skkn dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình

Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán giải phươngtrình, hệ phương trình không chính tắc, chúng thường

I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất màngười thầy nhất thiết phải làm Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòihỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và nhữngnguyên tắc đúng đắn Người học sinh với sự nỗ lực của bản thân phảithu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác.Nhưng nếu Học sinh đứng một mình trước một bài toán mà không cógiúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì được.Mặt khác nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phảilàm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá vànhư vậy để học sinh có một công việc hợp lý

Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học

cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán giải phươngtrình, hệ phương trình không chính tắc, chúng thường được thiết kếdưới ý tưởng của một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó

Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là sự phối hợpnhiều luồng kiến thức, kĩ năng giải toán Bài toán đòi hỏi người làmtoán phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng.Người làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức,đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹptoán học

Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợplại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một

cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán mộtcách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác họctập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,gọn và tiết kiệm được thời gian

Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khágiỏi và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo củahọc sinh trong hoạt động học tập Với các lý do nêu trên tôi có ý tưởngxây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phươngtrình”

I.2.TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI.

Theo đề tài này khi đưa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:

Nhằm nâng cao chất lượng “Giải phương trình, hệ phương trìnhbằng phương pháp dùng bất đằng thức” Giúp cho thầy và tròtrong dạy và học đạt được kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ thihọc sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khốiTHCS, học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toángiải phương trình và hệ phương trình Góp phần nâng caochất lượng dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng caohơn

I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Học sinh đạt được Giải phương trình và hệ phương trình bằngphương pháp bất đẳng thức

I.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI, KẾ HOẠCH, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU.

4.1 Đối tượng nghiên cứu:

- Các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình và các bấtđẳng thức trong chương trình THCS

4.2 Phạm vi nghiên cứu:

Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trường THCS Mạo Khê II Đông Triều - Quảng Ninh

-4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007;

2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010

I.4 ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I.4.1 Cơ sở lí lụân

Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừamang tính nghệ thuật Do đó đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực

sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tíchcực giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức Việc tạocho học sinh niềm hứng thú trong học tập “Giải phương trình hệphương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụthuộc vào năng lực sư phạm của giáo viên Ngoài việc lên lớp ngườigiáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan đểlàm sao có thể truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu,phù hợp với khả năng tiếp thu của từng đối tượng học sinh

Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay ở trườngTHCS là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy vàphát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tíchcực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đếntình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt làtrong năm học này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộcvận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” thìviệc tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em

có niềm tin trong học tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đếntrường là một niềm vui”

I.4.2 Cơ sở thực tiễn

Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi

có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi mônToán, Toán trên máy tính tại trường THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:

- Đối với học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằngphương pháp dùng “bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điềunhư kết quả nhanh, chính xác, làm được nhiều bài tập trong khoảngthời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán

- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn

và bao trùm Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiếnthức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi người cùng một suy nghĩ rằng

- cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã cócác nhà khoa học

- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiêncứu tìm lời giải cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải làbậc vĩ nhân Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thìkhông sáng được”

- Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết vàtinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việcgiảng dạy của mình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giảinhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng được vàocấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để họcsinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáokhoa hiện hành

II PHẦN NỘI DUNG II.1.1 Một số thành tựu

Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở khối

em tích cực tư duy, hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn sovới các lớp còn lại Đặc biệt là trong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cáchgiải hay nhất, nhanh nhất Không khí lớp học luôn sôi nổi, không gò

bó, học sinh được độc lập tư duy Điều hứng thú hơn là phát huy đượctrí lực của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoahọc hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới

II.1.2 Một số tồn tại và nguyên nhân

Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng trong hai khối 8 vàkhối 9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số họcsinh còn thiếu động cơ học tập, lười học, không tích cực học tập vìcho rằng đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậyviệc phát huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế Hơnnữa những học sinh trên ít được sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòihỏi sự cố gắng tận tâm của người thầy dần giúp các em hòa nhập vớikhả năng nhận thức chung cuả môn học

II.13 Vấn đề đặt ra

Rèn luyện “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương phápdùng bất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹnăng mới cho học sinh phương pháp luyện tập thông qua bài tập làquan trọng để nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Với học sinhhọat động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:

- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu đượcqua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức được nhớ lâu khiđược vận dụng thường xuyên

- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phongphú, hấp dẫn

- Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốtnhất kiến thức đã học.

- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh

II.2.ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY

II.2.1.CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH

Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máytính nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm được những công việc sau:

- Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn những em học kháToán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán

- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán

- Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dưỡnghọc sinh giỏi phải hệ thống, phân loại được từng dạng Toán ở khốiđược phân công bồi dưỡng

- Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo từng tuần

- Thường xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quantrên mạng internet

Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi : Dạy từ 2 – 3 buổi trong một tuần.

II.2.2 QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN

I)- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

1 Kiến thức

Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc đối cớihầu hết học sinh Tuy nhiên, người ta vẫn xây dựng được nhiều bàitoán mới hay khó Bất đẳng thức cauchy được phát biểu:

Cho dãy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức:

n n

Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =an

Bất đẳng thức được chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phépkhông trình bày chứng minh trong bài viết này

2 Một số ví dụ

Phương trình, hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳngthức cauchy rất phong phú và đa dạng Thông qua các ví dụ điển hìnhmong rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán

Ví dụ 1: Giải phương trình:

5 6 3 4 2 2

2 x x  (1)

4 3 3

9 5 5

6 z z  (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:

4 5

6 3 4 2

2 x  y  z xyz

Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1

z - 5 = 3Vậy nghiệm của phương trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8)

Nhận xét: Đây là phương trình vô tỷ không chính tắc, bài toáncòn có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng

thức Cauchy là dụng ý của người viết Đây là bài toán cơ bản, chúng

ta có thể tạo nhiều bài tương tự với một chút biến đổi

Ví dụ 2: Giải phương trình: 16x4  5  6 3 4x3 x

Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + 5 > 0 nên 3 4x 3 x> 0  x > 0

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 4x; 4x2 +1 ; 2 tacó:

3 4 4 2 ) 1 4 ( 4 2 ).

1 4 ( 4 3 4

có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biển đổi đi lên

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

3 1

2 2 4





y x

Lời giải:

6 1 2 1

2 2

Cộng vế với vế ta có: (1)

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 3 3 1 3

4 2 2 4

2 2

x x

3 1

3

1

3

4 2 2 4

2 2

y y

( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phương trình đốixứng loại 2, bài toán có thể giải theo phương trình chung đó Vậndụng bất đẳng thức cauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo.Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì phương trình (1) dễ phát hiệnhơn so với hệ phương trình đầu bài cho áp dụng cách giải, ta có thểtạo ra nhiều bài hay và khó hơn

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình :

y x

z y

y



 2

2 1 2

x z

Lời giải:

Dễ thấy ( x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của phương trình

Xét x # 0 thì y # 0, z # và x, y, z > 0

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x2  2x , 1+ y2  2y ,1+z2 2z

II)- Áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.

1- Kiến thức:

Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đếnBất đẳng thức Binhiacôpski Đây là một bất đẳng thức quen thuộc vớihọc sinh, được sử dụng như một công cụ, trong phần này chúng tanghiên cứu dưới dạng ứng dụng giải phương trình, hệ phương trìnhkhông mẫu mực Trước hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski

Giả sử: a1, a2,…, an và b1, b2,…bn là hai hãy số tùy ý

Ta có bất đẳng thức

(a1b1 + a2b2…+ anbn)  ( ).( 2 2 )

2

2 1 2 2

a b

a

2

2 1

1  

Bất đẳng thức được chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phépkhông trình bày cách chứng minh trong bài viết này.

