Toan 11 c5 b17 1 ham so lien tuc tuluan hdg

Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác ytan ,x ycot ,x y x là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng.. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tụ

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 HÀM SỐ LIÊN TỰC TẠI MỘT ĐIỂM.

Cho hàm số f x 

xác định trên khoảng a b;  và x0a b;  Hàm số yf x 

được gọi là liên tục tại x x nếu  0 lim0    0

Hàm số không liên tục tại x x gọi là gián đoạn tại  0 x 0

2 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN.

Hàm số yf x 

liên tục trên một khoảng a b; 

nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó Hàm số yf x 

được gọi là liên tục trên a b; 

nếu nó liên tục trên a b; 

và

        lim , lim

Hàm số đa thức, hàm số ysin ,x ycosx liên tục trên tập  Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác ytan ,x ycot ,x y x là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng

3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN.

Giả sử yf x 

và y g x  

là các hàm số liên tục tại điểm x Khi đó:0 a) Các hàm số yf x g x y , f x  g x y , f x g x   

liên tục tại x 0

b) Hàm số

 

 

f x y

g x liên tục tại x nếu 0 g x 0 0

Nhận xét: Nếu hàm số f x 

liên tục trên đoạn a b; 

và f a f b    0

thì tồn tại ít nhất một điểm ca b; 

sao cho f c 0

C

H

Ư

Ơ

N

HÀM SỐ LIÊN TỤC

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

DẠNG 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số   2

1

f x

x



 tại điểm x 0 2

Lời giải

Tập xđ: D \ 1 , 2 D  

2

1

x

 Vậy hàm số liên tục tại x  0 2

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số 





















1

2 3

2 )

(

2

2

x

x x

x x

1

khi x khi x



 tại x0 = 1

Lời giải

Tập xđ: D ,1 D  1 1

2

f 

 

1

x

f x



 

2 2

f x

Vậy hàm số liên tục tại x  0 1

Câu 3: Cho hàm số

3 8 khi 2

1 khi 2

x

x

 





 

 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

liên tục tại x 2

Lời giải

,1 D

D   f x 

xác định trên 

Ta có f  2 2m và 1    

3

2

8

2

x

x



Để f x 

liên tục tại x 2 thì    

2

11

2

II

=

=

=

I

Câu 4: Chon hàm số

 

3 3 3

3

x khi x

 





 

 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

liên tục tại x 3

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên 

2

f x

Tương tự ta có  

3



nên  

3

lim

 không tồn tại Vậy với mọi, hàm số đã cho không liên tục tại x 3

Câu 5: Xét tính liên tục của hàm số

 

2 , khi 1 1

2 3 , khi 1

  

 





x

x x tại x0 1

Lời giải

Ta có: f  1 1

và    

1



 



2

f x

Suy ra:    



Vậy hàm số gián đoạn tại x1

Câu 6: Cho hàm số

 

, khi 2 2

, khi 2

  







x

x

a x Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục

tại x2

Lời giải

Ta có: f  2 a

 

 

x

f x

Hàm số liên tục tại x2khi và chỉ khi lim2    2 1

2 6

Câu 7: Cho hàm số

 

 2

2 2

1 , 1

3 , 1 , 1









Tìm k để f x 

gián đoạn tại x1

Lời giải

TXĐ: D. Với x1 ta có:f  1 k2

Với x1 ta có:

lim lim 3 4

;    2

suy ra lim1   4

Vậy để hàm số gián đoạn tại x1khi   2

1

lim

Câu 8: Cho a và b là các số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

 

2

1 1 khi 0

4 5 khi 0

ax

x







 liên tục tại x 0

Lời giải

Cách 1: Theo kết quả đã biết thì lim0   lim0 1 1

2

f x

x

 

Mặt khác f  0 5b

Để hàm

số đã cho liên tục tại x 0 thìlim0    0 10

Câu 9: Cho hàm số

, 1

, 1







x

ax x Tìm a để hàm số liên tục tại x0 1.

Lời giải

f x

2

1 lim



x

x x

 2

2



Hàm số liên tục tại 0 1    

3

2



x

Câu 10: Cho hàm số

 

khi 1 1

3 khi 1

x

  





 

 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

số gián đoạn tại x 1.

Lời giải

Tập xác định của hàm số là .

Hàm số gián đoạn tại x 1 khi    

2

2

1

x

 



1

x



Câu 11: Cho hàm số

 

2

2

4

2

x

x

 





 

 Tìm m để hàm số liên tục tại x  0 2

Lời giải

Tập xác định D 

Ta có  

2

lim



2 2

4 lim

2

x

x x







2

lim 2



2 2 4

   Hàm số đã cho liên tục tại x  khi và chỉ khi 0 2 lim2    2

2

4 m 3m

    m23m 4 0

1 4

m m





  

Câu 12: Cho hàm số

 

2 2

2

4

x x

x x











 liên tục tại x 2 Tính I  a b?

Lời giải

Để hàm f x 

liên tục tại x 2 cần có      

2

2

 2 2 6

f  a b 

Suy ra ta được hệ phương trình:

19 16

32

5

16

a b

a

a b b



     

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

 

2 2

2

x

 





 

2

x 

Lời giải

Ta có: f  2 2m 4

2



;

2

2

2

x x



Để hàm số liên tục tại x 2      

Câu 14: Để hàm số

y



 liên tục tại điểm x 1 thì giá trị của a là

Lời giải

Hàm số xác định trên 

Ta có f  1  0

và    

Hàm số đã cho liên tục tại x 1 khi và chỉ khi    

Câu 15: Tìm m để hàm số

 

2 16

4

x

x





 

 liên tục tại điểm x 4

Lời giải

2

16

4

x

x



Hàm số f x 

liên tục tại điểm x 4 nếu      

4 1 8

4

Câu 16: Cho hàm số

 

2

khi 2 2

1

khi 2 2

x x

y f x

x

x



 Tìm a để hàm số f x 

liên tục tại x 0 2

Lời giải

Tại x  , ta có:0 2

  2 1

4

f  a

  

x

x





  

2

lim





2 2

lim

2

x

x





 



2

2 2 3 lim

2

x

x









2

2 2 3 lim

2

x

x







2

lim 2 3 1





Để hàm số liên tục tại x  thì 0 2  2 lim2   lim2  

1 1 4

a

4

a

 

Câu 17: Giá trị của tham số a để hàm số

 

1

1 1

1

1 2

x khi x x

f x

ax khi x

 









 liên tục tại điểm x 1 là

Lời giải

 1 1

2

f  a

 

 

x

f x



Hàm số liên tục tại x 1 khi      

1 1

2 2

Câu 18: Giá trị của a để hàm số

1 1

3 2

2 1

6

x

x

f x

a

x

  





 





 liên tục tại x 2

Lời giải

Ta có:  2 2 1

6

a

.

2

Hàm số liên tục tại x 2    

2

2 1 1

x

a





DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

a Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

b Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục tại x thì cũng liên tục tại 0 x 0

c Nếu hàm số yf x( )và y g x ( )liên tục tại x và 0 g x  thì hàm số( ) 00

( ) ( )

f x y

g x



liên tục tại x 0

Câu 19: Tìm các khoảng liên tục của hàm số

a) y x 33x2 b)x

1 1

x y x





 c) 2

1 2

x y





  ; d)ytanxcosx

Lời giải

a) Hàm số y có tập xác định D  nên hàm số liên tục trên R

b) Hàm số y có tập xác định D \ 1  nên hàm số liên tục trên  ;1 , 1;  

c) Hàm số y có tập xác định D \ 1; 2  

nên hàm số liên tục trên các khoảng

  ; 2 , 2;1 ; 1;    

d) Hàm số y có tập xác định

2

D  k k  

nên hàm số liên tục trên các khoảng

Câu 20: Tìm a để hàm số

2

2

2 2 khi 0 ( )

khi 0

f x





 liên tục trên ¡

Lời giải

Trên 0; ,  ;0

hàm số là các hàm số đa thức nên nó đều liên tục trên các khoảng đó

Để hàm số liên tục trên  ta cần hàm số liên tục tại 0

Vậy hàm số liên tục tại x  khi và chỉ khi 0 2 a 2

Câu 21: Định a để hàm số

3

1 4 ( )

3 2 2 2

ax

f x

x x









 





2 2

khi x khi x



 liên tục trên ¡

Lời giải

Trên 2; ,  ;2

hàm số liên tục trên các khoảng đó

Để hàm số liên tục trên  ta cần hàm số liên tục tại 2

Ta có

 

3

2

2

x

f x





Vậy hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi a 0.

Câu 22: Định a để hàm số 2

0 ( )

2 4 0

x

khi x







Lời giải

Trên 0; ,  ;0

hàm số liên tục trên các khoảng đó

Để hàm số liên tục trên  ta cần hàm số liên tục tại 0

Ta có

Vậy hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi a 1.

Câu 23: Cho hàm số

 

3 9

, 0 9 , 0 3

, 9

  

 









x

x x

x x

Tìm m để f x 

liên tục trên 0; 

Lời giải

Với x0;9:  3 9 x

f x

x liên tục trên 0;9.

Với x9;

: f x  3

x liên tục trên 9; 

Với x0 ta có f 0 m

Ta có  

3 9

 



x

f x

1 lim

3 9







 

1 6

 Vậy để hàm số liên tục trên 0; 

khi nó phải liên tục tại x0   

0

lim







1 6

 m

Câu 24: Cho hàm số

 

2

2 4 3 khi 2 1

khi 2

x







 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để

hàm số liên tục trên 

Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2;  

Ta có  2 3; lim2   lim2  2 4 3 3

Nếu m  thì 6 2   2 2

1

x

f x



  nên hàm số không liên tục tại x  2

Nếu m  thì ta có 6 2   2 2

x

f x



Để hàm số liên tục tại x  thì 2

3

6 m    m  m Với m  thì khi 5 x  , 2   2

1

x

f x





  liên tục trên  ;2

Tóm lại với m  thì hàm số đã cho liên tục trên 5 

Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2;  

Ta có  2 3; lim2   lim2  2 4 3 3

Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy m  thỏa mãn 5 lim2   3



Do đó chọn đáp án

C.

Câu 25: Cho hàm số

 

2 2

2

khi 2,









f x

Giá trị của a để f x 

liên tục trên  là:

Lời giải

TXĐ: D.

Với x 2 ta có hàm số   2 2



liên tục trên khoảng  2; 

Với x 2 ta có hàm số f x   2 a x 2

liên tục trên khoảng  ; 2

Với x 2 ta có f  2 2a2

Để hàm số liên tục tạix 2

f x f x f  2a2 2 2  a  a2 a 2 0

1 2





  



a

Vậy a1hoặc a2 thì hàm số liên tục trên 

Câu 26: Cho hàm số

 

1 2 1

x x





  





 Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên

tục trên 

Lời giải

Tập xác định D 

Ta có: Hàm số liên tục trên các khoảng  ;0

và 0;.

 

1 2 1

x

f x

 

 0 1

f  a

Hàm số liên tục trên  Hàm số liên tục tại điểm x 0 a1 1  a2.

Câu 27: Tìm a để hàm số

 

4 2

4

x x

f x

x













liên tục trên tập xác định

Lời giải

* TXĐ: D 

NX: Hàm số f x liên tục trên các khoảng  ;4

và 4; 

Do đó, để hàm số liên tục trên  ta cần tìm a để hàm số liên tục tại x 4

6

f x

  

  4

lim



4

2 lim

4

x









2

a

  f  4

Cần có:

2

a   a

Câu 28: Cho hàm số

 

3 4 2 3

1 5

2











x x

f x

Xác định a để hàm số liên tục trên 

Lời giải

Với x1, ta có  

3 4 2 3 1





f x

x liên tục trên tập xác định.

 1 5

2

 

Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục tại x1 Điều này xảy ra khi

    1

2

2

 a

Câu 29: Cho hàm số

 

2

2 4 3 khi 2

1

x







 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m

để hàm số liên tục trên 

Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên  , liên tục trên khoảng 2; 

Ta có  2 3; lim2   lim2  2 4 3 3

Nếu m 6 thì   2

1

12x 20

x

f x

x



  nên hàm số không liên tục tại x 2 Nếu m 6 thì ta có   2

2 x 3 2 6

x

f x



Để hàm số liên tục tại x 2 thì

3

6 m    m  m Với m 5 thì khi x 2   2 1

10x 17

x

f x

x





  liên tục trên  ;2 Tóm lại với m 5 thì hàm số đã cho liên tục trên 

Câu 30: Cho a , b là hai số thực sao cho hàm số

 

2

1

x ax b

x





 

 liên tục trên  Tính

a b

Lời giải

Ta có f  1 2a 1

Để hàm số liên tục trên  thì phải tồn tại  

2

1

x ax b

f x

x

 



 và    

1

Để tồn tại

2 1

lim

1

x

x ax b x



 

 thì x2ax b x1 1   a b 0 ba1

2

x ax b

 

Do đó để hàm số liên tục trên  thì    

1

      Suy ra b 4

Vậy a b 7

Câu 31: Nếu hàm số

 

10 khi 10



 liên tục trên R thì a b bằng

Lời giải

Với x  5 ta có f x  x2 ax b , là hàm đa thức nên liên tục trên   ; 5

Với 5x10 ta có f x    , là hàm đa thức nên liên tục trên x 7 5;10

Với x 10 ta có f x  ax b 10

, là hàm đa thức nên liên tục trên 10; 

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x 5 và x 10.

Ta có:

 5 12

f  

; f  10 17

  5

lim

5

lim

 

5a b 25

Hàm số liên tục tại x 5 và x 10 khi

a b

a b







a b

a b

  



 

 



2 3

a b





 



  a b 1

Câu 32: Tìm tham số thực m để hàm số yf x 

khi 4 4

1 khi 4

x x

  





 

 liên tục tại điểm x  0 4

Lời giải

Tập xác định: D 

Ta có:

+  

2

12

4

f x

x

 





4

lim

4

x

x

 



4

lim 3

 

7

 + f 4 4m 1

Hàm số f x 

liên tục tại điểm x  khi và chỉ khi 0 4 lim4    4

2

m

Câu 33: Biết rằng hàm số

 

2

5 6

2

x

 



 

 liên tục trên  và n là một số thực tùy ý Giá trị của m bằng

Lời giải

Ta có    

 

2

2

f x

x



2



 

1



2m n

 2 2

f   m n

Để hàm số liên tục tại x 2 thì    

2m n 1

1 2

n

DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Câu 34: CMR phương trình sau đây có nghiệm: x4 3x 1 0

Lời giải

Xét hàm số f x  x4 3x1

liên tục trên R nên cũng liên tục trên đoạn 0;1

 0 1 0,  1 1 0    1 1 0

f   f    f f   Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên

khoảng 0;1

ĐPcm

Câu 35: CMR phương trình 2 3 6 1 0





 x

x có 3 nghiệm trong khoảng.

Lời giải

Xét hàm số f x  2x3 6x1

liên tục trên R nên cũng liên tục trên các đoạn

2; 1 ; 1;1 ; 1;2     

 2 3 0,  1 5 0,  1 3,  2 5

Vậy trên mỗi khoảng 2; 1 ; 1;1 ; 1;2     

phương trình có ít nhất nghiệm Mà ba khoảng này rời nhau nên phương trình có 3 nghiệm trong khoảng 2;2

Câu 36: CMR phương trình x3m3x2 1 m x   luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.1 0

Lời giải

Xét hàm số f x  x3m3x21 m x  liên tục trên R nên cũng liên tục trên các đoạn1

0;1

 0 1 0,  1 4 0,

Vậy trên khoảng 0;1

phương trình có ít nhất nghiệm

Câu 37: CMR phương trình acos 3x b cos 2x c cosxsinx0 luôn có nghiệm trên 0; 2

Lời giải

Xét hàm số f x acos3x b cos 2x c cosxsinx

liên tục trên R nên cũng liên tục trên các đoạn 0;2

 0 , 1

2

f   a b c f   b

2

f    a b c f   b

 

f  f   f   f   

    nên suy ra nếu không có giá trị nào trong bốn giá trị bằng 0 thì ít nhất có một giá trị âm và dương Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Câu 38: Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của tham số m phương trình sau luôn có nghiệm

3

m

     



Lời giải

TXĐ: D R  \{ 3;0} 

Trên D, phương trình đã cho tương đương với phương trình:

3

( 2)( 3)( 1) 0

mx  x  x  x   x 

Đặt f x ( )  mx  ( x  2)( x  3)( x3 x  1)

Nhận xét f liên tục trên R và

( 3) (0) 18 (0) (2) 12

 









TH1: Nếu m = 0, phương trình luôn có 1 nghiệm x = 2

TH2: Nếu m  0 (*) có ít nhất một nghiệm thuộc ( 3;0)  hoặc

Suy ra:  m R, luôn có ít nhất một nghiệm thuộc D.

Vậy:  m R, phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm:

2m2 5m2 x12017x2018 22x 3 0

Lời giải

+ Nếu 2m2 5m 2 0 thì phương trình đã cho trở thành

3

2 3 0

2

   

+ Nếu 2m2 5m 2 0 phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ nên phương trình có ít nhất một nghiệm

Vậy với mọi m  , phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm

Câu 40: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình x3 3x22m 2x m  3 0 có

ba nghiệm x , 1 x , 2 x thỏa mãn 3 x1   1 x2 x 3

Lời giải

Đặt f x x3 3x22m 2x m  3 Ta thấy hàm số liên tục trên 

Điều kiện cần: af  1   0 m 5 0  m 5

Điều kiện đủ: với m 5 ta có

*) lim  

    

nên tồn tại a 1 sao cho f a  0

Mặt khác f  1 m 5 0 Suy ra f a f    1 0.

Do đó tồn tại x1a; 1 

sao cho f x 1 0

*) f  0  m 3 0 , f  1 0 Suy ra f    0 f 1 0.

Do đó tồn tại x2  1;0

sao cho f x 2 0

*) lim  

  

nên tồn tại b0 sao cho f b 0

Mặt khác f  0 0 Suy ra f    0 f b 0.

Do đó tồn tại x30;b

sao cho f x 3 0

Vậy m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 1: Với mọi giá trị thực của tham số m, chứng minh phương trình

m22m3 x4 5x244x3 9x0

luôn có ít nhất ba nghiệm thực

Lời giải

Đặt    2   4 2  3

là hàm số liên tục trên 

2 14

f , f 1 5, f  1 5, f  2 14

Ta có : f 2  f 1 0

, f 1 1 f   0, f  1 f  2 0

với mọi  m

  0

f x

  luôn có ít nhất 1 nghiệm trên mỗi khoảng   2; 1 ,  1;1, 1; 2 .

Câu 2: Vậy với mọi số thực m thì phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực Chứng minh rằng

phương trình 1 m x2 5 3x 1 0

luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Lời giải

Xét hàm số f x( ) 1 m x2 5 3x1

Vì f(0) 1 0 và f 1 m2 1 0 nên f(0).f  10 với mọi m.