gọi là một co rút của E nếu

tồn tại một ánh xạ liên tục :r E  X sao cho r x( )= x x, ÎX Theo định lí của Dugundji, mỗi tập hợp con khác rỗng, lồi, đóng của E là một co rút của E Đặc biệt, mỗi nón của E là một

co rút của E

Định lí 1.2.1 Cho X là một co rút của không gian Banach thực E Khi đó với mỗi tập con mở,

bị chặn tương đối U của X và mỗi toán tử hoàn toàn liên tục : A U  X mà nó không có điểm bất động trên U ¶ , tồn tại một số nguyên i A U X( , , ) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Tính chuẩn tắc: ( , , ) i A U X = nếu 1 Ax ºy0 ÎU với mọi x Î U

(ii) Tính cộng tính: i A U X( , , )=i A U X( , , )1 +i A U X( , 2, ) với bất kì U 1 và U 2 là hai tập con mở, rời nhau của U sao cho A không có điểm bất động trên U \ (U1 ÈU2)

(iii) Tính bất biến đồng luân: ( ( , ), , ) i H t  U X độc lập với t (0 £ £ với t 1)

bất kì H : [0,1]´ U X hoàn toàn liên tục và ( , ) H t x ¹ với bất kì ( , ) [0,1] x t x Î ´ ¶ U

(iv) Tính không đổi: ( , , ) i A U X =i A U( , ÇY Y, ) nếu Y là một co rút của X và ( ) A U Ì Y

Hơn nữa, đặt

{( , , ) |

: A U  X hoàn toàn liên tục và Ax ¹ trên x ¶ } U

và đặt  là tập các số nguyên Khi đó tồn tại đúng một hàm : d M  thỏa mãn các điều Z kiện từ (i) đến (iv) Nói cách khác, i A U X( , , ) được xác định duy

nhất, ( , , ) i A U X được gọi là chỉ số điểm bất động của A trên U đối với X

Chứng minh định lí 1.2.1 Trước hết ta chứng minh tính duy nhất của chỉ số điểm bất động

Cho { ( , , )}i A U X là một tập hợp bất kì thỏa mãn các điều kiện từ (i) đến (iv)

Ta định nghĩa

trong đó f = - , U là tập mở, bị chặn của E, ( ) I A f x ¹ trên p ¶ , nghĩa là U A+ không có p

điểm bất động trên ¶W Từ điều kiện (i)-(iv) và (1.2.1) dễ dàng thấy rằng hàm d f U p( , , ) có bốn

tính chất tiêu biểu của bậc Leray-Schauder Do đó, theo tính duy nhất của bậc Leray-Schauder,

ta có

( , , )d f U p = deg(I -A U p, , ) (1.2.2) Lấy p = trong (1.2.1) và (1.2.2), ta được q

( , , ) deg( , , )

Bây giờ, ta giả sử rằngX là một co rút tùy ý của E và được biểu thị bởi : r E  X là một sự co rút tùy ý Với tập con mở U của X , ta chọn một quả cầu B R ={x ÎE x| <R} sao cho B R ÉU Thế thì, theo tính không đổi (iv) và (1.2.3), ta có

nghĩa là, ( , , )i A U X không phụ thuộc vào việc chọn R

-= Ç Ç Khi đó V là một tập mở bị chặn của E và V ÉU Theo

(1.2.7) ta biết rằng A r⋅ không có điểm bất động trong B R Çr U- 1( ) \V và A r⋅ không có 1

Rõ ràng, H : [0,1]´ V E hoàn toàn liên tục

Bây giờ ta chứng minh q Ï h t V( ,¶ ) với bất kì t Î[0,1]

Thật vậy, nếu tồn tại t Î0 [0,1] và x0 Î ¶ sao cho V h t x( , )0 0 = , thì q

Từ (1.2.8), (1.2.9) và (1.2.10) suy ra

deg( - ⋅ , Ç - ( ), )q = deg( - ⋅ , Ç - ( ), )q (1.2.11)

điều đó chỉ ra rằng ( , , )i A U X không phụ thuộc việc chọn r

Cuối cùng, theo các tính chất cơ bản của bậc Leray-Schauder ta kiểm tra được rằng chỉ số điểm bất động định nghĩa bởi (1.2.5) có các tính chất từ (i) đến (iv)

