Bài giảng Vật lí thống kê - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Vật lí thống kê gồm có 6 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Đối tượng và phương pháp của vật lí thống kê – các cơ sở của lý thuyết xác suất; Luận đề cơ bản của vật lí thống kê; Hàm phân bố Gibbs; Áp dụng phân bố Gibbs vào các hệ thực; Các thống kê lượng tử; Áp dụng các thống kê lượng tử.

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ – CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 4

1 Đối tượng và phương pháp của vật lý thống kê 4

1.2 Các biến cố ngẫu nhiên và các đại lượng ngẫu nhiên 5

1.3 Khái niệm xác suất 8

1.4 Các tính chất của xác suất Công thức cộng và nhân xác suất 9

1.5 Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên 12

1.6 Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên 15

1.7 Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên 19

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 22

CHƯƠNG 2 LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 24

2.1 Quy luật tính động lực và quy luật tính thống kê 24

2.2 Phương pháp cơ bản của vật lý thống kê 26

2.3 Việc biễu diễn hệ trong không gian pha 28

2.4 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái 31

2.5 Định lí Liouville về sự bảo toàn thể tích pha Cân bằng thống kê 32

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 38

CHƯƠNG III HÀM PHÂN BỐ GIBBS 39

3.1 Phân bố vi chính tắc Gibbs 39

3.2 Phân bố chính tắc Gibbs 40

3.3 Ý nghĩa vật lí của các thông số của phân bố chính tắc, thiết lập phương trình cơ bản của nhiệt động lực học 46

3.4 Entrôpi và mối liên hệ của nó với xác suất trạng thái 51

3.5 Phân bố Maxwell – Boltzmann 53

3.6 Phân bố chính tắc lớn Gibbs 56

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 60

CHƯƠNG 4 ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS VÀO CÁC HỆ THỰC 61

4.1 Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 61

4.2 Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng 62

4.3 Áp dụng phân bố chính tắc vào các khí thực 65

4.4 Định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do 71

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 74

CHƯƠNG 5 CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 75

5.1 Các hệ lượng tử và các tính chất của chúng 75

5.2 Cách mô tả các hệ lượng tử 77

5.3 Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 79

5.4 Áp dụng phương pháp Gibbs vào các hệ lượng tử 80

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 86

CHƯƠNG 6 ÁP DỤNG CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 87

6.1 Dao động lượng tử và rôtato lượng tử 87

6.2 Áp dụng thống kê Bose – Enstein để nghiên cứu hệ lượng tử 90

6.3 Áp dụng thống kê Fecmi – Dirrac để nghiên cứu hệ lượng tử 93

BÀI TẬP CHƯƠNG 6 95

PHỤ LỤC 96

TÀI LIỆU THAM KHẢO 98

LỜI NÓI ĐẦU

Bài giảng Vật lí thống kê này được biên soạn dành cho sinh viên sư phạm Vật lí, nội dung bài giảng dựa theo giáo trình Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê của Vũ Thanh Khiết Bài giảng gồm có 6 chương:

Chương 1: trình bày sơ lược về đối tượng và phương pháp của Vật lí thống

bố thống kê, thấy rõ được ý nghĩa vật lí sâu sắc của các khái niệm đó

Chương 4: giới thiệu các áp dụng phân bố chính tắc vào việc nghiên cứu các tính chất của hệ thực: khảo sát phương trình trạng thái của khí lí tưởng và khí thực, chứng minh định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do và áp dụng định lí…

Chương 5: nêu lên cơ sở của thống kê lượng tử, tìm ra các công thức của thống kê lượng tử: thống kê Bose – Einstein và Fecmi – Dirrac, nêu lên các điều kiện áp dụng thống kê Maxwell – Boltzmann

Chương 6: trình bày áp dụng của thống kê lượng tử để nghiên cứu các hệ thực như hiện tượng ngưng tụ của khí Bose và sự suy biến của khí Fecmi

Mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn bài giảng không tránh khỏi thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, bạn đồng nghiệp và các em sinh viên Xin chân thành cảm ơn

NGUYỄN THỊ KIỀU THU

CHƯƠNG 1 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ –

CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1 Đối tượng và phương pháp của vật lý thống kê

Cũng như Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê nghiên cứu những hệ bao gồm một số lớn các hạt như nguyên tử, phân tử, ion và các hạt khác mà người ta gọi là hệ nhiều hạt hay hệ vi mô, nhưng bằng phương pháp khác

Nhiệt động lực học nghiên cứu các qui luật tính của chuyển động nhiệt trong các hệ cân bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng, sau đó khái quát hóa các qui luật tính đó cho các hệ không cân bằng Cơ sở của Nhiệt động lực học là các nguyên lí Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa của các kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và được xác nhận bằng thực nghiệm Với công cụ giải tích toán học, Nhiệt động lực học rút ra những hệ thức liên hệ giữa những đại lượng đặc trưng cho các tính chất khác nhau của vật chất

Còn Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ mà

ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ

Tóm lại, Vật lý thống kê có hai nhiệm vụ cơ bản:

+ Tìm các đặc tính vĩ mô của hệ dựa trên các tính chất đã biết của các hạt tạo thành hệ;

+ Và ngược lại tìm các đặc tính của các hạt cấu thành hệ dựa vào các tính chất vĩ mô của hệ

Hầu hết các vật thể vật lý đều gồm một số lớn các hạt, điều này đặt ra những điều kiện đặc biệt cho phương pháp nghiên cứu các vật thể vật lý Chúng ta sẽ không theo dõi chuyển động của từng hạt riêng lẻ, mà ta sẽ nghiên cứu các hạt theo qui luật thống kê Như vậy, lý thuyết phân tử về vật chất chỉ có thể là lý thuyết thống kê

Các qui luật thống kê cho phép ta xác định được trị trung bình của các đại lượng và xác suất của các trị số khả dĩ tùy ý Do đó, phương pháp của Vật lý thống

kê là phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất

Như vậy, Vật lý thống kê là ngành vật lý nghiên cứu các hệ nhiều hạt dùng phương pháp thống kê, hay nói khác đi, Vật lý thống kê hiện đại là lý thuyết thống

kê về các hệ nhiều hạt

Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học Khi hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cân bằng thì các định luật mà ta thu được trong Vật lý thống kê đối với các đại lượng trung bình là trùng với các định luật của nhiệt động lực học Vì vậy người ta gọi Vật lý thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt động lực học thống kê

