Tài liệu Đại số và hình học giải tích docx

Công thức đại số của các phép toán trên vector.. bZp các lớp các số nguyên đồng dư theo một sốp là vành giao hoán với phép cộngvà nhân được định nghĩa: a Vành Z, +, · không là trường.. P

ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1-2

Giáo trình Đại học Đại cương Ngành Toán-Tin học

Tạ Lê Lợi

Đại Học Đàlạt

2005

-Đại số và Hình học giải tích 1-2

Tạ Lê Lợi

Mục lục

Phần I:

Chương 0 Kiến thức chuần bị

1 Các cấu trúc đại số cơ bản 1

2 Trường số phức 3

3 Đa thức 6

Chương I Không gian vector hình học 1 Vector hình học 15

2 Cơ sở Descartes - Tọa độ 17

3 Công thức đại số của các phép toán trên vector 19

4 Đường thẳng và mặt phẳng 22

Chương II Ma trận - Phương pháp khử Gauss 1 Ma trận 27

2 Các phép toán trên ma trận 28

3 Phương pháp khử Gauss 35

Chương III Không gian vector 1 Không gian vector - Không gian vector con 41

2 Cơ sở - Số chiều - Tọa độ 44

3 Tổng - Tích - Thương không gian vector 49

Chương IV Ánh xạ tuyến tính 1 Ánh xạ tuyến tính 53

2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận 58

3 Không gian đối ngẫu 62

Chương V Định thức 1 Định thức 65

2 Tính chất của định thức 67

3 Tính định thức 69

4 Một số ứng dụng của định thức 73

Phần II:

Chương VI Chéo hóa

1 Chuyển cơ sở 81

2 Vector riêng - Gía trị riêng 84

3 Dạng đường chéo - Chéo hóa 85

Chương VII Không gian vector Euclid 1 Không gian vector Euclid 91

2 Một số ứng dụng 98

3 Toán tử trực giao - Ma trận trực giao 102

4 Toán tử đối xứng - Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 109

Chương VIII Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 1 Dạng song tuyến tính 113

2 Dạng toàn phương 114

3 Dạng chính tắc 115

Chương IX Áp dụng vào hình học 1 Cấu trúc affin chính tắc của một không gian vector 125

2 Một số ánh xạ affin thông dụng 128

3 Đường, mặt bậc 2 133

Bài tập 139

0 Kiến thức chuẩn bị

Chương này nêu định nghĩa về các cấu trúc đại số cơ bản là nhóm, vành và trường.Phần tiếp theo là một số kiến thức tối thiểu về số phức và đa thức

1 Các cấu trúc đại số cơ bản

1.1 Định nghĩa Cho A là môt tập hợp Một phép toán hai ngôi trên A là mộtánh xạ:

: A × A → A

Khi đó ảnh của cặp (x, y) ∈ A × A bởi ánh xạ
sẽ được ký hiệu là x
y

• Phép toán
gọi là cótính kết hợp nếuu1 (x
y)
z = x
(y
z), ∀x, y, z ∈ A

• Phép toán
gọi là cótính giao hoán nếuu x
y = y
x, ∀x, y ∈ A

• Phần tửe ∈ A, gọi là phần tử đơn vị, nếuu x
e = e
x = x, ∀x ∈ A

Khi
viết theo lối cộng+ thì phần tử đơn vị gọi làphần tử không và ký hiệu là 0.Khi
viết theo lối nhân ·thì phần tử ø ký hiệu là 1

• Giả sử phép toán
có phần tử đơn vị e Khi đó x ∈ Agọi là khả nghịch nếuu tồntạix
∈ Asao cho: x
x
= x

x = e Khi đó x
phần tửnghịch đảo của x

Khi
viết theo lối cộng, thì phần tử nghịch đảo của x gọi làphần tử đối và ký hiệulà −x Khi
viết theo lối nhân, thì phần tử nghịch đảo của x ký hiệu làx −1 hay 1

x.Nhận xét Phần tử đơn vị nếu có là duy nhất:

Nếu e1, e2 là hai phần tử đơn vị, thì e1 = e1
e2 = e2

Nhận xét Nếu
có tính kết hợp, thì phần tử nghịch đảo của xnếu có là duy nhất:Nếux
, x

là hai phần tử nghịch đảo củax, thìx
= x

e = x

(x
x

) = (x

x)
x

=

e
x

= x

Bài tập: Hãy xét các phép toán cộng và nhân trên A := N, Z, Q, R có tính chấtgì? Có phần tử đơn vị? Có phần tử nghịch đảo?

1.2 Nhóm Mộtnhóm là một cặp(G,
), trong đóGlà một tập hợp không rỗng, còn

là một phép toán hai ngôi trên G, thoả các điều kiện sau:

(G1)
có tính kết hợp

(G2)
có phần tử đơn vị

(G3) Mọi phần tử của Gđều có phần tử nghịch đảo

Nhóm Gđược gọi là nhóm giao hoán haynhóm Abel nếu:

(G4)
có tính giao hoán

Người ta thường nói nhómGthay vì(G,
)khi đã ngầm hiểu phép toán nào Qui ướcnày cũng dùng cho khái niệm vành, trường tiếp sau

1 Trong giáo trình này: nếuu = nếu và chỉ nếu.

Ví dụ

a) Tập N với phép cộng không là nhóm vì không chứa phần tử đối Tập Z, Q, R lànhóm giao hoán với phép cộng, nhưng không là nhóm với phép nhân vì 0 không cóphần tử nghịch đảo

b) Tập các song ánh từ một tập X lên chính X là một nhóm với phép hợp ánh xạ.Nói chung nhóm này không giao hoán

1.3 Vành Một vành là một bộ ba(R, +, ·), trong đóR là một tập không rỗng, còn

+và ·là các phép toán trênR, thoả các điều kiện sau:

(R1)(R, +) là một nhóm giao hoán

(R2) Phép nhân ·có tính kết hợp

(R3) Phép nhân có tính phân phối về hai phía đối với phép cộng:

x(y + z) = xy + xz và (y + z)x = yx + zx ∀x, y, z ∈ R

Nếu phép nhân có tính giao hoán thì R gọi làvành giao hoán

Ví dụ

a)Z, Q, R với phép cộng và nhân là các vành giao hoán

b)Zp các lớp các số nguyên đồng dư theo một sốp là vành giao hoán với phép cộngvà nhân được định nghĩa:

a) Vành (Z, +, ·) không là trường (Q, +, ·), (R, +·)là các trường

b) Nếu p là số nguyên tố, thì Zp là một trường Hơn nữa, Zp là tập hữu hạn và vớimọi[n] ∈ Z p, [n] + · · · + [n]
 

p lần

= [0]

Đặc số của một trường K, ký hiệu char(K), là số tự nhiên dương bé nhất sao

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 3

cho 1 +
· · · + 1 

n lần

= 0 Nếu không có số tự nhiên như vậy, thì K gọi là có đặc số0

Ví dụ Q, Rcó đặc số 0, còn Zp có đặc sốp Ta có 1 + 1 = 0 trong Z2 !