Định lí 1.2.2 Bên cạnh các tính chất từ (i) đến (iv), chỉ số điểm bất động còn có những tính chất sau:

v) Tính chất cắt: i A U X( , , )=i A U X( , 0, ) với bất kì U là một tập con mở của U sao cho 0

A không có điểm bất động trong U U\ 0

vi) Tính chất nghiệm: nếu i A U X ¹( , , ) 0 thì A có ít nhất một điểm bất động trong U

Chứng minh định lí 1.2.2 Đặt U1 =U và U2 = f trong tính chất cộng tính (ii) ta được ( , , ) 0

i A f X = Từ điều này và đặt U1 =U0, U2 = trong (ii), ta được f

0( , , ) ( , , )

i A U X = i A U X Như vậy (v) được chứng minh

Nếu A không có điểm bất động trong U, đặt U0 = trong (v), ta được f

( , , ) ( , , ) 0

i A U X = i A f X =

do đó (vi) được chứng minh.

Chú ý rằng khái niệm này của chỉ số điểm bất động có thể được mở rộng

tới những tập co nghiêm ngặt và những ánh xạ cô đặc như sau:

Cho X là một tập lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach thực E và U

là một tập con mở của X Cho toán tử : A U  X là một tập k-co (0 £ < , mà nó không có k 1)

và D UÇ khác rỗng và compact và hơn nữa (A D UÇ )ÌD

Do đó, theo định lí mở rộng ánh xạ, tồn tại một toán tử hoàn toàn liên tục

A U  D D Ì X sao cho A x1 =Ax với mọi x ÎD UÇ Dễ dàng thấy rằng A1 không có

điểm bất động trên U¶ và do đó theo định lí 1.2.1, chỉ số điểm bất động i A U X hoàn toàn ( , , )1xác định

Bây giờ, ta định nghĩa

Bây giờ, cho tập X lồi, đóng, khác rỗng được đánh dấu sao, nghĩa là nếu x ÎX thì

tx ÎX với mọi t Î[0,1] Cho U là một tập con mở của X và : A U  X là cô đặc mà không

Như thế B tồn tại, chẳng hạn chọn B =kA, trong đó 0£ <k 1 và 1 k - đủ nhỏ Vì X được

đánh dấu, B là ánh xạ từ U vào X Điều đó dễ dàng thấy rằng B không có điểm bất động trên U

Trong phần sau, cho K là một nón của không gian Banach thực E Do đó K là một co rút của E,

và cũng vì thế K là một tập được đánh dấu sao, lồi, đóng Cho W là một tập mở bị chặn của E , thì K Ç W là một tập mở bị chặn của K và

Chứng minh bổ đề 1.2.2 Theo định lí mở rộng ánh xạ của Dugundji[1], ta có thể mở rộng B

tới một toán tử hoàn toàn liên tục từ K Ç W vào K sao cho

B K Ç W ÌcoB K Ç ¶W (1.2.18) Đặt F = B K( Ç ¶W), khi đó coB K( Ç ¶W =) coF = M , trong đó

Biểu thị theo E0 là không gian con của E có bề rộng bằng F Vì B là hoàn toàn liên tục, F thì

compact tương đối, do đó E0 tách được

Hiển nhiên, K0 = K ÇE0 là một nón của E0và F ÌK0, coF ÌK0, tồn tại *

f ÎE sao cho ( )f y >0 0với bất kì y ÎK0 với y ¹ Ta khẳng định rằng q

0

y F f y s

Thật vậy, nếu s = thì tồn tại { }0 y k ÌF sao cho f y 0( )k 0.Theo tính

compact tương đối của F, có một dãy con { }

Chứng minh Hệ quả trên được suy trực tiếp từ bổ đề 1.2.2 bằng cách đặt Bx =u0 với mọi

" = Î (1.2.25)

