De thi HSG Toan 7 Ngoc

cạnh bên AI nhỏ nhất Ta có AI=AD AH AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ tự A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.. [r]

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

LỚP: 7A

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG

Năm học: 2014-2015

Môn thi: Toán 7 - THCS

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3đ) Tìm x Z sao cho

a) x5 2

b) (x2  20)(x2  15)(x2  10)(x2  5)0

Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn

a) 2m  2n 2048

b)3m4n mn16

Bài 3 (4đ)

a) Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau: y2 xz, z2 yt

và y3 z3 t3 0 Chứng minh rằng:



b) Cho: x+y – z = a – b, x - y + z = b – c và - x+y + z = c – a

Chứng minh : x + y + z = 0

Bài 4 (4đ)

a) Cho đa thức f(x)x2015  2000x2014 2000x2013 2000x2012  2000x 1  Tính giá trị của đa thức tại x=1999

b) Cho đa thức f(x)ax2 bxc.

Chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0 nếu 13a b 2c0

Bài 5 (5đ)

1 Cho tam giác ABC, đường cao AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ABD ACE 900

a) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K Chứng minh CD vuông góc với BK

b) Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.

2 Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng Chứng minh rằng: MAMDMBMC

Bài 6 (2 điểm): Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: x + y = x.y

Bài 7 (4 điểm)

a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58

b/ Chứng minh rằng nếu m2 mn n 9 2 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3

HẾT

-ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ)

a, - Chỉ rõ được x 5 0,1,2 (0.25đ)

- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng

x 5 1

b, Lý luận để có (x2  20)(x2  15)(x2  10)(x2  5) (0.25đ)

Xét đủ 2 trường hợp

- Trường hợp có 1 số âm tính được x4 (0.75đ)

- Trường hợp có 3 số âm tính được x3 (0.75đ)

- Kết luận đúng (0.25đ)

Bài 2: Ta có

m 11 11 n 11 11 11

11 m 11 n 11

m 11 n 11

2 2 2 0 (0.75®)

2 (2 2 1) 0 (0.5®)

(2 2 1) 0 (0.25®)

Lý luận tìm được

m 12

n 11



 (0.5đ)

b, Biến đổi được (3 n)(m 4) 4   (1đ)

Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp) (0.75đ)

Kết luận được: (m, n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5)  (0.25đ)

Bài 3: Từ giả thiết suy ra

y  z t (0.5đ) Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có

Mặt khác ta có

3

3

x x x x x y z x

y y y y y z t t (0.75đ)

Suy được điều cần chứng minh (0.25đ)

b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh (2đ)

Bài 4

a, f(x)x  (1999 1)x (1999 1)x  (1999 1)x  (1999 1)x 1   (0.75đ)

Thay 1999=x ta được

f(x)  x  x  x  x  x  x  x    x 1 (0.75đ)

Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ)

b, Tính f( 2) v f(3) à f(3) (0.5đ)

f( 2) f(3)=13a+b+2c

f( 2) f(3)

 2 f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0

Bài 5 (5đ)

a, (2đ)

1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ)

2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của BCK (1đ)

b, (3đ)

Xét 2 trường hợp

* Trường hợp điểm MAD thì ta có

* Trường hợp M AD

- Gọi I là trung điểm của BC (0.75đ)

- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)

IBIC

Vì



AI ID

* Chứng minh được IMA IND (c.g.c) (0.25đ)

- Điểm C nằm trong MDNchứng minh được NDMDNCMC (0.5đ)

- Chứng minh IBM ICN (c.g.c) (0.25đ)

- Suy ra MA MD MB MC  

Bài 6

2,0đ

x + y = x.y

( 1) y

1

y

y

 vì

x z  y y   y  y  y ,

do đó y - 1 =  1

2

y

  hoặc y = 0 Nếu y = 2 thì x = 2 Nếu y = 0 thì x = 0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là:

(0,0) và (2;2)

0,5

0,5

  2

f x ax bx c

với a 0

Ta có :

0,5 0,25 0,25

 

f 0 10 c 10

 

f 1 20 a b c 20    a b 10  (1)

 

 

f 3 58 9a 3b c 58 9a 3b 48 3a b 16 2

Từ (1) và (2)

b 10 3 7

Vậy đa thức cần tìm là

  2

f x 3x 7x 10

0,25 0,5 0,25

b

2,0đ

Ta có :

 2

m mn n  m n 3mn (1)

Vì m2mn n 9 2

m n2 9

Kết hợp với (1) 3mn 9 mn 3 (3)