2 Trường số phức

Trên trường số thực, khi xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 trường hợp

b2− 4ac < 0phương trình vô nghiệm vì ta không thể lấy căn bậc hai số âm Để cácphương trình như vậy có nghiệm, ta cần thêm vào tập các số thực các căn bậc haicủa số âm Phần này ta sẽ xây dựng tập các số phức C là mở rộng tập số thực R,trên đó định nghĩa các phép toán cộng và nhân để Clà một trường Hơn nữa, mọiphương trình bậc hai, chẳng hạn x2+ 1 = 0, đều có nghiệm trongC

2.1 Định nghĩa Ta dùng ký hiệu i, gọi là cơ số ảo, để chỉ nghiệm phương trình

x2+ 1 = 0, i.e i2 =−1 Tập số phức là tập dạng:

C = {z : z = a + ib, vớia, b ∈ R}

z = a + ib gọi là số phức, a = Rezgọi là phần thực, b = Imz gọi là phần ảo

z1 = z2 nếuu Rez1 = Rez2, Imz1 = Imz2

Ta xem Rlà tập con của Ckhi đồng nhất R = {z ∈ C : Imz = 0}

Từ “số ảo” sinh ra từ việc người ta không hiểu chúng khi mới phát hiện ra số phức.Thực ra số phức rất “thực” như số thực vậy

Ví dụ

a) Số phứcz = −6 + i √

2có phần thực Rez = −6, phần ảo Imz = √

2.b) Để giải phương trìnhz2+ 2z + 4 = 0, ta biến đổi z2+ 2z + 4 = (z + 1)2+ 3.Vậy phương trình tương đương (z + 1)2=−3 Suy ra nghiệm z = −1 ± i √

3.Sau đây là định nghĩa các phép toán vừa thực hiện

2.2 Các phép toán Trên Ccó hai phép toán được định nghĩa như sau:

Phép cộng (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

Phép nhân (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)

Nhận xét Phép nhân được tính như nhân các số thông thường với chú ý là i2=−1

Mệnh đề Với các phép toán trênClà trường số.

Mệnh đề trên dễ suy từ định nghĩa với chú ý là:

Phép cộng có phần tử không là0 = 0 + i0, phần tử đối củaz = a+iblà−z = −a−ib.Phép nhân có phần tử đơn vị là 1 = 1 + i0, nghịch đảo của z = a + ib = 0 là

Dạng đại số z = a + ib, a, b ∈ R, i2=−1.

Dạng hình học z = (a, b), a, b ∈ R.

Trong mặt phẳng đưa vào hệ tọa trục Descartes với 1 = (1, 0), i = (0, 1) là 2 vector

cơ sở Khi đó mỗi số phức z = a + ib được biểu diễn bởi vector (a, b), còn Cđượcđồng nhất với R2 Trong phép biểu diễn này phép cộng số phức được biểu thị bởiphép cộng vector hình học

Dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Biểu diễn số phức z = (a, b)trong tọa độ cực (r, ϕ), trong đó r là độ dài củaz, ϕlàgóc định hướng tạo bởi 1 = (1, 0) vàz trong mặt phẳng phức Ta có:



a = r cos ϕ

b = r sin ϕ và  r = |z| = √ a2+ b2, gọi làmodul của z

ϕ = Arg z, gọi làargumentcủa z

Vậy nếu z = 0, thì cos ϕ = √ a

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 5gọi làgiá trị chính và ký hiệu là argz Vậy có thể viết

3 và Rez > 0) Vậy √3− i = 2(cos(− π3) + i sin(− π3)).

Mỗi cách biểu diễn số phức có thuận tiện riêng Sau đây là một số ứng dụng

2.4 Mệnh đề |z1z2| = |z1||z2| và Arg(z1z2) = Argz1+ Argz2

Suy ra công thức de Moivre

(r(cos ϕ + i sin ϕ)) n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ N

Chứng minh: Nếu z1 = r1(cos ϕ1+ i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2+ i sin ϕ2 ), thì

z1z2 = r1r2(cos ϕ1cos ϕ2− sin ϕ1sin ϕ2) + i(sin ϕ1cos ϕ2+ cos ϕ1sin ϕ2)

= r1r2(cos(ϕ1+ ϕ2) + i sin(ϕ1+ ϕ2 ))

Suy ra |z1z2| = r1r2 =|z1||z2|, và Arg(z1z2) = ϕ1+ ϕ2+ 2kπ = Argz1 + Argz2

Nhận xét Về mặt hình học phép nhân số phức r(cos ϕ + i sin ϕ) với số phức z

là phép co dãn vectorz tỉ số r và quay gócϕ (xem hình vẽ)

2.5 Căn bậc n của số phức Cho z ∈ C và n ∈ N Một căn bậc n của z làmột số phứcw thoả phương trình w n = z

Để giải phương trình trên, biểu diễn z = r(cos ϕ + i sin ϕ) vàw = ρ(cos θ + i sin θ).Từ công thức de Moivre ρ n (cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Khiz = 0, ký hiệu √ n

z là tập ncăn bậc ncủa z √0 = 0.Về mặt hình học chúng là các đỉnh của một đa giác đều ncạnh, nội tiếp đường tròntâm 0bán kính √ n

r

trong đó n ∈ N, và a k ∈ K, k = 0, · · · , n, gọi là hệ số bậckcủa P (X).

Hai đa thức gọi là bằng nhau nếuu mọi hệ số cùng bậc của chúng bằng nhau.Nếu a n = 0, thì ngọi làbậc của P (X) và ký hiệun = deg P (X), a n=lcP (X).Nếu a k= 0 với mọik, thì P (X) gọi là đa thức không và qui ước deg(0) =−∞

Ta thường viết dưới dạng tổng: P (X) =

Ký hiệuK[X] là tập mọi đa thức trênK

3.2 Các phép toán trên đa thức Trên K[X] có hai phép toán cộng và nhân địnhnghĩa như sau:

Mệnh đề K[X]là với hai phép toán trên là một vành giao hoán.

Bài tập: Chứng minh mệnh đề trên

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 7Nhận xét deg P (X)Q(X) = deg P (X) + deg Q(X), với mọiP (X), Q(X) ∈ K[X].

