Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Lời nói đầu Trong lý thuyết nhóm trừu tợng, lớp nhóm hữu hạn hay lớp nhóm sinh bởi mộttập hữu hạn có một vị trí quan trọng, nó đợc sử dụng nh một công cụ hiệu lực đểnghiên cứu các lớp nh

Lời nói đầu

Trong lý thuyết nhóm trừu tợng, lớp nhóm hữu hạn hay lớp nhóm sinh bởi mộttập hữu hạn có một vị trí quan trọng, nó đợc sử dụng nh một công cụ hiệu lực đểnghiên cứu các lớp nhóm khác

Một lớp nhóm tôpô mà khi lấy tôpô rời rạc thì trùng với lớp nhóm trừu tợnghữu hạn sinh, đó là lớp nhóm sinh bởi một tập compact Nhóm tôpô sinh bởi mộttập compact giữ một vị trí quan trọng trong nhóm tôpô Đặc biệt, nó còn giữ lại đ-

ợc nhiều tính chất trong lý thuyết nhóm trừu tợng nh ánh xạ đồng cấu, tích trựctiếp của các nhóm tôpô

Khoá luận nghiên cứu một số tính chất của nhóm tôpô sinh bởi một tậpcompact có liên quan với các tính chất của nhóm trừu tợng

Khoá luận gồm hai chơng :

Chơng I Khái niệm tổng quát về nhóm tôpô.

Đây là chơng tóm tắt một số đặc tính của nhóm tôpô cần thiết cho việc nghiêncứu của chơng II Nội dung cụ thể trong chơng này gồm:

Đ1 Nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng của nhóm tôpô

Đ2 Nhóm compact và nhóm compact địa phơng

Đ3 Đồng cấu, đẳng cấu của nhóm tôpô

Đ4 Tích trực tiếp của các nhóm tôpô

Chơng II Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact.

Nội dung gồm có:

1 Đ1 Một số tính chất của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Đ2 ánh xạ đồng cấu của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Đ3 Tích trực tiếp của các nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Đ4 Tính compact của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Để thuận tiện trong việc nghiên cứu ta giả thiết rằng, nhóm tôpô đợc xét trongkhoá luận này là nhóm compact địa phơng.

Em xin bày tỏ lời cảm ơn trân trọng tới GS.TS Nguyễn Quốc Thi, ngời đã tậntình giúp đỡ em trong quá trình làm khoá luận Em cũng xin trân trọng cảm ơncác thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và trong khoa Toán nói chung đãgóp ý cho em những ý kiến quý báu, để khoá luận này đợc hoàn thành

Cuối cùng, khoá luận này lần đầu đợc viết ra chắc chắn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Do vậy, rất mong các thầy cô góp ý và chỉ bảo để khoá luận đợchoàn thiện hơn

Chơng I Khái niệm tổng quát về nhóm tôpô

Đ1 Nhóm con - Ước chuẩn - Nhóm thơng của nhóm tôpô

1.1 Định nghĩa nhóm tôpô Nhóm tôpô là một tập hợp G, trên đó đã đợc trang bị

một cấu trúc nhóm và một cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện:

i) ánh xạ (x,y)  x.y từ G ì G vào G liên tục

ii) ánh xạ x  x-1 từ nhóm G vào chính nó liên tục

Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm tôpô tơng thích với nhau

Hai điều kiện trên tơng đơng với điều kiện ánh xạ (x,y)  x-1y từ G ì G vào

ε ε

), thoả mãn điều kiện f(U,V) ⊂ Whay U- V ⊂ W

Thật vậy, ∀x ∈ U thì − +a< x< +a

2 2

ε ε

(1)

∀y ∈ V thì − +b< y< +b

2 2

ε ε

⇔− −b< −y< −b

2 2

ε ε

(2)Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc - ε +(a - b) < x- y < ε + (a - b)

⇔ - ε + c < x- y < ε + c

⇒ x- y ∈ W

Vì x, y bất kỳ tơng ứng thuộc U và V ⇒ U - V ⊂ W Vậy f liên tục

1.3 Nhóm con của nhóm tôpô Giả sử G là nhóm tôpô Tập con H của G đợc gọi

là nhóm con tôpô của nhóm tôpô G nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) H là nhóm con trừu tợng của G

ii) H là nhóm tập đóng của không gian tôpô G

1.4 Ước chuẩn của nhóm tôpô Nhóm con tôpô N của nhóm tôpô G đợc gọi là

ớc chuẩn tôpô của nhóm tôpô G nếu N là ớc chuẩn của nhóm trừu tợng G

1.5 Tính chất của nhóm con và ớc chuẩn

1.5.1 Định lí Giả sử H là nhóm con trừu tợng của nhóm tôpô G Khi đó H là

nhóm tôpô với tôpô cảm sinh trên H bởi tôpô đã cho trong G Nói riêng nhóm con tôpô của nhóm tôpô là nhóm tôpô.