1 2{x ( , , , , )x x x n l | x 1}

2

Ax -Ay = x -y với mọi x y, Îl2 Dễ dàng kiểm tra

Ax ¹ m x " Îx K Ç ¶W m> (1.2.26) Thật vậy, nếu tồn tại * * * *

1 2( , , , , )n

Ax = x và (1.2.26) ta thấy rằng điều kiện (i) và (ii) của bổ đề 1.2.3

được thỏa mãn Nhưng theo (1.2.26) và bổ đề 1.2.1, ta có i A K( , Ç ¶W, )K =1

Bổ đề 1.2.4 Cho A K: Ç W  K hoàn toàn liên tục Giả sử

Khi đó, theo giả thiết, A K1 : Ç ¶W K hoàn toàn liên tục Theo định lí mở rộng ánh xạ, A1

có thể mở rộng tới một toán tử hoàn toàn liên tục từ K Ç W vào trong K Bây giờ, ta chứng

minh rằng A1 thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) của bổ đề 1.2.3 Thật vậy, đầu tiên ta có

Nếu có x1 ÎK Ç ¶W và 0£ £t1 1 sao cho (1-t Ax1) 1 +t A x1 1 1 = x1thì

1.3 Điểm bất động của ánh xạ giãn và nén mặt nón

Định lí 1.3.1 Cho W1và W2là hai tập mở, bị chặn trong E sao cho q Î W1 và W Ì W Cho toán 1 2

tử A K: Ç W W ( 2 \ )1 K hoàn toàn liên tục Giả sử rằng một trong hai điều kiện:

(H 1 ) Ax ³ x, " Îx K Ç ¶W và Ax £1 x, " Îx K Ç ¶W 2

(H 2 ) Ax £ x, " Îx K Ç ¶W và Ax ³1 x, " Îx K Ç ¶W 2

được thỏa mãn Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong K Ç W( 2 \ )W 1

Chứng minh định lí 1.3.1 Theo định lí mở rộng ánh xạ , A có một sự mở rộng hoàn toàn liên

tục (cũng được biểu thị theo A) từ K Ç W vào trong K 2

Trước hết, ta giả sử rằng ( )H1 được thỏa mãn, nghĩa là nó là trường hợp của nón giãn

Dễ dàng thấy rằng

1

Vì ngược lại nếu như tồn tại x0 ÎK Ç ¶W1 và m0 ³1 sao cho Ax0 = m0 0x ³x0

Mâu thuẫn với ( )H1 Bây giờ từ 1.3.1 và bổ đề 1.2.1 ta thu được

Kết quả là ta cũng có thể khẳng định rằng A có ít nhất một điểm bất động trong W W 2 \ 1

Định lí 1.3.2 (định lí điểm bất động của sự nén và giãn mặt nón của kiểu chuẩn)

Cho W1 và W2 là hai tập mở, bị chặn trong E sao cho q Î W1 và W Ì W Cho toán tử 1 2

2 1

A K Ç W W  K hoàn toàn liên tục Giả sử rằng một trong hai

điều kiện

được thỏa mãn Khi đó A có ít nhất một điểm bất động trong K Ç W( 2 \ ).W 1

Chứng minh định lí 1.3.2 Ta chỉ cần chứng minh định lí dưới điều kiện (H3), vì việc chứng minh sẽ tương tự khi (H4) được thỏa mãn

Theo định lí mở rộng ánh xạ, A có thể mở rộng tới một toán tử hoàn toàn liên tục từ K Ç W 2vào K Chúng ta có thể giả sử rằng A không có điểm bất động trên K Ç ¶W1 và K Ç ¶W2 Dễ dàng thấy rằng (1.3.1) đúng, vì trái lại, nếu tồn tại x0 ÎK Ç ¶W1 và m >0 1 sao cho

0 0 0

Ax = m x thì Ax0 = m0 x0 > x0

Mâu thuẫn với (H3) Vì vậy theo (1.3.1) và bổ đề 1.2.1, (1.3.2) đúng

Ngoài ra, cũng dễ dàng để kiểm tra

2

Ax ¹ m x " Îx K Ç ¶W < £m (1.3.6) Thật vậy, nếu có x1 ÎK Î ¶W2và 0<m1 <1 sao cho Ax1 = m1 1x thì

Từ (1.3.6), (1.3.7) và bổ đề 1.2.3 suy ra (1.3.4) đúng Như đã biết, (1.3.2) và

(1.3.4) suy ra (1.3.5) và do đó A có ít nhất một điểm bất động trong W W  2 \ 1

Định lí 1.3.3 Cho W1 và W2 là hai tập mở, bị chặn trong E sao cho q Î W1 và W Ì W Cho 1 2

