Các bài toán liên quan đến nghiệm của số phức

D ạng toán: Đây là dạng tính toán các biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai trên.. ập số phức..[r]

- Khi phần thực a= ⇔ = ⇔ là số thuần ảo 0 z bi z

- Số 0 0 0i= + vừa là số thực, vừa là số ảo

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi= + với ,a b∈  được

biểu diễn bằng điểm M a b( );

4 MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

Môđun của số phức z= +a bi a b ,( ∈ ) là 2 2

z = a +b Như vậy, môđun của số phức z là z chính là kho ảng cách từ điểm M biểu diễn số phức

Nếu z≠ thì 0 z' z z'.2

z = z , nghĩa là nếu muốn chia số phức z'cho số phức z≠ thì ta nhân cả tử và 0

mẫu của thương z'

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai

 Câu hỏi về mối liên hệ giữa 2 nghiệm phương trình

 Tìm nghiệm phức của phương trình bậc cao

Phân tích hướng giải

2 Ki ến thức cần nhớ:

+ Mô đun của số phức:

Mô đun của số phức z= +a b i a b ,( ∈ ) là: z = a2+b2

3 Hướng giải

+ Bấm máy tính giải phương trình bậc hai tìm nghiệm

+ Dựa vào yêu cầu của đề bài tính toán các biểu thức liên quan đến nghiệm tìm được

Lời giải Chọn B

13

S P

1 4 3 3i

∆ = − = − =

Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 3

Ta có

1 2

A.Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo

B.Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức

C Phương trình đã cho không có nghiệm phức

D Phương trình đã cho không có nghiệm thực

Lời giải Chọn D

2

2

20

Ta có:

1 2

Điểm biểu diễn là P( )3; 2

Câu 6 Gọi z z z1, 2, 3là nghiệm của phương trình 3 2 ( )

Vì z 1 là số thuần ảo nên z z2, 3là nghiệm của phương trình ( )1

Ta có: z4+ − =z2 6 0 22 2

3

z z

 =



2 3

Vì z là nghiệm phức của phương trình 2

Câu 1 Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z1, z2, z3 là nghiệm của phương trình

z +az + + = có một nghiệm thực nên hai nghiệm phức còn lại bz c

phải là hai số phức liên hợp, suy ra x=2x− ⇔ = 4 x 4

z − z + z − z+ = có bốn nghiệm phức phân biệt là z , 1 z , 2 z , 3 z 4

z +bz + + = với b , c , d ∈ có ba nghiệm cz d z , 1 z2 = − và 5 4i z , trong 3

đó z 3 là nghiệm có phần ảo dương nên z1∈  và z3 =z2 = + 5 4i

Ta có z , 1 z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2

z − z − z − z − = gọi z z z z là b1, 2, 3, 4 ốn nghiệm phức của

P= z + z + z + z bằng:

Lời giải Chọn B

04

Đặt 1

2

z x z

= ⇒ z1 =x z 2 và 1

2

z x

7 317

Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn 2020 2019

11z +10iz +10iz− = Mệnh đề nào sau đây đúng? 11 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z= +1 m hoặc z= −1 m

+ Với z= +1 m Suy ra: 1+ m = ⇔ = 2 m 1 (nhận)

+ Với z= −1 m Suy ra: 1− m = ⇔ = 2 m 9 (nhận)

hoặc 12

3,4

2, 0

m m

m m

z z

2 4

2

1

1, (1)1

11

1, (2)1

11

1(2)

z z z

z z

z

i z

 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

 Tìm môđun của số phức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực

 Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình bậc hai

 …

Phân tích hướng dẫn giải

Lời giải:

Câu 3 Trên tập số phức cho phương trình bậc hai 2 ( )

( )I : “Nếu ∆ <0thì phương trình (*) vô nghiệm.”

( )II : “Nếu ∆ >0thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.”

Mệnh đề ( )I sai vì trên tập số phức mọi phương trình bậc hai đều có 2 nghiệm

Mệnh đề ( )II đúng vì nếu ∆ >0thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Câu 5 Trên tập số phức, cho phương trình: 2

0

az +bz+ =c (a b c, , ∈  Chọn kết luận sai )

A.Phương trình luôn có nghiệm

B. Nếu b= thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng 0 0

D.Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau

∆ > phương trình có hai nghiệm thực là 1,2

2

b x

Phương án D:Sai vì nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực nên không chắc đã liên hợp 0

Câu 6 Cho z là nghi1 ệm phức có phần ảo âm của phương trình 2

8 20 0

diễn của số phức z trên m1 ặt phẳng tọa độ Tìm tọa độ của M 1

z z có hai nghiệm phân biệt là z= −4 2i và z= +4 2i

Vì z là nghi1 ệm phức có phần ảo âm nên z1 = −4 2i Vậy điểm biểu diễn của z là 1 M1(4; 2 − )

Câu 7 Gọi z z là các nghi1, 2 ệm phức của phương trình 2

Câu 5 Gọi z và 1 z2 = + là hai nghiệm của phương trình 4 2i 2

z − z+ = ; Gọi M, N lần lượt là các điểm

biểu diễn z , 1 z trên m2 ặt phẳng phức Độ dài đoạn thẳng MN

w= − i

nghiệm có phần ảo là 1 Tính tổng môđun của hai nghiệm

Ch ọn A

Ta có ∆ =m2−20

Phương trình có hai nghiệm phức thì ∆ < ⇔ −0 2 5< <m 2 5

z − m− z + = , m∈  m ( )1 Có bao nhiêu giá

trị nguyên của m để phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt z , 1 z th2 ỏa mãn z1 = z2

58

m m

Vì z1= + và w 2i z2 =2w− là hai nghi3 ệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực nên

⇒ = −

Khi đó 1

433

Câu 1 Trong các số phức z thỏa mãn z− −2 4i = 5, gọi z0 là số phức có mođun nhỏ nhất Biết z 0

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z Ta có: z = − =z 0 OM

OM nhỏ nhất ⇒I O M, , thẳng hàng

Ta có: ( )IM :y=2x

M là giao điểm của IM và ( )C ⇒M( )1; 2 ∨M( )3;6 ⇒ = + ∨ = +z 1 2i z 3 6i

Ta có: 1 2+ i = 5, 3 6+ i =3 5 Vậy z0 = +1 2i; Do z0 = +1 2i là một nghiệm của phương trình ( )* suy ra z 0 cũng là một nghiệm Theo định lý viét ta có

L ời giải Chọn B

52

x y

z= +i là một nghiệm của phương trình

( )* suy ra z cũng là một nghiệm Theo định lý viét ta có

1

5

Câu 3 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện: 2 4z− − i = − 2z i Số phức zcó môđun nhỏ nhất là

nghiệm của phương trình 2

0

z +az+ =b Hệ thức nào sau đây đúng?

A b=2a B a=2b C a− = −b 12 D a+ =b 12

L ời giải Chọn C

Đặt z= +x yi (x y, ∈R) Từ giả thiết suy ra: y= − + x 4

⇒ = + Do z= + là nghiệm của phương trình 2 2i ⇒ = − cũng là nghiệm của z 2 2i

0

3 3

3

z z

điểm biểu diễn của z , 1 z trên m2 ặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMN có một góc bằng 120°, tính tổng các giá trị của a

Lời giải

Vì O, M, N không thẳng hàng nên z , 1 z 2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời

là số thuần ảo ⇒z , 1 z là hai nghi2 ệm phức, không phải số thực của phương trình

2 2

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6

Câu 7 Cho a là số thực, phương trình 2 ( )

z − a+ z+ − a= có 2 nghiệm z , 1 z G2 ọi M , N là điểm biểu diễn của z , 1 z trên m2 ặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMNlà tam giác vuông, tính

tổng các giá trị của a

L ời giải Chọn B

Vì O, M, N không thẳng hàng nên z , 1 z 2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời

là số thuần ảo ⇒ z , 1 z là hai nghi2 ệm phức, không phải số thực của phương trình

5 152

2 10 5 0

5 152

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là −5

Câu 8 Trong tập hợp các số phức, gọi z , 1 z là nghi2 ệm của phương trình 2 2019

04

1

z

i z

z

i z

2

z z

P