tiểu luận toán ứng dụng trong kinh tế

Đây là một số ứng dụng của toán trong kinh tế. Toán đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói lả không thể thiếu, trong bộ môn kinh tế. Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làm một phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức tạp như hệ thống kinh tế. Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiến triển rất nhiều. Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế. Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

KHOA KINH TẾ - LUẬT

NGÀNH

TIỂU LUẬN HỌC PHẦN

TOÁN CAO CẤP

TRÌNH BÀY CÁC ỨNG DỤNG TOÁN CHO CÁC MÔ HÌNH KINH TẾ

SVTH:

Lớp:

GVHD :

Bình Dương, tháng năm

MỤC LỤC

1 GIỚI THIỆU

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới Để đạt được mục tiêu đó thì đòi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triển của tất cả các ngành khác nhau Trong quá trình phát triển kinh tế đó thì toán học là một yếu tố có ứng dụng rất quan trọng Việc ứng dụng tốt các mô hình kinh tế vào trong nền kinh tế đòi hỏi các nước phải có một cơ sở toán học vững chắc Bằng chứng là các mô hình kinh tế từ trước đến nay như mô hình IS LM ,mô hình tăng trưởng SOLOW dấu ấn của toán học trong đó

Ngày nay vai trò của toán học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau

từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế Nhiều người cho rằng toán học

là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê Trên bình diện chính sách kinh tế thì các mô hình kinh tế toán và kinh tế lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và thường xuyên trong việc đánh giá và du báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công

Do đó có thể nói răng ngày nay toán học có một vai trò rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế dựa vào toán học chúng ta

có thể tiến hành phân tích và dự báo sự biến động trong nhiều lĩnh vực khác nhau như về giá cả và tài chính Sau đây chúng ta xẽ đi xem xét tầm quan trọng của toán học trong kinh tế và sự úng dụng của nó ở trong một so các mô hình tăng trưòng và phát triển kinh tế

PHẦN 1 NỘI DUNG 1.1 Mô hình cân đối liên ngành (input - output ) của Leontief

1.1.1 Bài toán

Đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản suất trong tổng thể nền kinh tế Ở đây khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa ngành thuần tuý sản xuất

1.1.2 Mô hình

Mô hình này nhằm xác định đầu ra của mỗi ngành trong n ngành sao cho vừa

đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu về loại sản phẩm đó

Giả sử trong mô hình ta có:

• Mỗi ngành chi sản xuất một mặt hàng thuần nhất

• Mỗi ngành sử dụng một tỷ lệ cố định các đầu vào cho sản xuất đầu ra

• Mọi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra thay đổi k lần

Ta ký hiệu các hệ số a là hệ số đầu vào đối với nền kinh tế n - ngành, được xếp trong ma trận:

Với aij, là đơn vị tiền của ngành thứ i dùng để sản xuất ra 1 đơn vị tiền cho ngành thứ j, trong đó cột thứ j cho biết những yêu cầu đầu vào của n ngành để sản xuất ra một lượng hàng hóa đầu ra của ngành thử j tri giá một đơn vị tiền Bên cạnh n ngành, mô hình còn có một ngành khác được gọi là ngành mở Ngành này xác định một cách độc lập một yêu cầu cuối cùng (yêu cầu không như đầu vào) về hàng hóa của mỗi ngành Bản thán nó lại cung ứng những đâu vào thiết yếu (ví du như lao động, dịch vụ, ) cho n ngành trên Những đầu vào thiết yếu do ngành mở cung cấp không được sàn xuất bởi bất kỳ ngành nào trong số n ngành kể trên

Khi đó ta có là giá đầu vào riêng (không bao gồm giá của đầu vào thiết yếu)

để sản xuất ra một đơn vị tiến cho ngành thứ j, Để hợp lý về mặt kinh tế ta giả

sử Vậy giá trị của đầu vào thiết yếu để sản xuất một lượng hàng thứ j trị giá một đơn vị tiền là

1.1.3 Phương pháp giải

Gọi lượng đầu ra của n ngành là X , X , ,Xn yêu cầu cuối cùng cho đầu ra₁ ₂ của ngành thứ i là Giả sử ngành thứ i sản xuất một lượng đầu ra ; vừa đủ để đáp

ứng những điều kiện đầu vào Của n ngành và đáp ứng yêu cầu cuối cùng của ngành mở Khi đó, ta Có:

Trong đó, diễn tả yêu cầu đầu vào của ngành thứ j đổi với ngành thứ i

Nếu viết dưới dạng ma trận ta có (In - A) X = D, trong đó In, là ma trận đơn

vị cấp n, A là ma trận các hệ số đầu vào, X là vécto cột của lượng đầu ra, D là vecto cột biểu thị các yêu cầu cuối cùng Với giả thiết thì X = (In – A)-1

1.1.4 Ví dụ

Trong mô hình input- Output mở biết ma trận đầu vào

Tìm mức sản lượng của 3 ngành, nếu ngành mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó những sản phẩm trị giá tương ứng (70,100,30)

Gọi I3 là ma trận đơn vi cấp 3, A là ma trận đầu vào và D là nhu cầu cuối cùng với X là vectơ ở dạng cột

Ta có:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer, ta có:

Vậy đầu ra của ba ngành lần lượt là 150,200,150

1.2 Mô hình IS- LM

1.2.1 Bài toán

Mô hình IS – LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ

1.2.2 Mô hình

Phương trình IS:

Phương trình LM:

Hệ IS-LM:

Giải hệ này ta được mức thu nhập và lãi suất cân bằng

1.2.3 Phương pháp giải

Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r Giả sử Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng

Thay (6), (7) vào (5), ta được

Phương trình (8) biểu diễn mối quan hệ giữa lãi suất và thu nhập khi thị trường hàng hóa cân bằng và được gọi là phương trình IS

Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r Giả sử lượng cung tiền cố định là Mo và

Điều kiện cân bằng tiền tệ là

Phương trình (9) biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ và được gọi là phương trình LM

Mô hình IS – LM là mô hình gộp IS và LM thành một hệ

Từ mô hình này ta xác định được mức thu nhập Y và lãi suất r đảm bảo cân bằng trong cả hai thị trường: hàng hóa và tiền tệ Chẳng hạn, giải hệ gồm phương trình (8) và (9):

ta tìm được

1.2.4 Ví dụ

Cho

a) Lập phương trình IS

b) Lập phương trình LM

c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền

tệ

Ta có

Vậy phương trình IS là

b) Phương trình LM có dạng

c) Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình

Vậy

1.3 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

1.3.1 Bài toán

Xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng

Mô hình

Xét mô hình cho dưới dạng

Trong đó

- Y là tổng thu nhập quốc dân,

- C là tiêu dùng của dân cư,

- T là thuế,

- I0 là mức đầu tư cố định theo kế hoạch,

- G0 là mức chi tiêu cố định của chính phủ

Phương pháp giải

Xem Y, C, T là các biến số, a, b, d, t và I0, G0 là các số cho trước, biến đổi (3)

ta có hệ phương trình ba ẩn

Giải hệ (4), ta tìm được mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng là

Ví dụ

Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi

Trong đó 500 I0 = 500 là mức đầu tư cố định; Go = 20 là mức chi tiêu cố định Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng

Ta có

Vậy

1.4 Áp dụng tích phân tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS)

1.4.1 Bài toán

Lợi ích của thị trường đối với người mua và người bán

1.4.2 Mô hình

Thặng dư người tiêu dùng

Thặng dư nhà sản xuất

1.4.3 Phương pháp giải

Giải 2 phương trình trên

1.4.4 Ví dụ

Một xí nghiệp độc quyền có hàm tổng chi phí sản xuất sản phẩm X như sau:

TC = 1/6Q2 + 70Q + 18.000 Hàm số cầu thị trường của s.phẩm X là

P = -1/4Q + 310 Tính CS và PS và tổn thất vô ích của thế độc quyền

- Thặng dư người tiêu dùng (CS) trong đồ thị là phần diện tích dưới đường cầu và trên đường giá

=> CSĐQ = Sa = (310-238)*288/2 = 10.368 đvt (S tam giá)

- Thặng dư người sản xuất (PS) trong đồ thị là phần diện tích trên đường cung và dưới đường giá

=> PSĐQ = Sbef = [(238-70)+(238-166)]*288/2 = 34.560 đvt (S hình thang)

- Tổn thất vô ích (DWL) do thế độc quyền gây ra từ việc làm giảm sản lượng

là diện tích hình c và d

DWL = Scd = (238-166)*(411,4-288)/2 = 4442,4 đvt (S tam giá)

Vậy, trong tình trạng độc quyền, thặng dư tiêu dùng là 10.368 đvt và thặng

dư sản xuất là 34.560 đvt Thế độc quyền gây ra khoản tổn thất vô ích là 4442,4 đvt

1.5 Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận

1.5.1 Bài toán

Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất một loại sản phẩm Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng hợp

lý các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (với giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên)

Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá thị trường, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra Gọi p là giá thị trường của loại sản phẩm doanh nghiệp sản xuất, wL và wK là giá thuê lao động và giá thuê tư bản, căn cứ và hàm sản xuất Q = f(K,L) ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận dưới dạng hàm số của hai biến số K, L

1.5.2 Mô hình

Trong đó pQ = pf(K,L) là tổng doanh thu, là tổng chi phí, C0 là chi phí cố định (không phụ thuộc vào K và L)

1.5.3 Phương pháp giải

Điều kiện cần cực trị trường hợp này là:

Dưới giác độ kinh tế điều kiện (1.3) có nghĩa như sau:

Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là: doanh nghiệp phải sử dụng các yếu

tố đầu vào ở mức mà giá trị bằng tiền của sản phẩm hiện vật cận biên của mỗi yếu tố đúng bằng giá của chính yếu tố đó

Điều kiện đủ để hàm lợi nhuận đạt cực đại là:

Và

Do p2 > 0 nên điều kiện này tương đương với điều kiện

Và

1.5.4 Ví dụ

Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là:

trong đó: Π là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w

là tiền lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:

, w = 1, r = 0,02, P = 3

Khi đó, ta có:

Yêu cầu: Tìm L, K sao cho Π đạt giá trị lớn nhất

Bài giải: Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (L, K) là:

Ta có ma trận Hesse:

Vì

;

do đó Π đạt cực đại toàn cục tại (K, L) = (2500, 50)

1.6 Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận.

1.6.1 Điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

1.6.1.1 Bài toán

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với

Qi(i=1,n) là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm các mức sản lượng Q1, Q2,…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

1.6.1.2 Mô hình

1.6.1.3 Phương pháp giải

Gọi Q1, Q2,…, Qn là các mức sản lượng cần tìm

Doanh thu:

Chi phí: C = C(Q1, Q2,…, Qn )

Lợi nhuận:

Bài toán trở thành tìm Q1, Q2,…, Qn để hàm π đạt cực đại

1.6.1.4 Ví dụ

Gi s hàm t ng chi phí c a doanh nghi p c nh tranh là :ả ử ổ ủ ệ ạ

Và giá s n ph m là pả ẩ 1 = 60, p2 = 34 Hãy xác nh m c s n lđị ứ ả ượng t i u (choố ư

l i nhu n t i a)ợ ậ ố đ

Gi i: Hàm t ng l i nhu n s là: ả ổ ợ ậ ẽ

i u ki n c n t l i nhu n t i a là

Ta l i có ạ v i m i ớ ọ Q1, Q2

Suy ra do ó l i nhu n s l n nh t n u doanh nghi p s n xu t 4 đ ợ ậ ẽ ớ ấ ế ệ ả ấ đơn v s nị ả

ph m th nh t và 3 ẩ ứ ấ đơn v s n ph m th hai.ị ả ẩ ứ

1.6.2 Điều kiện cạnh tranh độc quyền

1.6.2.1 Bài toán

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong điều kiện độc quyền với các mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với Qi(i=1,n) là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm các mức sản lượng Q1, Q2,

…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

1.6.2.2 Mô hình

1.6.2.3 Phương pháp giải

Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = TC(Q1,Q2)

Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm của mình căn cứ vào chi phí sản xuất và cầu thị trường

Gi s c u c a th trả ử ầ ủ ị ường là :

Hàm l i nhu n có d ng: ợ ậ ạ

C n c vào c u c a th tră ứ ầ ủ ị ường ta có th bi u di n t ng l i nhu n theo Q1 vàể ể ễ ổ ợ ậ

Q2 :

Theo phương pháp tìm c c tr c a hàm 2 bi n s ta xác nh ự ị ủ ế ố đị được m c s nứ ả

lượng là để đạt cực đại, t ó s suy ra giá t i u ừ đ ẽ ố ư

1.6.2.4 Ví dụ

Gi s doanh nghi p ả ử ệ độc quy n s n xu t hai lo i s n ph m v i hàm chi phíề ả ấ ạ ả ẩ ớ

k t h p là :ế ợ

Gi s c u ả ử ầ đố ới v i các hàng hoá ó là :đ

Hãy xác nh m c s n lđị ứ ả ượng và giá t i u cho các s n ph m ố ư ả ẩ

Gi i ả : Hàm l i nhu n trong tr ng h p này là :ợ ậ ườ ợ

Gi i bài toán c c tr ta xác nh ả ự ị đị được m c s n lứ ả ượng cho l i nhu n t i a là :ợ ậ ố đ

Giá bán để đạ đượ t c l i nhu n t i a làợ ậ ố đ

1.7 Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi tiêu

1.7.1 Bài toán

Ch n (x,y) ọ để hàm l i ích U = U(x,y) ợ đạ ự đạt c c i trong i u ki n đ ề ệ

1.7.2 Mô hình

1.7.3 Phương pháp giải

i u ki n c n túi hàng (x,y) t l i ích t i a là

T i u ki n (3,3) ừ đ ề ệ để xác inh (x,y) ta gi i h phđ ả ệ ương trình

G i là nghi m c a h phọ ệ ủ ệ ương trình (3.4), giá tr tị ương ng c a nhân tứ ủ ử

Lagr ng ă được xác nh theo công th cđị ứ

1.7.4 Ví dụ

Cho hàm l i ích tiêu dùng c a m t chợ ủ ộ ủ thể có d ng nh sau:ạ ư

Cho bi t x, y là kh i lế ố ượng các hàng hóa Cho p,q là giá các hàng hóa tương ng,

ứ M là ngân sách tiêu dùng

Xác nh phđị ương án tiêu dùng có l i nh t cho chợ ấ ủ thể ó.đ

Gi i: ả Ph ng án tiêu dùng có l i nh t cho chươ ợ ấ ủ thể ó:đ

Ta có:

M t khác:ặ

Yêu c u: xác nh phầ đị ương án tiêu dùng có l i nh t cho ch th ó.ợ ấ ủ ể đ

Tìm x, y để TU t i u v i i u ki n ràng bu c là ố ư ớ đ ề ệ ộ

L p hàm Lagrange: ậ

Tìm các o hàm riêng:đạ

Tìm i m d ng: đ ể ừ

V y i m d ng ậ đ ể ừ

T i i m d ng ta xét hàm vi phân toàn ph n c p hai:ạ đ ể ừ ầ ấ

t

Đặ

V i dx, dy th a mãn phớ ỏ ương trình sau:

V y phậ ương án tiêu dùng t i u nh t t i ố ư ấ ạ

1.8 Tối đa hóa sản luợng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho sản xuất

1.8.1 Bài toán

V i Q = f(K,L) là hàm s n xu t, bài toán ớ ả ấ đượ đặc t ra nh sau: Ch n (K,L) ư ọ để

hàm s (4.1), ố đạ ự đạt c c i, v i i u ki n wớ đ ề ệ KK + wLL = B (4.2), (wL, wK l n lầ ượt

là giá lao động và giá t b n)ư ả

1.8.2 Mô hình

1.8.3 Phương pháp giải

Gi thi t, hàm s n xu t có các ả ế ả ấ đạo hàm riêng liên t c c p m t và c p haiụ ấ ộ ấ

trong mi n K, L: K > 0, L > 0ề

Ta ký hi u:ệ

i u ki n c n Q t c c i: Suy ra, t ng t bài toán t i a hoá l i ích,

i u ki n c n Q t c c i, v i i u kiên (4.2) là:

i u ki n Q t c c i, v i i u ki n (4.2) , là :

V i gi thi t tho mãn v i m i k > 0 và L > 0, t h phớ ả ế ả ớ ọ ừ ệ ương trình i u ki nđ ề ệ

c n (4.3) ta xác nh ầ đị được các hàm c u y u t (hàm c u Marshall):ầ ế ố ầ

1.8.4 Ví dụ

M t công ty có hàm s n xu t trong ó K, L l n lộ ả ấ đ ầ ượt là v n và lao ố động Bi tế

giá m t ộ đơn v v n là pị ố k = 120 và giá m t ộ đơn v lao ị động là pL = 60.

N u doanh nghi p chi s ti n là 3000 Tính m c s d ng v n và lao ế ệ ố ề ứ ử ụ ố động để

t i u hóa s n lố ư ả ượng

Gi i:ả

Hàm Lagrange:

Thay vào (3), ta được:

i u ki n:

Vi phân toàn ph n c p 1:ầ ấ

t

Đặ

V y t i a hóa s n lậ ố đ ả ượng thì K=12, L=26, =0,1λ

PHẦN 2 KẾT LUẬN

ây là m t s ng d ng c a toán trong kinh t Toán óng m t vai trò r t

quan tr ng, có th nói l không th thi u, trong b môn kinh t Vai trò này cóọ ể ả ể ế ộ ế

xu hướng t ng d n theo th i gian, m c dù v n còn s phê bình, ch ng ă ầ ờ ặ ẫ ự ố đối vi cệ

dùng toán làm m t phộ ương pháp chính để phân tích, thông hi u m t h th ngể ộ ệ ố

nhân v n ph c t p nh h th ng kinh t Nói chung, toán ã giúp kinh t , nh t làă ứ ạ ư ệ ố ế đ ế ấ

kinh t lý thuy t, ti n tri n r t nhi u D nhiên, toán hoá ã và ang làm thay ế ế ế ể ấ ề ĩ đ đ đổi

b n ch t và ph m vi c a b môn kinh t Toán c ng nh hả ấ ạ ủ ộ ế ũ ả ưởng r t l n ấ ớ đến sự

truy n ề đạt ý ni m và ệ đề xu t kinh t , không nh ng gi a các nhà kinh t v iấ ế ữ ữ ế ớ

nhau, mà còn gi a các nhà kinh t và dân chúng, và gi a các nhà kinh t và cácữ ế ữ ế

nhà làm chinh sách