(H 6 ) Ax £

, u

x " Îx K Ç ¶W và Ax ³(1+e) , , x " Îx K Ç ¶W2 e > 0

được thỏa mãn, thì A có ít nhất một điểm bất động trong K Ç W( 2 \ )W 1

Chứng minh định lí 1.3.3 Ta có thể giả sử rằng (H 5 ) được thỏa mãn ,vì chứng minh sẽ tương

tự khi (H 6 ) đúng Theo định lí mở rộng ánh xạ, A có thể mở rộng tới một toán tử hoàn toàn liên

tục từ K Ç W vào trong K Ta có thể giả sử rằng A không có điểm bất động trong 2 K Ç ¶W1 và

K ÌK Định lí 1.3.3 là một sự cải tiến của định lí 1.3.1

Định lí 1.3.4 Cho K là một nón trong không gian Banach thực E, W là một tập con mở, bị chặn của E với q Î W và A K: Ç W  K là một toán tử hoàn toàn liên tục Giả sử rằng tồn tại một nón K khác trong không gian Banach thực 1 E khác và một toán tử thuần nhất 1 B K: K1với {Bx x| ÎK Ç ¶W Ì} K1\ { }q

sao cho

,

với thứ tự cảm sinh theo nón K trong 1 E Khi đó, chỉ số điểm bất động 1 i A K( , Ç W, )K =1

Chứng minh định lí 1.3.4 Nếu tồn tại x0 ÎK Ç ¶W và l0 ³1 sao cho

điều này mâu thuẫn với (1.3.8) Do đó theo bổ đề 1.2.1 định lắ được chứng

minh.

Định lắ 1.3.5 Cho K là một nón trong không gian Banach thực E, W là một tập

con mở, bị chặn của E và một toán tử A K: đ W  K hoàn toàn liên tục Nếu

x K Ax

ị độW > và

(ii) Tồn tại nón K khác trong không gian Banach thực 1 E khác và một 1

toán tử thuần nhất B K:  K1 với {Bx x| ịK đ ộW ỉ} K1\ { }q sao cho

,

với thứ tự cảm sinh theo nón K1 trong E1, Khi đó, chỉ số điểm bất động i A K( , đ W, )K = 0

Chứng minh định lắ 1.3.5 Nếu tồn tại x0 ịK đ ộW và 0<l0 ẳ1 sao cho

0 0 0

Ax =l x , khi đó 0<l0 <1 Do đó, B Ax( 0)= B(l0 0x )=l0Bx0 <Bx0,

điều này mâu thuẫn với (1.3.9) Áp dụng bổ đề 1.2.3 ta có điều phải chứng

minh.

Định lắ 1.3.6 Cho W1 và W2 là hai tập mở, bị chặn trong E sao cho q ị W1 và W ỉ W Giả sử 1 2

rằng A K: đ W( 2 \ )W 1 K hoàn toàn liên tục Giả định rằng tồn tại hai nón K và 1 K trong 2không gian Banach E và 1 E tương ứng và toán tử thuần nhất 2 B K1 : K1 với

Việc chứng minh dễ dàng bằng cách dựa vào định lắ 1.3.4 và 1.3.5

Do đó ta chấp nhận nó

Nhận xét: ta khẳng định rằng định lắ 1.3.6 là sự mở rộng của định lắ điểm bất động của sự nén

và giãn mặt nón của kiểu chuẩn Thật vậy, nếu ta lấy B x1 = B x2 = x x" ịK thì

ị độW > được thỏa mãn một cách tự nhiên theo q ị W1 và W ỉ W 1 2

Định lắ 1.3.7 Cho K là một nón trong không gian Banach thực E, W là một tập con mở, bị chặn

Ax ³x Do đó BAx0 ³Bx0.Điều này mâu thuẫn với (1.3.10)

Áp dụng bổ đề 1.2.1 , ta có điều phải chứng minh.

