Tìm số nguyên a để N đạt giá trị nguyên.. Trên tia Oz lấy điểm A.. Tia phân giác góc CAD cắt Oy tại E.. Đáp án - Biểu điểm.
Trang 1đề thi khảo sát học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 7 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1.( 4 điểm )
a,Cho biểu thức N =
4
1
−
+
a
a Tìm số nguyên a để N đạt giá trị nguyên
b, Với mọi số n ∈ N*, các phân số sau đây là số thập phân hữu hạn hay vô hạn
tuần hoàn?
A =
n
n n
12
9
3 2 + ; B = 35n70+2006
Câu 2.( 3 điểm )
Tìm số tự nhiên bé nhất có 3 chữ số M thoả mãn điều kiện sau:
M = a + b = c + d = e + f
Biết a; b; c; d; e; f ∈ N* và b a =
14
10 ;
d
c
= 22
14
; e f =
13 11
Câu 3.( 5 điểm )
a Cho hàm số y = f (x) = x - 2 + x + 1
+ Vẽ đồ thị của hàm số trên
+ Tính f (x 2 + 2) = ?
b Tìm công thức của hàm số g(x) biết rằng g (1+
x
1 ) = 2 2 1
x
x+
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho x = by + cz
y = ax + cz
z = ax + by
CMR : P = a1+1 + b1+1+ c1+1 = 2
Câu 5.( 5 điểm )
Cho góc xOy = 90o, tia phân giác Oz Trên tia Oz lấy điểm A Từ A kẻ AB ⊥Ox;
AC ⊥Oy.( B ∈ Ox; C ∈ Oy) D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB Nối AD Tia phân giác góc CAD cắt Oy tại E Chứng minh rằng AD = CE + BD
Đáp án - Biểu điểm
Trang 2C©u 1 (4 ®iÓm)
a, (2 ®iÓm)
Ta cã: N =
4
1
−
+
a
a =
4
5 4
−
+
−
a
a = 1 + a5−4 ( 0,5®)
§Ó N lµ sè nguyªn ⇔ a5−4 lµ sè nguyªn ⇔ a - 4 ∈ ¦(5)
⇔ a - 4 ∈ -5; -1; 1; 5 ( 0,5 ®)
Ta cã b¶ng sau:
a Kh«ng cã gi¸ trÞ 9 25 81
( 0,5 ®iÓm)
VËy víi a ∈ 9; 25; 81 th× N nguyªn ( 0,5 ®)
b, ( 2 ®iÓm )
A =
n
n n
12
9
3 2 + ; B =
70
2006
35n+
Ta cã A =
n
n n
12
9
3 2 + = 3n12(n n+3) = (n4+3) ⇒ A lµ sè thËp ph©n h÷u h¹n (1 ®)
Ta thÊy 35n + 2006 = 7.5n + 7.286 + 4 = 7(5n + 286) + 4 kh«ng chia hÕt cho 7 mÆt kh¸c 70 = 7.10 chia hÕt cho 7 V× vËy ë d¹ng tèi gi¶n, sè B cã chøa thõa sè
7 ë mÉu sè Sè B lµ sè thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn ( 1 ®)
C©u 2 (3 ®iÓm )
Tõ gi¶ thiÕt suy ra
b
a
= 7
5 ;
d
c
= 11
7
; e f =
13
11 ( 0,5®)
⇒ 5a = 7b = 5a++7b = 12M (1)
T¬ng tù ta cã :
7
c
=
11
d
=
11
7 +
+d c
= 18
M
(2) 11
e
=
13
f
=
13
11 +
+ f e
= 24
M