1.2 Các biến cố ngẫu nhiên và các đại lượng ngẫu nhiên

1.1.1 Các hiện tượng ngẫu nhiên

Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra, xảy ra một cách bất ngờ và chúng ta không biết trước được kết quả của chúng

Ví dụ: + Sự phân rã của hạt nhân nguyên tử;

+ Sự bức xạ của photon từ nguyên tử;

+ Sự bùng nổ trên Mặt trời, vụ nổ của sao, sự va chạm của các phân tử…

Mỗi hiện tượng ngẫu nhiên đều được gây ra bởi một hay nhiều nguyên nhân nào đó Tuy nhiên chúng ta không thể luôn luôn theo dõi được những nguyên nhân

đã đưa đến hiện tượng đó Vì vậy đối với chúng ta những hiện tượng đó là ngẫu nhiên, mặc dù sự thực là chúng do những nguyên nhân nào đó gây ra

1.1.2 Các biến cố ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên là khái niệm rộng hơn hiện tượng ngẫu nhiên hiểu theo cách thông thường

Theo nghĩa thông thường, biến cố ngẫu nhiên là sự biểu hiện của dấu hiệu này hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất (hoặc đặc tính) này hay tính chất khác của một quá trình, hay của một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó

Ví dụ:

Hiện tượng ngẫu nhiên về sự va chạm của các phân tử là một biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên là việc một phân tử nào đó có một vận tốc xác định hoặc

là có phương chuyển động xác định; là số phân tử trong một đơn vị thể tích và năng lượng của chúng…

Khi nói đến biến cố ngẫu nhiên chúng ta không nên cho rằng chúng không

do nguyên nhân nào gây ra cả và không phụ thuộc vào cái gì cả Biến cố ngẫu nhiên được xuất hiện là kết quả tác dụng của một số lớn nguyên nhân tồn tại trong thực tế Tính chất ngẫu nhiên của biến cố đó là một phạm trù khách quan, không phụ thuộc vào sự hiểu biết hay không hiểu biết của chúng ta về nguyên nhân gây ra chúng

Ta có thể phân loại biến cố ngẫu nhiên thành hai loại là biến cố xảy ra một lần và biến cố lặp lại

Biến cố xảy ra một lần (biến cố riêng lẻ) là những biến cố, hoặc là, về nguyên tắc chúng chỉ xảy ra một lần, hoặc là, những biến cố mà đối với ta hình như chúng chỉ xảy ra một lần do ta khảo sát chúng trong phạm vi không gian nhỏ hoặc thời gian nhỏ

Thí dụ: * Sau một khoảng thời gian ngắn (thời gian khảo sát), nguyên tử chỉ

Ví dụ: * Sự cháy sáng của các sao mới trong thiên hà, sự phân rã của hạt nhân nguyên tử urani, sự phát quang của chất khí…

* Cùng một phân tử khí trong một khoảng thời gian dài có thể va chạm nhiều lần với thành bình…Những biến cố như vậy gọi là biến cố đồng loạt hay biến cố đồng nhất

Thí nghiệm chứng tỏ rằng biến cố đồng nhất được đặc trưng bởi những qui tắc và qui luật riêng của chúng Những qui luật tính chỉ biểu hiện đối với một số lớn các biến cố đồng nhất thì được gọi là qui luật thống kê Việc nghiên cứu các qui luật này chính là đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất và bất kì lý thuyết thống

kê nào Đối với biến cố đồng loạt, đồng nhất và lặp lại, người ta có thể đưa vào khái niệm xác suất xuất hiện của chúng

1.1.3 Các đại lượng ngẫu nhiên

Việc một thông số nào đó có một giá trị xác định, có thể coi là một biến cố ngẫu nhiên

Những đại lượng, mà trị số của chúng phụ thuộc vào trường hợp ngẫu nhiên được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên

Thí dụ: Xét đại lượng vận tốc của phân tử trong chất khí

* Biến cố ngẫu nhiên thể hiện ở chỗ: một phân tử nhất định có vận tốc

đã cho Thực vậy, giá trị vận tốc của phân tử trong chất khí phụ thuộc vào sự va chạm của phân tử này với phân tử khác hoặc với thành bình

* Đối với mỗi phân tử, các va chạm đó là ngẫu nhiên Và trong các va chạm ngẫu nhiên đó, vận tốc cũng sẽ biến đổi một cách ngẫu nhiên, cho nên vận tốc

là một đại lượng ngẫu nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận những giá trị gián đoạn hay liên tục Một

số đại lượng ngẫu nhiên có thể có những giá trị liên tục cũng như gián đoạn

Thí dụ: + Mômen động lượng chỉ nhận những giá trị gián đoạn;

+ Vận tốc của phân tử khí có thể nhận vô số những giá trị từ không đến vô cực (liên tục)

+ Năng lượng electron trong nguyên tử chỉ có thể có các trị số gián đoạn, còn năng lượng của electron đó trong trạng thái tự do thì có thể có trị số bất

kì, có nghĩa là nó biến đổi liên tục

Nếu x là một đại lượng ngẫu nhiên thì hàm bất kì (x)cũng sẽ là một đại lượng ngẫu nhiên

Thí dụ: Nếu vận tốc v của phân tử là đại lượng ngẫu nhiên thì động năng Wđ cũng là một đại lượng ngẫu nhiên vì động năng là hàm của vận tốc: 2

đ mv 2

1

W 

Lý thuyết xác suất, về căn bản nghiên cứu không phải là chính các biến cố ngẫu nhiên, mà lại nghiên cứu chính các đại lượng ngẫu nhiên tương ứng với chúng

Để nghiên cứu các đại lượng ngẫu nhiên cần phải biết các giá trị khả dĩ của

nó và biết xác suất của mỗi giá trị đó, có nghĩa là cần phải nghiên cứu các định luật phân bố, hoăc đơn giản hơn là nghiên cứu sự phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên

1.3 Khái niệm xác suất

1.3.1 Xác suất của biến cố

Đối với các đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục thì xác suất riêng biệt trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số xác định nào đó là bằng không Vì vây,

sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có trị số phân

bố trong một khoảng nào đó từ x đến x  dx

Gọi xác suất tìm thấy đại lượngx trong khoảng x là W (x), khi xét trong khoảng vô cùng nhỏ dx là dW(x)

