Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc AMC .. Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I
NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau
a A = 3x x2 4x4
b B = 35352
c C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình
a x x 2 x x 0
Bài 3: (2.0 điểm)
a Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa
mãn: (a + b)c = ab
Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?
b Cho x y ; 0 và x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2
20 11
P
Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC AM cắt HN tại G Đường thẳng qua
M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K Chứng minh rằng:
a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC cos2BAC
b BH.KM = BA.KN
c.
Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một
phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt và
Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc AMC Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất
Hết./.
Họ và tên thí sinh……… ……….SBD………….…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9 MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
1.
2.5
a
0.75
0.25x3
b
0.75
= | 5 1| | 5 1| 2 = 5 1 5 1 2 = 0 Suy ra A = 0
0.5 0.25
b.
1.0
=
=
=
.cos sin cos sin
=2 0.2x5
2.
2.0
2a.
1.0
ĐK: x 0
0 ( 2)( 1) 0
4
x
x
; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
0.25x4
2b.
1.0
ĐKXĐ:
4 3
x 2
(x 8x16) (3 x 4 2 3x4.4 16) 0 (x 4)2( 3x 4 4)2 0
4 0
x
và 3x 4 4 0 x4( )tm
0.25
0.25 0.25 0.25
3.
2.0 3a. 1.0 (a b c ab )
2
(a c b c )( )c
Gọi UCLN của a-c và b-c là d c d2 2 c d a d b d ;
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2 c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
0,25
0.25 0.5
Trang 31.0
2 2
P
Ta có
20
x y xy x y xy x y
Mà x y 2 Nên
2 2
20 20
20 2
x y xy
Dấu bằng khi x = y =1 Mặt khác :
2 2
1
x y
Nên
1 1
xy
Dấu bằng xảy ra khi
x = y =1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1
0,25 0,25
0.25
0.25
4.
2.5
K G
N
M
H
D
A
B
C
0.25
4a
1.0
AEB
vuông tại E nên
cosBAE AE
AB
; ACF
vuông tại F nên
cosCAF AF
AC
Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên
2 2
2 cos
AEF ABC
BAC
S AB S AEF S ABC.cos2BAC
0.25 0.25
0.25 0.25
4b.
0.75
ABH
và MNK có BAH NMK; ABH MKN (Góc có cạnh tương ứng song song)
BA KN BH KM
0.5 0.25
Trang 4A a M b B
C
(
4c.
0.75
AHB
MK MN ( Vì MN là đường TB của tam giác
AG
MG ; 2
HG
NG ( G là trọng tâm của tam giácAHC)
2
Mặt khác BAG GMK ( so le trong)
ABG
đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c)
2
0.25
0.25
5
1.0
Ta có : SMCD =
1
2 MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC BDM ;
MC =
a cos , MD =
b sin ; SMCD =
1 2
ab cos sin
Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất 2sin.cos lớn nhất Theo bất đẳng thức 2xy x2 +y2 ta có :
2sin.cos sin2 +cos2 = 1 nên SMCD ≥ ab
SMCD = ab sin = cos sin = sin(900) = 900 = 450
AMC và BMD vuông cân
Vậy min SMCD = ab Khi = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ;
By sao cho AC = AM , BD = BM
0.5
0.5