Chứng minh Giả sử a, b ∈ H và ab-1 = c Với mọi lân cận W' của c trongkhông gian H (có thể lấy W' = H ∩ W, trong đó W' là lân cận của c trong G) Khi

đó tồn tại các lân cận U của a, V của b trong G sao cho UV-1 ⊂ W.Thế thì U' = U

∩ H và V' = V ∩ H là các lân cận của a và b trong H thoả mãn điều kiệnU'V'-1⊂ W ∩ H = W' Do đó H là nhóm tôpô với tôpô cảm sinh

1.5.2.Định lí Giả sử G là nhóm tôpô và H là nhóm con trừu tợng của G Khi đó

H là nhóm con tôpô của G.

Chứng minh Giả sử a ∈H, b ∈H Khi đó ab-1∈H

Thật vậy, giả sử W là lân cận tuỳ ý của ab-1 Khi đó tồn tại các lân cận U và Vtơng ứng của a và b sao cho UV-1 ⊂ W Vì a ∈H và b ∈H nên tồn tại các phần

tử x ∈H , y ∈H sao cho x ∈U, y ∈ V Vì H là nhóm con trừu tợng của G nênx.y-1∈H

Mặt khác, x.y-1∈ UV-1⊂ W do đó x.y-1∈W ∩ H

Từ đó suy ra ab-1∈H Hơn nữa, H đóng trong G nên H là nhóm con tôpô của G

1.5.3 Định lí Giả sử H là nhóm con trừu tợng của nhóm tôpô G và H mở Khi

đó H đóng

Chứng minh Giả sử a ∈H Khi đó aH là lân cận của a nên aH ∩ H ≠∅

Do đó tồn tại b ∈ aH ∩ H Vì b ∈ aH nên tồn tại h ∈ H sao cho b = ah Khi

đó a = b h-1∈HH-1⊆ H (vì H là nhóm con trừu tợng của G) Do đó H = H nên H

1.6 Nhóm thơng của nhóm tôpô Giả sử N là ớc chuẩn của nhóm tôpô G Ta đa

vào nhóm thơng G/N của nhóm trừu tợng G một tôpô xác định nh sau:

Giả sử Β là một cơ sở của G Với mỗi U ∈B, xét tập con U* = {N g | g ∈ U}của G/ N Khi đó B* = {U* | U ∈B } là cơ sở của không gian G/ N

Trớc hết ta hãy chứng tỏ rằng, với cách tôpô hoá G/ N nh trên, ánh xạ tự nhiên

p : G → G/ N là liên tục và mở

Thật vậy, giả sử U* là một lân cận nào đó của Ng và U là lân cận nào đó của

g Khi đó tập con NU mở trong G và NU chứa g Thế thì p(V) ⊂ U* nên p liêntục

Mặt khác, nếu g ∈ G và A = Ng = p(g), U là một lân cận tuỳ ý của g Khi đóU* = {Nx | x∈ U} là lân cận của A trong G/ N thoả mãn điều kiện p(V) = U* nên

p mở

Bây giờ ta chứng minh các phép toán trong nhóm thơng trừu tợng G/ N là liêntục với tôpô vừa đợc thiết lập.

Thật vậy, giả sử A,B ∈ G/ N và C = AB-1, W* là một lân cận của C Khi đóW* = {Nx | x∈ W} trong đó W là lân cận nào đó trong G Bởi vì C ∈ W* nên tồntại g ∈ W sao cho C = Ng

Giả sử b ∈ W và a = gb Khi đó a ∈ A Do tính chất liên tục của các phép toántrong G, nên tồn tại lân cận U và V của a và b sao cho UV-1∈ W Khi đóU* = {Nx | x∈ U } là lân cận của A và V* = { Nx | x∈ V } là lân cận của B saocho U* V*-1 ⊂ W*

Thật vậy, ta có Nx(Ny)-1 = Nxy-1N-1 = N N-1xy-1 = Nxy-1 ∈ W Do đó G/N lànhóm tôpô với tôpô hoá nh trên Nhóm tôpô G/ N đó đợc gọi là nhóm thơng tôpôcủa nhóm tôpô G theo ớc chuẩn N và ký hiệu là G*

Đ2 Nhóm compact và nhóm compact địa phơng

2.1 Không gian compact và không gian compact địa phơng.

Giả sử X là một không gian tôpô, F = {Mα⊂ X | α∈ I} là một cái phủ của

X Khi đó F đợc gọi là cái phủ mở của X nếu ∀α ∈ I, Mα mở trong X.

Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact nếu từ một phủ mở bất kỳ của

X có thể trích ra đợc một phủ con hữu hạn, nghĩa là ∀F = { Mα⊂ X | α∈ I} là phủ

mở của X ⇒∃I1⊂ I , I1 < ∞ sao cho F1 = { Mα⊂ X | α∈ I 1}

Tập con A của không gian tôpô X đợc gọi là tập compact nếu A cùng với tôpô

cảm sinh là một không gian compact

Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact địa phơng nếu ∀x ∈ X, tồntại lân cận U của x sao cho U compact.

2.1.2 Tính chất

1) Tích của hai không gian compact là không gian compact

2 2) ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact 3) Giả sử X là không gian compact Hausdoff khi đó A ⊂ X đóng khi và

- Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm compact địa phơng nếu không gian G là không

gian compact địa phơng

- Nhóm compact địa phơng đợc gọi là hữu hạn địa phơng tôpô nếu bao đóng của

nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ H của G là compact

- Nhóm tôpô G đợc gọi là compact sinh ra, nếu tồn tại tập compact V sao cho

G = {V}

2.2.2 Định lí Giả sử G là nhóm tôpô và N là ớc chuẩn của G Khi đó :

i) Nếu G compact thì G/N compact

ii) Nếu G compact địa phơng thì G/N compact địa phơng

Chứng minh i) ánh xạ tự nhiên p : G → G/ N là ánh xạ liên tục và toàncấu x  Nx

Vì G compact suy ra p(G) = G/ N cũng là compact

ii) Giả sử G là compact địa phơng và a ∈ G, A = p(a) ; U là lân cận bất kỳ của asao cho U compact Khi đó p(U ) compact

Mặt khác, G* = G/N là không gian Hausdoff nên đóng trong không gian G/N.Vì U ⊂U nên p(U) ⊂ p(U ),và do đó p( )U ⊂ p(U ).Bởi vậy p (U) cũngcompact

Hơn nữa , lân cận U* của phần tử A trong G* gồm tất cả các lớp ghép có giaovới U trùng với p(U), U* = p(U) Do đó U * compact và tính compact của G* =G/N đợc chứng minh.

2.2.3.Định lí Giả sử G là một nhóm tôpô, P và Q là hai tập compact Khi đó

3.3.1 Định nghĩa ánh xạ f của nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G * đợc gọi là đẳng

cấu nếu thoả mãn hai điều kiện sau :

i) f là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm trừu tợng G lên nhóm trừu tợng G*

ii) f là ánh xạ đồng phôi từ không gian tôpô G lên không gian tôpô G*

Nếu G = G* thì ánh xạ đẳng cấu f đợc gọi là tự đẳng cấu của nhóm G

Hai nhóm tôpô G và G* đợc gọi là đẳng cấu với nhau, nếu có một ánh xạ đẳngcấu từ G lên G*

3.1.2 Định nghĩa ánh xạ f từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô G * đợc gọi là đồng

cấu nếu thoả mãn hai điều kiện :

i) f là đồng cấu từ nhóm trừu tợng G vào nhóm trừu tợng G*

ii) f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô G vào không gian G*

3.1.3 Định nghĩa ánh xạ đồng cấu g từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô G*

đ-ợcgọi là đồng cấu mở nếu g là ánh xạ mở từ không gian tôpô G vào không giantôpô G*

3.2 Một số tính chất của ánh xạ đồng cấu.

3.2.1 Định lí Giả sử G và G* là hai nhóm tôpô và g là ánh xạ đồng cấu từ

nhóm trừu tợng G lên nhóm trừu tợng G* Để g liên tục hay mở ta chỉ cần g liên tục hay mở tại đơn vị e của G.

g(U).g(x) ⊂ W' ⇒g(Ux) ⊂ W'( vì U là lân cận của e nên Ux lân cận của ex) Do

đó g liên tục tại x

Vì x tuỳ ý thuộc G nên g liên tục trên G

Chứng minh ∀x,y ∈ G ta có p(x,y) = Nx.y = Nx Ny = p(x).p(y) ⇒ p là

đồng cấu của nhóm trừu tợng

Theo định lí 3.2.1, ta chỉ cần chứng minh p liên tục và mở tại điểm đơn vị ecủa G