Xác suất dW(x) sao cho đại lượng ngẫu nhiên có thể có trị số nằm trong khoảng từ x đến x dx sẽ:

- phụ thuộc vào chính số x đó, nghĩa là nó là một hàm f(x);

- tỉ lệ với chiều rộng khoảng dx

f(x) được gọi là hàm phân bố xác suất, nó cho biết xác suất trên cùng một khoảng

dx được phân bố phụ thuộc vào chính đại lượng x như thế nào

Ứng với một đơn vị chiều rộng của khoảng biến thiên thì dW(x) = f(x)dx, vì

vậy f(x) còn gọi là mật độ xác suất

hay

dx

dW(x)

1.3.2.2 Đồ thị biễu diễn hàm phân bố

Theo công thức (1.3), xác suất

dW(x) được xác định bằng diện tích của

phân kẻ gạch có đáy là dx

Trị số của đại lượng ngẫu nhiên x

tương ứng với cực đại của hàm gọi là trị

số có xác suất lớn nhất hay trị số cái

nhiên nhất

1.4 Các tính chất của xác suất Công thức cộng và nhân xác suất

1.4.1 Các tính chất của xác suất

Theo định nghĩa (1.1), ta suy ra 0W1 vì 0ni  N

Vậy xác suất là một đại lượng không thứ nguyên, là một số không âm cũng không thể lớn hơn 1, nó được biểu thị bằng một phân số, bằng không, hoặc bằng 1

Nếu W = 1  bất cứ phép thử nào cũng là phép thử thuận lợi với biến cố đã cho biến cố chắc chắn Thí dụ khi ta gieo con xúc xắc thì việc gieo trúng một trong các số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 là một biến cố chắc chắn

Nếu W = 0  biến cố đó gọi là biến cố không thể có

f(x)

x

dx dW(x)

Hình 1.1.Đồ thị của một hàm phân bố bất kỳ

Theo định nghĩa xác suất (1.1):

N

n lim (A)

N  



Mở rộng: W(A hoặc B hoặc C,…hoặc K) = W (A) + W(B) + …+W(K) Trong trường hợp hàm phân bố liên tục (đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục) thì:

dW(x1 hoặc x2) = dW(x1) + dW(x2) = f(x1)dx1 + f(x2)dx2; trong đó, dW(x1) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ x1 đến

x1+dx1, còn dW(x2) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ x2 đến

2

1dW(x))

1.4.2.2 Hệ quả

a Khái niệm về hệ đủ các biến cố

Nếu các biến cố A, B, C, …tạo thành một hệ đủ thì

W(A) + W(B) +…+… = 1 (1.7)

Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hệ đủ các biến cố có thể có bất

kì trị số nào trong toàn bộ khoảng biến thiên của đại lượng từ - đến + Và xác suất tìm một đại lượng ngẫu nhiên trong toàn bộ các giá trị khả dĩ của nó là một biến cố chắc chắn Vì vậy:

Biểu thức (1.8) được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố

b Nếu hai biến cố xung khắc A và B tạo thành hệ đủ các biến cố thì biến cố

A là đối lập (xung đối) với biến cố B Xác suất của bất kì biến cố nào cũng có thể xác định theo xác suất của biến cố đối lập theo công thức:

W(B) 1

1.4.3 Định lí nhân xác suất

Trong trường hợp một biến cố phức tạp nào đó chỉ xảy ra với điều kiện là có biến cố khác xảy ra thì xác suất của biến cố phức tạp đó gọi là xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện xảy ra biến cố A với điều kiện có B xảy ra được xác định theo công thức:

W (A với điều kiện có B) = W(A).W(B) Tương tự như vậy, xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đồng thời xảy

ra hai biến cố độc lập A và B cũng được xác định là tích của các xác suất W(A) và W(B) của các biến cố độc lập:

W (A và B) = W(A).W(B)

Mở rộng cho trường hợp có nhiều biến cố độc lập

W (A và B, và C…, và K) = W(A).W(B) W(C)…W(K) (1.10) Trong trường hợp các đại lượng liên tục x và y là độc lập thì xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đại lượng ngẫu nhiên x có trị số trong khoảng x đến x + dx và đồng thời đại lượng ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng y + dy sẽ được xác định bằng tích các xác suất:

dW(x, y) = dW(x).dW(y) = f(x)dxf(y)dy = f(x)f(y)dxdy (1.11)

Tích hai hàm f(x)f(y) có thể xem như hàm phân bố của hai đại lượng ngẫu nhiên

1.5 Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên

1.5.1 Trị trung bình

1.5.1.1 Định nghĩa

Xét đại lượng ngẫu nhiên x có:

- Trị số x1 xuất hiện n1 lần trong N lần thử, nghĩa là x có trị số x1 với xác suất W1;

- Trị số x2 xuất hiện n2 lần trong N lần thử, nghĩa là x có trị số x2 với xác suất W2;…

- Trị số xk xuất hiện nk lần trong N lần thử, nghĩa là x có trị số xk với xác suất Wk

Khi đó tổng các trị số của đại lượng ngẫu nhiên trong N lần thử là:

x1n1 + x2n2 +…+ xknk

Trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên x được xác định:

N

n x n x n x

N

n lim x N

n lim x x lim

N k 2

N 2 1 N 1

k 2

2 1

1 W x W x W x W

Đẳng thức này biểu thị số lớn hay định lí Chêbưxep nói rằng: trị trung bình

của một đại lượng ngẫu nhiên sẽ dần tới một số không đổi khi số phép đo (thử) là rất lớn

Trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên x biến thiên liên tục thì:

a Trị trung bình của một đại lượng không đổi là chính nó: A̅ = A = const;

b Trị trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên là môt đại lượng không đổi: x̅ = const;

c Trị trung bình của tổng các đại lượng ngẫu nhiên bằng tổng trị trung bình của các đại lượng đó: x + y + z̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = x̅ + y̅ + z̅;

(1.15)

d Trị trung bình của tích các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các trị trung bình của các đại lượng đó: xyz t̅̅̅̅̅̅̅̅ = x̅y̅z.̅ t̅; (1.16)

e Trị toàn phương trung bình của đại lượng ngẫu nhiên

- Đối với các đại lượng có trị số gián đoạn:





 k

1 i

i 2 i 2

W x

Trị toàn phương trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên luôn luôn dương

f Trị trung bình của một hàm tùy ý F(x) của đại lượng ngẫu nhiên x

Gọi F(x) là hàm của đại lượng ngẫu nhiên x

Trong trường hợp phân bố gián đoạn:



 k

1 i

i

i )W F(x

1.5.2 Độ lệch so với trị trung bình – Phương sai – Độ thăng giáng

Độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình cho biết sự phân bố của đại lượng ngẫu nhiên ở gần trị trung bình của nó trong trường hợp trị trung bình

và trị toàn phương trung bình chưa đủ để đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên

Độ lệch so với trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên:

) x (x Δx ), , x (x Δx ), x (x

Δx1 1 2  2 k  k Trị trung bình của độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình của nó: x 0

Thật vậy:

k k

2 2

1

1 x)W x x)W (x x)W(x

 x1W1 x2W2  xkWk  x (W1 W2  Wk)  x  x 1  0 hoặc Δx (x  x ) f(x)dx xf(x)dx  xf(x)dx  x  x 1  0

Vì trị trung bình của độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình bằng không nên để đặc trưng cho sự phân bố của đại lượng ngẫu nhiên ở gần trị trung bình của nó, người ta thường sử dụng độ lệch quân phương hay trị trung bình của bình phương độ lệch, gọi là phương sai

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên được xác định theo công thức:

i 2 i 2

W ) x - (x x)

và (x)2 (x-x)2f(x)dx

x x ) x x (



Độ thăng giáng là độ lệch quân phương của đại lượng ngẫu nhiên

i 2 k

1 i i 2

W ) x (x

Vì vậy, một trong những nhiệm vụ cơ bản của Vật lí thống kê là tìm các định luật cũng như hàm phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên và của các thông số trong các hệ vật lí khác nhau

1.6 Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên

1.6.1 Phân bố đều của đại lượng gián đoạn

Nếu xác suất của các trị số bất kì của đại lượng ngẫu nhiên là như nhau thì chúng ta sẽ có định luật phân bố đều Lúc này, xác suất của một trị số bất kì là:

N

1

với N là số các trị số khả hữu của đại lượng ngẫu nhiên

1.6.2 Phân bố Poatxông (Poisson)

Đại lượng ngẫu nhiên x nhận các trị số gián đoạn là các số nguyên từ không đến vô cực, cũng có thể tuân theo định luật phân bố Poatxông được viết dưới dạng:

;

a x

ex!

aW(x) 

1.6.3 Phân bố đều của đại lượng liên tục

Hàm phân bố được biểu diễn trên hình 1.2 và có dạng giải tích như sau:

b x a c;

const f(x)

f(x)

Hình 1.3

Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố:

1a)(bcdxcf(x)dx

b a b

1c

bxaa-b

1

Xác suất tìm trị số của đại lượng ngẫu nhiên x trong khoảng từ x đến x + dx:

a - b

dx dW(x)  (chỉ phụ thuộc vào chiều rộng dx)

1.6.4 Phân bố có dạng hàm mũ

Ví dụ: Phân rã phóng xạ: khối lượng, số phân tử, độ phóng xạ…

Sự thay đổi của số phân tử theo độ cao…

Phân bố có dạng biểu diễn trên hình 1.3 và có biểu thức giải tích như sau:

Theo điều kiện chuẩn hóa: f(x)dx const e dx 1

0

x -

x 0 αe f(x)

Dạng đồ thị của hàm phân bố được biểu diễn trên hình 1.4

Theo điều kiện chuẩn hóa: f(x)dx const e dx 1

-2 -

Hàm Denta được kí hiệu là δ(xx0) là một hàm suy rộng do Dirăc nêu ra

Nó được xác định bởi các điều kiện sau:

x x1;

x x0;

)x

Hàm δ(xx0) cho phép biểu diễn mật độ xác suất trong trường hợp đại lượng x có một trị số là x0 Thật vậy, mật độ xác suất để x có trị số bằng x0

được xác định:

.

dx

dW(x)f(x) 

- Đối với khoảng dx không chứa x0 thì dW(x) = 0, do đó f(x) = 0

- Đối với khoảng dx vô cùng nhỏ bất kì có chứa điểm x0 thì xác suất sẽ bằng đơn vị và do đó hàm f(x) sẽ có trị số vô cùng lớn

Như vậy, mật độ xác suất tức là hàm phân bố đối với một đại lượng có trị số xác định x0 là hàm Denta:

)xδ(xf(x)   0

Các hàm phân bố trên đều rất hay gặp trong vật lí thống kê Chúng đều có thứ nguyên nghịch đảo với thứ nguyên của đại lượng ngẫu nhiên

1.7 Hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên

Trong nhiều trường hợp, ta thường gặp những biến cố bao gồm nhiều đại lượng ngẫu nhiên hoặc khảo sát những đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều (là đại lượng ngẫu nhiên mà thành phần của chúng được phân bố trong không gian nhiều chiều) Để thuận tiện, ta gọi các đại lượng ngẫu nhiên riêng lẻ trong biến cố chung

hoặc thành phần của đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều là các đại lượng ngẫu nhiên

thành phần, còn hàm phân bố được gọi là hàm phân bố cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên hay là hàm phân bố cho một đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều

Xác xuất của một biến cố trong đó đại lượng ngẫu nhiên x có trị số trong khoảng x đến x + dx và đại lượng ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng từ y đến y +

dy là:

.

dx.dy f(x).f(y)

) dW(x).dW(y y)

Ta thấy rằng tích f(x).f(y) có ý nghĩa là hàm phân bố đối với hai đại lượng ngẫu nhiên f(x,y), tức là mật độ xác suất hai chiều

.

dx.dy y) dW(x, f(x).f(y) y) f(x,   (1.34) Tương tự, đối với n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì hàm phân bố nhiều chiều sẽ có dạng: . dx.dy dt y, t) dW(x, f(t) f(x).f(y) t) y, ,

f(x,   (1.35) a Gọi F là hàm của các đại lượng ngẫu nhiên nào đó F(x,y,…,t) thì: (1.36)

dt .t)dxdy y, y, t)f(x F(x,

F  Từ hàm phân bố của ba đại lượng ngẫu nhiên ta có thể suy ra hàm phân bố của hai đại lương ngẫu nhiên hay hàm phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên:   f(x,y,z)dz y) f(x,

  f(x,y)dy f(x)

 f(x,y).dy f(x,y,z)dz.dy

f(x)

Mở rộng:

.



 f(x,y, ,t,u)duy, t)

b Biểu diễn nhiều đại lượng ngẫu nhiên bằng cách đoán nhận hình học

- Đối với một đại lượng ngẫu nhiên thì ta ghi các trị số của nó trên một đường thẳng hay một trục nào đó

- Đối với trường hợp có hai đại lượng ngẫu nhiên thì ta biễu diễn các đường thẳng đó dưới dạng hai trục tọa độ Đề Các Khi đó không gian tồn tại của hai đại lượng ngẫu nhiên là một mặt phẳng (không gian hai chiều)

- Đối với trường hợp có ba đại lượng ngẫu nhiên ta sẽ có không gian ba chiều

- Đối với trường hợp có n đại lượng ngẫu nhiên ta sẽ có không gian n chiều

Tóm lại, hàm phân bố sẽ được cho trên một đường thẳng hay mặt phẳng hoặc không gian n chiều của các đại lượng ngẫu nhiên đó Khi đó các xác suất sẽ được xác định theo hàm phân bố và các yếu tố không gian dx, dxdy hay dxdy…dt…; cụ thể:

dW(x) = f(x)dx; dW(x, y) = f(x, y)dxdy…;

dW(x, y, …, t) = f(x, y, …, t)dxdy…dt (1.38)

Ta có thể thay thế các kí hiệu: x = x1, y = x2, …, u = xn

dx = dx1, dy = dx2, …, dt = dxn khi đó, không gian n chiều sẽ được viết như sau:

 Đối với vận tốc, xung lượng, vect ơ sóng:

dvdvdv

dvx y z 

dpx y z 

dkdkdk

- Giả sử có hai đại lượng x và y phân bố đều dọc trên các trục tương ứng, nghĩa là ta có:

dW(x) = C1dx; dW(y) = C2dy

Suy ra sự phân bố của x và y trên mặt phẳng Oxy cũng đều:

dW(x,y) = C1C2dxdy; (1.40) dxdy gọi là yếu tố diện tích trong hệ tọa độ vuông góc

Trong hệ tọa độ cực thì yếu tố diện tích dxdy chuyển thành rdrdφ (hình 1.6)

với

.

2 2

yx

Thông thường việc chuyển sang tọa độ cực

được tiến hành trong trường hợp ta chỉ chú ý đến sự

phụ thuộc vào trị số môđun Từ (1.41) ta suy ra

với dxdydz dr là yếu tố thể tích trong tọa độ vuông góc

Chuyển sang hệ tọa độ cầu (r, θ, φ) với công thức:

x = rsinθcosφ; y = rsinθsinφ; z = rcosθ (1.42) Khi đó, yếu tố thể tích trong tọa độ cầu là r2sinθdrdθdφ Vì vậy, trong tọa độ cầu xác suất được viết như sau:

dW(r,θ,φ)=const.r2sinθdrdθdφ (1.43) Nếu phân bố trong không gian là đều thì nó sẽ không phụ thuộc vào các góc

θ và φ, khi đó sự phân bố theo bán kính sẽ bằng tích phân của dW(r,θ,φ)theo các góc:

dr

rconst.4πd

sinθdrconst.r

2π 0

π 0

Trong trường hợp tổng quát, với các tọa độ bất kì u1, u2, …, un và v1, v2, …,

vn thì ta chuyển yếu tố thể tích này sang yếu tố thể tích kia bằng Jacobien I:

du1du2…dun=|I|dv1dv2…dvn; với

2 Chứng minh rằng hàm phân bố Poisson 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑥𝑒−𝑎

𝑥! thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

3 Hãy tìm trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân bố

7 Hãy tính Jacobien biến đổi từ tọa độ ĐềCac sang tọa độ cầu

8 Hãy chứng minh rằng xác suất dW(x) tìm thấy x dao động điều hòa trong một khoảng xác định dx trên đường dao động giữa hai trị biên a và –a có dạng:

CHƯƠNG 2 LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ

2.1 Quy luật tính động lực và quy luật tính thống kê

2.1.1 Quy luật tính động lực

Trong giai đoạn đầu phát triển của vật lý học, cách diễn tả một hệ vật lý là cách diễn tả cơ học, nghĩa là diễn tả tất cả các hạt trên cơ sở các định luật của cơ học cổ điển

Thực vậy, theo quan điểm vĩ mô thì trạng thái của hệ được xem như đã biết nếu như ta biết vị trí và chuyển động của tất cả các hạt trong hệ Khi biết vị trí và chuyển động của các hạt riêng lẻ ở một thời điểm đã cho, dựa vào các định luật cơ học ta có thể xác định chuyển động ở những thời điểm tiếp sau của chúng Như vậy

ta có thể xác định không những trạng thái của hệ ở những thời điểm đã cho mà còn

có thể theo dõi được sự biến thiên của trạng thái đó với thời gian Nói tóm lại, để diễn tả hành vi của hệ ta cần phải xác định chuyển động của tất cả các hạt tạo thành

hệ Đó chính là cách diễn tả thuần túy cơ học của một hệ vật lí

Như vậy, ta thấy trong giai đoạn này người ta cố gắng quy mọi hiện tượng về

các quá trình cơ học Chính vì vậy đã xuất hiện quan niệm về quy luật tính động

lực

Nội dung tổng quát của quy luật tính động lực là: dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác của một số đại lượng đặc trưng cho một quá trình hay một hiên tượng nhất định ta sẽ tính được một cách triệt để của các đại lượng khác bất kì

Các đặc thù của quy luật tính động lực thể hiện rõ khi mô tả và khảo sát các

hệ gồm một số tương đối ít các phần tử (hạt) Thí dụ như khi mô tả định luật tương tác của hai phân tử, chuyển động của hành tinh quanh Mặt Trời…

2.1.2 Quy luật tính thống kê

Khi xét các quá trình trong các hệ gồm một số lớn hạt, như một lượng khí vĩ

mô (bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh kim loại (gồm một số lớn các electron) thì ta không thể sử dụng quy luật tính động lực mà thay vào đó, ta phải sử

dụng quy luật tính thống kê

Để thấy rõ điều này, ta xét một hệ vật lí đơn giản nhất là khí lí tưởng

Giả sử hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau đựng trong một thể tích V

Coi các hạt như là các chất điểm có ba bậc tự do

Để diễn tả chuyển động của hệ, ta cần phải biết 3N tọa độ và 3N vận tốc

Ta diễn tả trạng thái của hệ bằng 3N tọa độ suy rộng q1, q2, …q3N và 3N xung lượng suy rộng p1, p2,…,p3N, tức là ta có 6N biến số

Để tìm sự phụ thuộc của 3N tọa độ suy rộng vào thời gian, ta có thể tiến hành giải 3N phương trình Lagrane loại 2:

trong đó 𝐿(𝑞, 𝑞)̇ = 𝑇 − 𝑈 : là hàm Lagrane

Giải 3N phương trình trên ta sẽ tìm được sự phụ thuộc của các tọa độ suy rộng vào thời gian và vào 3N điều kiện ban đầu (là các trị số của qk và 𝑞̇𝑘 tại thời điểm ban đầu)

Ngoài ra, thay cho các phương trình Lagrane ta có thể giải các phương trình Haminton:

pk= − ∂H

∂qk, q̇k=

∂H

∂pk; (2.2) trong đó, qk là tọa độ suy rộng, pk là xung lượng suy rộng, được xác định theo hệ thức:

Một là, đối với mọi trường hợp ta đều có một số phương trình vi phân rất lớn

Thứ hai là, ta không thể nào xác định tọa độ và vận tốc của tất cả các phân tử

ở một thời điểm nào đó, tức là không thể xác định các điều kiện ban đầu

Như vậy, bài toán cơ học về chuyển động của một số lớn hạt thực tế là không giải được, và ta phải tìm một phương pháp khác để mô tả hệ nhiều hạt Các phương pháp đó là phương pháp thống kê Sử dụng các phương pháp thống kê sẽ mô tả được các tính chất thống kê của hệ nhiều hạt Nói cách khác, trong hệ nhiều hạt có biểu hiện qui luật tính thống kê Quy luật tính thống kê khác hẳn quy luật tính động lực, và là hệ quả của tính chất số đông, đặc thù cho cả tập thể to lớn của hệ nhiều hạt

Quy luật tính thống kê mang tính chất hoàn toàn khách quan, không phụ thuộc vào con người và thể hiện ngay trong bản thân hệ Không thể cho rằng, các định luật xác suất hay các định luật thống kê là kết quả của sự hiểu biết không đầy

đủ của ta về hành vi của các hạt riêng lẻ trong các hệ vĩ mô Trái lại, trong các hệ nhiều hạt, các định luật xác suất cho phép ta có những kết luận đầy đủ về hành vi của toàn bộ hệ, và các đặc trưng tính toán được chính là trị trung bình tính theo tập hợp

Tóm lại, một phân tử riêng lẻ tuân theo định luật động lực học của cơ học, nhưng trong hệ vĩ mô có biểu hiện quy luật tính thống kê

2.2 Phương pháp cơ bản của vật lý thống kê

2.2.1 Trạng thái vĩ mô và trạng thái vi mô Xác suất nhiệt động

a Trạng thái vĩ mô và trạng thái vi mô

Trạng thái vĩ mô là trạng thái được xác định bởi các thông số vĩ mô như nhiệt độ, áp suất, nhiệt độ…, tức là các thông số đo được trong các thí nghiệm vĩ

mô thông thường và nó chỉ có ý nghĩa đối với thế giới vĩ mô

Trạng thái vi mô là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô, tức là các tọa độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ, và chúng chỉ có ý nghĩa đối với thể giới vi mô

Bất kì một trạng thái vĩ mô cân bằng nào của chất khí ở nhiệt độ và áp suất không đổi cũng đều tương ứng với một tập hợp các vị trí và chuyển động khác nhau của các phân tử Thí dụ: trong khi chất khí ở trạng thái cân bằng vĩ mô thì bên trong chất khí luôn luôn có sự thay đổi, sự chuyển động của các phân tử từ trạng thái kích

thích này sang trạng thái kích thích khác và sự thay đổi liên tục các vị trí, năng lượng, xung lương và các đại lượng khác của các phân tử

Tóm lại, mỗi một trạng thái vĩ mô tương ứng với một số lớn trạng thái vi mô, đồng thời các trạng thái vi mô đó thay đổi một cách liên tục Nghĩa là một thông số

vĩ mô F bất kì đều là hàm của các thông số vi mô (và có thể cả thời gian):

F = F(q1, q2, …, q3N, p1, p2…p3N, t)

b Xác suất nhiệt động

Xác suất nhiệt động của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số trạng thái

vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó, tức là số trạng thái vi mô mà hệ có thể thực hiện được, tương thích với điều kiện bên ngoài đã cho

Kí hiệu: WT

Khác với xác suất toán học (xét ở chương I), xác suất nhiệt động lớn hơn 1 rất nhiều: WT >> 1

2.2.2 Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê

Mọi thông số vĩ mô đều là hàm của các thông số vi mô nên trong trường hợp tổng quát nó luôn biến thiên liên tục theo thời gian Tuy nhiên trong các thí nghiệm vật lý ta không thể đo được giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà chỉ đo được giá trị trung bình của nó

Ft=1

t∫ F(q0t 1,…q3N,p1,…p3N)dt, (2.4) Nhưng việc tìm trị trung bình theo (2.4) không thể tiến hành được bởi vì ta không thể biết được sự phụ thuộcủa 6N thông số vi mô vào thời gian tức là thể theo dõi tất cả các biến đổi của trạng thái vi mô theo thời gian

Để giải quyết những khó khăn đó, Gibbs đã đề xuất phương pháp Gibbs: thay

cho việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô) của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho Nói cách khác, thay cho việc khảo sát một hệ, người ta sẽ khảo sát một tập hợp thống kê, tức là tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vi mô giống nhau Đây là phương pháp cơ bản của vật lý thống kê

