chuyen de rut gon bieu thuc va cac bai tap lien quan

Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức đợc chứng minh.. Rót gon biÓu thøc..[r]

2 Ví dụ 2:

Cho A =

  (với x > 0; x 4) a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nguyên của x sao cho 2A-1  0

(Đề thi tốt nghiệp lớp 9 Quảng Ninh năm 2002- 2003) (2 điểm)

Giải:

a) Với x > 0 và x 4

A

2

1

x x

x x x

x x

x

















b) 2A - 1 0

 2 A  1 (ĐK: x > 0 và x 4)

1 2

A

2

4

x

x

( bình phơng 2 vế không âm)  x1;2;3

thỏa mãn điều kiện x > 0 và x4 Kết luận: Với x 1;2;3

thì 2A - 1 0

3 Ví dụ 3:( Đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội năm 2001- 2002)

Cho biểu thức:

1

x



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của x thỏa mãn P < 0

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Giải:

a) ĐKXĐ:



Điều kiện để biểu thức P có nghĩa là x0 và x 1

 Rút gọn:

Với x 0 và x 1

:

P



:



:

1 ( 1)( 1)



   (Thêm điều kiện x4)

1 2

x

x









Với x 0 ; x 1 và x 4 thì biểu thức P =

1 2

x x



 b) P < 0

1

0 2

x

x



 (Điều kiện : x0;x1;x4)

 x  1 0 (Vì x 2 0 x R

    )

1 1

x

x

Kết hợp với điều kiện phần a với 0   x 1 thì P < 0

c)

1

P

P có GTNN

3 2

x



 có GTNN  x 2 có GTNN ( do phân thức có tử và mẫu dơng)  x có GTNN

 x 0

 x  0(Thỏa mãn điều kiện xác định)

Kết luận: Với x = 0 thì P có GTNN là

1 2



4 Ví dụ 4:

Cho biểu thức P =

2



a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 7 4 3

c) Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị lớn nhất

Giải:

a) Xét: x 2 x   1 ( x  1)2    1 x 0

* ĐKXĐ:



Với x  0 và x  1 thì biểu thức P có nghĩa

 Với x  0 và x  1 ta có:

P =

2 2

2

2

2

2 ( 1)( 1)

2 ( 1)

( 1)( 1).2

( 1)

1 ( 1)

x x

x x

x

x x









Với x 0 và x  4 thì biểu thức P có kết quả rút gọn là:

 x.( x 1) hoặc x x

b) x  7 4 3 4 2.2 3 3 (2     3)2

 x   2 3   2 3

Với x  7 4 3thay vào biểu thức P = x x ta đợc

P =2 3 7 4 3 3 3 5   

Với giá trị x=7 4 3 (thỏa mãn điều kiện xác định ) Thì P = 3 3 5

c) P  x x (x x)

2

2

2

1 1 1 ( ) 2

2 4 4

x x

    

P có GTLN

2

1

2

x

có GTNN

2

1

2

x

do

2 1

2

x    x

1 0 2 1 2 1 4

x

x

x

( Thỏa mãn điều kiện x0;x 4)

Thay

1 4

x 

vào P ta đợc P =

0

4  4

5 Ví dụ 5( Đề thi THCS của thành phố Hà Nội năm 2002-2003) (2,5 đ)

Cho biểu thức:

P =

4

x





a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P =-1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x  3)P x 1

Giải:

a) Xét: x 2 x  x( x 2)

 ĐKXĐ:

0

2 0

x

x















 Với x > 0 và x 4 có:

P =

4

x





:

:

 





:



4 ( 2) ( 2)

4

3

x x x

x x x

x









Với x > 0 , x 4,x9 thì P =

4 3

x

x 

b) P =-1

4

1 3

x

x

 ( ĐK: x > 0, x4,x9 )

Đặt x y điều kiện y > 0

Ta có phơng trình:

2

4y  y 3 0 Các hệ số a + b + c = 4- 1-3 =0

y

 

(không thỏa mãn điều kiện y > 0) 2

3

4

y 

( thỏa mãn điều kiện y > 0) Với

3

4

thì x =

9

16 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy với x =

9

16 thì P = - 1

c) m( x  3)P x1 (ĐK: x > 0; x 4,x 9)

4

3

1 4

x

x

x m

x





( do 4x > 0)

 Xét



Có x > 9 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

1 1

9

x

( hai phân số dơng cùng tử số, phân số nào có cùng mẫu lớn hơn thì phân

số đó nhỏ hơn)

4 36

4 4 4 36

4 4 18

x

x x

Theo kết quả phần trên ta có:

5

18 4

4

x

x m

x













 



 Kết luận: với

5 , 9 18

thì m( x  3)P x 1



6 Ví dụ 6 ( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 2005-2006)

Cho biểu thức:

P(x) =

x



a) Tìm x để P(x) có nghĩa và rút gọn P(x)

b) Giải phơng trình P(x) =

4 5

x  (2,5 đ)

Giải:

a) Xét: x  5 x    6 x 2 x  3 x  6

( 2) 3( 2) ( 2)( 3)

 P có nghĩa

9

x

Vậy với x0,x 4,x 9 thì biểu thức P (x) có nghĩa

 Với x0,x 4,x 9 thì:

P(x) =

x







(2)(3)

1 2

x





Kết luận : Vậy với x 0,x 4,x 9 thì

1 2

P

x





b) P(x) =

4 5

x 

5

x



 ( ĐK: x 0,x 4,x 9,x 5)

Đặt x y ĐK: y  0

Ta có phơng trình :

2 4 3 0

y  y  Các hệ số: a + b +c = 1- 4 + 3 =0

1 1

y

; y 2 3

(thỏa mãn điều kiện y >

Với y1  1 x  x 1( thỏa mãn ĐKXĐ)

y2  3 x  x9

( không thỏa mãn ĐKXĐ)

 Kết luận: Nghiệm của phơng trình P(x)=

4 5

x  là x = 1

7 Ví dụ 7:( Đề thi tuyển sinh chuyên Hạ Long năm học 1999-2000)

Cho biểu thức:

P =

2 2

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P với x = 9 4 5

c) Tìm các giá trị chính phơng x để P có giá trị nguyên (3 đ) Giải:

a) Xét:

2

( x 1)   1 x 0 nên :

2

( 1) 3 4

x

 ĐKXĐ:

4

x x









 Với x0,x4 thì P có nghĩa

Có:

1

Điều kiện để phép chia thực hiện đợc là x0

Vậy ĐKXĐ của P là : x > 0 và x  4

 Với x > 0 và x  4 ta đặt P =A : B

A =

3 2

3

3

2

x











 

Vậy P =

2

2

x



Với x > 0 và x  4 thì P =

2

(2 x)

x

 b)

2

9 4 5 9 2.2 5 ( 5 2)

x

x

Thay x  9 4 5 vào P ta đợc :

P =

2

5 5 10

5 4



* Với x =9 4 5 thì P = 5 5 10

c) Theo kết quả phần a ta có:

P =

2

(2 x)

x



4 4

4

4

x x x

x x



Vì x là số chính phơng nên x N , xN

P có giá trị nguyên

4

x



có giá trị nguyên x

 x Ư (4)

 x    1, 2, 4

Với x =1 và x = 16 thỏa mãn điều kiện xác định phần a

x = 4 không thỏa mãn điều kiện xác định phần a

* Với các số chính phơng x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên

8 Ví dụ 8:( Đề ôn thi tốt nghiệp THCS của SGD)

Chứng minh:

2 (x x y y xy) : (x y) y 1



Giải:

 Điều kiện để đẳng thức có nghĩa:

x y













 Với x  0, y  0, x  y biến đổi vế trái:

2





1

y

x xy y xy x y

x y

x y

x y

x y



 

















Sau khi biến đổi, vế trái có kết quả bằng vế phải, đẳng thức đợc chứng minh

C MộT Số BàI TOáN Về RúT GọN BIểU THứC

Bài 1:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2000 - 2001)

Cho biểu thức: A =

y y x x

y x x



a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 4 3 7 và y = 20 8 6  11 4 6 (2 đ)

Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2003 – 2004)

Cho biểu thức: P =

9

x



a) Rút gọn P

b) Tìm x để P <

1 2

 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P (2đ)

Bài 3:( Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hạ Long năm học 2002 – 2003)

Cho biểu thức:

P =

    với a  1, a  0

a Rút gon biểu thức

b Tìm giá trị của a để biểu thức

1

P nhận giá trị nhỏ nhất (2,5đ)

Bài 4:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2001 – 2002)

a Cho biểu thức: A =

:



Rút gọn biểu thức

b Với giá trị nào của k, phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt: kx2  6 x   5 0

(2,5đ)

Bài 5:( Đề thi dự bị tốt nghiệp lớp 9 năm học 2001 – 2002)

Cho biểu thức: A =

1

x





  với x >0, x  0

a Rút gọn biểu thức

b Với giá trị nào của x thì A = 3 (2đ)

Bài 6:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2000 – 2001)

Cho biểu thức:

A =

2

1



  với x > 0

a Rút gọn biểu thức A

b Tính các giá trị của biểu thức A khi x =3 8

c Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên (2,5đ)

Bài 7:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2003 – 2004)

a.Thực hiện phép tính

3 2( 50 2 10) 2 5

2

b Gọi x x1, 2

là 2 nghiệm của phơng trình : x2 5x m 0 Tìm giá trị của m để: 2x1 x2 11

(2đ)

Bài 8:( Đề thi tốt nghiệp lớp 9 năm học 2004 – 2005)

1.Tính giá trị của biểu thức

5 2  5 2

2 Cho phơng trình bậc 2:

2

5x  mx 1 0(*)

a Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b Gọi x x1; 2

là 2 nghiệm của phơng trình (*), hãy tính:

2 2

1 2

2 1

theo m (2,5đ)

Bài 9:( Đề thi tốt nghiệp của Hà Nội năm học 2000 – 2001)

Cho biểu thức:

P =

:

a Rút gọn P

b Tính giá trị của P biết x =6 2 5

c Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn: 1xPxn

(2,5đ)

Bài 10:( Đề thi tốt nghiệp của Hà Nội năm học 2003 – 2004)

Cho biÓu thøc: P =

x

a Rót gän P

b TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x =

2

2 3

c T×m gi¸ trÞ cña x tháa m·n: P x 6 x  3 x 4 (2,5®)