Giả sử U* là lân cận tuỳ ý của e* = p(e) = Ne = N Khi đó tồn tại U ∈ B saocho U* = {Nx | x∈ U } Vì U* ∋ e* ⇒ NU là tập mở chứa e ⇒ tồn tại V ∈ B sao

Thế thì các phép toán có trong G' liên tục trong không gian đó và G' đợc gọi là tíchtrực tiếp của các nhóm tôpô N1, N2, ,Nm và ta viết G' = N1 ì N2 ì ìNm

4.1.2 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm tôpô và N1, N2, ,Nm là các ớc chuẩncủa G Ngời ta nói rằng nhóm tôpô G phân tích đợc thành tích trực tiếp của cácnhóm N1, N2, ,Nm của nó, nếu nhóm trừu tợng G phân tích đợc thành tích trựctiếp của các nhóm N1, N2, ,Nm và thoả mãn điều kiện sau đây :

Với mọi họ lân cận U1, U2, ,Um của đơn vị e trong các nhóm N1, N2, ,Nm ,tích (hiểu theo nghĩa nhóm) U1 U2 Um chứa một lân cận nào đó của đơn vị e của

Chứng minh Theo lý thuyết nhóm ta có f là đẳng cấu từ nhóm trừu tợng G' lên

nhóm trừu tợng G Ta cần chứng minh f là ánh xạ liên tục và mở tại đơn vị

Chứng minh tính liên tục

Giả sử U là lân cận tuỳ ý của đơn vị trong G và V là lân cận của đơn vị trong Gsao cho Vm ⊂ U Đặt Vi = Ni ∩ V Khi đó V' = (V1,V2, ,Vm) là lân cận của đơn

vị trong G' Rõ ràng f(V') = V1V2 Vm⊂ Vm ⊂ U bởi vậy f liên tục

Chứng minh f là ánh xạ mở

Giả sử U' = (U1, U2, ,Um) là lân cận tuỳ ý của nhóm G', với Ui là lân cận của

đơn vị trong nhóm Ni Khi đó theo định nghĩa 4.1.2, f(U') = U1U2 Um ⊃ U Bởivậy f là ánh xạ mở và mệnh đề đợc chứng minh

4.2.2 Định lí Giả sử G là nhóm compact địa phơng và không gian của nó có

thể phân tích đợc thành tổng đếm đợc các tập con compact và N 1 , N 2 , ,N m là các ớc chuẩn của G Nếu nhóm trừu tợng G phân tích đợc thành tích của các nhóm con N 1 , N 2 , ,N m thì nhóm tôpô G cũng phân tích đợc thành tích trực tiếp của các nhóm N 1 , N 2 , ,N m đó.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng với các lân cận U1, U2, ,Um của

đơn vị trong các nhóm N1, N2, ,Nm , tích U1U2 Um chứa một lân cận nào đó của

ơng, nên tích trực tiếp G' của chúng cũng compact địa phơng

Nếu đặt mỗi phần tử x = (x1, x2, ,xm) ∈ G' tơng ứng với mỗi phần tửf(x) = x1 x2 xm ∈ G thì f là ánh xạ liên tục từ không gian G' lên G

Mặt khác, vì f là đẳng cấu đại số nên f là ánh xạ mở Bởi vậy, lân cậnU' = (U1, U2, ,Um) của đơn vị trong nhóm G' chuyển thành lân cận U1.U2 Um của

đơn vị trong nhóm G

Chơng II Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Đ1 Một số tính chất của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

Trong phần này ta trình bày một số tính chất cơ bản của nhóm tôpô sinh bởimột tập compact

1.1 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm tôpô Nhóm G đợc gọi là nhóm tôpô sinh

bởi tập compact M nếu G là bao đóng của nhóm sinh bởi tập M

Ký hiệu G = {M} , với M là tập compact

1.2 Định lí Giả sử G là một nhóm tôpô sinh bởi tập compact M Khi đó trong G

tồn tại lân cận đối xứng V = V -1 compact của đơn vị e ∈ G để G sinh ra bởi V.

