Đề tài Dùng bất đẳng thức để giải phương trình Hệ phương trình

Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung họccơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thờng gặp bài toán giải phơng trình, hệphơng trình không chính tắc, chúng thờng đợc

I phần mở đầu I.1 Lý do chọn đề tài.

Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất màngời thầy nhất thiết phải làm Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi hỏiphải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyêntắc đúng đắn Ngời học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu đợccàng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác Nhng nếuHọc sinh đứng một mình trớc một bài toán mà không có giúp đỡ nào,hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì đợc Mặt khác nếuthầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm Thầy giáophải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và nh vậy để họcsinh có một công việc hợp lý

Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung họccơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thờng gặp bài toán giải phơng trình, hệphơng trình không chính tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng củamột bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó

Phơng trình, hệ phơng trình không chính tắc là sự phối hợp nhiềuluồng kiến thức, kĩ năng giải toán Bài toán đòi hỏi ngời làm toán phảihiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng Ngời làm toáncần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập chochúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học

Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợplại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán mộtcách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán mộtcách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác họctập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,gọn và tiết kiệm đợc thời gian

Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi

và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của họcsinh trong hoạt động học tập Với các lý do nêu trên tôi có ý tởng xâydựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình”

I.2.Tính cần thiết của đề tài.

Theo đề tài này khi đa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:

Nhằm nâng cao chất lợng “Giải phơng trình, hệ phơng trìnhbằng phơng pháp dùng bất đằng thức” Giúp cho thầy và trò trongdạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ thi họcsinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khối THCS,học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toán giảiphơng trình và hệ phơng trình Góp phần nâng cao chất l ợngdạy học toán và các bộ môn khác ngày càng cao hơn

I.2 Mục đích nghiên cứu.

Học sinh đạt đợc Giải phơng trình và hệ phơng trình bằng phơngpháp bất đẳng thức

I.3 Đối tợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu.

4.1 Đối tợng nghiên cứu:

- Các dạng toán giải phơng trình, hệ phơng trình v các bất đẳngà các bất đẳngthức trong chơng trình THCS

4.2 Phạm vi nghiên cứu:

Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trờng THCS Mạo Khê II

-Đông Triều - Quảng Ninh

4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007;

Hớng đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay ở trờng THCS

là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển

khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập,sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt là trong năm họcnày toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động “Xâydựng trờng học thân thiện, học sinh tích cực ” thì việc tạo hứng thúhọc tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin tronghọc tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến trờng là mộtniềm vui”

I.4.2 Cơ sở thực tiễn

Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi cónhiều năm tham gia vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán,Toán trên máy tính tại trờng THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:

- Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình bằng phơngpháp dùng “bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điều nh kếtquả nhanh, chính xác, làm đợc nhiều bài tập trong khoảng thời gianngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán

- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn

và bao trùm Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiếnthức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng -

cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có cácnhà khoa học

- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiêncứu tìm lời giải cho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải làbậc vĩ nhân Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thìkhông sáng đợc”

- Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết vàtinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việcgiảng dạy của mình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giảinhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng đợc vào cấphọc phổ thông, hoặc cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếpcận cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiệnhành

II phần nội dung II.1.1 Một số thành tựu

Thực tế qua theo dõi chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi ở khối 8, 9

có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các emtích cực t duy, hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn so với cáclớp còn lại Đặc biệt là trong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cách giảihay nhất, nhanh nhất Không khí lớp học luôn sôi nổi, không gò bó,học sinh đợc độc lập t duy Điều hứng thú hơn là phát huy đợc trí lựccủa các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học hứngthú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới

II.1.2 Một số tồn tại và nguyên nhân

Sáng kiến kinh nghiệm này đợc áp dụng trong hai khối 8 và khối

9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học sinhcòn thiếu động cơ học tập, lời học, không tích cực học tập vì cho rằng

đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy việc pháthuy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế Hơn nữa nhữnghọc sinh trên ít đợc sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi hỏi sự cốgắng tận tâm của ngời thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năngnhận thức chung cuả môn học

II.13 Vấn đề đặt ra

Rèn luyện “Giải phơng trình hệ phơng trình bằng phơng pháp dùngbất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năngmới cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua bài tập là quantrọng để nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn Với học sinh họat

động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:

- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu đợcqua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức đợc nhớ lâu khi đợcvận dụng thờng xuyên

- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phongphú, hấp dẫn

- Là phơng tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốtnhất kiến thức đã học

- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh

II.2.áp dụng trong giảng dạy

II.2.1.các b ớc tiến hành

Để bồi dỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy tínhnói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm đợc những công việc sau:

- Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn những em học kháToán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán

- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán

- Soạn nội dung bồi dỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dỡng họcsinh giỏi phải hệ thống, phân loại đợc từng dạng Toán ở khối đợc phâncông bồi dỡng

- Lên kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi theo từng tuần

- Thờng xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan trênmạng internet

Kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi : Dạy từ 2 – 3 buổi trong một tuần.

