Bài tập toán cao cấp tập 1, đại số và hình học giải tích

Đại số và Hình học giải tích, từ nay sẽ viết tắt là Thcc/1 - Quyến Bài tập Toán học cao c íp tập 1 này, viết tắt là BTThcc/1 là tiếp nối quyển Thcc/I, nhằm ưình bày phán bài giải và hướn

(Tái bắn lẩn t h ứ mười sáu)

NHÀ XUẤT BÀN GIÁO DỤC VIỆT NAM

TH A Y L Ờ I N Ó I ĐẨU

Nãm 1996, Nhà xuít bản Giáo dục đã xuất bản quyển Toán học cao cấp tập 1 Đại số và Hình học giải tích, từ nay sẽ viết tắt là Thcc/1 - Quyến Bài tập Toán học cao c íp tập 1 này, viết tắt là BTThcc/1 là tiếp nối quyển Thcc/I, nhằm ưình bày phán bài giải và hướng dẫn cách giải các bài tập đã ra ỏ quyển Thcc/1 Riêng chưcmg IV chỉ là ổn tập các kiến thức đã học ờ tnĩờng phổ thổng, n£n khổng trình bày ỏ quyến này, độc giả cổ thể xem các đáp số ở quyển Thcc/1

Chúng tôi muốn lưu ý độc giả vé cách đánh sổ các tiêu đé ứ i tiện

viêc tra cứu

ở quyến Thcc/1 chương đánh sđ bằng một stf, thí dụ chương n là chương thứ hai, tiết đánh số bằng hai số, thí dụ tiết 3.2 ỉà tiết 2 ỏ chương 3, độc giả tìm nó ở chuơng 3 tiết thứ 2, mục đánh sđ bằng 3 số,

thí dụ mục 3.2.1 là mục I b tiết 2 cùa chương 3, độc giả tìm nó ò

chưong 3 tiết 2 mục 1 Các định nghĩa, định lí, thí dụ và chú ý cũng

đánh số bằng ba số như vậy Riéng các hình vẽ chỉ có một số.

ở quyển Bnrrhcc/1 cách đánh số làm tương tự Chương có mỡt số, tiết có hai số Riftng bài tập có hai số, số dầu chỉ chương, số thứ hai chì số thứ tự của bài tập trong chương, chẳng hẹn bài tập 4.3 là bài tập

thứ 3 ở chương rv dộc giả tìm nó òr chưong 4 bài tập thứ 3 Hình vg đánh số bằng một số

Vì tài liệu này viết lần đáu nên khổng tránh khỏi thiếu sót, chúng tổi mong nhận đưọc các ý kiến của độc giả, chúng tổi rất cảm on

Hà Nội, tháng 5/1997

Tác giả

TẠ VẢN ĐĨNH

Chương I

TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ

A ĐỀ BÀI

1.0 MỞ ĐẦU

l ỉ Dùng các kí hiệu đã học à tiết 1.0 hãy viết các mênh đé sau ;

Định nghĩa - Tam giác ABC gọi là tam giác cán nếu nó có hai góc

1.4 Trong các trường hợp sau hỏi cỏ A = B không ?

a) A là tập các số thực ^ 0, B là tạp mọi số thực > trị tuyệt đối cùa

chính n ó ;

b) A là tập các số thực > 0, ỉà tập mọi số thực ^ trị tuyệt đối cùa chính n ó ;

c) A là tạp mọi số nguy6n khổng &m và < 1 0 0 có tam thừa là

một sổ lẻ khổng chia hết cho 3, B là tập các số nguy£n khổng âm

và ^ 100 có bình phương trừ 1 chia hết cho 24

1.3 TÍCH ĐỂ CẤC1.8 C h o >4 = 11 ,2 , 3 1 ,5 = { 2 ,3 ,4 )

Hãy viết ra tất cả các phẩn tử cùa A X B v ầ biếu diỂn chúng thành

các điểm tr£n mặt phẳng toạ độ

1.9 C h o /4 = 1 1 ,2 ] := | a | ì < x ú 2)

B = [ 2 , 3 ] : = { x \ 2 < x -£Ĩ)

Hãy biểu diẻn hình học tập tích A X B trỀn mặt phẳng toạ độ.

1.4 QUAN HỆ TUƠNG ĐUƠNG VÀ QUAN HỆ T H Ứ T ự

I.ỈO Trong R, quan hệ a H h xác định bởi

II 3_ 13_ _ ■ II

a - h = a - h

có phải là quan h6 tuơng đương khổng ? Tim lớp tuơng đuong ^ ( a , H).

1.11 Trong tập các số tự nhiên, các quan hộ sau có phải là quan

hộ tương đương khổng ?

a) a chia h ít cho h ;

b) ơ khổng nguyén tố vói h.

ỉ 12 a) Trong khổng gian hình học thông thưởng được coi như

tâp các điểm M, M', , chứng minh rằng quan hệ "Af và Aí' ở tĩtn một dường thẳng cùng phương với đưỉmg thẳng D cho ưuớc" ỉà một quan

hổ tưong đương N£u đặc điếm cùa cấc lớp tuong đutmg

b) Cùng c&u hỏi đó ưong mặt phẳng với quan hệ "M' là ảnh của M trong m ột phép quay quanh tâm o cho trước."

1.13 Trong tạp các đường thẳng trong khổng gian quan hệ D X D '

có phải là quan hệ tương đương khổng ?

2

1 Ỉ4 Trong R , hãy chứng minh quan h£

(x, y) <, (y , y ' ) o x ú x ' y<,y'

là quan hẹ thứ tự Nó có phải quan hệ thứ tự toàn phẩn khững ? Nếu

khổng, hãy xác định hai cặp (jr, y) và (j:', y') cụ thể không thoả mãn

cả ix, y) ắ (x', y') lản (ar’ y') ú (jr, y).

ỉ 15 Một kì thi có hai môn thi', điểm cho từ 0 đến 20 Mổi thí sinh có hai điẨm, X là điểm cùa mổn thi thứ nhất, y là diểm của mổn thi thứ hai Trong tập các thí sinh, người ta xét tập các cặp điểm số

{x, y) và xác định quan hệ hai ngổi Tl như sau :

1) Đối xứng đối với m ột điểm o ;

2) lỊ n h tiến theo vectơ ơ ;

3) Quay quanh tâm o một góc 0 trong mặt phẳng ;

b) Cho ánh xa ,(f ; R R, R = R - {0} xác đinh bời V —

-4 và B ỉà 2 tập con cùa F, chứng minh

1.23 C h o / ^ : F G

Chỉhig minh r ằ n g :

1) N íu / và g là toàn ánh thì g o /là toàn ánh ;

N ế u /v à g là đơn ánh thì gof\ầ đơn ánh ;

N ế u /v à g là song ánh thì gof\ầ song ánh.

2) Nếu gofìầ song ánh v à / l à toàn ánh t h ì / v à g là song ánh.

1.24 Với mỗi bộ 4 số nguyén a, h, c, d sao cho uí! -/> « •= 1,

2) Chứng minh rằng hợp của một số đếm được các tạp hữu hạn là một tập đếm dược

1.26 Cho tập E, gọi ƠH.E) là tập tất cả các tập con của E Chứng minh rằng £P(£) khổng cùng lực lưọng với E.

1.7 ĐẠI SỐ T ổ HỢP♦ •1.27 Cho i4 = {<1, ft} Có thể lập được bao nhiêu bảng khác nhau

b) Có bao nhiẻu số có s chữ số mà các chữ số đỂu khác nhau ?

1.29 Titn số tất cả các tập con của một tập gổm n phần tử, kể cả

tập rỗng

1.30 Cho các hoán vị P v k Q của 11 2 3 4 1 :

p = { 3 4 1 2 | , ổ = | 2 4 I 31 m à ta kí hiêu như sau :

ri 2 3 4' ' 1 2 3 4'

Tim PoQ, QoP, p * và ộ '.

U l Cho n điếm khác nhau trong mật phẳng sao cho ba điểm bất kì

khổng thẳng hàng Xét các đoạn thẳng nối từng cặp hai điếm khác nhau

a) Tính số các đoạn thẳng đó

b) Tính số các tam giác được tạo nổn

c) ứng dụng cho các trường hợp riẽng :

1.1 Tam giác c&n := tam giác có hai góc bằng nhau

Tam giác có hai cạnh bằng nhau => tam giác cân.

Tam giác có hai cạnh bằng nhau o tam giác cân

1.2 Bằng cách giải các phương trình và b í t phưctng trình tathu được ; a) |1 , 3 | ; b) ( -00, 1) u (3, +00) ; c) [1, 3] ; d) 0 - ;e) ( -00 +00) ; f) 0

11

u Bẳng cách giải các hệ phương trình và b â phương trình ta suy ra :a) 1(2 1)1 ;

b) { (Ằ,y) I X tuỳ ý, y = 3.V - 2 1 đường thẳng y = 3.V - 2.

c) I (x,y) I A’ tuỳ ý, y = 3a } đường thẳng y = 3ji'.

M ặt khác /1^ = ạ i p Ỷ + 2(12/J)r + = 24/r + A e N

Vì 24h chia hết cho 24 n£n

n e B r e B.

Nhưng bằng cách thử trực tiếp với m ọ i; e s ta thấy

r e B o r e T

Vậy có w e o ;• 6 T.

T óm lại G ,4 o r G 7 o /; e tức là /J G >4 o rt 6 5 , nên A = B

Chú ý Theo cách giải trỀn thì khổng cẩn hạn ch ế n ^ 100 Nhưng

nếu hạn c h ế /I £ 100 thì c ó thế giải bài toán bằng cách liỀt kê các

phẩn tử cùa hai tập A và B Tuy nhiỀn cách làm này dài.

1.7 a) jr 6 B => X £ /4 vì nếu X i A tức là X € /4, đo đó theo giả

thiết i4 c £ ta có jr £ B, điéu này trái với giả thiết X e B Vậy đúng

(iii) A u B = E = > A < z B

Kết quả (i) rõ ràiig nhờ biếu đổ Ven

Đ ế chứng minh kết luận của (ii), trước hết ta chú ý rằng v\ A c E,

B c i E nỀn

A B c E Sau đ ó , x é t jr € £ thì jr e B hoặc X e B ; nếu X e B thì

X € B = A kj B nên X Ễ i4 Do đ ó JT 6 A V ậy £ c A u B và từ đó

suy ra k ết quả (ii)

Đế chúng minh kết luận cùa (iii), ta xét jr E Ấ Ta có jr € £ = A u B.

N hưng vì jr e i4 nên X € A V ậy X e B, n ghĩa là : jr e i4 => JC e B

K ết quả (i) rỗ ràng nhờ sơ đồ Ven

ĐẨ chứng m inh kết luận của (ii), trưổc hết ta xét X e A T a có

x e A = A r \ B ^ x e B = > x i B %

Vậy A c \ B =( S

Đế chúng minh kết luận cùa (iii) ta xét jr Ẽ /4 Khi đố vì A n B = 0

nên x € B D o á ó x e B. Vậy : X e A => X e B, nghĩa là M c 5.

Các điểm có toạ dộ như tr£n.

1.9 Hình chữ nhật có 4 đỉnh là (1, 2) (1, 3), (2 2), (2, 3)

1.10 Theo đầu bài, với a e R , b e R ta có quan hệ

15

Quan hệ này có tính phản xạ í/ TZ u vì ta luôn có

Quan hệ này có tính đối xứng vì ỉ ừ a ĩ l h tức là

3 3 _

a - h = a - h }? - (? = h - a tức là 72 ứ

Vậy quan hệ (1.1) ỉà quan h£ tưong đương

Bây giờ xét lớp tương đương 'ể (a, 72.) N6 gồm những e R

là các phán tử h sao cho

+ ah + - l = 0.

Đó là một phương trình bậc hai dối với h.

Do dó quan hé cho ỏ đáu bài là quan hệ tương đương v à lớp tircmg

1.11 a) Quan hệ này khống đối xứng vì khi a chia hết cho h thì nói chung b không chia hết cho a, vây quan h£ này không phải là

quan hộ tương đương

b) Quan hệ này không bắc cẩu vì khi a không nguyổn tố với h,

h không nguyên tố vổri c thì chưa hẳn là a không nguyên tổ vối c Thí dụ :

a = 5 , h = 15, f = 3.

Vậy quan hẹ này khổng phải là quan hệ tương đương

1.12 a) Quan hệ này rõ ràng có tính phản xạ, đối xứng và bắc cẩu, cho nên nó là một quan hệ tương dương Mỗi lổp tương đương là

một đường thẳng cùng phương với D Tập các lớp tương đương gổin tất cả các đưòng thẳng cùng phương với D.

b) Quan h£ này rõ ràng có tính phản xạ, đối xứng và bắc cẩu, cho n£n nó là một quan hệ tương đưcmg Mỗi lóp tưong đương là một dưỉmg tròn tâm o Tập các ỉớp tương đương là tất cả các dường tròn

Um o

1.13 Quan hê này khổng phản xạ vì D khổng ± D, khống bắc cầu

vì D ± D \ D' ± D " thì chưa chắc D ± D" Vậy quan hê này khổng

phải là quan hệ tưomg đương

1.14 Xét các căp (x, y), (jr', yO ơ ” y") của R.

V ì = jr, y = 3» nên (x, y) = (j:, 3^)

nghĩa là quan hệ có tính phản xạ

Nếu (jt, y) < ix', y') tức là Jt ^ x', y'

ự , y') ú (ar, ỳ) tức là x' <,x,y'<.y thì x = x ' , y = y' tức là

Vây quan hệ đang xét là một quan hẹ thứ tự.

Nhưng nó khổng phải là quan hệ thứ tự toàn phẩn trên vì chẳng hạn hai cặp (1, 2) và (2, I) khổng so sánh được : không có (1 2) ^ (2, 1) cũng không có (2 1) ^ (1, 2)

(Xj, >j) = (jf2 yi)- Đó là tính phản đối xứng cùa TZ.

Bây giờ đến tính bắc cẩu

Giả sử (j:|, n (a-2, >»2) và (otị, y2) ^ (-<f3 >’3)-

(jCj, y j) Tl (X 2 , y-ị) có nghĩa là OTị ^ Xj, và nếu Xị = X 2 thì ^ >»2

(jt2, > 2 ) ^ nghĩa là X 2 ^ x^, và nếu X 2 = A'3 thì y 2 ^ y y Như vỊy, từ (j:| > |) n (X 2 , >2) và (X 2 , ỵ i ) n (xị, y ỷ tạ suy ra :

Xị á X2, X2 ^ JT3 Xị ^ jr3

và nếu JTJ = X 2 thì JT| = X2= a'3 nên ta vừa có ^ y2 vừa có 3>2 ^ y3*

vậy có (a^ị, y ị) n (A3, >3) Do đó

(jrj, ^ ị) n ự 2 , y i) và (otị, y i ) TI (JT3 >3) => (jrj, >>|) ■;^ (X3, >3)

Đó là tính bắc cẩu cùa Tĩ,.

Vây 7v là một quan hệ thứ tự trong tãp các thí sinh

Bây giờ muốn biết nó có phải là một quan hộ thứ tự toàn phẩn hay không ta xét hai thí sinh bất kì với các cặp điểm (Jf|, Kị) và (X2, V'2)- Trưóc hết ta so sánh X) và X2

Nếu 4 + > > 0 tức là nếu y > - 4 thì phương trình cổ hai nghiệm

khác nhau V ậ y /k h ô n g phải dơn ánh

Nếu 4 + y < 0 tức là nếu y < - 4 thì phưomg trình khổng có nghiệm

thực V ậ y /k h ô n g phải toàn ánh

Do đ ó /k h ổ n g phải song ánh, khổng có ánh xạ ngược

19

Do đ ó /v ừ a là toàn ánh, vừa là đơn ánh, nén là song ánh và có ánh

xạ ngược thu được bằng cách giải phương trình

nguy£n lẻ như khi > = 3 ,5 v.v thì X khỡng phải ià số nguyftn ầ 0.Vậy / l à dơn ánh, khổng phải là toàn ánh, nên khổng phải là song ánh, khổng có ánh xạ ngược

i ỉ 7 Tất cả đểu là song ánh

1) Ánh xạ ngược trùng với nó

2) Ánh xạ ngược là tịnh tiến theo vectơ - a

21

3) Ánh xạ ngược là quay quanh tâm o một góc " 0

4) Ánh xạ ngược là vị tự tâm o với tỉ số ỳ

ơo.v)(') = (XỌ/)(-')Nhưng khi V < 0 thì

(.•íqrtơ) = >/ũ

còn ựoỊỉ) khổng xác định.

Vậy .f oỊị ^go f.

1.20 Xét Jr e i4 ta có

[ho{Ịiof)]M = h[{ịỉof)ix)] = /»U[/(jr)l]

[hog)oJ)]ự) = ihogMx)] = Aừư(^)]]

Vậy ho{gof) = {hog)(^.

Khi đó, nếu X e A thì/(jr) = y e f {A ) ;

nếu JT e B thì Jix) = y e ffJB) ;

nghĩa là khi -V € R+

23

nghĩa là ta luôn có

Vậy

J{A< j B ) cì A A ) ^ A B ) Ngược lại, xét y e f[A) u/(J5) Khi đó

n íu y e f[Ạ) thì 3ar e >4 ổ i f { x ) = y ; nếu y e f{B) thí 3jr e đ ể /(x ) = y ;

Kết quả là câu b) dược chúmg minh.

1.23 1) Giả thiết / và ^ là toàn ánh :

A E ) = F, g{F) = G.

Ta suy ra

i M E ) = M E ) ] = g i n = G.

Vậy jjo/là toàn ánh

Bây giò giả th iế t/ và g là đom ánh Xét J f J và X 2 e E Ta có

A| G E,f{Xị) = >», 6 f , gO»,) = 2j e G

X 2 e £ A í2> = y i ^ F , gịyi) = Z2 e G

25

và (íf«/K-Vi) = j<(/lífttVi)] = xO'i) = Zi ;

= íỉư(^2)l = íỉCVl) = ^2 :Giả sử Z| = Z2-

Vì Ị> là đơn ánh nên )»J = yi- Từ đó, vì / là đcfn ánh nên rj = X 2

-Vậy từ (ífoy)(.rỊ) = (^o/)(.\'2) ta suy ra .V ị = X 2 - Do đó ^ o /là đơn ánh.

Từ hai kết quả trên ta suy ra :

Nếu / v à là song ánh thì ^o/cũng là song ánh

2) Chứng minh / l à đon ánh

Giả sử /k h ổ n g phải đơn ánh ; tức là tổn tại A| và JT2 e £ saocỉio

orj ^ X 2 , đồng thòiy(xj) = /(jt2) Ta suy ra

G iứng minh g là đơn ánh.

Giả sử g khổng phải dcm ánh, tức là tổn tại >^1 vk y 2 e F sao cltio

V ì / l à toàn ánh nfin

3;r, e £ đ ể ^ A -,)= > j ;

3ht2 e E d i j ị x 2 ) = ^2

tức là >>J = yj, điểu này trái giả định 3'j ^ >2 ^ í>

Ta đã chứng minh được g là toàn ánh Do đó là song ánh.

Muốn c ó / ' t a giải hệ (1.2) đối với jr, >r;

b) Bây giò giả s ử /v à ^ 6 F ;

y)) = (ox + hy, cx + dy), a d - h c = ỉ ;

g((x, y)) = (ax + ^ , ỵ r + ây), a S - P r = l.

Ta phải chứng minh fog e F Ta có

ifog)if.x, >»)) = /U ((jr, 3-))].

D o đó

ựogKix, y)) =y((aar + 0 y ĩ x + ỗ y ) ) =

= (a(ax + ậy) + K ỵ x + ây)), c (ca + J ^ ) + d(ỵx + ây))

Khi dó u ữ có nhiểu nhất n + m phẩn từ, nổn nó là mờt tập hữu hạn.

Vậy hợp của các Aj cùng lực lượng vái B.

Nhưng B cùng lực lượng với N.

Vậy hạp của một số đếm đuọc các tập hữu hạn là một tập dếm duợc

1.26 Giả sừ ọ là một ánh xạ nào đó từ E tái T\E) Khi đổ X e E

Nếu a e (f{,a) thì a ^ A = qịa) => m&u thuẫn.

Nếu a i <p{a) thì a e A = qịa) =» mftu thuẫn.

29

Vậy khổng có phần tử a nào cùa E áể A = Ợ){a) Do đó ánh xạ <p không phải toàn ánh, nẻn không phải song ánh VI ọ là bất kì n£n ta suy ra ; không thể tổn tại một song ánh giữa E và V{E) Vậy E và V(E) khổng cùng lực lượng.

1.27 Mỏi bảng thành lập từ một bộ (aậỵõ) Mổi bộ {aflỵâ) là một chình hợp lặp chập 4 của các phẩn tử của A = ịa, h) gồm 2 phán tử

Vậy số bảng thành lạp được bằng số chỊnh hợp lặp chập 4 của 2 phẩn

tử, nghĩa là bằng 2^ = 16

Đó cũng là số ánh xạ từ A tới A.

Ỉ.28 a) Mỗi số có s chữ số có thể tách thành 2 phẩn : phần đẩu là

I chữ số khác khống lấy từ {1, 2, 3, 4, s , 6, 7, 8, 9) phẩn sau gồm 4 chữ số b ít kì, có thế trùng nhau, lấy từ 10 chữ số {0 1 ,2 , 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9} Vậy số các số có s chữ số bằng 9 lần số các chỉnh hợp lập chập 4 của 10 phán tử Số đố là

9.10'‘ = 90000b) Mỗi số có s chữ số khác nhau có hai phẩn : phẩn đẩu là một chữ số khác không lấy từ {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) phẩn sau là 4 chữ

số bất kì khác nhau líy từ 9 chữ số còn lại cùa {0, 1, 2, 3, 4, s , 6, 7,

8 ,9 } Vậy số các sđ có s chữ số khác nhau bằng 9 lần số chỉnh họp khổng lặp chập 4 của 9 phẩn tử Số đó là

1.30 Ta đã biết (xem định nghĩa 1.7.1, Thcc/1) một hoán vị cùa

t ậ p /4 = |r t| ii2 « „ | là ảnh cùa một song ánh từ/li lên A M ộí kí hiệu

song ánh đó bầng chữ p thì ảnh đó là

|P (í/,)P (íi2 ) ? ( « „ ) I

N6 là một hoán vị cùa A ; người ta cũng gọi hoán vị này là hoán vị p

Để cho dẻ thấy ngưởi ta còn viết hoán vị đó như sau :

" U 4 1 2) (ĩ 2 3 4 '

M ột cách tưomg tự ta có

' 1 2 3 4^

J 3 2 4(G a P )(l) = G l/’(l)] = ( 2 (3 ) = l

2.1 Cho E = {1, 2, 3 |, P ị, P 2 , P3, / '4, Pị, là các hoán vị của E

ì) Chứng minh rằng với luật hợp thành ỉà tích các hoán vị thì tạphạp các hoán vị nói tr£n tạo thành một nhóm, kí hiệu là 53

7) Hỏi nhóm đó có giao hoán không ?

1.1 Gọi R := R - 10 1 Xét các ánh x Ị / ị - R R như sau

/,(jr ) = jr , f 2 Ì x ) = ị / x f^{x) = - x , f Ậ x ) = - M x

^ới luật hợp thành ♦ xác định bởi

/ i * / j : = / i O / j

hãy chứng minh rằng các ánh xạ trôn tạo thành một nhóm Nhóm, đó

c6 ỊÌao hoán khổng ?

35

2.3 Cũng câu hòi như ờ bài tập 2.2 với R = R - | 0 , 1 Ị và / i : R -> R như sau :

nghiệm hữu ti

2.7 Cho a, h, c, d là các síí hữu tì, X là một số vô tỉ, chứng minh

rằ n g ;

( a + f + Ả d ) C:> ( a = c v ầ h = d )

ứng dụng : Viết số Vl92 + 96> ^ ở dạng

X + y y Í 3 với X, y hữu tỉ.

2.5 SỐ PHÚC2.8 Chứng minh rằng

Biện luận theo a và h.

2 ỉ ỉ Hãy thực hiện các phép tính sau

b) Zi/Z2 là ảo thuần tuý.

2.19 Hãy tìm biểu diẻn hình học của các số phức z thoẳ mãn a) |zl < 2 ; b) |z - lị ^ 1 ;

2.24 Chứng minh rằng nếu z + - = 2cosỡ, (z 6 C), thì

2.27 Hãy biểu diẻn theo C0SJC và sinx :

a) cosSar; b) cos8;c ; c) sin6x d ) sin7x

2.28 Hãy biểu diẻn tg6jr theo igx,

a) 2x* - 3,r^ + Ax^ - 5jr + 6 cho - 3x + 1 ;

39

b) -V^ “ 3\^ - ,v - 1 cho 3.v^ - 2\ + 1;

c) A + i.\ - ị.\ + 1 cho À - i \ -¥ 1.

2.35 Tim điều kiện để A'^ + px + q chia hết cho -V^ + nìx -1

2.36 Tim điểu kiện để ,v^ + px^ + q chia hết cho v^ + mx + 1.

2.37 Hãy phân tích thành tích các thừa số bậc nhất