Chứng minh Giả sử G = {M}, vì G là compact địa phơng nên tồn tại lâncận compact U của e ∈ G

Ta đặt N = MU ∪ U Khi đó N là lân cận của e ∈ G, N compact và N ⊃ M

Ta ký hiệu V = N ∪ N-1 (N-1 = {x-1 | x∈ N }) thì V là lân cận compact đối xứngcủa e ∈ G

Thật vậy, vì ánh xạ : N → N-1 là ánh xạ đồng phôi và N compact nên N-1

x  x-1

compact , N mở và N-1 cũng mở Vậy V là lân cận đối xứng compact vì V-1 = V Bây giờ ta chứng minh G' ={V} = G = {M}

Thật vậy, vì M ⊂ N nên G = {M} ⊂ {N}

Giả sử G' = {V}, ta có G' là nhóm con mở của G (vì V mở )

Hơn nữa ta biết G' là nhóm con mở thì G' cũng là nhóm con đóng Vì nếu

a ∈ G' = G thì aG' là lân cận của a Vì G trù mật trong G nên aG' ∩ G' ≠ ∅

suy ra aG' = G' hay a ∈ G' Vậy G = G'

Vậy G sinh ra bởi V và V là lân cận đối xứng compact của e ∈ G

1.3 Định lí Giả sử G = {M} với M là tập compact, K là ớc chuẩn tôpô của G Khi đó nhóm tôpô G/K cũng sinh ra bởi tập compact M*.

Chứng minh Ta xét ánh xạ đồng cấu tự nhiên f: G → G* = G/K

x  x.K

Ta biết f là toàn cấu mở của nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G/K

Vì f liên tục, M compact cho nên f(M) = M* cũng là tập compact và vì f làtoàn ánh nên f(G) = G* = {M} , với M* = f(M)

1.4 Định lí Giả sử A và B là hai nhóm tôpô sinh bởi tập compact M và N tơng

ứng (A= {M} , B= {N}) Khi đó tích trực tiếp AìB = {MìN} cũng là nhóm tôpô sinh bởi tập compact M ì N

Chứng minh Trớc hết ta biết nếu M và N là hai tập compact thì M ì Ncũng là tập compact, nên G' = {MìN} là nhóm tôpô sinh bởi tập compact Vì A=

}

{M , B= {N} nên AìB = {M} ì{N} Mà {M} ì{N} = {MìN} Vậy G = G',cho nên G là nhóm tôpô sinh bởi tập compact M ì N

Chú ý: Nếu G là nhóm tôpô sinh bởi một tập compact thì nhóm con của G cha

chắc đã sinh ra bởi một tập compact

Thí dụ: Ta biết rằng trong lý thuyết nhóm trừu tợng ,mọi nhóm đều nhúng

đẳng cấu vào một nhóm sinh bởi hai phần tử, tức là sinh bởi một tập compact nênnhóm con cha chắc đã sinh ra bởi một tập compact

Đ 2 ánh xạ đồng cấu của nhóm tôpô sinh bởi một tập compact

2.1 Định lí Giả sử ϕ : G → G' là toàn cấu của nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G', với ker ϕ = K Khi đó G' không đẳng cấu với nhóm tôpô thơng G/K.

Chứng minh Để chứng minh định lý trên ta chỉ cần lấy ra một só ví dụ

phản chứng

Giả sử R là nhóm cộng các số thực, R* là nhóm cộng các số thực với tôpô tựnhiên Vì phép cộng và phép trừ trên số thực là liên tục nên R* là nhóm tôpô ánh xạ ϕ : R → R* là ánh xạ đẳng cấu của nhóm trừu tợng và ϕ liên tục

x  x

nên ϕ là ánh xạ đồng cấu nhóm tôpô từ R lên R* Nhng R không đẳng cấu với R*,vì tôpô rời rạc của R không đồng phôi với tôpô R* (R là nhóm cộng các số thựckhông có tôpô)

2.2 Định lí Giả sử G là nhóm compact địa phơng sinh bởi một tập compact.

Khi đó không gian tôpô của nhóm G bằng tổng đếm đợc các tập compact.

Chứng minh Giả sử G sinh bởi tập compact M Khi đó tồn tại lân cận

compact đối xứng H của e ∈ G để G = {H}= H1 ∪ H2 ∪ ∪ Hn ∪ Vì Hcompact nên suy ra các Hi cũng compact

Vậy G = ∞

= 1

i Hi

2.3 Định lí Giả sử G là nhóm compact địa phơng, f : G → G' là toàn cấu mở

và Ker f = K thì G / K đẳng cấu tôpô với G'.

Chứng minh Ta đặt ánh xạ ϕ : G / K → G'

Kx  f(x)

Ta chứng minh ϕ là ánh xạ đẳng cấu tôpô

Thật vậy

Hiển nhiên ϕ là ánh xạ đẳng cấu nhóm trừu tợng G/ K → G'

Ta chứng minh ϕ liên tục