3.3 Phép chia Euclid Cho hai đa thức P0(X), P1(X) ∈ K[X], P1(X) = 0.

Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức Q(X), R(X) ∈ K[X], sao cho

Output:Q, R ∈ K[X], thoả P0 = QP1+ R, deg R < deg P1

Trước hết cho R0= P0, Q0 = 0

Giả sử ở vòng lặp thứ k ta cóQ k , R k ∈ K[X], thoảP0= Q k P1+ R k

Nếu n k = deg R k − deg P1< 0, thì đã chia xong Q = Q k , R = R k

Nếu n k = deg R k − deg P1> 0, thì khử hệ số bậc cao nhất của R k bằng cách:

Ví dụ Thuật toán chia Euclid X4− 2X3− 6X2+ 12X + 15 choX3+ X2− 4X − 4

có thể thực hiện theo sơ đồ

R0 = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 | X3+ X2− 4X − 4

Vậy X4− 2X3− 6X2+ 12X + 15 = (X3+ X2− 4X − 4)(X − 3) + X2+ 4X + 3

Bài tập: Thực hiện phép chia P (X) = a0+ a1X + · · · + a n X ncho X − c

3.4 Ước chung lớn nhất Đa thức P (X) ∈ K[X] gọi là chia hết cho đa thức

D(X) ∈ K[X] nếuu tồn tại đa thức A(X) ∈ K[X], sao cho P (X) = A(X)D(X).Khi đóD(X)gọi là mộtước củaP (X) và ký hiệuD(X)|P (X)

Ước chung lớn nhất của các đa thức P0(X), P1(X) ∈ K[X], là một đa thứcD(X) ∈ K[X], thoả điều kiện:

D(X)|P0(X), D(X)|P1(X) và nếu C(X)|P0(X), C(X)|P1(X) thìC(X)|D(X)

Khi đó ký hiệu D(X) =GCD(P0(X), P1(X))

Nhận xét Ước chung lớn nhất được xác định sai khác một hằng số tỉ lệ

Nhận xét Nếu P0 = QP1+ R, thì GCD(P0, P1) =GCD(P1, R), vì ước chung của

P0, P1 là ước chung của P1, R

Ngoài ra GCD(R, 0) = R, nên ước chung lớn nhất được xây dựng từ dãy phần dư của

thuật chia Euclid, như sau:

Thuật toán tìm GCD

Input: P0, P1∈ K[X],P0, P1= 0

Output: GCD(P0, P1) vàU, V ∈ K[X], thoảU P0+ V P1 =GCD(P0, P1)

Xây dựng dãy đa thức khác không(P0, P1, P2, · · · , P m), vớiP k là phần dư của phép

chia P k−2 choP k−1:

P k−2 = Q k−1 P k−1 + P k (k = 2, · · · , m − 1)

P m−2 = Q m−1 P m−1 + P m

P m−1 = Q m P m

Theo nhận xét trên ta có GCD(P0, P1 ) =GCD(P m , 0) = P m

Thuật toán còn cho các dãy đa thức (U0, · · · , U m)và (V0, · · · , V m), thoả

Khi U = U m , V = V m ta cóU P0+ V P1= P m =GCD(P0, P1 ) Vậy ta có:

Đẳng thức Bézout ChoP0(X), P1(X) ∈ K[X] Khi đó tồn tại U (X), V (X) ∈ K[X]

sao cho

GCD(P0(X), P1(X)) = U (X)P0(X) + V (X)P2(X)

Ví dụ Với P0(X) = X4− 2X3− 6X2+ 12X + 15 vàP1(X) = X3+ X2− 4X − 4,

các bước của thuật toán trên được thể hiện qua bảng sau

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 9Vậy GCD(P0, P1) = 5X + 5 và (−X + 3)P + 0 + (X2− 6X + 10)P1= 5X + 5.

3.5 Nghiệm - Bội Cho đa thức P (X) = a0+ a1X + · · · + a n X n ∈ K[X]

Giá trị của P (X) tạic ∈ K định nghĩa là P (c) = a0+ a1c + · · · + a n c n

Nhận xét Để dùng ít phép toán khi tính P (c), ta cóqui tắc Horner sau

P (c) = (· · · ((a n c + a n−1 )c + a n−1 )c + · · · + a1)c + a0

Nếu P (c) = 0, thì c gọi là một nghiệm của P (X)

Định lý Bézout c ∈ K là nghiệm của đa thức P (X) khi và chỉ khi tồn tại đa thức Q(X) ∈ K[X], sao choP (X) = (X − c)Q(X)

Chứng minh: Theo phép chia Euclid P (X) = (X − c)Q(X) + r, vớir ∈ K

Suy ra P (c) = r Vậy P (c) = 0khi và chỉ khi r = 0hayP (X) = (X − c)Q(X)

Nhận xét Theo định lý trên, số nghiệm của một đa thức bậc nlà không quá n.Phần tử c ∈ K gọi là nghiệm bội m của P (X) nếuu P (X) = (X − c) m P1(X),với P1(X) ∈ K[X] và P1(c) = 0, i.e P (X) chia hết cho (X − c) m, nhưng khôngchia hết cho (X − c) m+1

3.6 Đa thức trên trường phức Ta công nhận định lý sau

Định lý cơ bản của đại số Mọi đa thức bậc> 0trên trường phức đều có nghiệm phức.

Mệnh đề Mọi đa thức phức P (X) ∈ C[X], bậc n đều có n nghiệm phức kể cả bội, i.e tồn tại các số phức c1, · · · , c s ∈ C, khác nhau, sao cho

P (X) = a n (X − c1)m1· · · (X − c s)m s

trong đó a nlà hệ số bậc ncủa P (X), m1 +· · · + m s = n

Chứng minh: Theo định lý trên, nếu n > 0, P (X) có nghiệm c1 ∈ C Theo định lýBézout P (X) = (X − c1)P1(X) Nếu deg P1 = n − 1 > 0, thì lặp lý luận trên cho

P := P1 Khi đến bậc 0, ta có P (X) = (X − c1)· · · (X − c n )A, với A là số Đồngnhất hệ số bậc cao nhất của đa thức 2 vế, ta có a n = A

3.7 Đa thức trên trường thực

Mệnh đề Cho đa thức thựcP (X) ∈ R[X] Khi đó

(i) Nếuc ∈ Clà nghiệm củaP (X), thì số phức liên hợp ¯ccũng là nghiệm củaP (X).

