Bài giảng Cơ học lượng tử - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Cơ học lượng tử được biên soạn với tinh thần chú trọng đến các ý nghĩa vật lý nhiều hơn các tính toán phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức nền tảng về cơ học của thế giới vi mô cùng với một bức tranh toàn cảnh về sự phát triển của lý thuyết lượng tử.

Lời nói đầu

Cuốn bài giảng cơ học lượng tử này được biên soạn cho sinh viên sư phạm của

bộ môn Vật lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng

Bài giảng được biên soạn với tinh thần chú trọng đến các ý nghĩa vật lý nhiều hơn các tính toán phức tạp, nhằm cung cấp cho người đọc các kiến thức nền tảng về cơ học của thế giới vi mô cùng với một bức tranh toàn cảnh về sự phát triển của lý thuyết lượng tử Tài liệu chính khi biên soạn bài giảng này là cuốn sách cơ học lượng tử của các tác giả (GS.TSKH Lê Văn Hoàng [1], David J Griffiths [2])

Người biên soạn chân thành cảm ơn và ghi nhận những ý kiến quý báu của đồng nghiệp để tài liệu hoàn thiện hơn Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: dmuoi@pdu.edu.vn, phone: 0985949460

Tp Quảng Ngãi, tháng 07 năm 2019 Người biên soạn

Đỗ Mười

MỤC LỤC

1 LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ 5

1.1 Bức xạ của vật đen và lý thuyết Planck 5

1.1.1 Khái niệm về bức xạ vật đen 5

1.1.2 Lý thuyết cổ điển giải thích bức xạ vật đen 6

1.1.3 Lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck 8

1.1.4 Ý nghĩa của lý thuyết Planck 10

1.2 Hiệu ứng quang điện và lý thuyết Einstein 11

1.2.1 Hiệu ứng quang điện 11

1.2.2 Lý thuyết cổ điển 12

1.2.3 Lý thuyết Einstein 12

1.2.4 Ý nghĩa của lý thuyết Einstein 13

1.3 Quang phổ vạch nguyên tử và lý thuyết Bohr 13

1.3.1 Quang phổ vạch 13

1.3.2 Sự bất lực của vật lý cổ điển 15

1.3.3 Lý thuyết Bohr 15

1.3.4 Ý nghĩa của lý thuyết Bohr 17

1.4 Hiệu ứng Compton 17

1.4.1 Hạt photon hay sóng điện từ 17

1.4.2 Thí nghiệm tán xạ Compton 18

1.4.3 Giải thích hiệu ứng Compton 19

1.4.4 Ý nghĩa của hiệu ứng Compton 20

1.5 Kết luận 20

2 LƯỠNG TÍNH SÓNG – HẠT 23

2.1 Giả thuyết de Broglie 23

2.1.1 Lịch sử phát triển ý tưởng 23

2.1.2 Lưỡng tính sóng – hạt 24

2.1.3 Ý nghĩa lịch sử của giả thuyết de Broglie 25

2.2 Thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của electron 26

2.2.1 Các mốc lịch sử 26

2.2.2 Thí nghiệm Davisson – Germer 26

3 HÀM SÓNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH SHRӦDINGER 29

3.1 Khái niệm hàm sóng 29

3.2 Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian 30

3.2.1 Phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do 30

3.2.2 Phương trình Schrӧdinger cho hạt vi mô bất kỳ 32

3.3 Phương trình Schrӧdinger dừng 33

3.4 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng 34

4 NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI 36

4.1 Giao thoa electron 36

4.2 Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô 38

4.3 So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổ điển 39

5 CÁC CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 41

5.1 Hạt chuyển động trong hố thế 41

5.1.1 Hố thế vuông góc thành cao vô hạn 41

5.1.2 Hạt chuyển động qua rào thế dạng bậc thang 44

5.1.3 Dao động tử điều hòa 48

5.2 Phương pháp đại số giải phương trình Schrӧdinger 54

6 HÀM SÓNG, TOÁN TỬ VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 58

6.1 Hàm sóng 58

6.2 Toán tử 60

6.2.1 Khái niệm 60

6.2.2 Các phép tính trên toán tử 60

6.2.3 Toán tử Hermite 61

6.2.4 Bài toán hàm riêng trị riêng của toán tử Hermite 61

6.3 Mô tả đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử 62

6.3.1 Tiên đề về đại lượng vật lý 62

6.3.2 Tiên đề tương ứng 63

6.4 Sự phụ thuộc của đại lượng vật lý vào thời gian và các đại lượng bảo toàn 64

6.4.1 Toán tử đạo hàm của đại lượng vật lý theo thời gian 64

6.4.2 Các đại lượng bảo toàn trong cơ học lượng tử 65

7 ĐO ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VI MÔ 66

7.1 Đo đại lượng vật lý 66

7.2 Giá trị trung bình của đại lượng vật lý 66

7.3 Hai đại lượng vật lý đồng thời xác định 67

7.4 Hệ thức bất định Heisenberg 67

7.5 Ví dụ về ứng dụng hệ thức bất định 68

7.5.1 Động năng tối thiểu của hạt trong hố thế 68

7.5.2 Phát hiện ra khối lượng hạt pion 69

8 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM – NGUYÊN TỬ HYDRO 71

8.1 Moment động lượng quỹ đạo 71

8.1.1 Toán tử moment động lượng quỹ đạo 71

8.1.2 Tọa độ cầu 72

8.2 Hàm riêng, trị riêng của toán tử moment động lượng quỹ đạo 73

8.3 Chuyển động trong trường xuyên tâm 78

8.4 Nguyên tử Hydro 79

8.4.1 Phương trình Schrӧdinger 79

8.4.2 Hàm bán kính 82

8.4.3 Năng lượng gián đoạn 86

8.4.4 Hàm sóng 87

8.4.5 Mẫu Bohr qua lý thuyết lượng tử 89

9 SPIN 92

9.1 Spin 1/2 93

9.2 Electron trong từ trường 97

9.3 Phép cộng momen động lượng: 102

1 LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ

Vào nửa cuối thế kỷ XIX, những tiến bộ của kỹ thuật đo đạc cho phép tiến hành nhiều thí nghiệm đối với các hệ vi mô (nguyên tử, phân tử) Từ đó, một loạt các hiệu ứng vật lý mới được phát hiện và không thể giải thích được bằng lý thuyết cổ điển Điều này đòi hỏi sự ra đời một lý thuyết mới cho cơ học về thế giới vi mô, sau này gọi

là Cơ học lượng tử Tuy nhiên, trước khi ra đời một lý thuyết lượng tử hoàn chỉnh, một

số ý tưởng đã được đưa ra để giải thích các hiệu ứng mới Các ý tưởng này mặc dù mang tính đột phá nhưng vẫn chưa đi được vào bản chất vật lý của thế giới vi mô, tuy

đã giải thích trọn vẹn các kết quả thực nghiệm Chính vì vậy, người ta gọi chúng là lý thuyết tiền lượng tử Bài này sẽ trình bày các hiệu ứng vật lý đó cùng với các lý thuyết tiền lượng tử để giải thích chúng, bao gồm: Bức xạ vật đen và lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck; Hiệu ứng quang điện và lý thuyết hạt ánh sáng (photon) của Albert Einstein; Quang phổ vạch và mô hình nguyên tử của Niels Bohr với lý thuyết lượng tử quỹ đạo Ngoài ra, trong bài này cũng trình bày hiệu ứng tán xạ Compton, được phát hiện năm 1923 như một sự tái khẳng định lý thuyết photon Một kết quả thực nghiệm quan trọng khác là nhiệt dung riêng của chất rắn ở nhiệt độ thấp cũng cần

lý thuyết lượng tử để giải thích

1.1 Bức xạ của vật đen và lý thuyết Planck

1.1.1 Khái niệm về bức xạ vật đen

Do dao động nhiệt của các hạt mang điện cấu tạo nên vật chất, các vật thể có khuynh hướng hấp thụ và bức xạ sóng điện từ Sự phụ thuộc của cường độ bức xạ vào bước sóng (tần số) tạo nên phổ bức xạ Phổ bức xạ nhiệt của vật thể có dạng liên tục với cấu trúc phổ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật Một vật thể có thể vừa bức xạ vừa hấp thụ, đồng thời phản xạ các bức xạ tới trên bề mặt Các vật thể hấp thụ hoàn toàn bức xạ

tới được gọi là vật đen và đôi khi còn được gọi là vật đen tuyệt đối để nhấn mạnh sự

hấp thụ hoàn toàn

Vật đen là vật hấp thụ hoàn toàn tất cả các bức xạ điện từ đến bề mặt của vật Các vật thể này luôn phát xạ trở lại môi trường xung quanh các bức xạ điện từ, tạo nên quang phổ đặc trưng cho nhiệt độ của vật gọi là bức xạ vật đen Do vậy, ta phải hiểu vật đen không có nghĩa là có màu đen Khi nhiệt độ càng cao, vật đen càng có khuynh hướng bức xạ điện từ ở vùng bước sóng khả kiến, tạo nên màu sáng cho vật đen Mặt trời là một ví dụ về vật đen trong tự nhiên Trong phòng thí nghiệm, người ta thường

sử dụng một hốc với lỗ rất nhỏ làm mô hình vật đen Các tia bức xạ khi vào hốc có xác suất rất nhỏ để quay trở lại đúng lỗ và thoát ra ngoài sau khi phản xạ trên thành hốc cho nên hầu như tất cả các tia bức xạ đi vào hốc đều bị hấp thụ Mô hình này rất thuận tiện

để nghiên cứu phổ bức xạ vật đen

Việc nghiên cứu về bức xạ của vật thể rất quan trọng và được tiến hành bằng thực nghiệm lẫn lý thuyết vào nửa sau thế kỷ XIX Vào thời gian này, kiến thức về cấu trúc nguyên tử, phân tử của vật chất vẫn đang rất hạn hẹp với mô hình Thompson cho nên các nghiên cứu sâu hơn là rất cần thiết Bức xạ vật đen là công cụ tốt để tìm hiểu bản chất cấu tạo vật chất Khi nghiên cứu bằng thực nghiệm về sự phát xạ của vật đen, người ta thu được đường cong thực nghiệm biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ năng lượng bức xạ vào bước sóng Hình 1.1 biểu diễn phổ bức xạ vật đen ứng với các nhiệt

độ khác nhau Dựa vào các định luật vật lý cổ điển, các nhà khoa học đã nổ lực tìm kiếm công thức mô tả dúng phân bố của năng lượng bức xạ thu được từ thực nghiệm, tuy nhiên không thành công hoàn toàn

Hình 1.1: Phổ bức xạ nhiệt của vật đen ứng với các nhiệt độ khác nhau

1.1.2 Lý thuyết cổ điển giải thích bức xạ vật đen

Phần này sẽ điểm qua các lý thuyết cổ điển đã được đưa ra cuối thế kỷ XIX, trong

đó nhiều thành tựu về bức xạ vật đen có ý nghĩa cho đến nay như định luật Boltzmann về mật độ bức xạ nhiệt phụ thuộc bậc bốn vào nhiệt độ vật đen trong toàn miền thay đổi bước sóng; định luật Wien về sự dịch chuyển nhiệt độ cực đại theo bước sóng Tuy nhiên, để giải thích sự phân bố bức xạ nhiệt theo bước sóng ở một nhiệt độ

Stefan-cố định, các lý thuyết cổ điển như định luật Rayleigh-Jeans, định luật Wien về phân bố bức xạ nhiệt đều không thành công