Định lắ 1.3.8 Cho K là một nón trong không gian Banach thực E, W là một tập con mở, bị chặn

i A K đ WK =

Chứng minh định lí 1.3.8 Nếu tồn tại u0 ÎK u, 0 ¹ q, x0 ÎK Ç ¶W và l0 ³ 0 sao cho

x -Ax =l u thì Ax0 £x0 Do đó, BAx0 £Bx0 Điều này

mâu thuẫn với (1.3.11) Áp dụng bổ đề 1.2.2 ta có điều phải chứng minh 

Định lí 1.3.9 Cho W và 1 W là hai tập mở, bị chặn trong E sao cho 2 q Î W và 1 W Ì W1 2 Giả sử

Định lí 1.3.10 Cho W là tập mở, bị chặn trong E và q Î W Giả sử rằng

: A K Ç W K hoàn toàn liên tục, A q = và q

x K Ax

Chứng minh định lí 1.3.10 Đặt sup , inf

aA thỏa mãn tất cả các điều kiện của bổ đề 1.2.3

Thật vậy, nếu tồn tại x1 ÎK Ç ¶W và 0< m1 £1 sao cho aAx1 = m1 1x , thì

Đặt H t x( , )=taAx Nếu H t x( , )¹ x với bất kỳ x ÎK Ç ¶W và 0£ £t 1, thì

theo tính bất biến đồng luân và tính chuẩn tắc của chỉ số điểm bất động

i aA K Ç W K = i q K Ç WK =Mâu thuẫn với (1.3.13) Do đó, tồn tại x0 ÎK Ç ¶W và 0£t0 £1 sao cho H t x( , )0 0 =x0

nghĩa là t aAx0 0 = x0 Rõ ràng, t0 ¹ 0 nên Ax0 = m0 0x , trong đó

1

0 (at0) 0

Định lí 1.3.11 Cho toán tử : A K K hoàn toàn liên tục và A q = Giả sử q

rằng một trong hai điều kiện:

được thỏa mãn Khi đó hai kết luận sau đúng:

Do đó điều kiện (H 3 ) của định lí (1.3.2) được thỏa mãn cho toán tử 1 A

1 {x E | x r}, 2 {x E | x R}

W = Î < W = Î < Do đó từ định lí 1.3.2 suy ra

rằng toán tử 1A

m có một điểm bất động x m trong W W và (a) được chứng minh xong 2 \ 1

Điều còn lại là chứng minh kết luận (b) tức là cần chứng minh x m  +¥ khi

n

Ax

n x

m m

0( )

Î +¥

1( )

A K K hoàn toàn liên tục

Ta có những khẳng định sau:

(a) Nếu k t s x x'( , , ) tồn tại và liên tục trên t ÎG s, ÎG và x ³0 thì A khả

vi tại mọi x t0( )ÎK theo K và

x G

đối với t ÎG và s ÎG khi x  +¥ thì A khả vi tại vô cực theo K và

A x+ =B tức là (1.3.18) đúng

Để chứng minh b), cho e> 0 bất kì, theo giả thiết Q t s( , )liên tục trên ( , )t s Î ´G G

và tồn tại b > sao cho 0

Và do đó

1 ,

A+ ¥ = B nghĩa là (1.3.20) đúng

Bổ đề 1.3.1. Cho A K: K hoàn toàn liên tục Khi đó

0( )

compắc tương đối

vào những tập compắc tương đối

Chứng minh bổ đề 1.3.1 i) Vì '

0( )

A x+ là tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh rằng '

t e

+

Khi đó, từ (1.3.26) và (1.3.27) ta tìm được

Mâu thuẫn với tính hoàn toàn liên tục của A

(ii) Tương tự, nếu (ii) không đúng, thì tồn tại h i ÎS i1 ( =1,2, 3, )và e0 > 0

Bây giờ chọn r > sao cho 0

Tương tự như (i), từ (1.3.29) và (1.3.30) ta suy ra

Mâu thuẫn với tính hoàn toàn liên tục của A.

Hệ quả 1.3.1. Cho A K: K hoàn toàn liên tục và K là nón sinh Khi đó

0( ) :

Chứng minh hệ quả 1.3.1.Hệ quả này suy trực tiếp từ bổ đề 1.3.1 và bổ đề 1.4.2

Bổ đề 1.3.2 Cho A K: K hoàn toàn liên tục Khi đó

0( ) ( ) ,