(ii) Nếun = deg P (X), thìP (X) có phân tích thành thừa số bậc 1 hay bậc 2 như sau

P (X) = a n (X − c1)m1· · · (X − c r)m r (X2+ p1X + q1)n1· · · (X2+ p s X + q s)n s

trong đó a nlà hệ số bậc ncủaP (X),c j (j = 1, · · · r) là các nghiệm thực của P (X),

X2+ p k X + q k (k = 1, · · · , s)là các tam thức bậc hai không có nghiệm thực.

(iii) Theo (ii) nếu deg P (X) = nlẻ, thìP (X)phải có một thừa số(X − c), vớic ∈ R,

3.8 Tìm nghiệm đa thức bằng phép khai căn Phần này đề cập đến việc giảitìm nghiệm đa thức phức

Tịnh tiến để khử số hạng bậc 1: X = x+ b

2a, phương trình có dạngX2− b2− 4ac

Tịnh tiến để khử số hạng bậc 2: X = x + b

3a, phương trình có dạng X2+ pX + q = 0

Việc giải phương trình X2+ pX + q = 0, như sau:

Đặt X = u + v, phương trình có dạngu3+ v3+ (3uv + p)(u + v) + q = 0

Ta cần tìm u, v thỏa hệ phương trình:

3

27 = 0 Giải tìm nghiệm U0, V0.Giải u3 = U0, ta có 3 nghiệm u0, ju0, j2u0, vớij = cos( 2π

3 ) + i sin( 2π

3 ).Giải v3 = V0, tìm nghiệmv0 thoả phương trình thứ hai của hệ u0v0 =− p

3.Vậy có 3 nghiệm của hệ là (u0, v0), (ju0, j2v0), (j2u0, jv0)

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 11Vậy 3 nghiệm cần tìm: X1 = u0+ v0, X2 = ju0+ j2v0, X3 = j2u0+ jv0

Các tính toán trên được tổng kết bằng công thức Cardano:

x = − b

3a +

3



Chia cho a, rồi tịnh tiến để khử số hạng bậc 3, đặt X = x + b

4a, đưa về giải phươngtrình:

Từ đóα2 là nghiệm phương trình bậc 3: α2(p + α2) 2− 4rα2− q = 0

Giải ta có α, β, γ Thay vào phương trình tích, rồi giải phương trình bậc 2 ta có cácnghiệmX1, X2, X3, X4

Bài tập: Giải phương trình: x4+ 2x3+ 5x2+ 6x + 9 = 0

Phương trình bậc≥ 5 Abel (1802-1829) đã chứng minh không thể giải một phươngtrình đa thức bậc ≥ 5tổng quát, theo nghĩa không thể biểu diễn nghiệm như là biểuthức gồm các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, chia) và căn số (bậc 2, 3, · · ·) củacác hệ số của đa thức Sau đó Galois (1811-1832) dùng lý thuyết nhóm đã tìm đượctiêu chuẩn để một phương trình bậc ≥ 5cụ thể có giải được bằng căn thức không Vídụ phương trình x5− x − 1 = 0không giải được bằng căn thức

Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình hệ số nguyên Cho một đa thức có hệ số nguyên

P (X) = a0+ a1X + · · · + a n X n a k ∈ Z, k = 0, · · · , n, a n = 0

Khi đó nếu một số hữu tỉ p

q, với gcd(p, q) = 1, là nghiệm của P (X), thì p là ước số của a0 và q là ước số củaa n.

Do gcd(p, q) = 1, từ đẳng thức trên dễ suy ta plà ước số của a0, q là ước của a n

Bài tập: Tìm các nghiệm hữu tỉ của phương trình: 3x4+ 5x3+ x2+ 5x − 2 = 0

3.9 Phân thức Một phân thức trên K là một biểu thức dạng

P (X) Q(X) , trong đó P (X), Q(X) ∈ K[X], Q(X) = 0

Hai phân thức bằng nhau: P (X)

Q(X) =

P1(X)

Q1(X) ⇔ P (X)Q1(X) = P1(X)Q(X)

Định lý ChoP (X), Q(X) ∈ K[X] Giả sử Q(X) = Q1(X) k1 · · · Q s (X) k s,

với Q1(X), · · · , Q s (X) ∈ K[X] thoả điều kiện GCD(Q i (X), Q j (X)) = 1, nếui = j Khi đó tồn tại duy nhất các đa thứcA(X), P ij (X) ∈ K[X], i = 1, · · · , s, j = 1, · · · , k i, sao cho deg P ij (X) < deg Q i (X)và

P (X) Q(X) = A(X) +

D2, với deg V1 < deg D1, deg V2 < deg D2

Trường hợp tổng quát, trước hết chia Euclid P cho Q ta có thương làA Sau đó ápdụng biểu diễn trên cho D1 = Q k11, D2 = Q k22· · · Q k s

s Tiếp tục áp dụng biểu diễntrên cho Q = Q k2

, với deg P ij < deg Q i

Tính duy nhất: Giả sử có các đa thức khác A
, P ij
∈ K[X], sao cho

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị 13Suy ra A = A
do tính duy nhất của phép chia Euclid.

Trừ hai biểu diễn ta có s

1,k1 = 0 Nhân(∗)vớiQ, suy ra

1,k1 )≤ max(deg P 1k1, deg P 1k
1)≤ deg Q1.Vậy phải có P 1k1 − P

1,k1 = 0.Tương tự lập luận trên, ta có P ij = P ij
, ∀ij

Hệ quả 1 Mọi phân thức trên trường phức đều có phân tích duy nhất dưới dạng

P (X) Q(X) = A(X) +

I Không gian vector hình học

Chương này vector được trình bày dựa vào trực quan, với mục đích tạo mô hình hìnhhọc giúp cho việc tư duy trừu tượng và khái quát hóa ở các chương sau Để có thểlàm việc cụ thể hơn trên các vector, nguời ta đại số hoá không gian hình học bằngcách đưa vào hệ cở sở Descartes1 Khi đó các phép toán trên vector sẽ có công thứctính thuận lợi, còn các đối tượng hình học như đường, mặt cong sẽ được mô tả bởicác phương trình giúp cho việc nghiên cứu hình học dễ dàng và cụ thể hơn

1 Vector hình học

Trong nhiều vấn đề toán học cũng như vật lý ngoài các đại lượng vô hướng, còncó nhiều đại lượng có hướng chúng được đặc trưng bởi độ lớn và hướng, chẳng hạnlực, vận tốc, Các đại lượng này được mô hình hoá thành các vector

1.1 Định nghĩa Trong không gian Euclid E3 một vector được mô tả như là mộtđoạn thẳng được định hướng AB