Ii.2.2. Quá trình thực hiện

Cho dãy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức:

n n

Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =an

Bất đẳng thức đợc chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phépkhông trình bày chứng minh trong bài viết này

2 Một số ví dụ

Phơng trình, hệ phơng trình giải bằng cách dùng bất đẳng thứccauchy rất phong phú và đa dạng Thông qua các ví dụ điển hình mongrằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

5 6 3 4 2 2

Điều kiện có nghĩa: x  2 ; y  3 ; z  5.

áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta có:

1 2 2

4 3 3

9 5 5

Cộng (1), (2), (3), ta có:

4 5

6 3 4 2

2 x  y  z xyz

Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1

z - 5 = 3Vậy nghiệm của phơng trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8)

Nhận xét: Đây là phơng trình vô tỷ không chính tắc, bài toán còn

có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng thứcCauchy là dụng ý của ngời viết Đây là bài toán cơ bản, chúng ta cóthể tạo nhiều bài tơng tự với một chút biến đổi

Ví dụ 2: Giải phơng trình: 16x4  5  6 3 4x3 x

Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + 5 > 0 nên 3 4x 3 x> 0  x > 0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dơng 4x; 4x2 +1 ; 2 tacó:

3 4 4 2 ) 1 4 ( 4 2 ).

1 4 ( 4 3 4

có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biển đổi đi lên

Lời giải:

6 1 2 1

2 2

Cộng vế với vế ta có: (1)

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 3 3 1 3

4 2 2 4

2

x x x x

x x

3 1

3

1

3

4 2 2 4

2 2

y y

( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phơng trình đốixứng loại 2, bài toán có thể giải theo phơng trình chung đó Vận dụngbất đẳng thức cauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo Chỉ sửdụng bất đẳng thức Cauchy thì phơng trình (1) dễ phát hiện hơn so với

hệ phơng trình đầu bài cho áp dụng cách giải, ta có thể tạo ra nhiềubài hay và khó hơn

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình :

y x

z y

y



 2

2 1 2

x z

II)- á p dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.

1- Kiến thức:

Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đếnBất đẳng thức Binhiacôpski Đây là một bất đẳng thức quen thuộc vớihọc sinh, đợc sử dụng nh một công cụ, trong phần này chúng tanghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình khôngmẫu mực Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski

Giả sử: a1, a2,…, an và b1, b2,…bn là hai hãy số tùy ý

Ta có bất đẳng thức

(a1b1 + a2b2…+ anbn)  ( ).( 2 2 )

2

2 1 2 2

a b

a

2

2 1

2 Một số ví dụ:

Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phơngtrình, hệ phơng trình thờng phong phú và đa dạng Khi giải dạng toánbằng phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các cặp số.Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:

Ví dụ 1: Giải phơng trình

16 4 2 3

Điều kiện có nghĩa x  1

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:

2 2

2

1 3

1

3 1



0 10

ta có thể tạo ra những bài toán tơng tự

Ví dụ 2: Giải phơng trình

38x 12 5

Điều kiện có nghĩa: 5  x  7

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

Vế trái: 7  x x 5  1  1  7  x2 x 52  2 (1)

Vế phải: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + 2  2 (2)

Vậy vế trái  2  vế phải

1

5 1

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 6

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh Nhận biết haibộ: 7  x ; x 5 và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski

đánh giá vế trái kết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải.Cách thiết lế những bài toán nh vậy sẽ kiểm tra đợc nhiều luồng kiếnthức của học sinh

Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình

92

) (

26 ) 4 3 (

3 3 3

2 2 2 2

z y z

y x

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

) )(

4 3 1 ( ) 4 3 (x y z 2  2  2  2 x2 y2 x2

 (x 3y 4z) 2  26 (x2 y2 x2 ) (1)

Đẳng thức (1) xảy ra khi

4 3 1

z y x



 kết hợp với hệ phơng trình tatìm đợc nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4)

Nhận xét: Đây là hệ phơng trình không mẫu mực Để phát hiện

ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến

vế phải của chơng trình thứ nhất (chứa x2 + y2 + z2), Sau đó chọn bộ sốthích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá Phơng trình thứ hai chỉudùng khi đánh giá xong phơng trình thứ nhất Những bài kiểu này dễthiết kế, xong khó giải Ngời giải phải có kiến thức nhất định về bất

đẳng thức

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình

2007

2006 1

2006 1

1

1  x1    x2   x2006 

Lời giải:

Điều kiện có nghĩa; -1  xi  1 ; i = 1, 2 …., 2006

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

2006 2

1

2006

2007

) 1

1 1

)(

1

1 1 (    x1 x2  x2006



)

2006 (

2006 2007

1

2006

2005

)

2006 (

2006 2005

.

2006   x1 x2  x2006

x1x2 x2006 1 (2)

Từ (1), (2)  x1 + x2 + ….+ x2006 và điều kiện bất đẳng thức của

hệ xảy ra, nên hệ đã cho tơng đơng với:

Tơng đơng với:

1

1

1 1

1

1 1

2006 2

1

2006 2

1

2006 2

x

x x

x

x x

x

=> x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006

Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất

đẳng thức Cách đánh giá liên lục hai phơng trình rồi so sánh với nhau

đòi hỏi ngời giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy bén trongvận dụng bất đẳng thức nói chung

Tổng quát ta có bài toán sau:

n

k n n x x

x

n

k n n x x

1 1

1

1 1

2 1

2 1

III)- Giải ph ơng trình bằng cách đánh giá các ẩn

1- Kiến thức:

Nhiều bài toán tởng chừng không giải đợc , thật bất ngờ chung tachỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phơng trình thì bài toán cho tamột lời giải thú vị đến bất ngờ.

Kỹ thuật trong phần này thờng sử dụng quan sát các ẩn, để đánhgiá hai vế hoặc giữa các phơng trình của hệ để tìm ra sự kiên hệ giữacác ẩn số, từ đó có đợc một phơng trình , hệ phơng trình đơn giản hơn

2 Một ví dụ:

Trong phần này thông qua một ví dụ, chúng ta quan sát cách

đánh giá giữa các ẩn hoặc với một số, từ đó xác định đợc nghiệm củahệ

Ví dụ 1: Giải phơng trình

20 16 5 ) 3 2 ( 2 1

2 3

3 10

x x

Lời giải:

* Xét vế trái:

7 7 1 2 3

3 10 20 1 2 3

3 10 20

2

2 2

x x x

x

x x

=

1 2 3

) 2 (

2 2

Đẳng thức xảy ra hki x = 2 (1)

* Xét vế phải: y2 + 2 (2x - 3) y + 5x2 -16x + 20

= (y+2x-3)2 + (x-2)2 + 7  7

Đẳng thc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)

Từ (1), (2) phơng trình có một nghiệm duy nhất

Nhận xét: Đây là bài toán rất phức tạp, không giải đợc trực tiếp.Bằng các quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phơng trình với cùng

số 7, bài toán có nghiệm duy nhất Cách tạo đợc bài toán này khôngkhó nhng giải đợc thì không dễ

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

1998x 1998x

1998x 1998x

y x

(Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998)

Lời giải:

Điều kiện của bài: 1998  x, y  0

IV)-Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.

1- Kiến thức

Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng đadạng và phong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nétchính, những kiến thức kinh điển Trong mục này chúng ta xét thêmmột số kỹ thuật khác mà tởng chừng nh đơn giản song đôi khi lại gặpkhó khăn Một số chú ý là:

- Điều kiện của bài toán

- Tính chất của lũy thừa, 0  a  1, m > n > 0 => am  an  1

1  a; m < m => am  an

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

A +B  A + B  A - B ; A  -A

1 1

y x

(Thi học sinh giỏi Toán THCS Thành phố Hồ Chí Minh

-2002 - 2003)

Lời giải:

Điều kiện của bài toán 0  x, y

=> x + 1  1, y + 1  1 Vậy:

1 1

1 1

y x

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0 , y = 0

Vậy bài toán có nghiệm duy nhất x = y = 0

Nhận xét: Quả thật bài toán trên có lời giải bất ngờ và đơn giản,

chỉ cần sử dụng điều kiện của bài nh một nhận xét là tìm đợc lời

giải bài toán này không khó, có thể giải theo cách khác nhng dài vàkhông đẹp Vì vậy trớc khi giải hệ phơng trình vô tỷ nên quan tâm đến

điều kiện ẩn số

Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:

1

2006 2006

Lấy phơng trình (1) trừ đi (2) vế với vế, ta có:

0 ) 1 ( )

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0

Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 và x = 1, y = 0

Nhận xét: bài toán này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0  a

 1, m > n > 0 =>am  an 1 chúng ta có thể mở rộng về số ẩn Dạngbài này có dùng để tính giá trị biểu thức và vấn đề là tìm giá trị của ẩn,Cách thiết kế kiểu bài này không khó

Ví dụ 3: Giải phơng trình

3 2

1 2 2