Các bạn đều biết có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tuy nhiên các phương pháp này phần lớn chỉ dùng để giải quyết các bài toán đối xứng, khi gặp các bất đẳng thức hoán vị[r]
Trang 1Phương pháp chuyển vị trong chứng minh bất đẳng thức
Nguyễn Trường Sơn-Gv THPT Yên Mô A-NB
Như các bạn đều biết, bất đẳng thức là chuyên đề rất hay và khó Nó thường hay xuất hiện ở câu 5 đề thi Đại học - Cao đẳng, cùng với các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Bài viết mà hôm nay tôi muốn giới thiệu đến các bạn là một phương pháp tương đối mới Các bạn đều biết có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tuy nhiên các phương pháp này phần lớn chỉ dùng để giải quyết các bài toán đối xứng, khi gặp các bất đẳng thức hoán vị thì chúng thường tỏ ra kém hiệu quả Phương pháp chuyển vị sau đây mà tôi giới thiệu chia sẻ cùng các bạn một kinh nghiệm nhỏ mà tôi đúc kết được hi vọng sẽ nhận được ý kiến đóng góp của các bạn Để hiểu rõ hơn ý tưởng của phương pháp này, chúng ta cùng xét ví dụ sau:
Ví dụ 1 Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = 4 Chứng minh rằng:
a2b + b2c + c2a + abc 6 4
Phân tích: a.ab + b.bc+ c.ca + abc 6 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 và a = 2, b = 1, c = 0 và các hoán
vị của nó
Điều này chứng tỏ việc đánh giá bất đẳng thức trên không dễ chút nào, chỉ cần một chút gia vị nhỏ thôi cũng có thể làm hỏng một nồi canh ngon Một cách tự nhiên, chúng ta nghĩ ngay tới việc chuyển bất đẳng thức về dạng đối xứng - vì phương pháp chứng minh các bất đẳng thức là rất nhiều mà Muốn làm được điều này các bạn cần để ý đến hai biểu thức được gạch chân ở trên, chúng có gì đặc biệt? Nếu ta đổi chỗ cho nhau ta sẽ được một bất đẳng thức mới:
a.ab + b.ac + c.cb + abc 6 4 Thật là thú vị, đây là một bất đẳng thức đối xứng cho hai biến a,c
a2b + b2c + c2a + abc 6 a2b + bac + cbc + abc ⇔ bc(b − a) + c2(a − b)6 0
⇔ c(a − b)(c − b) 6 0
Điều này chỉ xảy ra khi b là số hạng nằm giữa a và c Khi đó ta có:
a2b + b2c + c2a + abc 6 a2b + bac + cbc + abc = b(a + c)2 6 12(2b+a+c+a+c3 )3 = 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 và a = 2, b = 1, c = 0 và các hoán
vị của nó
Ví dụ 2 Cho các số không âm x,y,z có tổng bằng 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:
p
x + y2 +py + z2 +pz + x2 > 2
Trang 2Lời giải:
p
x + y2 +py + z2 +√
z + x2 > 2
⇔ pxy + xz + x2+ y2 +qyz + yx + y2+ z2 +qzx + zy + z2x2 > 2
Không mất tính tổng quát giả sử x = min {x, y, z} Ta có:
q
yz + yx + y2 + z2+
q
zx + zy + z2x2 > pyz + zy + y2 + z2+pzx + xy + z2+ x2
⇔ y(x − y)(x − z)(x + y + z) > 0
Vậy:
V T > pxy + xz + x2 + y2 +pyz + zy + y2 + z2 +pzx + xy + z2 + x2
= px + y2+ px + z2+ y + z
Ta cần chứng minh
p
x + y2+ px + z2+ y + z > 2 ⇔ px + y2 +px + z2 > 2x + y + z
Áp dụng BĐT:
p
x + y2 +√
x + z2 > p(√
x +√
x)2 + (y + z)2
= p4x + (y + z)2 = p4x(x + y + z) + (y + z)2 = 2x + y + z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hoặc x = 1, z = y = 0 và các hoán
vị của nó
Ví dụ 3 Cho các số không âm a,b,c có tổng bằng 3 Chứng minh rằng:
(3a2 + bc + 3b2)(3b2 + ac + 3c2)(3c2 + ba + 3a2) 6 900 Lời giải:
(3b2+ ac + 3c2)(3c2 + ba + 3a2)−(3b2 + ab + 3c2)(3c2 + ca + 3a2)