Ký hiệu: AB=
v −→ , hay đơn giản chỉ làv

A gọi điểm gốc, B gọi là điểmngọn

Đường thẳngAB gọi làphương, hướng từA đếnB

Độ dài đoạn AB, ký hiệu là
AB
−→

Vector không, ký hiệu là→ O hayO, là vector có gốc trùng với ngọn

Vector đối của AB −→ được ký hiệu và định nghĩa − AB= −→ BA −→

Nhận xét Phân biệt định nghĩa trên với khái niệm vector buộckhi ta xem hai vectorcó gốc khác nhau là khác nhau

1 René Descartes (1596-1650) và Pierre Fermat (1601-1665) được xem là các cha đẻ của Hình học giải tích

1.2 Cộng vector: →

u + → v, của hai vector →

u, → v, là vector xác định bởi qui tắchình bình hành hay qui tắc hình tam giác sau:

1.3 Nhân vector với số: αv, của vector →

v và sốα, là vector:

Có độ dài là|α|
→ v

Cùng hướng với →

v nếuα > 0, ngược hướng với →

1→

v

Chương I Không gian vector hình học 17

2 Cơ sở Descartes - Tọa độ

Để có thể làm việc cụ thể hơn trên các vector, người ta đại số hóa như sau

2.1 Hệ cơ sở Descartes Descartes đã đại số hoá mặt phẳng E2 hay không gianEuclid E3 bằng cách đưa vào hệ tọa trục, mà chúng ta đã quen biết với cái tên gọi

hệ cơ sở Descartes, là bộ bốn (O; e →1, e →2, e →3 ):

Điểm O gọi làgốc của hệ

Các đường thẳng có vector chỉ phương e1, e2, e3 thường được gọi tên là các trục

Ox, Oy, Oz tương ứng Hệ cở sở trong mặt phẳng E2 được định nghĩa tương tự nhưtrong E3 Hơn nữa, ta sẽ đồng nhất E2 với mặt phẳng Oxy trong E3, nên tiếp sauđây các khái niệm sẽ chỉ được trình bày trong không gian

2.2 Tọa độ Khi cố định một hệ cơ sở Descartes (O; e →1, e →2, e →3 ), ta có:

• Mỗi điểm M ∈ E3 tương ứng duy nhất một bộ ba số (x, y, z), gọi là tọa độ điểm

M, xác định qua các vector cơ sở nhờ phép chiếu vuông góc:

2.3 Mô tả đối tượng hình học bằng phương trình hay phương trình tham số

Xét các đối tượng hình học (đường, mặt, khối,· · ·) trong mặt phẳng E2 hay không

gian E3:

X = {M : M thoả điều kiện(P )}

Cố định một cơ sở Descartes Khi đó các điểmM thay đổi và thoả điều kiện(P ), thìtương ứng các tọa độ (x, y, z)củaM cũng thay đổi và thỏa điều kiện(F )nào đó.Cụ thể hơn, ta thường gặp các trường hợp sau:

• Điều kiện hình học có thể mô tả bởi phương trình:

M thoả(P ) ⇔ (x, y, z)thỏa phương trìnhF (x, y, z) = 0

trong đó F : D → R, là một hàm số xác định trên D ⊂ R3

Khi đó ta nói X được cho bởi phương trìnhF (x, y, z) = 0

Ví dụ

a) Trong mặt phẳng, đường tròn tâm A = (a, b)bán kínhR > 0là tập định nghĩa

C = {M ∈ E2:khoảng các từ M đến Abằng R}

C được cho bởi phương trình: F (x, y) = (x − a)2+ (y − b)2− R2 = 0

b) Tương tự,ï trong không gian mặt cầu tâm A = (a, b, c), bán kính R > 0 được chobởi phương trình

{M : M thoả điều kiện (P i)}

Khi đó ta nói X được cho bởi hệ phương trình: F1(x, y, z) = 0, · · · , F k (x, y, z) = 0

Ví dụ Hệ phương trình: (x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2= R2, z = 0,

mô tả giao của mặt cầu và mặt phẳng, vậy là đường tròn trên mặt phẳng Oxy

• Điều kiện hình học có thể mô tả bởi phương trình tham số:

Khi tập đang xét là đường congC (chẳng hạn qũy đạo của một điểm), nó thường cònđược mô tả bởi

M ∈ C ⇔ (x = f (t), y = g(t), z = h(t)), t ∈ I

trong đó f, g, h : I → Rlà các hàm xác định trên I ⊂ R

Khi đó ta nói đường cong C được cho bởi phương trình tham số

Chương I Không gian vector hình học 19Tương tự, mặt cong S thường còn được mô tả bởi

M ∈ S ⇔ (x = f (s, t), y = g(s, t), z = h(s, t)), (s, t) ∈ D

trong đó f, g, h : D → R là các hàm xác định trênD ⊂ R2

Ta nói mặt S được cho bởi phương trình tham số

(ttrong trường hợp này là độ lớn của góc quay)

b) Mặt cầu tâm A = (a, b, c), bán kính R, có thể cho bởi phương trình tham số trongkhông gian: 

(s, ttrong trường hợp này có thể xem là vĩ độ và kinh độ trên mặt cầu)

Ngoài ra, còn nhiều trường hợp điều kiện hình học có thể mô tả bởi hệ phươngtrình và bất phương trình mà ta không xét ở đây

3 Công thức đại số của các phép toán trên vector

Trong E3 cố định hệ cơ sở Descartes (O; e →1, e →2, e →3)

Cho ba vector→

u= (u1, u2, u3), → v = (v1, v2, v3), → w= (w1, w2, w3 )

3.1 Công thức cộng vector →

u + → v = (u1+ v1, u2+ v2, u3+ v3)

3.2 Công thức nhân vector với số α → v = (αv1, αv2, αv3).

3.3 Công thức tính độ dài
→ v
=v21+ v22+ v23 (công thức Pythagore)

3.4 Công thức tính khoảng cách Cho các điểmA(a1, a2, a3)vàB(b1, b2, b3) Khoảngcách giữa chúng là độ dài vector AB= −→ OB − −→ OA= (b −→ 1− a1, b2− a2, b3− a3 ) Vậy

3.5 Tích vô hướng: < → u, → v >= → u → v, của hai vector →

u, → v, là một số được địnhnghĩa:

So sánh vế phải của các đẳng thức trên, ta có công thức cần tìm

Tính chất Với mọi vector → u, → v , → wvà các số α, β, ta có

u × → v vuông góc với mặt phẳng (→

Để định nghĩa được chặt chẽ ta qui ước →

u × → v là vector → O trong trường hợp mộttrong hai vector bằng → O, hay hai vector song song

Ví dụ →

e1× e →1=→

O, e →1 × e →2=→

e3, e →1 × e →3=− e →2.Công thức qua tọa độ:

Chương I Không gian vector hình học 21

Giải hệ phương trình, kết hợp với điều kiện (→

u, → v , → u × → v ) là tam diện thuận, ta có

3.7 Tích hỗn hợp: của ba vector →

u, → v , → w được định nghĩa là số

u, → v , → w đồng phẳng khi và chỉ khi (→

u, → v , → w) = 0

4 Đường thẳng và mặt phẳng

Trong E3 cố định một hệ cơ sở Descartes Sau đây là vài áp dụng của phươngpháp tọa độ

4.1 Phương trình đường thẳng Đường thẳng qua M0 = (x0, y0, z0 ) có vector chỉphương →

v = (a, b, c) = O được định nghĩa là tập

Vậy M = (x, y, z) ∈ ∆ nếu và chỉ nếu M −→0M = t → v , t ∈ R

Từ đó ta có phương trình tham sốcủa ∆:

4.2 Phương trình mặt phẳng Cho M0 = (x0, y0, z0 ) và hai vector không song song

Chương I Không gian vector hình học 23

Từ đó ta cóphương trình tham số củaP:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

trong đó vector pháp →

n= → u × → v = (A, B, C) = O là vuông góc vớiP

4.3 Một số bài toán Dựa vào tọa độ và phương trình có thể đưa các bài toánhình học về bài toán đại số:

Bài toán 1: Xét vị trí của 2 mặt phẳng P1, P2

Số giao điểm chính là số nghiệm của hệ phương trình xác định bởi 2 mặt phẳng:

Bài toán 2: Xét vị trí đường thẳng ∆với mặt phẳng P

Tương tự bài toán trên xét hệ phương trình xác định bởi đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán 3: Tính góc giữa các mặt phẳng / đường thẳng

Với ký hiệu ở trên ta có

cos(P1, P2 ) =| cos( n →1, n →2 )| =  |A1A2+ B1B2+ C1C2|

A21+ B12+ C12



A22+ B22+ C22sin(∆, P ) = | cos( → v , → n)| = √ |Aa + Bb + Cc|

A2+ B2+ C2√

a2+ b2+ c2

Bài toán 4: Tính khoảng cách từ điểm M0 = (x0, y0, z0) đến mặt phẳng

P : Ax + By + Cz + D = 0

GọiH = (x, y, z) là hình chiếu của M0 lên P, ta có: M −→0H
→ n và H ∈ P.

Tương đương với: M −→0H= t → n và Ax + By + Cz + D = 0

Thay tọa độH vào phương trình trên: A(x0+ tA) + B(y0+ tB) + C(z0+ tC) + D = 0.Suy ra t = Ax0+ By0+ Cz0+ D

Dựa vào hình học, rồi dùng các phép toán trên vector, ta có:

d(M, ∆) = chiều cao hình bình hành tạo bởi M −→0M , → v

= diện tích hình bình hành tạo bởi M −→0M , → v

→ v

=
M −→0M × → v

→ v

Chương I Không gian vector hình học 25

Bài toán 6: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ∆ 1, ∆2

Giả sử ∆ 1 quaM1 = (x1, y1, z1) và có vector chỉ phương →

Dựa vào hình học, rồi dùng các phép toán trên vector, ta có:

d(∆1, ∆2) = chiều cao hộp bình hành tạo bởi →






v →1
2x − < v →1, v →2> y = < M −→1M2, v →1>

< v →1, v →2> x −
v →2
2y = < M −→1M2, v →2>

Giải hệ phương trình, ta có x, y, suy ra A1, A2 Vậy xác định đượcD

Nhận xét Khi∆ 1
∆2 ⇔ v →1
v →2 ⇔
v →1 × v →2
=
v →1
2
v →2
2− < v →1, v →2>2 = 0:hệ phương trình trên duy nhất nghiệm, i.e có duy nhất một đường vuông góc chung.Một cách làm khác để tìmD, dựa nhiều vào hình học hơn: gọi →

Thay tọa độ M = (x, y, z)và các tọa độ của các yếu tố trên vào các tích hỗn hợp, tacó hệ phương trình xác định đường vuông góc chung

II Ma trận - Phương pháp khử Gauss

Trong khoa học, kỹ thuật nhiều bài toán đưa về việc tìm nghiệm hệ phương trình tuyếntính Trong chương này sẽ đề cập đến phương pháp khử Gauss1 , là phương pháp đơngiản và hiệu qủa để giải hệ phương trình tuyến tính Phần đầu là khái niệm về matrận2 , nó là công cụ hữu hiệu và tự nhiên để thể hiện, lưu trữ dữ liệu Để sử lý các sốliệu người ta đưa vào các phép toán thực hiện trên ma trận Ngoài ra, ở chương nàycòn nêu ứng dụng của phép biến đổi sơ cấp trên ma trận để tính hạng, tìm ma trậnngược Các tính toán ở các chương sau dựa nhiều vào phương pháp tính ở chương này

1 Ma trận

1.1 Định nghĩa Một m × n ma trận hay ma trận cấp m × n trên trường số K

(K = RhayC) là một bảng các số thuộc K được sắp xếp như sau

trong đó a ij ∈ K gọi làphần tử dòngicộtj của A

Hai ma trận gọi là bằng nhau nếuu chúng có cùng cấp và các phần tử cùng dòng,cùng cột bằng nhau

Ký hiệu M at K (m, n) là tập mọi m × nma trận trênK





Trong ma trận trên, phần tửa ij =số đường nốiV i vớiV j

1 Gọi là phương pháp khử Gauss vì Karl Friedrich Gauss (1777-1855) đề cập khi tính toán để xác định qũy đạo hành tinh Pallas Thực ra người Trung quốc đã biết phương pháp này từ lâu (khoảng 200 B.C)

2 Người Trung quốc đã sử dụng ma trận vào khoảng 2200 B.C, xem ví dụ về ô vuông kỳ ảo cấp 3

1.2 Các ma trận đặc biệt ChoA = (a ij)∈ Mat k (m, n).

Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử a ij = 0 Ký hiệu O m×n

Ma trận vuông cấp n là ma trận cấpn × n Ký hiệu M at K (n, n) = M at K (n)

Ma trận đường chéo là ma trận vuông và các phần tử không nằm trên đường chéođều bằng 0, i.e a ij = 0 nếui = j Ký hiệu diag(a11, a22, · · · , a nn)

Ma trận đơn vị cấp n là ma trận đường chéo cấpnmà các phần tử trên đường chéobằng1, i.e a ij = 0 nếu i = j và a ii= 1 Ký hiệu I n

Ma trận tam giác trên (t.ư dưới) là ma trận vuông mà mọi phần tử dưới (t.ư trên)đường chéo đều bằng 0, i.e a ij = 0 nếui > j (t.ư nếu i < j)

2 Các phép toán trên ma trận

2.1 Cộng ma trận Cho A = (a ij ), B = (b ij)∈ Mat K (m, n)

A + B = (a ij + b ij) ∈ Mat K (m, n)

Từ định nghĩa phép cộng ta có:

Tính chất Cho A, B, C ∈ M at K (m, n) Khi đó

(i) A + B = B + A

(ii) (A + B) + C = A + (B + C)

(iii) A + O = O + A = A , trong đó O ∈ M at K (m, n)là ma trận không.

