Ap dung bat dang thuc de giai PT He PT

3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki.[r]

B, ¸p dông c¸c biÓu thøc d¬ng gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

3x  6x 12  5x  10x 9 3 4   x 2x (*)

Gi¶i:

Ta cã: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2 + 9  9 víi mäi x 5x2+ 10x + 9 = 5x2+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2+ 4  4 víi mäi x

 3x2 6x 12  5x2 10x 9  4  9 5  (1)

Mµ 3 - 4x - 2x2 = 5 - 4x- 2x2- 2 = 5 - 2(x2 + 2x + 1)

= 5 - 2(x+1)2  5 víi mäi x (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -1

Thö x = -1  lµ nghiÖm cña (*)

Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1

2

3 4 6

x y z







 

 Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

3

2

xy

x y  y x 

§K

1 1

y x









  2x y 1 4  y x 1 3  xy

(1)

Do x  1 x y 1 1  2 0

dÊu “=” x¶y ra khi y = 2

y  1 2y x 1 1  2  0

dÊu “=” x¶y ra khi x = 2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x = 2

y = 2

Bµi 4:

Ta cã:

DÊu “=” x¶y ra

DÊu “=” x¶y ra

DÊu “=” x¶y ra

2 0

x

x





  



VËy S =  2

Bµi 5:

a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

3

x y xy







§K:

0

xy







0

3 0

0

x

x y xy

y









1 2

y





 



b, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2

1 2







§K:

0

xy

xy











 2 xy 1 “=” xÈy ra  xy =

1 4

z  2 1 1 “=” xÈy ra z = 0

z = 0 

1 1 4

x

y

z o



















hoÆc

1 1 4 0

x y z



















Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2

3

1 0

x xy y

z yz







2

2

4

x xy y

2

2 2

4

1 0

4

y

y

y y







 1;2; 1 ; 1; 2;1

S

Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

 x2  4x 2   2x2  8x 5  2  3

2 2



 



 

2

2

x

S

Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a, x 1 5x1 3x 2 §K :x1

Mµ 3x  2 0   pt cã S   

b, Gi¶i:

3

DK x x

x





2

x x





Dấu “=’

x x





2

x

x







1;2

S

Bài 9: Giải

x 1 2   x 1 DK: x 1

 S   

Bài 10: Giải : 2

1 1 1

2

4

x y z

xy z









(1)

Từ (1)

2 2

0

2 2

2 2

2, áp dụng BĐT Cô si:

Bài 1:

2

Ta có ĐK:

2 2

1 0

1 0

x x

x x







Khi đó áp dụng:

1

" " 1 2

a

a    khi a

ta có:

 x2 x 1   x2   x 1 x 1

MÆt kh¸c:

2

VËy

 

2 2 2

x x

x





VËy x=1 lµ nghiÖm

Bµi 2:

2

3 2

2

2

x x

(1)

Ta cã x2 - x + 1 > 0 víi mäi x suy ra §K

1 2

x

¸p dông C«si cho 2 sè x2 – x + 1 > 0

2x + 1 > 0

Ta cã:

x  x x        

VËy dÊu “=” x¶y ra  x2 – x + 1 = 2x +1

 x2 – 3x = 0  x = 0 TM

hoÆc x = 3 TM

VËy S = 0;3

Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

1 2 3

12

x y z







Víi x, y, z > 0

Tõ (1) ta cã:

6

4x4y4z   x y z

V× x, y, z > 0 ta ¸p dông B§T C«si cho 2 sè

(1)

1

1

4x x dÊu “=” x¶y ra khi

1 2

x 

(2)

  dÊu “=” x¶y ra khi

1 2

y 

(3)

  dÊu “=” x¶y ra khi

1 2

z 

Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã:

dấu “=” xảy ra khi

1 2

x  y z

TM vậy nghiệm của hệ phơng trình là: S =

1 1 1 , ,

2 2 2

Bài 4: Giải phơng trình: 2007 x2008 – 2008 x2007 + 1 = 0

 1 + 2007 x2008 = 2008 x2007  x > 0

áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số dơng

1; x2008 ; x2008; x2008 …; x2008 ( 2007 số x2008 )