= 3a(b − c)(b − a)(a + b) 6 0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
(3a2 + bc + 3b2)(3b2 + ab + 3c2)(3c2 + ca + 3a2) 6 900
Ta có:
(3a2+bc+3b2)(3b2+ab+3c2) = 9b4+3(a+c)b3+(9a2+ac+9c2b2)+3(a3+c3)b+9a2c2
= 9b4 + 3(a + c)b3+ 9(ac)2b2 + 3(a + c)3b + 9ac(ac − bc − ab) − 17b2ca
6 9b4 + 3(a + c)b3 + 9(a + c)2b2+ 3(a + c)3b = 3b(a + 3b + c)[b2 + (a + c)2]
Ta lại có: 3c2+ ca + 3a2 6 (a + c)2 Đặt x = c + a
Trang 3Ta cần chứng minh: 9x2b()x+3b)(x2+b2) 6 900 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
9x2b(x + 3b)(x2+ b2) 6 9
10
5xb + x(x + 3b) + 2(x2+ b2)
3
3
Mà 5xb + x(x + 3b) + 2(x2+ b2) = 103 (x + b)2 − 13(x − 2b)2 6 103 (x + b)2 = 30 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0, b =
2, c = 2 và các hoán vị tương ứng
Nhận xét: Bằng cách tương tự ta có thể giải được bài toán sau:
"Với a,b,c là các số không âm có tổng bằng 3, k là một số cho trước: 13 6 k 6 √2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P(a,b,c)= (a2+ kbc + b2)(b2 + kac + c2)(c2+ kab + a2)"
Như vậy với các bất đẳng thức hoán vị ba biến ta tiến hành các bước sau:
• Bước 1: Sử dụng phép chuyển vị đưa BĐT hoán vị ba biến về các BĐT đối xứng
• Bước 2: Dùng các phương pháp CMBĐT dạng đối xứng, đánh giá để chứng minh bài toán
Không chỉ có các BĐT hoán vị ba biến mới sử dụng được phép chuyển vị này mà một phần đông các BĐT hoán vị bốn biến cũng có thể áp dụng được nó
• Bước 1: Sử dụng phép chuyển vị đưa về một BĐT hoán vị cho ba biến
• Bước 2: Sử dụng những đánh giá thích hợp để chứng minh bài toán
Ví dụ 4 Cho các số không âm a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=4 Chứng minh rằng:
a3b + b3c + c3d + d3a + 23abcd 6 27
Lời giải:
Bổ đề Nếu a,b,c là các số không âm thì
a3b + b3c + c3a + 473
256abc(a + b + c) 6 27
56(a + b + c)
4
(Sử dụng phép chuyển vị cho ba biến)
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử d là số hạng nhỏ nhất trong các số a,b,c,d Khi đó ta có: c3d + d3a − (c3a + d4) = −(c3− d3)(a − d) 6 0 nên để chứng minh BĐT đã cho ta chỉ cần chứng minh a3b + b3c + c3a + d4 + 23abcd 6 27
Áp dụng bổ đề trên ta có:
27
256(4 − d)
4− 473
256abc(4 − d) + d
4 + 23abcd 6 27
⇔ 1
256(6361d − 1892)abc +
27
256(4 − d)
4 + d4− 27 6 0(∗)
Trang 4• Nếu 6361d − 1892 6 0 thì(∗) hiển nhiên đúng.
• Nếu 6361d − 1892 > 0
ta có:
1
256(6361d − 1892)abc +
27
256(4 − d)
4+ d4 − 27
256(6361d − 1892)
(4 − d)3
27 +
27
256(4 − d)
4 + d4 − 27
= 1
27(d
5 + 270d − 473)(d − 1)2 6 0
Bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1 hoặc a = 3, b = 1, c = d = 0 và các hoán vị tương ứng
Bài tập áp dụng
Bài tập 1 Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0
Chứng minh rằng: ab+bc+caa2+b2+c2 + a2 b+b 24abcc+c 2 a+abc > 2
Bài tập 2 Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 3 Chứng minh các BĐT sau:
a a2b + b2c + c2a 6 2 + abc
b a3b2+ b3c2 + c3b2 6 3
Bài tập 3 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c có tổng bằng 3, ta
có BĐT sau:
a
b + c2 +
b
c + a2 +
c
a + b2 > 3
2. Bài tập 4 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c có tổng bằng 3, ta
có BĐT sau:
r
a
3 + b2 +
r
b
3 + c2 +
r
c
3 + a2 6 3
2. .The end