2.2 Nhân một số với ma trận ChoA = (a ij)∈ Mat K (m, n) vàα ∈ K

αA = (αa ij) ∈ Mat K (m, n)

Chương II Ma trận - Phương pháp khử Gauss 29

Từ định nghĩa dễ kiểm chứng các tính chất sau:

Tính chất Cho A, B ∈ M at K (m, n)và α, β ∈ K Khi đó

(i) α(βA) = (αβ)A

(ii) (α + β)A = αA + βA

(iii) α(A + B) = αA + αB

Chú ý: Chỉ định nghĩa phép nhân AB khi số cột củaA = số dòng của B (= n)

Sơ đồ tính phần tử c ik

(iv) Nói chung AB = BA, i.e phép nhân ma trận không có tính giao hoán.

Chứng minh: Các tính chất (ii),(iii) dễ dàng suy từ định nghĩa Để chứng minh (i), gọi

A = (a ij ), B = (b jk ), C = (c kl) Ta cần so sánh A(BC) = (d il) và (AB)C = (d
il).Theo định nghĩa, ta có

2.4 Ma trận ngược Một ma trận vuông A ∈ M at K (n) gọi là khả nghịch nếuutồn tại X ∈ M at K (n)sao cho XA = AX = I n

Khi đó dễ thấy X là duy nhất, gọi là ma trận ngược của Avà ký hiệu là A −1.Vậy theo định nghĩa, ta có A −1 A = AA −1 = I n

Ký hiệuGl K (n)là tập mọi ma trận vuông cấpntrênK khả nghịch

Tính chất Cho A, B ∈ Gl K (n) Khi đóA −1 , B −1 , AB ∈ Gl K (n)và

(i) (A −1)−1 = A (ii) (AB) −1 = B −1 A −1

Chứng minh: Do AA −1 = A −1 A = I n, nên A −1 có ma trận ngược làA

Do (AB)(B −1 A −1 ) = A(BB −1 )A −1 = AIA −1 = AA −1 = I

Tương tự, (B −1 A −1 )AB = I Vậy ta có (ii)

ta giải phương trình AX = I2 với ẩn

X ∈ M at K(2) Suy ra ma trận ngược là A −1 =



2 −1

.b) Dễ tìm ví dụ ma trận không khả nghịch, chẳng hạn ma trận không, hay



1 1

2 2

Việc xác định một ma trận khả nghịch khi nào và tính ma trận ngược sẽ được đềcập sau

Chương II Ma trận - Phương pháp khử Gauss 31

2.5 Phép chuyển vị ma trận Cho A = (a ij) ∈ Mat K (m, n) Ma trận chuyển vị

của ma trận A đợc ký hiệu và định nghĩa như sau

t A = ( t a ji)∈ Mat K (n, m) , trong đó t a ji = a ij

i.e chuyển dòng của Athành cột của t A

Ví dụ Ma trận chuyển vị của ma trận



là

2.6 Lũy thừa ma trận Cho A là một ma trận vuông cấp n Với mỗi k ∈ N,định nghĩa

k

=



cos kϕ − sin kϕ sin kϕ cos kϕ



diag(λ1, λ2, · · · , λ n)k = diag(λ k1, λ k2, · · · , λ k n)

2.7 Biến đổi sơ cấp trên ma trận Các phép biến đổi trên ma trận sau đây được gọilà biến đổi sơ cấp:

Biến đổi 1- Chuyển vị hai dòng (cột)

Biến đổi 2- Nhân một dòng (cột) với một số khác không

Biến đổi 3- Cộng một dòng (cột) với bội của một dòng (cột) khác

Ký hiệu

D i ↔ D j Phép chyển vị dòng thứi và thứj.

αD i Phép nhân dòng thứivới số α.

D i + αD j Phép cộng dòng thứ ivớiα lần dòng thứ j.

C i ↔ C j Phép chyển vị cột thứivà thứ j.

αC i Phép nhân cột thứivới số α.

C i + αC j Phép cộng cột thứivới α lần cột thứ j.

ChoA, B ∈ M at K (m, n) Khi đóBgọi làtương đương sơ cấp vớiA., ký hiệuA → B,nếuu B nhận được từA qua hữu hạn biến đổi sơ cấp trên A

Nhận xét Cho A ∈ M at K (m, n), B ∈ M at K (n, p)

Ký hiệu a i là dòng thứ icủa A, b j là cột thứj củaB

Theo qui tắc nhân ma trận ta có

i.e dòng icủaAB = (dòng icủaA)B, và cộtj củaAB = A (cộtj của B)

Vậy biến đổi sơ cấp trên dòng AB = (biến đổi sơ cấp trên dòngA)B ,

và biến đổi sơ cấp trên cộtAB = A(biến đổi sơ cấp trên cột B)

Suy ra các biến đổi sơ cấp có thể biểu diễn qua phép nhân ma trận:

Mệnh đề Cho A ∈ M at K (m, n) Khi đó

(i) Nếu dlà biến đổi sơ cấp trên dòng củaA, thì d(A) = d(I m )A(nhân bên trái).

(ii) Nếuc là biến đổi sơ cấp trên cột của A, thì c(A) = Ac(I n) (nhân bên phải).

Ma trận sơ cấp là ma trận nhận từ biến đổi sơ cấp ma trận đơn vị

Bài tập: Hãy liệt kê mọi dạng của ma trận sơ cấp cấp 2: d(I2), c(I2 )

Chứng minh các ma trận sơ cấp là khả nghịch Tìm các ma trận ngược tương ứng

Chương II Ma trận - Phương pháp khử Gauss 33

2.8 Ma trận dạng bậc thang Cho A = (a ij) ∈ Mat K (m, n) Khi đó A gọi làcó dạng bậc thang nếuu

Việc chứng minh được thể hiện qua thuật toán sau:

Thuật toán Gauss

Input: A ∈ M at K (m, n)

Output: B ∈ M at k (m.n)dạng bậc thang và A → B

Thuật toán được tiến hành qui nạp (lặp) như sau:

Gỉa sử ở vòng lặp thứk − 1,k − 1 dòng đầu củaA có dạng bậc thang

Bây giờ chỉ thực hiện biến đổi trên các dòng i ≥ k

Trường hợp 1: Mọi phần tử mọi dòng i ≥ k bằng0 Khi đóA đã có dạng bậc thang

Trường hợp 2: Tìm phần tử có vị trí khác 0 gần phía trái nhất

j(k) = min{j : a ij = 0, i ≥ k}

Bước 1: Chuyển vị dòng,D i ↔ D k, để ở dòng kcó a kj(k) = 0

Bước 2: Khử các phần tử ở cột j(k) ở các dòngi > k bằng biến đổi:

D i − α i D k , vớiα i= a ij(k)

a kj(k)

Bước 3: Nếu k < m, tăngk lên1

Tiến hành lặp như trên, sau hữu hạn (≤ m) bước, ta có ma trậnB dạng bậc thang

Hạng của ma trận A là số nguyên r, ký hiệu r = rankA, nếuu có thể dùng cácphép biến đổi sơ cấp đưaA về dạng bậc thang vớir dòng khác không

Việc chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa vừa nêu: hai ma trận tương đương sơcấp là có cùng hạng (i.e rkhông phụ thuộc biến đổi sơ cấp) được chứng minh ở các

chương sau Ở đây chỉ nêu áp dụng của thuật toán trên để tính hạng

Sơ đồ tính hạng:

A −→ B (dạng bậc thang), rankA = số dòng khác không của B

Để kết thúc tiết này ta phát biểu định lý sau, việc chứng minh xem như bài tập

2.10 Định lý Cho A ∈ M at K (m, n) Khi đó rankA = r khi và chỉ khi tồn tại hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng và trên cột để A →

Bài tập: Thực hiện cụ thể hướng dẫn trên tìm P, Q cho ma trận ở ví dụ phần trên.Từ đó viết thuật toán cho định lý trên

Chương II Ma trận - Phương pháp khử Gauss 35

3 Phương pháp khử Gauss

3.1 Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn, trên trường

K, là biểu thức dạng

trong đó a ij , b j ∈ K, và x1, · · · , x nlà các ký hiệu gọi là các ẩn

Nếu b1 =· · · = b n= 0, thì hệ gọi là hệ phương trình thuần nhất

Bộ nsố (x1, · · · , x n)∈ K n, thỏa các phương trình trên gọi là nghiệm của hệ.Hệ phương trình gọi làtương thích nếuu nó có tập nghiệm khác trống

Bài toán

1- Khi nào hệ tương thích, i.e có nghiệm ?

2- Khi hệ có nghiệm thì duy nhất nghiệm hay bao nhiêu nghiệm ?

3- Giải hệ, i.e tìm tập nghiệm của hệ

3.2 Biểu diễn ma trận hệ phương trình tuyến tính Nếu ký hiệu

Nhận xét Phương pháp thế là phương pháp đơn giản nhất để giải hệ phương trìnhtuyến tính Giả sử hệ có hệ số a11= 0 Khi đó từ phương trình đầu

Biến đổi 1- Chuyển vị hai phương trình của hệ.

Biến đổi 2- Nhân một phương trình với một số khác không.

Biến đổi 3- Cộng một phương trình với bội một phương trình khác của hệ.

3 Xem chương Định thức để biết đánh giá số phép toán cần để thực hiện thuật toán Gauss

Việc chứng minh định lý trên được thể hiện qua phương pháp sau:

3.5 Phương pháp khử Gauss

Giải hệ Ax = b, trong đóA = (a ij)∈ Mat K (m, n), b ∈ K m

Sơ đồ của phương pháp:

Bước 1: Dùng thuật toán Gauss (A | b) → (A
| b
) (A
có dạng bậc thang)

Bước 2: Giải phương trình A
x = b
bằng phương pháp thế

Nhận xét Rất dễ giải hệ phương trình dạng bậc thang bằng phương pháp thế Chẳnghạn, để giải hệ phương trình sau:

Vậy hệ trên có vô số nghiệm, phụ thuộc 2tham số x3 vàx5

3.6 Biện luận Gỉa sử hệ Ax = b có dạng bậc thang, i.e

Trong đó mlà số phương trình, nlà số ẩn, và r chính là hạng của A

Trường hợp 1: r = m = n, hệ duy nhất nghiệm

Trường hợp 2: r = m < n, hệ có vô số nghiệm Các biếnx j(1) , · · · , x j(r) được giảitheon − r biến còn lại, gọi là cácbiến tự docòn số (n − r)gọi làbậc tự do

Trường hợp 3: r < m,

3a) b r+1=· · · = b m = 0, hệ có nghiệm (với bậc tự do làn − r)

3b) (b r+1 , · · · , b m)= (0, · · · , 0), hệ vô nghiệm

Chương II Ma trận - Phương pháp khử Gauss 37

Minh họa trường hợp 1:

Vậy hệ với cột đầu vô nghiệm vì có phư trình cuối 0 = 45.

Hệ với cột sau có phương trình cuối là thừa(0 = 0) Tiếp tục giải bằng phương phápthế từ phương trình cuối của hệ, ta có

Vậy hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số, i.e hệ có bậc tự do là 2

Nhận xét Có thể giải tiếp hệ phương trình dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấptrên ma trận Tương tự như phần cuối của thuật toán sau:

3.7 Phương pháp Gauss-Jordan tính ma trận ngược ChoA ∈ M at K (n)

Nhận xét Sự tồn tại vàviệc tìm ma trận ngược của Atương đương với việc giải đồngthờinhệ phương trìnhnẩn Cụ thể, gọiX i,i = 1, · · · , n, là nghiệm (nếu có) của hệphương trình:

Ouput: Acó khả nghịch? Nếu có xác định A −1

Bước 1: Dùng thuật toán Gauss trên (A | I)đưaA về dạng tam giác

-rankA < n, i.e một trong các phần tử đường chéo bằng0: Akhông khả nghịch

-rankA = n: chia dòngivớia ii để phần tử trên đường chéo là1

Bước 2: Khử các phần tử không nằm trên đường chéo bắt đầu từ dòng áp cuối

(i = n − 1, · · · , 1) bằng các biến đổi D i − α ik D k (k = n, · · · , i + 1), với α ik = a −1 ik

đưa hệ về dạng (I n | X)

Ma trận ngược là A −1 = X