2,5đ Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: MA = MB.. Gọi H là giao điểm của MD và AB.[r]
Trang 1đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá
Năm học: 2012-2013
Câu 1(4,5 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức :
2 3,5 : 4 3 7,5
M
b/ Tìm x biết : 2x 32 16
c/ Tìm x, y biết rằng : 2x 520123y 42014 0
Câu 2 (4,5 điểm)
a/ Tìm đa thức M biết rằng : M 5x2 2xy 6x2 9xy y 2
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
3 2
x y B
x y
c/ Tìm x, y, z biết : ;
2 3 5 4
x y y z
và x – y + z = 49
Câu 3 (5,0 điểm)
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết a b 2a b a b:
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M 2012 x 2013 x
c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng
Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác vuông tại A : ABD, ACE sao cho AB = AD, AE = AC Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH
a/ Chứng minh DM = AH
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC M là một điểm nằm trong tam giác sao
cho MA : MB : MC = 3:4:5 Tính số đo góc AMB
Hết
Đáp án Toán 7
Câu 1
4,5
a/
M
1,5
Trang 235 43 15 35 42 15 245 15 490 645 155 69
b/
2
2 3 16
x
x
Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5
1,5
c/ 2x 520123y 42014 0
Ta có :
2012
2014
x
y
Mà 2x 520123y 42014 0
=> 2x 520123y 42014 0
=>
2012 2014
1 2
1
3
x x
1 2 2 1 1 3
x y
1,5
Câu 2
4,5
a/ M 5x2 2xy 6x2 9xy y 2 M 6x2 9xy y 2 5x2 2xy
=> M 6x2 9xy y 2 5x2 2xy x 2 11xy y 2
1,5
b/
1
B
B lớn nhất khi x2y2 2 nhỏ nhất
Ta có
2
2
0
2 2 0
x
x y y
=> x2y2 2 nhỏ nhất bằng 2, khi x =
y = 0
Khi đó B lớn nhất =
1
2 2
1,5
c/ ;
2 3 5 4
x y y z
=> ;
10 15 15 12
=>
49 7
10 15 12 10 15 12 7
x y z x y z
=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84
1,5
Câu 3
5,0 a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: a b 2a b a b:
(1)
Từ a b 2a b a b 2a 2b a 3ba 3b
Mặt khác :
3
4
a b a b b b b b b b
=>
3.
4 4
a
2,0
Trang 3Vậy :
;
a b b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M 2012 x 2013 x
Sử dụng : A B A B
Dấu “=” xảy ra khi A,B cùng dấu (*)
Ta có :
M x x x x x x Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤
2013
1,5
Nhận xét :
Nếu số chính phơng chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia
hết cho a2
Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phơng
- Xét trờng hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k
=> n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002
Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho
2 => A chia hết cho 4
Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không
chia hết cho 4(loại)
- Xét trờng hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1
=> A là số chính phơng lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia
cho 4 d 1
Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 d 3 ( loại)
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng
1,5
Câu 4
4,0 Hình vẽ
H
I
4 3
2 1
1
1
N
M
E
D
C B
A
a/ Chứng minh DM = AH
Xét MAD và HBA có
AMD BHA 90 0 (gt) (1)
AD = AB (gt) (2)
0
0
90 90
D A
A A
(3)
Từ 1,2,3 => MAD = HBA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> DM = AH ( Hai cạnh tơng ứng)(ĐPCM) (4)
2,0
Trang 43 2 1
5a 4a
3a N
M
C B
A
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Chứng minh tơng tự câu a => EN = AH (5)
Gọi giao điểm của MN và DE là I
C/m đợc : MID = NIE (Cạnh góc vuông – góc nhọn)
ID = IE (Hai cạnh tơng ứng)
I là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm I của DE (ĐPCM)
2,0
Câu 5
2,0
=> Đặt 3 4 5
MA MB MC
a
=> MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều
AMN => AM = AN = MN = 3a và AMN 600
Xét ABN và ACM có
AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2)
0
0
60 60
A A
A A
A A
(3)
Từ 1,2,3 => ABN = ACM (c.g.c)
=> BN = CN = 5a
Xét BMN có BN2 = (5a)2 = 25a2
BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2
=> BN2 = BM2 + MN2 => BMN vuông tại M (đ/l pytago đảo)
=> NMB 900
Suy ra : AMBAMN NMB 900 600 1500
2,0
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện Hoằng hóa đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012 Môn toán - lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phú t( không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 4.0 điểm):
a) Cho biểu thức : M=a+2 ab− b Tính giá trị của M với |a| =1,5; b = - 0,75
b) Xác định dấu của c, biết rằng 2 a3 bc trái dấu với −3 a5b3c2
Bài 2( 4.0 điểm):
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x=y
4;
y
3=
z
5 và 2x – 3y + z = 6
2 a+b+c +d
a+2 b+c+ d
a+b+2 c +d
a+b+ c+2d
d . b) Cho dãy tỉ số bằng nhau :
Tính giá trị của biểu thức M, với M= a+ b c +d+b+c
d +a+
c +d a+b+
d + a b+ c.
Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2
Trang 5a) Hãy tính : f(0) ; f(−12)
b) Chứng minh : f(x – 1) = f(1 – x)
Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM Qua A
kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB
và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng:
a) BD // CE
b) DE = BD + CE
A= 1
1 1981+
1
2 1982+ +
1
n (1980+n)+ .+
1
25 2005
B= 1
1 26+
1
2 27+ .+
1
m (25+m)+ +
1
1980 2005 Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của
A và B, biết rằng:
Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng
Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao
cho: CD = 2 BD Chứng minh rằng:
1
2
BAD CAD
Hết
Phòng giáo dục và đào tạo
Hoằng hóa
Hớng dẫn chấm toán lơp 7
Cõu 1
(4,0đ)
a.(2.5đ) Ta cú:
|a| =1,5⇒ a=1,5 hoặc a=−1,5
Với a = 1,5 và b = -0,75 thỡ
M=a+2 ab− b = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0
Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thỡ M=a+2 ab− b = 32
b (1.5đ) Do 2 a3 bc và
−3 a5b3c2 trỏi dấu nờn : 0; 0; 0
a b c
2 a3bc.(−3 a5b3c2) < 0
6a b c 0 a b c 0
( vỡ a8b4 > 0
0.5đ 1.0đ 1.0đ
0.5đ 0.5đ 0.25đ
0.25đ
Trang 6với mọi a0;b0 ) Vậy c > 0 tức là mang dấu dương
Câu 2
(4,0 đ)
a( 2.0đ)
vì
;
3 4 9 12 3 5 12 20
9 12 20 18 36 20
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x
18 =
3 y
36 =
z
20=
2 x − 3 y +z
18 −36+20=
6
2=3
¿
¿
Suy ra x = 27; y = 36; z = 60
b.(2đ) Từ giả thiết suy ra
2 a+b+c +d
a+2 b+c+d
a+b+2 c +d
a+b+c+2 d
d − 1
⇒ a+b+c+d
a+b+c +d
a+b+c+d
a+b+c+d d
* Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a);
c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c)
Khi đó M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4
* Nếu a + b + c + d 0 thì 1
a=
1
b=
1
c=
1
d nên a = b = c
= d Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ
Câu 3
(3,0 đ)
a.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2;
f(−1
2) = 2 – ¿ = 74 b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x –
1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2
do (x – 1) và (1 – x) là hai số
1.0đ 1.0đ 0.25đ 0.25đ
Trang 7H D
E A
đối nhau nên bình phương bằng nhau
Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 –
x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x)
0.5đ
Câu 4
(4,0 đ)
a (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền của tam giác vuông:
MA = MB
Gọi H là giao điểm của MD
và AB
Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy nên là đường trung trực, suy
ra : DA = DB
Chứng minh được
Δ MBD=ΔMAD (c c c)
suy ra góc MBD = góc MAD = 900;
do đó DB⊥ BC
Tương tự ta có : EC⊥ BC
Vậy BD // CE (vì cùng vuông góc với BC), đpcm
b (1,5đ) Theo câu a, DB
= DA
Tương tự, EC =
EA
Suy ra DE = DA + AE =
BD + CE
0.5đ
0.5đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Câu 5
(3,0 đ)
Ta có : 1
n(1980+n)=
1
1980(
1
n −
1
1980+n)
1
m(25+ m)=
1
25(
1
m −
1
25+m)
Áp dụng tính A và B ta được:
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ
Trang 83 2 1
E
D B
C A
1980 1 1981 2 1982 25 2005
1980 1 2 25 1981 1982 2005
25 1 26 2 27 1980 2005
25 1 2 1980 26 27 2005
[( ) (
25 1 2 25 1981 1982
A
B
)]
2005
Vậy A B= 1
1980:
1
25=
5 396
0.5đ 0.5đ
Câu 6
(2,0 đ)
Gọi M là trung điểm của DC
Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA
Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau
Vì MD = MC, MA = ME,
AMC EMD Nên DE = AC, và góc
3
A DEM Mặt khác ,
1
D B( theo tính chất góc ngoài tam giác)
mà B C ( vì tam giác ABC cân, đáy BC)
nên D1 C suy ra AC > AD
Từ đó DE > DA, suy ra
2
A DEM ,hay A2 A3
Vì A3 A1( do ABDACM
) nên góc A2 A3 A1 A3hay
2A A A
Suy ra
1
2
BAD CAD
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
Trang 9Chú ý :
1 Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa
2 Bài hình không vẽ hình, hoặc vẽ sai thì không chấm điểm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
Câu 1: (4,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với
1 2
x
c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng:
3 7;
2 5 và x + y + z = - 110.
Câu 2: (4,5 điểm)
a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:
b) T×m x, biÕt: |x +1
2|+|x+1
6|+|x + 1
12|+|x + 1
20|+ +|x + 1
110|=11 x c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn:
x 1 + (y + 2)20 = 0
Câu 3: (3,5 điểm)
Trang 10a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số
của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của
AB và DC
a) Chứng minh rằng: ADC = ABE
b) Chứng minh rằng: DIB = 600
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng
AMN đều
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE
Câu 5: (1,5 điểm)
Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, … , a20 có các tính chất sau:
* a1 là số dương
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương
* Tổng của 20 số đó là số âm
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12
Hết
Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh::
SBD
Giám thị 1: Giám thị
2:
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN.
CÂU 1
(4,5đ)
a (1,5)
=
:
Vậy : A = 0
0,75 đ 0,5đ 0,25đ
b (1,5) Vì
1 2
x
nên x =
1
2 hoặc x = -
1 2
Với x =
1
2 thì: A = 2.(
1
2 )2 – 3
1
2 + 1 = 0
0,75 đ
0,25đ
Trang 11Với x = -
1
2 thỡ: A = 2.(-
1
2 )2 –
3.(-1
2 ) + 1 = 3
Vậy : A=0 với x =
1
2 và A=3 với x = -
1
2
0,25đ 0,25đ
c
(1,5)
Từ
3 7 6 14 ;
2 5 14 35 Suy ra
6 14 35
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
6 14 35
Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70
Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70
0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,25đ
CÂU 2
(4,5đ)
a
(1,5)
2) Ta cú:
9 18 9 41
Lạicú:
Do đú: - 5 < x <
2 5
mà x Z nờn x {-4; -3; -2; -1}
0,5đ
0,5đ 0,5đ
b
(2,0)
a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 suy ra 11x 0 hay x 0
với x 0 ta có:
suy ra x = 1-
1
11 =
10
11 (TM) Vậy:x =
10 11
0,75đ
0,75đ 0,25đ 0,25đ
c
(1,0)
1) Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 x 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y
Kết hợp x 1+ (y + 2)20 = 0 suy ra x 1= 0 và (y + 2)20 = 0
x = 1; y = - 2
Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057
Vậy C=2057
0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ
Trang 12CÂU 3
(3,5đ)
a
(1,5)
Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm Không mất tính tổng quát, giả sử a b c9
Ta có 1 a + b + c 27 Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9,
do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27
Theo đề bài ta có: 1 2 3 6 ;
Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18
Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9
Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn,
vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936
0,25 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
b
(2,0)
Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x Với x < 0 thì x + x = 0 Do đó x + x luôn là số chẵn với xZ
Áp dụng nhận xét trên thì b 45 + b – 45 là số chẵn với b Z
Suy ra 2a + 37 là số chẵn 2a lẻ a = 0 Khi đó b 45 + b – 45 = 38
+ Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38 0 = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19 b = 64 (TM) vậy (a; b) = (0; 64)
0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
CÂU 4
(6,0đ)
a
K A
D
E
Ta có: AD = AB; DAC BAE và AC = AE Suy ra ADC = ABE (c.g.c)
0,75 đ 0,25 đ
b
(1,5)
Từ ADC = ABE (câu a) ABE ADC ,
mà BKI AKD (đối đỉnh)
Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK = 600 (đpcm)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c
(1,5)
Trang 13I K A
D
E
M
N J
Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ACM AEN
ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM EAN
MAN CAE = 600 Do đó AMN đều
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
d (2,0)
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và
JBI DBA = 600 suy ra IBA JBD , kết hợp BA = BD
IBA = JBD (c.g.c) AIB DJB = 1200 mà BID = 600
DIA
= 600 Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
CÂU 5
(1,5đ) (1,5)
Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 +
a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 ; a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; … ; a11 + a12 + a13
> 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0
Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15
+ a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 => a13 + a14 < 0
Mặt khác, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0
Từ các điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 < 0 => a1.a14 + a14a12 < a1.a12
(đpcm)
0,5 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ
Chú ý:
+)Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
+)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm
+)Câu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giá trị trừ 0,1 điểm
+)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm