tiểu luận toán ứng dụng trong kinh tế

Ngày nay vai trò của toán học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế. Nhiều người cho rằng toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê. Trên bình diện chính sách kinh tế thì các mô hình kinh tế toán và kinh tế lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và thường xuyên trong việc đánh giá và du báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

KHOA KINH TẾ - LUẬT

MỤC LỤC

PHẦN 1 GIỚI THIỆU 1

PHẦN 2 NỘI DUNG 2

2.1 Mô hình cân đối liên ngành (input - output ) của Leontief 2

2.1.1 Giới thiệu mô hình 2

2.1.2 Giải mô hình 3

2.1.3 Ví dụ 4

2.2 Mô hình IS – LM 5

2.2.1 Giới thiệu mô hình 5

2.2.2 Giải mô hình 5

2.2.3 Ví dụ 6

2.3 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân 7

2.3.1 Giới thiệu mô hình 7

2.3.2 Giải mô hình 8

2.3.3 Ví dụ 8

2.4 Áp dùng tích phân tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS) 9

2.4.1 Giới thiệu mô hình 9

2.4.2 Ví dụ 10

2.5 Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa lợi nhuận 11

2.5.1 Giới thiệu mô hình 11

2.5.2 Ví dụ 11

2.6 Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 12

2.6.1 Giới thiệu mô hình 12

2.6.2 Phương pháp giải 13

2.6.3 Ví dụ 14

2.7 Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi tiêu 14

2.7.1 Giới thiệu Mô hình 14

2.7.2 Giải pháp mô hình 15

2.7.3 Ví dụ 16

2.8 Tối đa háo sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho sản xuất 17

2.8.1 Giới thiệu mô hình 17

2.8.2 Ví dụ 17

PHẦN 3 KẾT LUẬN 19

PHẦN 1 GIỚI THIỆU

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới Để đạt được mục tiêu đó thì đòi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triển của tất cả các ngành khác nhau Trong quá trình phát triển kinh tế đó thì toán học

là một yếu tố có ứng dụng rất quan trọng Việc ứng dụng tốt các mô hình kinh

tế vào trong nền kinh tế đòi hỏi các nước phải có một cơ sở toán học vững chắc Bằng chứng là các mô hình kinh tế từ trước đến nay như mô hình IS-

LM ,mô hình tăng trưởng SOLOW dấu ấn của toán học trong đó

Ngày nay vai trò của toán học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế Nhiều người cho rằng toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê Trên bình diện chính sách kinh tế thì các mô hình kinh tế toán và kinh tế lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và thường xuyên trong việc đánh giá và du báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công

PHẦN 1 NỘI DUNG 1.1 Mô hình cân đối liên ngành (input - output ) của Leontief

1.1.1 Giới thiệu mô hình

Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm hàng hóanào đó (output) đòi hỏi phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau để làm nguyênliệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sảnphẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng , nó baogồm :

-Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quátrình sản xuất

-Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặcxuất khẩu , bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các tổ chức xuất khẩu

Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1,2, ,n Để thuận tiện choviệc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất , ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả cácloại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đó bằng tiền Tổng cầu về sản phẩm hàng hóacủa ngành i (i=1),2, ,n) được kí hiệu và xác định bởi

Chú ý rằng: 0, và ở đây , giả thiết là cố định đối với mỗi ngành sản xuất i,(k=1,2, ,n ) Người ta còn gọi là hệ số chi phí đầu vào ma trận

A=()n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào ( hay ma trận hệ số kĩ thuật )Giả sử =0,3 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm của mình , ngành k

đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất.Đặt : X=

Ta gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cấu cuối cùng Khi đó , từ đẳng thức(*), thay chúng ta có :

Hay biếu diễn dưới dạng ma trận :

Ma trận (I-A) được gọi là ma trận Leontief Như vây, nếu chúng ta biết ma trận hệ

số kĩ thuật A và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của cácngành sản xuất

Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự là

10, 20 tỷ đồng Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành

Bải giải:

Kí hiệu: là ma trận tổng cầu

Với: là giá trị tổng cầu của ngành 1

là giá trị tổng cầu của ngành 2

Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng

Theo công thức tính ma trận tổng cầu (***), ta có:

Vậy ma trận tổng cầu là:

Hay: Giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 = 25 tỷ đồng

Giá trị tổng cầu của ngành 2 là x2 = tỷ đồng

1.2 Mô hình IS – LM

1.2.1 Giới thiệu mô hình

Trong mô hình IS-LM để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế ,chúng ta xem xét cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ Một trong những yếu tốquan trọng

ảnh hưởng tới cả hai thị trường này là lãi suất r Mục tiêu của chúng ta là phải xácđịnh được mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng

Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm chi tiêu chính phủ G G 0 Chi

tiêu hộ gia định C=aY+b () (hoặc C=a(1-t )Y+b) ( t – thuế suất thu nhập ), đầu tưI=k-lr ( k ,1 ) phương trình cân bằng của thị trường hàng hóa dịch vụ là :

(Phương trình đường IS )

Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố :

Lượng cầu tiền L = L(Y,r) = mY-nr (m,n và lượng cung tiền M=(được định trước) Phương trình cân bằng của thị trường tiền tệ có dạng:

(Phương trình đường LM)

1.2.2 Giải mô hình

Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng và chúng ta thiết lập hệ

gồm 2 phương trình 2 ẩn Y và r (mô hình IS-LM)

Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có:

Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:

1.2.3 Ví dụ

Xét mô hình IS-LM với : C = 0,6Y +35

a) Sử dụng quy tắc Cramer, xác định mức thu nhập quốc dân và lài suất cân bằng b) Tính khi G0=70; M0=1500 (nghìn tỷ VNĐ)

Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:

b) Với G0 = 70; M0 = 1500, chúng ta có:

1.3 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

1.3.1 Giới thiệu mô hình

Xét mô hình cân bẳng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản với các kí hiệu: Y

là tổng thu nhập quốc dân , G là chi tiêu chính phủ ,I là đầu tư và C là tiêu dùng củacác hộ gia đình

Ở đây, chúng ta giả thiết chỉ tiêu chính phủ và đầu tư là cố định G =và I=,

còn chỉ tiêu hộ gia định có dạng tuyến tính: C = aY+b (0 < a < 1, b > 0)

Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tínhgồm 2 phương trình 2 ẩn Y và C:

Tiếp theo ,xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t%( thường biểu diễn dưới dạng thập phân ), khi đó thu nhập sau thế là:

Và hàm chi tiêu khi đó có dạng:

Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét mô hinh với ảnh hưởng các yếu tố xuất khẩu X vànhập khẩu N Khi đó,mô hình có dạng:

Chú ý: Hai yếu tố xuất khẩu (X) và nhập khầu (N) có thể cho dưới dạng hàm củathu nhập Y hoặc là giá trị cố định cho trước

Chúng ta vấn biển đổi đưa mô hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và C

Cho: C = 0,80Yd + 250; G = G0; Yd = (1- t ).Y (t là thuế suất thu nhập)

a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cânbằng

b) Tình mức thu nhập quốc dân và chỉ tiêu cân bằng với I0=150, G0 =500 (đơnvị: tỉ VND ) và t =0,15 (15%)

Giải :

Đầu tiên ta xác định mô hình cân bằng:

a) Vậy mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là:

b)Với I0 = 150; G0 = 500, t=0,15 ta có

1.4 Áp dùng tích phân tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS)

1.4.1 Giới thiệu mô hình

Trong mô hình thị trường , hàm cầu QD = D(P) ho biết lượng hàng hóa QD mà ngườimua bằng lòng mua ở mỗi mức giá P (ở đây QD là lượng cầu của toàn bộ thịtrường) Khi biểu diễn bằng đồ thị mối liện hệ giữa giá và lượng cầu , các nhà kinh

tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá P và trục hoành biểu diễn lượng Q Vớicách biểu diễn như vậy thì đường cầu là đồ thị của hàm cầu đảo P=(QD ( hàm ngượccủa hàm cầu QD =D(P)).

Giả sự điểm cân bằng của thị trường là (P0.Q0) và hàng hóa được bán với giá P0 trênthị trường Khi đó những người mua lẽ ra bằng lòng trả giá P1 > P0 được hưởng mộtkhoản lợi bằng P1 - P0 đối với mỗi đơn vị hàng hóa mua theo giá thị Tổng số hưởnglợi của tất cả những người tiêu dùng bằng diện tích của tam giác cong AEP0

Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của người tiêu dùng ( Consumers’ Surplus ).Thặng dư của người tiêu dùng được tính theo công thức :

Hàm cung QS = S(P) của thị trường cho biết lượng hàng hóa QS mà các nhà sản xuấtbằng lòng bán ở mỗi mức giá P Đường cung là đó thị của hàm cung đảo P= (QS).Nếu hàng hóa được bán trên thị trường ở mức giá cân bằng P0 thì những nhà sảnxuất lễlẽ ra bằng lòng bán ở mức giá P1 < P0 được hướng một khoản lợi bằng P1 - P0

đối với mỗi đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường Tổng số hưởng lợi của tất cảcác nhà sản xuất bằng diện tích của tạm giác cong AEP0 Các nhà kinh tế gọi đó làthặng dư của nhà sản xuất (Producers’ Surplus )

Thặng dư của nhà sản xuất được tính theo công thức:

1.4.2 Ví dụ

Cho biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại sản phẩm:

1)Tìm điểm cân bằng thị trường

2)Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng

Giải

a)Sản lượng cân bằng Q0 là nghiệm dương của phương trình:

b)Thặng dư nhà sản xuất:

Thặng dư người tiêu dùng:

1.5 Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa lợi nhuận.

1.5.1 Giới thiệu mô hình

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q = f (K,L),trong đó K > 0 là vốn, L > 0 làlao động Giá bán một đơn vị sản phẩm là P >0 , giá một đơn vị vốn và lao đồng lầnlượt PK, PL.Xác định K , L để doanh nghiệp lợi nhuận cực đại

Ta có :

Hàm doanh thu của doanh nghiệp TR=P.Q=P.f(K,L)

Hàm chi phí của doanh nghiệp TC =PK.K + PL.L

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp: = Pf(K,L)- PK.K - PL.L

Mô hình bài toán:

Ta cần tìm (K,L) sao cho max← = Pf(K,L)- PK.K - PL.L

1.5.2 Ví dụ

Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp biết giá thuê một đơn vị vốn K bằng 0.03, giá thuê một đơn vị lao động bằng 2, giá sản phẩm bằng 4 Hãy xác định mức sử dụng K, L để hãng thu được lợi nhuận tối đa

Giải

Lợi nhuận của hãng = Tổng doanh thu – Tổng chi phí

Khi đó, bài toán trở thành:

Vậy khi thì lợi nhuận của doanh nghiệp sẽ đạt tối đa

1.6 Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận

1.6.1 Giới thiệu mô hình

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong điều kiện cạnh tranhhoàn hảo với các mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với

Qi(i=1,n) là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm các mức sản lượng

Q1, Q2,…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong điều kiện độc quyền vớicác mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với Qi(i=1,n) là mức sảnlượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm các mức sản lượng Q1, Q2,…, Qn màdoanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Căn cứ vào cầu của thị trường ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 và Q2 :

Theo phương pháp tìm cực trị của hàm 2 biến số ta xác định được mức sảnlượng là để đạt cực đại, từ đó sẽ suy ra giá tối ưu

1.6.3 Ví dụ

Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là :

Và giá sản phẩm là p1 = 60, p2 = 34 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu ( cholợi nhuận tối đa )

Giải: Hàm tổng lợi nhuận sẽ là:

Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là :

Ta lại có với mọi Q1, Q2

Suy ra do đó lợi nhuận sẽ lớn nhất nếu doanh nghiệp sản xuất 4 đơn vị sảnphẩm thứ nhất và 3 đơn vị sản phẩm thứ hai

1.7 Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi tiêu

1.7.1 Giới thiệu Mô hình

Một gia định dùng số tiền M đề mua hai loại sản phẩm có đơn giá lần lượt là.Hàm lợi ích cảu gia định ứng với hai sản phẩm trên là :

TU = TU() hãy xác định số lượng sản phẩm ,sao cho làm lợi ích đạt giá trị caonhật

Mô hình hóa:

Tủ các yêu cầu trên , ta có mô hình của bài toán :

Xác định số lượng sản phẩm sao cho :

TU = TU()max

Thỏa điểu kiện : +=M

1.7.2 Giải pháp mô hình

Tìm cục trị của hàm số:

W=f()=f(x)với điều kiện : g()=g(x)=b

Lập hàm phụ Lagrange

Điều kiện cần :Giá sử các hàm f và g có các đạo hàm riêng liên tục trong một lâncận của điểm ()và tại điểm đó ít nhất một trong các đạo hàm riêng của g khác 0.Nếu W=f(x) với điều kiện g (x)=b đạt cực trị tại thì tồn tại một giá trị của nhân từlagrange sao cho là nghiệm của hệ phương trình:

để mua hai sản phẩm trên , và lần lượt là đơn giá của hai mạt hàng Bài toán đạt ra

là cần tìm X và Y để cực đại hóa U với ràng buộc

( điều kiện của bài toán ): I ; I

Hàm Lagrange của bài toán :

L=Inx+Iny+(I-

Điều kiện cấp 1:

1.8.1 Giới thiệu mô hình

Sản xuất – cực đại về sản lương

Đặt vấn đề :

Doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=f() và đơn giá các yếu tố đầu vào là cho làtổng kính phí doanh nghiệp đùng để mua các yếu tố đầu vào xác định mức sửdừng các yếu tố đầu vào sao cho doanh nghiệp sản xuất được nhiều nhất

Mô hình hóa :

Ta có tổng chí phí các yếu tố đầu vào là :

Khi đó mô hình của bài toán là :

Tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào sao cho

Q=f(max

Thỏa điển kiện : =

PHẦN 2 KẾT LUẬN

Đây là một số ứng dụng của toán trong kinh tế Toán đóng một vai trò rất quantrọng, có thể nói lả không thể thiếu, trong bộ môn kinh tế Vai trò này có xu hướngtăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làmmột phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức tạpnhư hệ thống kinh tế Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiếntriển rất nhiều Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của

bộ môn kinh tế Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuấtkinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế vàdân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách

TÀI LIỆU THAM KHẢO

https://www.academia.edu/32887725/_B%C3%80I_T%E1%BA%ACP_

%C4%90%C3%81P_%C3%81N_M%C3%94_H%C3%8CNH_TO

%C3%81N_KINH_T%E1%BA%BE

Tài liệu môn học toán cao cấp

Tài liệu môn học toán ứng dụng trong kinh tế của trường đại học kinh tế - đạihọc Đà Nẵng