Ví dụ: Khi nghiên cứu sự biến đổi của ngôi sao, vì các sao biến đổi rất chậm

và trong một khoảng thời gian quan sát ngắn, ta không thể ghi nhận được một biến đổi nào nên thay vì theo dõi sự biến đổi của một ngôi sao, các nhà thiên văn đã quan sát nhiều sao tương tự, tồn tại ở thời điểm đang xét và đang ở thời kì phát triển khác nhau Như vậy, ta đã có thể nghiên cứu sự phát triển theo thời gian của ngôi sao cần xét

Muốn áp dụng phương pháp Gibbs thì ta phải thừa nhận giả thuyết ecgodic:

Mỗi hệ trong tập hợp thống kê đều phải đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các

hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp

Khi đó, trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình

theo tập hợp thống kê

Ví dụ: Muốn xác định trị trung bình của áp suất, thay cho việc đo áp suất của một hệ ở các thời điểm khác nhau rồi lấy trung bình (trung bình theo thời gian), ta chỉ việc đo áp suất của các hệ khác nhau trong tập hợp tại một thời điểm bất kỳ rồi lấy trung bình (trung bình tập hợp)

Lúc này, vấn đề được đặt ra là làm sao để tìm trị trung bình theo tập hợp Muốn vậy, ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố thống kê của hệ

2.3 Việc biễu diễn hệ trong không gian pha

2.3.1 Không gian pha

Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt theo thời gian người ta đưa ra một không gian quy ước gọi là không gian pha

Không gian pha là một không gian quy ước, trong đó các tọa độ là các thông

số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ) Lúc này trạng thái của hệ được mô tả bởi một điểm trong không gian pha

Đối với các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều chiều Số chiều của không gian pha là 2fN chiều

Ví dụ: không gian pha của một phân tử khí lí tưởng là đơn nguyên tử là 6 chiều (f = 3, N = 1)

Có hai loại không gian: không gian 𝜇 và không gian K

Không gian 𝜇 là không gian của một hạt, không gian K là để khảo sát hệ nhiều hạt

2.3.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha

a Điểm pha

Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa độ và xung lượng suy rông của các hạt cấu thành hệ và được biểu diễn bởi một điểm trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha

b Qũy đạo pha

Khi trạng thái hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ chuyển động và sẽ vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định nào đó của hệ Nói cách khác, quỹ đạo pha là tập hợp các điểm pha

Các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau, vì vậy mỗi điểm pha của không gian pha chỉ có một quỹ đạo pha đi qua

c Thể tích pha

Trong vật lý thống kê, không phải ta xét một hệ mà một tập hợp hệ (tập hợp thống kê) và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha Vì vậy,

ta cần phải đưa vào khái niệm thể tích pha

Để thuận tiện ta chia không gian pha thành các thể tích nguyên tố:

dX = dq1…dqfN, dp1…dpfN; (2.5) trong đó tất cả các dqk và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái

2.3.3 Thí dụ về việc mô tả hệ trong không gian pha

Xét dao động tử điều hòa một chiều

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi –kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Động năng của dao động tử: 𝐸đ = 𝑝2

2𝑚

Thế năng của dao động tử: 𝑈 = 𝑘𝑞2

2 ; với q là tọa độ suy rộng, là khoảng cách

H=Eđ+U=mω

2q20

2 =2E̅̅̅ (2.10) đDao động tử có một bậc tự do nên không gian pha là không gian hai chiều với các tọa độ q và p

Phương trình thông số của quỹ đạo pha:

q=q0sin(ωt+φ0) ; p=p0cos(ωt+φ0) (2.11) Suy ra phương trình quỹ đạo pha là

Vậy quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa là elip có các bán trục là q0 và p0

2.4 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái

Trong phương pháp Gibbs, thay cho việc khảo sát một hệ thực nào đó người

ta khảo sát một tập hợp thống kê tức là tập hợp các hệ tương tự nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau Trong không gian pha, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê sẽ được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này là điểm biểu diễn pha của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt là tập hợp pha

Vì các hệ trong tập hợp thống kê luôn biến đổi theo thời gian nên các điểm biểu diễn pha của các hệ đó cũng chuyển động trong không gian pha và vạch ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập đối với sự tồn tại của các điểm khác

Trong không gian pha bao quanh một điểm pha nào đó ta xét một thể tích pha nguyên tố dX

Số lượng dn của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong dX sẽ tỉ lệ với độ lớn dX:

dn=ρdX, (2.13) trong đó ρ=f(q1,q2…p1,p2…,t)=f(X,t) được gọi là mật độ phân bố các hệ, là số

lượng các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha

Xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX:

trong đó, ω(X, t) được gọi là mật độ xác suất hay là hàm phân bố thống kê, nó thỏa

mãn điều kiện chuẩn hóa:

∫ dW = ∫ ω(X, t)dX = 1(X) (2.16) Bởi vì mỗi điểm pha biểu diễn một trạng thái vi mô khả dĩ của hệ thực nên

dW được xác định ở (2.15) cũng chính là xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong trạng

thái vi mô nào đó, được đặc trưng bởi một tập hợp các giá trị của X nằm trong khoảng dX (tức là q1 nằm trong khoảng từ q1 đến q1 + dq1; q2 nằm trong khoảng từ

2.5 Định lí Liouville về sự bảo toàn thể tích pha Cân bằng thống kê

2.5.1 Định lí Liouville và phương trình Liouville

a Định lí Liouville

Trạng thái vi mô luôn thay đổi theo thời gian nên các điểm pha di chuyển trong không gian pha và vẽ nên quỹ đạo pha Định lí Liouville phát biểu như sau:

“Khi các hệ (tức là các điểm pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha thì

các thể tích pha nguyên tố chỉ thay đổi về hình dạng, giữ nguyên về độ lớn”

Ta có dn = ρ1dX1 = ρ2dX2 (2.19)

Ta có thể coi sự chuyển động của các điểm pha tương tự như chuyển động của chất lỏng Vì vậy, bây giờ ta sẽ xét đến phương trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường

Trong khối chất lỏng chuyển động, ta tách ra một thể tích nguyên tố chất lỏng cố định có dạng hình hộp, với các cạnh dx, dy và dz Giả sử chất lỏng chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy qua bề mặt khác

Khi đó, khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo hướng của trục y trong thời gian dt bằng ρvydtdxdz, trong đó 𝜌 là khối lượng riêng của chất lỏng (là hàm của tọa độ và thời gian), vy là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy

Cũng trong thời gian dt trên, khối lượng chất lỏng chảy ra qua bề mặt song song với

bề mặt trước và theo hướng của truc y là:

dtdzdxdy

y

)(ρρ

Ở đây, ta cho rằng 𝜌 và vy đều thay đổi trên đoạn dy

Lượng chất lỏng còn laị trong hình hộp theo trục Oy là:

dydtdzdxy

)v(

)v(y

)v(x

)v(

Lượng chất lỏng còn lại chính là độ biến thiên của khối chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt, nghĩa là:

dtdxdydz

t

dydtdzdxz

)v(y

)v(x

)v(

)v(y

)v(x

)v

Đây là phương trình liên tục đối với chất lỏng

Đối với không gian pha, ta cũng có thể viết được một phương trình tương tự bởi vì về hình thức, chuyển động của các điểm pha và chuyển động của chất lỏng tương tự nhau Trong không gian pha thì:

- Tọa độ của các điểm pha là: q1, q2, … , p1, p2, …

- Vận tốc của các điểm pha là: q̇1, q̇2, … , ṗ1, ṗ2, …

Đối với hệ thực có fN bậc tự do, ta được phương trình liên tục sau đây:

Thực hiện phép tính vi phân trong dấu ngoặc, ta được:

Từ các tính toán trên ta rút ra kết luận sau:

- Thứ nhất, phương trình (2.26) hoàn toàn tương tự như điều kiện không nén được của chất lỏng trong thủy động lực học:

- Thứ hai, đẳng thức (2.27) chứng tỏ rằng, nếu như ta dịch chuyển cùng với một điểm biểu diễn pha của một hệ nào đó trong không gian pha thì mật độ phân bố

ρ sẽ luôn không đổi Và từ (2.23), ta thấy tại một chỗ nào đó trong không gian pha thì ρ biến đổi với thời gian, tức là

ρ1 = ρ2 (2.30) Thay vào (2.19), ta được: dX1 = dX2

Đây chính là định lí Liouville (đpcm)

∂t = − [H,ω] ; (2.33) với [H,ω] là dấu móc PoatXong

Phương trình (2.33) được gọi là phương trình chuyển động của tập hợp pha

thống kê Phương trình này được gọi là phương trình Liouville

2.5.2 Cân bằng thống kê

Đối với hệ thực nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê ω không phụ thuộc tường minh vào thời gian; bởi vì nếu không thì các đại lượng vĩ mô đo được có trị trung bình đo được theo công thức (2.17) sẽ phụ thuộc vào thời gian Có nghĩa là:

điều kiện (2.34) được gọi là điều kiện cân bằng thống kê, nó tương ứng với chuyển

động dừng của tập hợp pha

Thay điều kiện (2.34) vào (2.33), ta rút ra được:

[H,ω] = 0 (2.35)

Ta biết rằng mọi đại lượng thỏa mãn phương trình (2.35) phải là tích phân chuyển động hoặc là hàm của các tích phân chuyển động Trong trường hợp tổng quát, có bảy tích phân chuyển động cộng tính đó là: năng lượng (một tích phân), xung lượng (ba tích phân), mômen động lượng (ba tích phân) Đối với các hệ bảo toàn, nếu bỏ qua chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ thì trong các tích phân của hệ ta chỉ cần chú ý đến năng lượng Do đó, đối với hệ cân bằng nhiệt động thì:

ω(X)=f{H(X)} (2.36) Tổng quát, hàm Hamilton còn phụ thuộc vào các thông số ngoại a: H = H(X, a) nên ta có thể viết:

ω(X)=f{H(X,a)} (2.37) Chúng ta sẽ tìm biểu thức cụ thể của ω(X) đối với các loại hệ khác nhau nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

1 Vẽ quỹ đạo pha cho các trường hợp sau:

a Một hạt khối lượng m, chuyển động theo quán tính với vận tốc v0

b Dao động tử điều hòa một chiều

c Dao động tử điều hòa lượng tử, nghiệm đúng giả thuyết Bo ∫ 𝑝𝑑𝑞 =

𝑛ℎ

d Chuyển động một chiều của các chất điểm trong trường lực có gia tốc

g = const (rơi tự do)

2 Hãy nghiệm lại định lí Liouville đối với chất điểm chuyển động theo quan tính

3 Hãy tính thể tích không gian pha đối với các hệ sau:

a Một phân tử khí lí tưởng đơn nguyên tử

b N hạt khí lí tưởng đơn nguyên tử chứa trong thể tích V, với khối lượng một nguyên tử là m và E là năng lượng của hệ N nguyên tử

c Một dao động tử điều hòa một chiều

CHƯƠNG 3 HÀM PHÂN BỐ GIBBS

Ở chương 2 ta đã tìm ra đối với hệ nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê là hàm của năng lượng:

ω(X)=f{H(X,a)}

Dạng cụ thể của ω(X) hay hàm f(H) phụ thuộc vào loại hệ nhiệt động, phụ thuộc vào đặc tính của mối quan hệ của hệ với các vật bên ngoài và vào phương pháp lựa chọn hệ Thông thường người ta xét hai loại hệ:

- Hệ đoạn nhiệt, tức là hệ cô lập đối với các vật bên ngoài và có một năng lượng E xác định cho trước;

- Hệ đẳng nhiệt là hệ tương tác với hệ điều nhiệt (tức là hệ có nhiệt dung riêng rất lớn) và có một nhiệt độ xác định cho trước

Trong chương này ta sẽ xét các hàm phân bố thống kê của hai loại hệ đó Đây là vấn đề cơ bản của Vật lí thống kê cân bằng

Ta đã xét ở chương 1, hàm phân bố có dạng

như hình 3.1 chính là hàm denta

Vậy:

ω(X)=f{H(X,a)}= Ω(E,a)1 δ{E-H(X,a)}; (3.2)

trong đó 1/ Ω(E,a) là thừa số chuẩn hóa được xác

định từ điều kiện chuẩn hóa: