SKKN dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình

Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và như vậy để họcsinh có một công việc hợp lý.Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học cơ sở và

PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

PHẦN I: PHẦN LÍ LỊCH

- Họ và tên: Trần Đăng Tiền.

- Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên

- Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao

- Tên sáng kiến kinh nghiệm “ Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình”

mà không có giúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì được Mặt khác nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và như vậy để họcsinh có một công việc hợp lý.Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán giải phương trình, hệ phương trình không chính tắc, chúng thường được thiết kế dưới

ý tưởng của một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó

Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là sự phối hợp nhiều luồngkiến thức, kĩ năng giải toán Bài toán đòi hỏi người làm toán phải hiểu biết sâusắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng Người làm toán cần tìm tòi, củng cố

hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiêncứu, khám phá vẻ đẹp toán học

Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp lại thànhmột chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một cách có hệ thốngnhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một cách chính xác, linh hoạt,khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học tập của học sinh nhằm giúp họcsinh có thể giải một số bài toán nhanh, gọn và tiết kiệm được thời gian

Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và đặcbiệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong hoạt

động học tập Với các lý do nêu trên tôi có ý tưởng xây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình”.

b, Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.

Theo đề tài này khi đưa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:

Nhằm nâng cao chất lượng “ Giải phương trình, hệ phương trình bằngphương pháp dùng bất đằng thức” Giúp cho thầy và trò trong dạy và họcđạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán, giải toántrên máy tính bỏ túi khối THCS, học sinh có niềm tin và kỹ năngvận dụng dạng toán giải phương trình và hệ phương trình Góp phầnnâng cao chất lượng dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng caohơn Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở khối 8, 9 có ápdụng sáng kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các em tích cực tư duy,hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn so với các lớp còn lại Đặc biệt làtrong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cách giải hay nhất, nhanh nhất Không khí lớphọc luôn sôi nổi, không gò bó, học sinh được độc lập tư duy Điều hứng thú hơn

là phát huy được trí lực của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứukhoa học hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới

c, Phạm vi nghiên cứu:

Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trường THCS Đình cao – huyện Phù Cừ - TỉnhHưng yên

2 Phương pháp tiến hành

a, Cơ sở lý luận và thực tiễn

Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tínhnghệ thuật Do đó đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực sư phạm vững vàng,phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích cực giúp học sinh chủ độngtrong việc chiếm lĩnh kiến thức Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú trong họctập “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức”hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực sư phạm của giáo viên Ngoài việc lên lớpngười giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để làmsao có thể truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp vớikhả năng tiếp thu của từng đối tượng học sinh

Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay ở trường THCS làtích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tựhọc, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng caonăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức

vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho họcsinh Đặc biệt hiện nay toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động

“Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” thì việc tạo hứng thú họctập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong học tập, khơidậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến trường là một niềm vui”

Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi có nhiềunăm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán trên máytính tại trường THCS Đình Cao tôi thấy rằng:

- Đối với học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp dùng

“bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điều như kết quả nhanh, chính xác,làm được nhiều bài tập trong khoảng thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinhhọc toán

- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm

Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rấtkhó, có lẽ mọi người cùng một suy nghĩ rằng - cố gắng hoàn thành nhiệm vụ làđược còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học

- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giảicho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân Suy nghĩ nàychỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng được”

Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần họchỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình Toánhọc cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên songkhông vận dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương phápkhoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dungsách giáo khoa hiện hành

b, Các bước tiến hành

*-Nghiên cứu tài liệu :

+SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học

*-Sử dụng phương pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp

Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy tính nói riêng

có hiệu quả theo tôi phải làm được những công việc sau:

- Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn những em học khá Toán trởlên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán

- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán

- Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dưỡng học sinh giỏiphải hệ thống, phân loại được từng dạng Toán ở khối được phân công bồi dưỡng

- Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo từng tuần

- Thường xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan trên mạnginternet

- Các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình và các bất đẳng thức trongchương trình THCS

* Thời gian tạo giải pháp:

Rèn luyện “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp dùng bấtđằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng mới cho họcsinh phương pháp luyện tập thông qua bài tập là quan trọng để nâng cao chấtlượng dạy và học bộ môn Với học sinh họat động giải bài tập là hoạt động tíchcực có tác dụng sau:

- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu được qua bàigiảng thành kiến thức của mình, kiến thức được nhớ lâu khi được vận dụngthường xuyên

- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong phú, hấpdẫn

- Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt nhất kiếnthức đã học.

- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh

2 GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

Cho dãy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức:

n n

n a a a n

1  

Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =an

Bất đẳng thức được chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép khôngtrình bày chứng minh trong bài viết này

2 Một số ví dụ

Phương trình, hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức cauchyrất phong phú và đa dạng Thông qua các ví dụ điển hình mong rằng chúng ta sẽnhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán

Ví dụ 1: Giải phương trình:

5 6 3 4 2 2

2 x x  (1) 4 y 3 y  3  4 (2)

9 5 5

6 z z  (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:

4 5

6 3 4 2

2 x  y  z xyz

Dấu = xảy ra khi x 2 1;  y 3 2;  z 5 3 

Vậy nghiệm của phương trình là: (x ; y; z) = (3; 5; 8)

Nhận xét: Đây là phương trình vô tỷ không chính tắc, bài toán còn cónhững cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức Cauchy làdụng ý của người viết Đây là bài toán cơ bản, chúng ta có thể tạo nhiều bàitương tự với một chút biến đổi

Ví dụ 2: Giải phương trình: 16x4  5  6 3 4x3 x

Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + 5 > 0 nên 3 4x 3 x> 0  x > 0

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 4x; 4x2 +1 ; 2 ta có:

Lời giải: Cộng vế với vế ta có:

2 2

x x

1

3

1

3

4 2 2 4

2 2

y y

( x ; y) = (1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phương trình đối xứng loại

2, bài toán có thể giải theo phương trình chung đó Vận dụng bất đẳng thứccauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo Chỉ sử dụng bất đẳng thứcCauchy thì phương trình (1) dễ phát hiện hơn so với hệ phương trình đầu bàicho áp dụng cách giải, ta có thể tạo ra nhiều bài hay và khó hơn

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình :

y x

z y

x z

Nhận xét: Đây là hệ phương trình có dạng hoán vị, ngoài cách giải trên,bài toán còn cách giải khác Tuy nhiên cách giải trên ngắn gọn, phù hợp với họcsinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đã đem lại lời giải hay, độc đáo.

B- Áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.

1- Kiến thức:

Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến Bất đẳngthức Binhiacôpski Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với học sinh, được sửdụng như một công cụ, trong phần này chúng ta nghiên cứu dưới dạng ứng dụnggiải phương trình, hệ phương trình không mẫu mực Trước hết ta phát biểu bấtđửng thức Binhiacôpski

Giả sử: a1, a2,…, an và b1, b2,…bn là hai hãy số tùy ý

Ta có bất đẳng thức

(a1b1 + a2b2…+ anbn)  ( ).( 2 2 )

2

2 1 2 2

a b

a

2

2 1

Ví dụ 1: Giải phương trình

38 12 5

Vế phải: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + 2  2 (2)

Vậy VT  2  VP

1

5 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh Nhận biết hai bộ số

x



7 ; x 5 và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski đánh giá vế tráikết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải Cách thiết kế những bài toánnhư vậy sẽ kiểm tra được nhiều luồng kiến thức của học sinh

Đẳng thức (1) xảy ra khi

4 3 1

z y x

và x, y, z để đánh giá Phương trình thứ hai chỉ dùng khi đánh giá xong phươngtrình thứ nhất Những bài kiểu này dễ thiết kế, xong khó giải Người giải phải cókiến thức nhất định về bất đẳng thức

2 1 1 1

2006

2007

2006  x  x   x

) 1

1 1

)(

1

1 1 (    x1 x2  x2006



)

2006 (

2006 2007

1

2 1 1 1

2006

2005

2006   x   x    x

)

2006 (

2006 2005

.

2006   x1 x2  x2006

x1x2  x2006  1 (2)

Từ (1), (2)  x1 + x2 + ….+ x2006 =1

điều kiện bất đẳng thức của hệ xảy ra, nên hệ đã cho tương đương với:

Tương đương với:

1

1

1 1

1

1 1

2006 2

1

2006 2

1

2006 2

x

x x

x

x x

x

=> x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006

Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất đẳng thức.Cách đánh giá liên lục hai phương trình rồi so sánh với nhau đòi hỏi người giảiphải có kỹ năng thuần thục, sáng tạo, nhậy bén trong vận dụng bất đẳng thức nóichung

Tổng quát ta có bài toán sau:

n

k n n x x

x

n

k n n x x

1 1

1

1 1

2 1

2 1

C- Giải phương trình bằng cách đánh giá các ẩn

1- Kiến thức:

Nhiều bài toán tưởng chừng không giải được , thật bất ngờ chung ta chỉcần đánh giá, so sánh các ẩn trong phương trình thì bài toán cho ta một lời giảithú vị đến bất ngờ.