Ta có: x2008 + x2008 + … + 1  2008

2008

2008 2007

1.(x ) = 2008 x2007 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi 1 = x2008  x = 1 vì x > 0

Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

Bài 5: Giải phơng trình: x3 – x2 – 8x + 40 = 8

4

4x 4 ĐK 4x + 4  0  x  -1

Với Đ K x  -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có:

4 + 4 + 4 + x + 1  4

4 4.4.4.(x 1) = 84 4(x 1)

 13 + x  8

4 4(x 1)  13 + x  x3 – 3 x2 – 8x + 40

 x3 – 3 x2 – 9 x + 27  0  ( x – 3 )2( x + 3 )  0

Do x  - 1  x + 3 > 0  ( x – 3 )2  0  x = 3 TM

Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình

Bài 6: Giải phơng trình: 7  x x 5 x2 12x 38 (1)

Đ K 5  x  7

Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số

7 – x và 1 ta có:

7

2

x

x – 5 và 1 ta có:

5 1 5

2

x

x   



dấu “=” xảy ra khi chỉ khi 7 – x = 1

x – 5 = 1  x = 6

Ta lại có: x2 – 12x + 38 = ( x – 6 )2 + 2  2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 6 Vậy S =  6

Bài tập tơng tự:

Bài 1: Giải phơng trình: x2 x 1   x2  x 1 x2 x 2

Bài 2: Giải phơng trình: 2x 3  5 2  x  3x2 12x 14

3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải phơng trình:

2 2

§K:

x

x x







¸p dông Bu nhi a cèp xki cho (1:1) vµ ( 2x  3: 5 2x )

 2x 3  5 2  x2 1 2  1 2 2x 3 2 5 2  x2  2.2 4 

2x 3  5 2  x  2 Do 2x 3  5 2  x  0

DÊu “=” x¶y ra  2x 3  5 2  x  x 2

3x  22 2  2

dÊu”=” xÈy ra  x = 2 VËy pt cã nghiÖm duy nhÊt x = 2

Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2

A x   x 

§K:

5 2

2

x

 

Ta cã :

2

A  x   x   x   x   

6 0

2

A  A

  1

xÈy ra 

2 2

x   x  x

(TM§K)

13 6

S  

b, 2 x 1 3 5   x  2 13 DK: 1  x 5

2 x 1 3 5   x2 2 2  3 2 x   1 5 x 13.4

2 x 1 3 5   x  2 13

PT x¶y ra  3 x 1 2 5   x

29 13

29

13

S  

c,

2

1

x

 

Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2  10  xx2 12x 40 DK:2  x 10

x2  12x 10 x 62  4 4

DÊu “=” x¶y ra khi x = 6

Ta cã  x 2  10  x2 x 2 10   x 1 2  1 2  16

2 10 4 : 2 10 0

D©u “=” xÈy ra x = 6 (TM)

 S  6

Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh :

2

¸p dông B§T Bunhiac«pxki cho x 1; x – 3 vµ 1 ; 1 ta cã:

2

(2) (1) vµ (2) x¶y ra khi chØ khi: x 1  x 3

 x2 – 6x + 9 = x – 1

 x2 – 7x + 10 = 0  x = 2

hoÆc x = 5

x = 2 kh«ng tho¶ m·n; x = 5 tho¶ m·n

vËy S  5

Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh :

4

x  x  x  x

4

2 2 4 1 3 ( 1)

§ K : x4  2

4

x  x   x ( x  0 )

4

2

1

x

Ta cã:

2 2

1

2

x

x   dÊu “=” x¶y ra

2 2

1

x x

 x2  1 (1) MÆt kh¸c: 4 2  x4 2 1 2  1 2  2  x4 x2



2

x x

DÊu “=” x¶y ra khi chØ khi x = 1

Tõ (1) vµ (2) suy ra ph¬ng tr×nh cã nghiÖm cña nã lµ 1 TM

VËy S =  1

Bµi tËp t¬ng tù:

Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2

3 2 1

x

x x



Bµi tËp 2:

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2

2 2

1

x y