2 Một số ví dụ:

Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phươngtrình, hệ phương trình thường phong phú và đa dạng Khi giải dạngtoán bằng phương pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết cáccặp số Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:

Ví dụ 1: Giải phương trình

16 4 2 3

2

2 1 ( 1 ) ( 3 ) 1

1

3 1



0 10

ta có thể tạo ra những bài toán tương tự

Ví dụ 2: Giải phương trình

38 12 5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh Nhận biết haibộ: 7  x ; x 5 và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpskiđánh giá vế trái kết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải.Cách thiết lế những bài toán như vậy sẽ kiểm tra được nhiều luồngkiến thức của học sinh

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

92

) (

26 ) 4 3 (

3 3 3

2 2 2 2

z y z

y x

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

) )(

4 3 1 ( ) 4 3 (x y z 2  2  2  2 x2 y2 x2

 (x 3y 4z) 2  26 (x2 y2 x2 ) (1)

Đẳng thức (1) xảy ra khi 1x 3y 4z kết hợp với hệ phương trình tatìm được nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).

Nhận xét: Đây là hệ phương trình không mẫu mực Để phát hiện

ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến

vế phải của chương trình thứ nhất (chứa x2 + y2 + z2), Sau đó chọn bộ

số thích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá Phương trình thứ hai chỉudùng khi đánh giá xong phương trình thứ nhất Những bài kiểu này dễthiết kế, xong khó giải Người giải phải có kiến thức nhất định về bấtđẳng thức

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2006

2007

2006 1

2006 1

1

2006

2007

) 1

1 1

)(

1

1 1 (    x1 x2  x2006



)

2006 (

2006 2007

.

2006  x1x2 x2006

 x1x2 x2006  1 (1)

 2

2006 2

1

2006

2005

)

2006 (

2006 2005

.

2006   x1 x2  x2006

x1x2 x2006 1 (2)

Từ (1), (2)  x1 + x2 + ….+ x2006 và điều kiện bất đẳng thứccủa hệ xảy ra, nên hệ đã cho tương đương với:

Tương đương với:

1

1

1 1

1

1 1

2006 2

1

2006 2

1

2006 2

x

x x

x

x x

x

=> x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006

Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bấtđẳng thức Cách đánh giá liên lục hai phương trình rồi so sánh vớinhau đòi hỏi người giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy béntrong vận dụng bất đẳng thức nói chung

Tổng quát ta có bài toán sau:

n

k n n x x

x

n

k n n x x

1 1

1

1 1

2 1

2 1

III)- Giải phương trình bằng cách đánh giá các ẩn

1- Kiến thức:

Nhiều bài toán tưởng chừng không giải được , thật bất ngờchung ta chỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phương trình thì bàitoán cho ta một lời giải thú vị đến bất ngờ

Kỹ thuật trong phần này thường sử dụng quan sát các ẩn, đểđánh giá hai vế hoặc giữa các phương trình của hệ để tìm ra sự kiên hệgiữa các ẩn số, từ đó có được một phương trình , hệ phương trình đơngiản hơn

2 Một ví dụ:

Trong phần này thông qua một ví dụ, chúng ta quan sát cáchđánh giá giữa các ẩn hoặc với một số, từ đó xác định được nghiệm củahệ

Ví dụ 1: Giải phương trình

20 16 5 ) 3 2 ( 2 1

2 3

3 10

x x

x x

Lời giải:

* Xét vế trái:

7 7 1 2 3

3 10 20 1 2 3

3 10 20

2

2 2

x x x

x

x x

x

 7Đẳng thức xảy ra hki x = 2 (1)

* Xét vế phải: y2 + 2 (2x - 3) y + 5x2 -16x + 20

= (y+2x-3)2 + (x-2)2 + 7  7

Đẳng thưc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)

Từ (1), (2) phương trình có một nghiệm duy nhất

Nhận xét: Đây là bài toán rất phức tạp, không giải được trựctiếp Bằng các quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phương trình vớicùng số 7, bài toán có nghiệm duy nhất Cách tạo được bài toán nàykhông khó nhưng giải được thì không dễ

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

1998 1998

1998 1998

y x

(Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998)

Lời giải:

Điều kiện của bài: 1998  x, y  0

- Điều kiện của bài toán

- Tính chất của lũy thừa, 0  a  1, m > n > 0 => am  an  1

1  a; m < m => am  an

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

A +B  A + B  A - B ; A  -A

- Làm trội bất đẳng thức không chặt,…