Kỹ thuật trong phần này thường sử dụng quan sát các ẩn, để đánh giá hai

vế hoặc giữa các phương trình của hệ để tìm ra sự kiên hệ giữa các ẩn số, từ đó

có được một phương trình , hệ phương trình đơn giản hơn

2 3

3 10

x x

x x

Lời giải:

* Xét vế trái:

7 7 1 2 3

3 10 20 1 2 3

3 10 20

2

2 2

x x x

x

x x

=7

1 2 3

) 2 (

2 2

x

 7Đẳng thức xảy ra khi x = 2 (1)

* Xét vế phải: y2 + 2 (2x - 3) y + 5x2 -16x + 20

= (y+2x-3)2 + (x-2)2 + 7  7

Đẳng thưc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)

Từ (1), (2) phương trình có một nghiệm duy nhất

Nhận xét: Đây là bài toán rất phức tạp, không giải được trực tiếp Bằngcác quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phương trình với cùng số 7, bài toán

có nghiệm duy nhất Cách tạo được bài toán này không khó nhưng giải được thìkhông dễ

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

1998 1998

1998 1998

Vậy phương trình có hai nghiệm (x ; y)  {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)}.

Nhận xét: Bài toán có vai trò bình đẳng Bằng sự đánh giá giữa hai ẩn, tatìm được x = y là then chốt của bài ý tưởng này được sử dụng rộng trong cácbài chứa ẩn có vai trò như nhau

D -Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.

1- Kiến thức

Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng đa dạng vàphong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nét chính, những kiến thứckinh điển Trong mục này chúng ta xét thêm một số kỹ thuật khác mà tưởngchừng như đơn giản song đôi khi lại gặp khó khăn Một số chú ý là:

- Điều kiện của bài toán

- Tính chất của lũy thừa, 0  a  1, m > n > 0 => am  an  1

1  a; m < n => am  an

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

A +B  A + B  A - B ; A  -A

1 1

1 1

y x

Lời giải:

Điều kiện của bài toán 0  x, y

=> x + 1  1, y + 1  1 Vậy:

1 1

1 1

y x

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0 , y = 0

Vậy bài toán có nghiệm duy nhất x = y = 0

Nhận xét: Quả thật bài toán trên có lời giải bất ngờ và đơn giản, chỉ cần

sử dụng điều kiện của bài như một nhận xét là tìm được lời giải bài toán này

không khó, có thể giải theo cách khác nhưng dài và không đẹp Vì vậy trước khigiải hệ phương trình vô tỷ nên quan tâm đến điều kiện ẩn số

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

1

2006 2006

1 ( 2006 2006

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0

Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 và x = 1, y = 0

Nhận xét: bài toán này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0  a  1, m >

n > 0 =>am  an 1 chúng ta có thể mở rộng về số ẩn Dạng bài này có dùng đểtính giá trị biểu thức và vấn đề là tìm giá trị của ẩn, Cách thiết kế kiểu bài nàykhông khó

Ví dụ 3: Giải phương trình

3 2

1 2 2

Nhận xét: Thông thường học sinh dùng phương án phá dấu giá trị tuyệt

đối Nhưng cách giải bài này là sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đã cho lời giải đơn giản và ngắn gọn Nếu chúng ta tăng thêm các biểu thức

chứa dấu giá trị tuyệt đối thì được nhiều bài toán hay và khó

2.2 Kết quả thực hiện

Vận dụng phương pháp “Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương phápdùng bất đằng thức” đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng về giải phươngtrình, hệ phương trình Giúp cho học sinh nhìn nhận một dạng toán dưới lăngkính nhiều mặt với nhiều màu sắc khác nhau trong quá trình vận dụng linh hoạtcác kĩ thuật giải

- Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số có liên quanđồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hướng tìm tòi lờigiải trước một bài toán Từ đó giúp học sinh có thói quen giải toán theo mộttrình tự khoa học

- Xây dựng được một hệ thống phương pháp và kỹ năng Giúp cho học sinh

và giáo viên có một tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán học với việcbồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong nhà trường phổ thông hiện nay