Vì 3 là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy

ra m và n đều chia hết cho 3

Suy ra đpcm

0,5

0,5 0,5 0,5

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

LỚP: 7A

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG

Năm học: 2014-2015

Môn thi: Toán 7 - THCS

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3đ): Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia

đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD Các đường thẳng vuông góc với BC tại

D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N Gọi I là giao

điểm của MN với BC

a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một

điểm cố định

Bài 2:(4 điểm):

a) Cho: P(x )=ax4+ bx3+ cx2+dx +e Biết rằng: P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2)

Chứng minh rằng: P(x) = P(-x) với mọi x

b) Cho

c d

Chứng minh rằng :



Bài 3:(4 điểm):

a, Tìm số nguyên x,y biết: 5x+ y

4=

1 8

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q= 27− 2 x

12 − x với x là số nguyên,

Bài 4 : (5 điểm):

Cho tam giác ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác địng I , J sao cho

AB là trung trực của DI , AC là trung trực của DJ, IJ cắt AB, AC lần lượt ở L và K Chứng minh rằng:

a) Tam giác AIJ cân

b) DA là tia phân giác của góc LDK

c) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất

Bài 5: (6 điểm):

a) M=1 − 1

2 2− 1

3 2− 1

4 2− − 1

100 2 Chứng tỏ rằng :

1 100

M 

b) Cho tổng: S  a a2 a3 a4  a n (nN)

với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 (a  1 )

c) Cho a c 3, b c  2 Chứng minh rằng: a b 5

-

Hết -ĐÁP ÁN

Bài 1

6,0

điểm

a

3,0

Chứng minh DBMECN

 DM = EN Chứng minh DMIENI

 IM = IN Hay I là trung điểm của MN

1,0 0,25 1,25 0,5 b

3,0

Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vuông góc với MN tại I

Vì AB = AC  AO là đường trung trực của BC  OB=OC

Vì I là trung điểm của MN  OI là đường trung trực của MN

 OM = ON

Vì DBMECN  BM = CN Xét OBM và OCN có

OB = OC, OM = ON, BM = CN

 OBM= OCN(C.C.C)

 OBM OCN  (1)

Vì AO là đường trung trực của BC  OBA OCA  (2)

Từ (1) và (2) OCN OCA 

OC AC

Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định Suy ra điều phải chứng minh

0,25

0,25 0,25 0,5

0,5 0,5 0,5 0,25

Bài

2:

a, Từ: P(1)=P(-1)  b+d=-b-d (1)

P(2)=P(-2) 8b+2d=-8b-2d (2)

0.5đ 0.5đ

E D

O

I

N

M

C B

A

Từ (1) và (2) suy ra b=d=0

Vậy P x( )ax4cx2  e a x( 4)c x( 2) e P x( )

b, Từ:

c d







3 3









(1) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

6

3

3



1đ

0.5đ 0.5đ

1đ

Bài

3:

(4đ)

a, Từ

4 8

y

5 1

8 4

y

5 1 2

8

y x





 x (1-2y) = 40

Mà (1-2y) là số lẻ  1 2y  uớc lẻ của 40

(1 2y) 1; 5

Lập bảng:

Vậy ta có các cặp giá trị (x,y) là: (8,-3) ; (-40,1) ;(40,0) ; (8,-2)

b,

2

Q

Để Q có GTLN khi

3

12 x có GTLN Xét x>12 thì

3 0

12 x 

Xét x<12 thì

3 0

12 x  3

12 x



 có GTLN khi và chỉ khi 12  x 1  x 11

Vậy Q có GTLN là 5 khi x=11

1đ 0.5đ 0.5đ 1đ 0.5đ

0.5đ

a, Do ID; DJ là trung trực của AB

0,5đ

1,5đ

Bài

4:

(5đ)

A A



b,

1 1

( ) ( ) l tia ph n gi c cua LDK

c n theo c u a

 





 



 

 





 

 



 



 

c, CM được IAJ  2BAC (không đổi)

AIJ

 cân tại A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu

cạnh bên AI nhỏ nhất

Ta có AI=ADAH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi DH

Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ tự A xuống BC thì IJ nhỏ

nhất

1,5đ

1,5đ

Bài

Ta có :

2

2

2

2

1

 

Cộng từng vế ta có:

1

100 100

b, Nếu n là số lẻ thì

(1 ) (1 ) (1 )



Nếu n là số chẵn thì:

(1 ) (1 ) (1 )

n n n





S

 chia hết cho (1+a)

Vậy nếu n là số tự nhiên chẵn thì S chia hết cho (a+1)

c, Ta có: a b (a c ) ( c b )  a c c b   3 2 5

0,5đ

1đ

0.5đ

1đ

1đ 2đ