Luyện Tập Hàm Số Liên Tục Toán Lớp 11

I DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm... Hàm số phân thức hữu tỉ thương của hai đa thức và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng... CÂU

GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN

BÀI LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

ÔN THI

THPT QG

GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN

Bài 3 LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

I DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

𝒙→𝟐 𝒈 𝒙 ≠ 𝒈(𝟐) nên hàm số gián đoạn tại 𝒙𝟎 = 𝟐

Chú ý: Trong biểu thức xác định 𝒈 𝒙 ở trên, cần thay số 𝟓 bởi số 𝟏𝟐 thì hàm số liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟐

Trong biểu thức xác định

𝒈 𝒙 ở trên, cần thay số 𝟓

bởi số mấy thì hàm số liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟐 ?

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

I DẠNG 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

ĐỊNH LÍ 1

a Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực

b Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

+ Bước 2: Với 𝒙 > 𝒙𝟎 xét tính liên tục của hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)

+ Bước 3: Với 𝒙 < 𝒙𝟎 xét tính liên tục của hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

+ Bước 4: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 𝒙 = 𝒙𝟎

𝒇 𝒙 = ቊ 𝒉(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 > 𝒙𝟎

𝒈(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 ≤ 𝒙𝟎

b) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

a) Từ đồ thị ta thấy hàm số liên tục khi x< − 1, x> − 1,

tại x= − 1 hàm số gián đoạn b) Khi 𝒙 < −𝟏, ta có 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟐 liên tục.

Khi 𝒙 > −𝟏, ta có 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟏 liên tục.

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

Vậy hàm số liên tục trên −∞; −𝟏 , −𝟏; +∞ và gián đoạn tại 𝒙 = −𝟏

Vậy hàm số liên tục trên 𝑫 = ℝ

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

III Câu hỏi trắc nghiệm:

Giả sử 𝒚 = 𝒇 𝒙 và 𝒚 = 𝒈 𝒙 là hai hàm số liên tục tại điểm 𝒙𝟎 Chọn mệnh đề sai.

Hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 liên tục tại 𝒙𝟎 Hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 liên tục tại 𝒙𝟎.

CÂU 2

III Câu hỏi trắc nghiệm:

Hàm số nào sau đây không liên tục trên ℝ :

𝒙−𝟏 là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng

khoảng xác định Vậy hàm số liên tục trên hai khoảng −∞; 𝟏 & 𝟏; +∞

Đáp án C: Hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là ℝ nên liên tục trên ℝ Đáp án D: Hàm đa thức liên tục trên ℝ

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

ÔN THI THPT QG

B

CÂU 3

III Câu hỏi trắc nghiệm:

Hàm số nào sau đây liên tục tại 𝒙𝟎 = 𝟐?

Đáp án A, B, D: Hàm số không xác định tại điểm 𝒙𝟎 = 𝟐

Đáp án C: Hàm số 𝐲 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 là đa thức nên liên tục trên ℝ.

Do đó liên tục tại điểm 𝒙𝟎 = 𝟐

𝒙→𝟐 𝒙 + 𝟐 = 𝟒

Đáp án C, D : 𝒇 𝟐 = 𝟒; 𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒇(𝟐) nên hàm số liên tục tại 𝒙 = 𝟐.

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

ÔN THI THPT QG

Bài giải

CÂU 5

III Câu hỏi trắc nghiệm:

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 có đồ thị cho bởi hình vẽ

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên hai khoảng −∞; 𝟎 & 𝟎; +∞ ; hàm số gián đoạn tại điểm 𝒙 = 𝟎

Hàm số gián đoạn tại điểm nào sau đây?

LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC

TOÁN

11

GIẢI TICH

ÔN THI THPT QG

Bài giải

CÂU 7

III Câu hỏi trắc nghiệm:

Phương trình 𝟑𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎 = 𝟎 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

B

Cách 1: Tự luận Xét 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎 liên tục trên ℝ

nên 𝒇 𝒙 liên tục trên −𝟐; −𝟏

Start: -10 End: 1 Step:𝟏𝟏

𝟏𝟗 Quan sát kết quả ta thấy giá trị của 𝒇 𝒙 tại các điểm trong khoảng −𝟏𝟎; −𝟐 ,

𝟎; 𝟏 , −𝟏; 𝟎 không đổi dấu, còn trong khoảng −𝟐; −𝟏 đổi dấu 1 lần.

Hình 3 Hình 4

Hố tử thần xuất hiện ở thành phố Fukuoka – Nhật Bản

Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng

Theo em ở bức ảnh

nào xe có thể chạy

thông suốt?

ĐẠI SỐ Chương 4: GIỚI HẠN

Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cho hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝐾 và 𝑥0 ∈ 𝐾 Hàm số 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục tại điểm 𝑥0 nếu lim

𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0Hàm số 𝑓 𝑥 không liên tục tại điểm 𝑥0 được gọi là gián đoạn tại điểm 𝑥0

Bước 1: Tìm tập xác định D , kiểm tra 𝑥0 ∈ 𝐷 không?

Bước 2: Tính 𝑓 𝑥0 và lim

𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥

Bước 3: So sánh 𝑓 𝑥0 và lim

𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 Rồi kết luận.

II GIỚI HẠN HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi

điểm của khoảng đó.

Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục trên một đoạn 𝑎; 𝑏 nếu nó liên tục khoảng

Định lý 1

Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 𝑅

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng

Vì lim

𝑥→1 ℎ 𝑥 = ℎ 1 nên hàm số đã cho liên tục tại 𝑥 = 1 Vậy hàm số đã cho liên tục trên 𝑅

Tập xác định: 𝐷 = 𝑅

GIỚI HẠN

GIẢI TÍCH

LỚP

11 Chương IVBÀI 3

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên TXĐ

Bước 1: Tìm TXĐ và khẳng định các hàm đa thức, lượng giác, hữu tỉ liên

tục trên các khoảng của TXĐ.

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm còn lại bằng định nghĩa.

Bước 3: Kết luận.

𝑥2−𝑥−2 (𝑥+1)(𝑥− 𝑥+2) = lim

𝑥→(−1)+

𝑥−2 𝑥− 𝑥+2 = 3

Tập xác định: 𝐷 = 𝑅

GIỚI HẠN

GIẢI TÍCH

LỚP

11 Chương IVBÀI 3

1) Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục tại điểm 𝑥0 nếu lim

Hàm số 𝑓 𝑥 không liên tục tại điểm 𝑥0 được gọi là gián đoạn tại điểm 𝑥0

Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 được gọi là liên tục trên một đoạn 𝑎; 𝑏 nếu nó liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) và

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN

Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Hàm số 𝑦 = 𝑥

𝑥+1 không liên tục trên ℝ Chọn B

Bài giải

Ví dụ 4 Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) khẳng định nào sau đây là đúng?

A Nếu 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 thì hàm số liên tục trên khoảng (𝒂; 𝒃)

B Nếu 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) > 𝟎 thì hàm số liên tục trên khoảng (𝒂; 𝒃)

C Nếu hàm số liên tục trên đoạn [𝒂; 𝒃] thì 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎

D Nếu hàm số liên tục trên đoạn [𝒂; 𝒃] và 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 thì phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎

có nghiệm

Dựa vào định lí 3 ta chọn đáp án D

Bài giải

Ví dụ 6

Cho bốn hàm số 𝒇𝟏 𝒙 = 𝒙 − 𝟏, 𝒇𝟐 𝒙 = 𝒙, 𝒇𝟑 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 , 𝒇𝟒 𝒙 = ቐ

𝒙𝟐−𝟏 𝒙−𝟏 khi 𝒙 ≠ 𝟏

Hàm số 𝑓2 𝑥 = 𝑥 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ

Hàm số 𝑦 = 𝑓4 𝑥 có TXĐ là ℝ và hàm số liên tục trên các khoảng −∞; 1 và 1; +∞

Ta cần xét tính liên tục của hàm số 𝑦 = 𝑓4 𝑥 tại 𝑥 = 1

Ta có 𝑓4 1 = 2 và lim

𝑥→1 𝑓4 𝑥 = lim

𝑥→1

𝑥2−1 𝑥−1 = lim

𝑥→1 𝑥 + 1 = 2 = 𝑓4 1 Nên hàm số liêntục tại 𝑥 =1 do đó cũng liên tục trên ℝ Vậy có 2 hàm số liên tục trên ℝ

Ví dụ 7 Cho hàm số 𝒇(𝒙) xác định trên đoạn [𝒂; 𝒃] Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Nếu hàm số 𝒇(𝒙) liên tục trên đoạn [𝒂; 𝒃] và 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) > 𝟎 thì phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎

không có nghiệm trên khoảng (𝒂; 𝒃)

B Nếu 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 thì phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (𝒂; 𝒃)

C Nếu hàm số 𝒇(𝒙) liên tục, tăng trên đoạn [𝒂; 𝒃] và 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) > 𝟎 thì phương trình

𝒇(𝒙) = 𝟎 không có nghiệm trên khoảng (𝒂; 𝒃)

D Nếu phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 có nghiệm trong khoảng (𝒂; 𝒃) thì hàm số 𝒇(𝒙) phải

liên tục trên (𝒂; 𝒃).

Chọn C Vì 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) > 0 nên 𝑓(𝑎) 𝑣à 𝑓(𝑏) cùng dương hoặc cùng âm

Mà 𝑓(𝑥) liên tục, tăng trên [𝑎; 𝑏] nên đồ thị hàm 𝑓(𝑥) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên

đoạn [𝑎; 𝑏] hay phương trình 𝑓(𝑥) = 0 không có nghiệm trong khoảng (𝑎; 𝑏)

Hàm số liên tục trên đoạn 0; 1 và 𝑓 0 𝑓 1 = 4 −1 = −4

Vậy phương trình 3𝑥2017 − 8𝑥 + 4 = 0 có nghiệm trong khoảng 0; 1

Suy ra 𝑓 0 𝑓 1 < 0

Vậy phương trình 2𝑥3 − 6𝑥 + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (-2;2)

Số nghiệm thực của phương trình 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 + 𝟏 = 𝟎 thuộc khoảng (−𝟐; 𝟐) là

Suy ra 𝑓(−2) 𝑓(0) < 0; 𝑓(0) 𝑓(1) < 0; 𝑓(1) 𝑓(2) < 0

Bài giải

Ví dụ 10

Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 5𝑥2 + 𝑥 + 1 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [0; 2]

Ta có: 𝑓(0) = 1 ; 𝑓(1) = −1; 𝑓(2) = 15

Vậy phương trình 2𝑥4 − 5𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 1 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng (−2; 2)

Cho phương trình 𝟐𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 𝟏 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−𝟏; 𝟏).

Suy ra 𝑓(0) 𝑓(1) < 0; 𝑓(1) 𝑓(2) < 0

B Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−𝟐; 𝟎).

C Phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm trong khoảng (−𝟐; 𝟏).

D Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (𝟎; 𝟐).

Vậy phương trình 1 − 𝑚2 𝑥5 − 3𝑥 − 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−1; 0).

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Suy ra 𝑓(−1) 𝑓(0) < 0

𝒂) 𝟏 − 𝒎𝟐 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒃)𝒎 𝒙 − 𝟏 𝟑 𝒙 − 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎

𝒄)𝒙𝟒 + 𝒎𝒙𝟐 − 𝟐𝒎𝒙 − 𝟐 = 𝟎 𝒅) 𝟏 − 𝒎𝟐 𝒙 + 𝟏 𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟑 = 𝟎

hay phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

d) PT có nghiệm trong (-2;-1)

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

hay phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

4 ; 𝜋

4

𝒂)𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒎𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟎 𝒃)𝒎 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟓 𝒙 + 𝟏