(3) ( 1 ®) MÆt kh¸c do 5; 7; 11; 13 lµ sè nguyªn tè vµ a; b; c; d; e; f ∈ N* nªn tõ c¸c
tØ lÖ thøc
b
a
= 7
5 ;
d
c
= 11
7
; e f =
13
11 suy ra a chia hÕt cho 5; c chia hÕt cho 7; e chia hÕt cho 11 hay gi¸ trÞ c¸c d·y tØ sè (1); (2); (3) lµ c¸c sè tù nhiªn
⇒ M ∈ BC (12; 18; 24) ( 1 ®)
L¹i do M lµ sè cã 3 ch÷ sè ⇒ M ∈ 144; 216; 288; ; 936
V× M lµ sè bÐ nhÊt cã 3 ch÷ sè nªn M = 144
§¸p sè M = 144 ( 0,5 ®)
C©u 3 (5 ®iÓm )
a, (3 ®iÓm )
+ Víi x≥ 2 hµm sè cã d¹ng f (x) = 2x - 1
Trang 3Cho x=2 ⇒ y = 3
x = 3 ⇒ y = 5
+ với x < 2 hàm số có dạng f (x) = 3
Đồ thị là đờng thẳng song song trục
hoành cắt trục tung tại y = 3
Ta có đồ thị hàm số:
( 2 đ)
Ta có f (x 2 + 2) = {(x2 + 2) - 2 { + (x2 + 2) + 1 = {x2{ + x2 + 3 = 2x2 + 3
Vậy f (x 2 + 2) = 2x2 + 3 ( 1 đ)
b.(2 điểm)
Cách 1: Đặt 1 +
x
1 =
x
x 1+ = y ( 0,5đ)
Khi đó g (1+ 1x ) = g (y) = 2
1 2
x
x+
= 2
1 2
x
x+
+1 - 1 = 2 22 1
x
x
x + + -1 =
= (x 1 x+ )2 - 1 = y2 - 1 ( 1đ)
Hay g(y ) = y2 - 1
⇒ g(x) = x2 - 1 ( 0,5đ)
Cách 2: Đặt 1 +
x
1 = y Thế thì x = y1−1 Thay vào công thức hàm số ta có :
1 1
1 1
1
2
−
+
−
y
y
= y2 - 1 ⇒ g(x) = x2 - 1
câu 4 ( 3 điểm )
Từ giả thiết ta suy ra : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) ( 1 ) ( 0,5đ)
Từ biểu thức x = by + cz ⇒ ax + x = ax + by + cz
⇒ x ( a + 1) = ax + by + cz
⇒ a + 1 = ax+by x +cz ⇒ a1+1 = ax+by x +cz (1đ)
Hoàn toàn tơng tự:
Từ biểu thức y = ax + cz
⇒ b + 1 = ax+by y +cz ⇒ b1+1 = ax+by y +cz
Từ biểu thức z = ax + by
⇒ c + 1 = ax+by z +cz ⇒ c1+1 = ax+by z +cz(0,5đ)
Suy ra P =
1
1 +
a +
1
1 +
b +
1
1 +
c = ax+by x +cz +ax+by y +cz+ax+by z +cz=
= ax x++by y++z cz(2) ( 0,5đ)
từ (1) và (2) ta suy ra P = 2(ax ax++by by++cz cz)= 2 ( Đccm) (0,5đ)
Bài 5 ( 5 điểm ) y z
Trang 4C A E
O D B F x Trên Ox lấy điểm F sao cho BF = CE ⇒ CE + DB = BF + DB = DF ( 1 đ)
dễ chứng minh đợc ∆vuông ACE = ∆vuông ABF ( c.g.c)
⇒ CEA = BFA.(1) ( 1 đ)
Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong)
Lại có CAE = EAD ( do AE là tia phân giác )
CAE = BAF ( Do ∆ vuông ACE = ∆ vuông ABF )
⇒ EAD = BAF ⇒ EAB = DAF (3)( cùng cộng với DAB) ( 1 đ)
Từ (1); (2); (3) ta có DAF = BFA ⇒ ∆ DAF cân tại D (1đ)
⇒ AD = DF = CE + DB ( đccm) ( 1đ)
