Khao sat ham so va cac bai toan lien quan

[r]

Chuyên đề 1: HÀM SÔ

 Vấn đề 1: Cực trị của hàm sô

Phương pháp tìm cực trị

Phương pháp 1

 Tìm f’(x)

 Tìm các điểm xi (I = 1, 2,…) mà tại đó đạo hàm của hàm sô bằng 0 hoặc hàm sô liên tục nhưng không có đạo hàm

 Lập bảng xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua xi thì hàm sô đạt cực trị tại xi

Phương pháp 2

 Tìm f’(x)

 Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,…)

 Tính f’’(xi)

Nếu f’’(xi) < 0 thì hàm sô đạt cực đại tại điểm xi

Nếu f’’(xi) > 0 thì hàm sô đạt cực tiểu tại điểm xi

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm sô: f(x) = sinx + cosx với x    ( ; )

Giải: f’(x) = cosx – sinx; f’’(x) = - sinx – cosx ;

x

f '(x) 0

x 4









Ta có:

3

3

    Vậy trên khoảng (  ; ) hàm sô đạt cực đại tại điểm x 4





, fCĐ = 2; hàm sô đạt cực tiểu tại điểm

3 x 4





, fCT =  2

Ví dụ 2: Cho hàm sô

.Với giá trị nào của m thì hàm sô có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa x1 + 2x2 = 1

Giải: TXĐ: D = R y ' mx 2 2(m 1)x 3(m 2)   Hàm sô có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

m 0







Theo định lí Viet và theo đề bài, ta có:

2(m 1)

m 3(m 2)

m























 Từ (1) và (3), ta có: 1 2

Thế vào (2), ta được:

(m 0)

2

2 m

m 2











 (thỏa(*)) Vậy giá trị cần tìm là:

2

3

Ví dụ 3: Cho hàm sô y x 4 2mx22m m 4 Tìm m để hàm sô có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

Giải: TXĐ: D = R.y ' 4x 3 4mx y’= 0 2

x 0





 



 Hàm sô có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

 m > 0 Khi đó:

4

y ' 0

  

 Đồ thị hàm sô có một điểm cực đại là

4

A(0, m 2m) và hai điểm cực tiểu là B( m, m4 m22m);C( m;m4  m22m)

Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đêu

AB AC

AB BC





 





        Vậy m33 (m 0)

Ví dụ 4: Cho hàm sô y kx 4(k 1)x 2 1 2k Xác định các giá trị của tham sô k để đồ thị hàm sô chỉ có một điểm cực trị

Giải: TXĐ: D = R y ' 4kx 32(k 1)x 2

x 0

y ' 0





  

 Hàm sô chỉ có một cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó  phương trình (*) vô nghiệm hoặc

có nghiệm x = 0

k 0

k 0

k 0 k 1

k 0

k 0 k 1











k 0 k 1  

Ví dụ 5: Cho hàm sô

Xác định m để đồ thị của hàm sô có cực tiểu mà không có cực đại

Giải: TXĐ: D = R y ' 2x 3 2mx 2

x 0

y ' 0





  



 Hàm sô có cực tiểu mà không có cực đại  y ' 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó  phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0  m 0

Luyện tập:

1 a) Tìm m để hàm sô y x 3 (m 3)x 2mx m 5  đạt cực tiểu tại x = 2 (m 0)

b) Cho hàm sô y(m25m)x36mx26x 6 Với giá trị nào của m thì hàm sô đạt cực đại tại x = 1 (m 1)

2 Cho hàm sô y x 3ax2bx c Xác định a, b, c để hàm sô có giá trị bằng 1 khi x = 0 và đạt cực trị tại x = 2 và giá trị cực trị là – 3 (a3, b 0,c 1) 

3 a) Cho hàm sô y 4x 3 mx2 3x m Chứng minh rằng với mọi m hàm sô luôn luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu CÐ CT

1

4

b) Cho hàm sô y x 33mx23(m21)x m 3 3m Chứng minh rằng với mọi m hàm sô luôn luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cô định (y2)

4 a) Cho hàm sô y x 32(m 1)x 2(m2 4m 1)x 2(m  21) Tìm m để hàm sô đạt cực đại và cực tiểu tại hai điểm x1, x2 thỏa điều kiện: 1 2 1 2

b) Cho hàm sô

m

3

Với giá trị nào của m thì hàm sô có cực đại và cực tiểu đồng

thời hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị đó thỏa mãn điều kiện:

m 0 7



c) Cho hàm sô

1

3

Tìm m để hàm sô đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 8

5 Cho hàm sô y 2x 33(m 1)x 26(m 2)x 1 

a) Tìm m để hàm sô có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 và x1x2 2 m 1

b) Tìm m để đường thẳng nôi hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = x m 2 m 4   

6 a) Xác định m để hàm sô yx42mx2có ba cực trị m 0 

b) Cho hàm sô y (1 m)x  4 mx22m 1 Định m để hàm sô có đúng một cực trị m 0 m 1   

c) Cho hàm sô y x 4 2m x2 21 Định m để đồ thị hàm sô có các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều m6 3

d) Cho hàm sô yx42(m 2)x 2 2m 3 Tìm m để hàm sô chỉ có cực đại mà không có cực tiểu m2

7 Cho hàm sô y 2x 33(m 3)x 211 3m Tìm m để hàm sô có hai cực trị Gọi M1, M2 là các điểm cực trị, tìm m để M1, M2 và B(0; -1) thẳng hàng m 4 

Vấn đề 2: Biện luận sô đồ thị đi qua một điểm

1 Tìm điểm cô định của họ đồ thị

Phương pháp

Cho họ đồ thị (Cm): y = f(x,m), m là tham sô Để tìm điểm cô định, mà họ (Cm) đi qua, ta thực hiện như sau:

 Gọi M(xo, yo) là điểm cô định mà họ (Cm) đi qua

 M(xo, yo)  (Cm)  yo = f(xo,m), m (*)

 Biến đổi phương trình (*) về dạng: A(xo;yo)m + B(xo;yo) = 0 (1), hoặc

A(xo;yo)m2 + B(xo;yo)m + C(xo;yo) = 0 (2)

 Họ (Cm) đi qua M với mọi m khi và chỉ khi (xo;yo) nghiệm đúng (1) hoặc (2) với mọi m

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0





 





hoặc

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0 C(x ; y ) 0







 Giải hệ phương trình này ta tìm được M(xo;yo)

Ví dụ 1: Tìm điểm cô định của họ đường cong (C ) : y mxm  3 3mx22(m 1)x 1 (1) 

Giải: Gọi M(x ; y )0 0 là điểm cô định mà họ đường cong (Cm) đi qua.

Ta có: M(x ; y ) (C ), m0 0  m 

 2 

Ví dụ 2: Cho hàm sô sau   3

m

Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm sô đã cho đi qua ba điểm cô định thẳng hàng

Giải: Gọi M(x ; y )0 0 là điểm cô định mà họ đường cong (Cm) đi qua.

Ta có: M(x ; y ) (C ), m0 0  m   y0 m 1 x  30 (2m 1)x 0 m 1, m 

 3  3

0



Vậy (Cm) cô 3 điểm cô định:

Ta có:

M M , M M

  

cùng phương với nhau Vậy ba điểm M1, M2, M3 thẳng hàng

2 Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua

Phương pháp

Cho họ đồ thị (Cm): y = f(x,m), m là tham sô Để tìm điểm mà họ (Cm) không đi qua, ta thực hiện như sau:

 Gọi M(xo, yo) là điểm mà họ (Cm) không đi qua

 M(xo, yo)  (Cm)  yo = f(xo,m) (*) vô nghiệm đôi với m

 Biến đổi phương trình (*) về dạng: A(xo;yo)m + B(xo;yo) = 0 (1), hoặc

A(xo;yo)m2 + B(xo;yo)m + C(xo;yo) = 0 (2)

+Phương trình (1) vô nghiệm

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0





 





+Phương trình (2) vô nghiệm

A(x ; y ) 0

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0

0 C(x ; y ) 0











 



 Giải hệ phương trình này ta tìm được M(xo;yo)

Ví dụ 1: Cho hàm sôy 2x 3 3(m 3)x 218mx 7 (C ) m Chứng minh rằng trên paraboly x 215có hai điểm không thuộc đồ thị (Cm) với mọi giá trị của m

Giải: Gọi M(x ; x0 0215) (P) : y x  2 15

M (C )  x 15 2x  3(m 3)x 18mx 7: vô nghiệm đôi với ẩn m

      : vô nghiệm đôi với ẩn m

2

0







Vậy trên parabol (P) có hai điểm không thuộc đồ thị (Cm) là: M1 (0; 15); M2 (6; 51)

Ví dụ 2: Cho hàm sôy x 3 3(m 1)x 23mx 1 (C ) m Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào

Giải: GọiM(x ; y )0 0 là điẻm cô định mà họ đường cong (Cm) không đi qua Ta có: M(x ; y ) (C )0 0  m

      : vô nghiệm đôi với ẩn m

       : vô nghiệm đôi với ẩn m

2





Vậy những điểm thỏa yêu cầu bài toán thuộc các đường thẳng: x = 0, x = 1, trừ các điểm (0; 1), (1; 5)

 Vấn đề 3: Sự tương giao giữa hai đồ thị

1 Giao điểm của hai đồ thị

Cho hàm sô y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm sô y = g(x) có đồ thị là (C2)

 Hai đồ thị (C1) và (C2) cắt nhau tại điểm M(xo;yo)  (xo;yo) là nghiệm của hệ phương trình

y f (x)

y g(x)









 Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)

 Sô nghiệm của phương trình (*) bằng sô giao điểm của (C1) và (C2)

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Cho hai hàm sô f(x) và g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’) và có đạo hàm tại điểm xo

 Hai đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M(xo;yo), nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến Khi đó M gọi là tiếp điểm

 Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi và chi khi hệ phương trình sau có nghiệm:

f (x) g(x)

f '(x) g '(x)









 Nghiệm của phương trình trên là hoành độ tiếp điểm

Ví dụ 1: Cho hàm sô

x 3 y

x 1





 có đồ thị là (C)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N

b) Xác định m để độ dài MN nhỏ nhất.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

x 3

2x m

x 1



 2

Ta có:

 



→ phương trình (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của M và N thì x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) Ta có: 1 2 1 2

Mặt khác:

y 2x m, y 2x m Ta có:

2

1

4

Vậy MNmin =2 5, đạt được khi m = 3

Ví dụ 2: Cho hàm sôy x 3 6x29x 6 (C) Định m để đường thẳng (d): y mx 2m 4   cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3 6x29x 6 mx 2m 4     x3 6x29x 2 m(x 2)  

x 2





 



Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

' m 3 0





Ví dụ 3: Cho hàm sô

m

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiệnx12x22x23 15

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

x 1





 



(Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai ngiệm phân biệt khác 1

m 0 (a)

Giả sử x3 = 1; x1, x2 là nghiệm của (2) Ta có: x1x2 3m 1; x x 1 2 3m 2 Khi đó:

Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: m < -1 hoặc m > 1

Ví dụ 4: Cho hàm sôy x 3 3x2  9x m (C ) m Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm sô đã cho cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp sô cộng

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 9x m 0 (*)  Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độx , x , x (x1 2 3 1 x2 x )3 thì x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó:

x  3x  9x m (x x )(x x )(x x )    

Ta só: x1, x2, x3 lập thành một cấp sô cộng x1x3 2x2 (2) Thế (2) vào (1) ta cô: x2 = 1 khi x2 =1: (*) ↔

m = 11 Với m = 11: (*) x3 3x2 9x 11 0   (x 1)(x 2 2x 11) 0 

1

3





 

Vậy m = 11 thỏa yêu cầu

Ví dụ 5: Cho hàm sôy x 3 3mx22m(m 4)x 9m  2 m (C )m Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm sô cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

Giải: Ta có: y ' 3x 2 6mx 2m(m 4); y '' 6x 6m   

2

y '' 0  x m  y m  m Điểm uôn I(m; m2 m)

Điều kiện cần: đồ thị (Cm) của hàm sô cắt trục hoành tại 3 điểm cắt đều nhau I Ox

m 0

m 1





Điều kiện đủ:

+Với m = 0, ta có: y = x3: đồ thị của hàm sô chỉ cắt trục hoành tạ 1 điểm duy nhất → m = 0 không thỏa

+Với m = 1, ta có: y x 3 3x2  6x 8 y 0  x3 3x2 6x 8  (x 1)(x 2 2x 8) 0 

1

3







 Vậy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 6: Cho hàm sôy 2x 3 3x21 (C) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D sao cho AB = BD Khi đó chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cô định

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm2x3 3x2 1 ax b  2x3 3x2 ax 1 b 0 (*)   Giả sử (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D có hoành độ lần lượt là x , x , x (x1 2 3 1x2 x )3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó:

3

2

Ta có: AB = BD x1x32x (2)2 Thế (2) vào (1) ta có: 2

1 x 2



Khi

2



Với

1 a b 2





3 2 1 3 2

2

2

2

1 x











(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác

1 2 ' 2a 3 0

3 a









thỏa yêu cầu

Khi đó:

1 a (d) : y ax

2



(2x 1)a 1 2y 0

     Phương trình này nghiệm đúng với mọi

3 a 2

 

x y





1 1

2 2

Ví dụ 7: Cho hàm sôyx42(m 2)x 2 2m 3 (C )m Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại bôn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp sô cộng

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm:x42(m 2)x 2 2m 3 0 (1)  Đặtt x , t 0 2 

2 (1) g(t)t 2(m 2)t 2m 3 (2)   (Cm) cắt trục hoành tại bôn điểm phân biệt (1) có bôn nghiệm phân biệtx , x , x , x1 2 3 4 (x1x2 x3x )4  (2) có hai nghiệm dương phân biệtt , t (t1 2 1t )2

m

m 2





 





Theo định lí Viet, ta có:

1 2





 Khi đó phương trình (1) có bôn nghiệm phân biệt:

x  t x  t x  t x  t Ta có: x , x , x , x1 2 3 4 lập thành một cấp sô cộng

Từ (a) và (c), ta có: 1 2

Thế vào (b), ta được:

2

m 3 13 m 9









 (thỏa(*))

Ví dụ 8: Cho hàm sôyx3mx2 m (C )m Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Giải: Đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (Cm) có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu

Ta có: y '3x22mx

3





 



* Hàm sô có hai cực trị m 0

* Hai giá trị cực trị trái dấu 2m   4 3 2 2

2

Luyện tập:

1 Cho hàm sôy 2x 3 x (C)2 Giả sử đường thẳng y = a cắt đồ thị (C) tại ba điểm có hoành độ x1, x2, x3 Tính tổngS x 12x22x23

1 S 4



2 Cho hàm sôy x 3 3ax24a3 Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C với

AB = BC

2

a 0 a

2

3 Cho hàm sô

3 1

3

Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

m

 Vấn đề 4: Tiếp tuyến của đồ thị

1 Tiếp tuyến tại điểm M (xo;yo)  (C) : y = f(x)

Phương pháp:

 Tính hệ sô góc k = f’(xo)

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có dạng: y = f’(xo)(x – xo) + yo

Ví dụ 1: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm sô

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1 Tìm

m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0

Giải: ĐặtM(x ; y ) (C )0 0  m , ta có: 0 0

m

2

.y ' x 2 mx y '(x ) m 10   ; Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M có dạng: y y 0 y '(x )(x x )0  0

m

2

1

2

∆ song song với đường thẳng 5x – y = 0 hay y = 5x

m 1 5

m 2 0

 



 

 



→ m = 4

2 Tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) có hệ sô góc k cho trước

Dạng 1: Đề cho hệ sô góc Chỉ cần thế vào công thức.

Dạng 2:

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b có hệ sô góc là a Thì tiếp tuyến và (d) có cùng hệ

sô góc hay f’(xo) = a

 Tiếp tuyến vuông góc với (d) thì tích hai hệ sô góc là bằng -1

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành một góc α thì hệ sô góc là tanα

Phương pháp 1:

 Gọi M (xo;yo) là tiếp điểm, ta có: M (C) → yo = f(xo)

 Giải phương trình f’(xo) = k, tìm được xo → yo Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – xo) + yo

Phương pháp 2:

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: ∆: y = kx+b

 ∆ tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

f (x) kx b

f '(x) k







 Giải hệ phương trình này ta tìm được b, từ đó suy ra tiép tuyến ∆

Ví dụ 1: Cho hàm sôy x 33x2 9x 5 (C) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ

sô góc nhỏ nhất

Giải: gọiM(x ; y ) (C)0 0   y0 x303x20 9x05 Ta có: y ' 3x 26x 9 Tiếp tuyến tại điểm M có hệ sô góc: k y '(x ) 3x 0  206x0 9 3(x 01)212 12 → Mink = -12, đạt được khi: x0 = -1 → y0 = 16 Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm sô, tiếp tuyến tại M (-1; 16) (điểm uôn) có hệ sô góc nhỏ nhất Phương trình tiếp tuyến: y = -12x = 4

Ví dụ 2: Cho hàm sô

3

(C) Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng

Giải: Gọi

3

Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ sô góc: k1y '(x ) x0  201

vớiy ' x 21 Đường thẳng d:

có hệ sô góc 2

1 k 3



1

3

4

3











Ví dụ 3: Cho hàm sô

x 1 y

x 1





 (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Giải: phương trình hoành độ giao điểm:

x 1

2x m

x 1





2

x 1

 





Ta có:



 → phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1 vậy d luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi x1, x2 (x1 ≠ x2) lần lượt là hoành độ của A và B thì x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) Ta có:

1

2

Tiếp tuyến ∆1, ∆2 tại A, B có hệ sô góc lần lượt là: 1 1 1 2

2

k y '(x )



2

2

1

2

3 Tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) đi qua một điểm A(xA;yA) cho trước

Phương pháp 1

 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A với hệ sô góc k: y = k(x – xA) + yA (1)