[r]
Trang 1
Vận dụng một tính chất của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Bằng phơng pháp cộng ta dễ dàng chứng minh đợc kết quả sau
Bài toán Cho hệ phơng trình
a1x +b1 y=c1
a2x +b2 y=c2
¿{
¿
¿
(*)
Với x,y là các ẩn số , a1;b1;c1; a2;b2;c2là các tham số
Nếu D=a1b2− a2b1≠0thì hệ PT (*) có nghiệm duy nhất
x= D x
D =
c1b2− c2b1
a1b2− a2b1 y= D y
D =
a1c2−a2c1
a1b2−a2b1
¿{
¿
¿
(**)
Nh vậy x và y đều biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**)
Do đó nếu trong bài toán có 2 biểu thức bậc nhất đối với 2 ẩn nào đó thì ta có thể
áp dụng kết quả trên để giải quyết bài toán Sau đây là một số thí dụ
Thí dụ 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn
mx+ y=1
x − 2 my= 2m
3
m2
+1
¿{
¿
¿
(1)
Chứng minh rằng x2
+y2=1 Lời giải
Ta coi (1) là hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với m là tham số
Khi đó x và y đều biểu thị đợc theo m
Thật vậy
do a1b2− a2b1=m.(−2 m)−1 1=− 2 m2−1 ≠ 0
nên áp dụng công thức (**)ta có
x=
1.(− 2 m)− 2 m
3
m2+1 1
− 2 m2−1 =
2m
m2+1
¿y=
m 2 m
3
m2
+1− 1 1
− 2m2− 1 =
1 − m2
m2+1
¿{ {
¿
¿ Suy ra x2
+y2
=¿
Trang 2Thí dụ 2
Cho x,y,z là các số thực thoả mãn
xz+x + y=1
2 xz +yz +x+3 y =2
¿{
¿
¿
(1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy(1+z)
Lời giải
Ta giảm số biến của biểu thức P bằng cách
biến đổi (1) về dạng hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với z là tham số đợc
zx+(z +2) y=1
(2 z+1) x+(z +3) y=2
¿{
¿
¿
Có a1b2− a2b1=z (z+3)−(2 z+1)(z +2)=− z2− 2 z −2=−¿
Nên áp dụng công thức (**) ta có
x= 1.(z +3)−2(z +2)
− z2−2 z −2 =
z+1
z2+2 z +2
y= z 2 −(2 z +1) 1
− z2−2 x −2 =
1
z2+2 z +2
¿{
¿
¿ Suy ra P=xy (1+z)=¿ ¿
Do có ¿⇔¿ mà¿
nên 0 ≤ P=¿ ¿
GTNN của P là 0 khi và chỉ khi (x ; y ; z )=(0;1 ;−1)
GTLN của P là 1
4 khi và chi khi (x;y;z) {(1
2;
1
2;0);(
−1
2 ;
1
2;−2)}
Thí dụ 3 Cho x,y là các số thực thoả mãn
¿
Chứng minh rằng
−14
5 ≤ x + y ≤
16 5 Lời giải
Do 3 x+7 y+1 và x+4y+1 là các biểu thức bậc nhất đối với x,y nên để đơn giản giả thiết ta
coi 2 biểu thức lần lợt là a,b thì x,y đều biểu thị đợc
theo a và b
Thật vậy
Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b
Ta có hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau
3 x+7 y=a −1
x+4 y=b− 1
¿{
¿
¿
(1)
Có 3 4 −1 7=5 ≠ 0 nên áp dụng công thức (**) thì
Trang 3hệ pt (1) có nghiệm
x= 4 a −7 b+3
5
y = 3 b − a −2
5
¿{
¿
¿
Khi đó ta có
a2
+b2≤ 9
x + y=3 a − 4 b+1
5
Mặt khác
0 ≤¿⇔¿
⇔|mp+nq|≤√(m2
+n2
)(p2
+q2
)
áp dụng BĐT trên ta có
|3 a − 4 b|≤√¿ ¿
⇔−15 ≤ 7 b − 4 a ≤ 15
Suy ra −14
5 =
−15+ 5
5 ≤ x+ y =
3 a − 4 b +1
15+ 1
5 =
16 5
Thí dụ 4 giải hệ phơng trình
√¿ ¿
¿
Lời giải
Ta thấy x +2 y +1 và 2 x − y +5 là các biểu thức bậc nhất đối
với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt
√x+2 y +1=a ≥0, √2 x − y +5=b ≥ 0
khi này x, y đều biểu diễn đợc theo a và b
ta có hệ pt bậc nhất 2 ẩn x,y
x+2 y +1=a2
2 x − y +5=b2
¿{
¿
¿
⇔
x= a
2
+2 b2−11
5
y= 2 a
2
−b2+3 5
¿{
¿
¿
(1)
Do đó 5 x+11=a2
+2b2 , 9 x − 2 y +21= a2
+4 b2
Thay vào hệ phơng trình đã cho ta đợc
a3
+4 b3=1
a+2 b
a2+2 b2=a2+4 b2
¿{
¿
¿
⇔
a3+4 b3=1
a+2b=(a2+2 b2)(a2+4 b2)
¿{
¿
¿
(2)
Trang 4Nhân vế với vế các phơng trình của hệ (2) đợc
(a+2b)(a3+4 b3)=(a2+2 b2)(a2+4 b2)
⇔ab(a – b)(a - 2b) = 0
⇔a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b hoặc a = 2b
Từng trờng hợp này thay vào hệ (1)
ta đợc nghiệm (a,b) là (0 ;√3 14), (1;0),(
3
√51;
3
√15),(
3
√23;
3
√121 ) Với (a;b) tìm đợc thay vào (1) ta đợc
các nghiệm (x;y) của hệ PT đã cho là
(
3
√12− 11
3 −√3161
5 ),(− 2;1),(
3
√2725− 11
3
√251 +3
5 ),(
3
√32−11
3
√343144+3
Thí dụ 5 Giải hệ phơng trình
(x+ y)√x2+7+ y√2 y2+1=xy +2 y2
2 x√x2+7+(x + y )√2 y2+1=3 xy − x2
¿{
¿
¿ Lời giải
Ta có thể đa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách
Đặt √x2+7=u ;√2 y2+1=v
Hệ PT đã cho trở thành
(x + y )u+yv=xy+2 y2
2 xu +(x + y )v=3 xy − x2
¿{
¿
¿
(1)
Ta có a1b2− a2b1=(x + y )(x+ y)−2 xy =x2+y2
Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ PT đã cho
Khi x,y không đồng thời bằng 0
Có a1b2− a2b1=¿x2+y2>0nên hệ (1) có nghiệm duy nhất
u=(xy +2 y
2
)(x + y )−(3 xy − x2
)y
x2
v=(x + y)(3 xy − x
2
)− 2 x (xy+2 y2)
¿{
¿
¿
Suy ra
√x2+7=2 y
√2 x2+1=− x
¿{
¿
¿
⇔
− x ≥ 0
2 y ≥ 0
x2+7=4 y2
2 y2+1=x2
¿{ { {
¿
¿
Trang 5x ≤ 0
y ≥ 0
x2=9
y2=4
¿{ { {
¿
¿
⇔
x=− 3
y=2
¿{
¿
¿
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là (0;0);(-3;2)
Cuôí cùng mời các bạn luyện tập với các bài tập sau
Bài 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn
2 x − my=m
mx+ y= 3 m
2
+4
m2+4
¿{
¿
¿
a) Tìm một hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
P=x3
+y3
Bài 2 Cho x,y là các số thực thoả mãn
¿
Chứng minh |x + y +3|≤2√73
7 Bài 3 Giải hệ phơng trình
a)
3
√9 x +7 y +2+√35 x +4 y − 6=3
3
√(9 x +7 y +2)(5 x+4 y −6)=3 x +6 y −31
¿{
¿
¿
b)
(z +1) x +(z2+4 z) y=z3+5 z2−1
x+(z +3) y =z2
+4 z − 1
x2+y2+z2=9
¿{ {
¿
¿
HD: tim x,y theo z tu 2 PT dau cua he
c)
(x + y )√2 xy +5=4 xy −3 y +1
(x +2 y)√2 xy+5=6 xy+ x −7 y −6
¿{
¿
¿
HD coi √2 xy +5 là tham so
Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Toán K35B DHSP TN