Trước tiên ta xét công thức của Wien

Hình 1.2: Cường độ bức xạ vật đen theo định luật Wien, so sánh với số liệu thực

nghiệm cho thấy có sự phù hợp rất tốt ở vùng bước sóng ngắn

Sau khi một số thí nghiệm đo phân bố cường độ bức xạ cho vùng bước sóng dài chỉ ra sự không phù hợp của công thức Wien, Rayleigh đã sử dụng lý thuyết bức xạ điện từ cổ điển và phân bố Boltzmann để thu được công thức phân bố bức xạ trong

vùng bước sóng dài Sau đó Jeans đã phát triển lý thuyết của Rayleigh và thu được công thức

  84 B, T k T

với k là hằng số Boltzmann Định luật Rayleigh-Jeans cho kết quả phù hợp với thực Bnghiệm trong vùng bước sóng dài nhưng hoàn toàn thất bại trong miền bước sóng

ngắn, điều này được gọi là sự khủng hoảng vùng tử ngoại

1.1.3 Lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck

Planck đưa ra giả thuyết năng lượng do vật đen phát xạ không liên tục mà gián đoạn theo từng lượng tử để tìm ra phân bố bức xạ vật đen theo bước sóng Ông thu được công thức

Trong đó h, c, k lần lượt là hằng số Planck, vận tốc ánh sáng trong chân không, hằng B

số Boltzmann I , T là cường độ bức xạ, là năng lượng phát xạ bởi một đơn vị diện tích bề mặt vật đen trong một đơn vị thời gian theo một đơn vị góc khối tính trong một đơn vị bước sóng tại lân cận bước sóng 

Công thức liên hệ giữa cường độ bức xạ với mật độ năng lượng điện từ   , Ttrong hốc ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực như sau

Có thể hiểu một cách định tính công thức này rằng: trong một đơn vị thời gian, bức xạ

đi qua một đơn vị diện tích bề mặt vật đen sẽ chứa trong một khối trụ có thể tích bằng tốc độ ánh sáng c  đơn vị thời gian  đơn vị diện tích Do đó, tổng năng lượng là

 

c   Năng lượng này phát xạ ra mọi hướng cho nên để tính mật độ năng lượng, ta chia cho tổng góc khối 4 

Công thức  1.3 hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm trên toàn miền thay đổi bước sóng Ngoài ra, trong trường hợp bước sóng ngắn:  hc / k TB , do có xấp xỉ

Trong đó  là năng lượng trung bình của sóng dừng với bước sóng 

Ta tính năng lượng trung bình này theo quan điểm: sóng điện từ ứng với một bước sóng  cho trước, được phát ra do dao động nhiệt của các ion mang điện với các biên độ khác nhau, là tập hợp các dao động điện từ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực với năng lượng có giá trị thay đổi liên tục từ không đến vô cùng:     0 Sử dụng phân bố Boltzmann, ta tính được

B 0

B

B 0

Thế (1.6) vào (1.5) và (1.4), thu được kết quả cổ điển – công thức (1.2) của Jeans

Rayleigh-Như đã nói, công thức Rayleight-Jeans không mô tả được thực nghiệm trong vùng bước sóng ngắn Như vậy, cần phải thay đổi chuỗi lý luận từ (1.4)-(1.5)-(1.6), và Planck là người đã thay đổi bức tranh về năng lượng của bức xạ điện từ Ông cho rằng bức xạ vật đen bao gồm một tập hợp các dao động điện từ nhưng với các giá trị năng lượng gián đoạn: εn = nε0, n = 0, 1, 2,… và đây chính là các lượng tử năng lượng của bức xạ nhiệt Khi đó, thay vì sử dụng (1.6), giá trị năng lượng trung bình của sóng dừng ứng với bước sóng λ được tính bằng công thức

0 0

1.1.4 Ý nghĩa của lý thuyết Planck

Như vậy với giả thuyết về sự lượng tử hóa năng lượng bức xạ điện từ, Max Planck đã tìm ra công thức phù hợp hoàn toàn với đường cong thực nghiệm biểu diễn

sự phân bố năng lượng bức xạ nhiệt của vật đen theo bước sóng Công thức này lần lượt trùng với công thức của Wien và công thức Rayleigh-Jeans trong hai miền tiệm

thuyết lượng tử trọn vẹn vì chưa giải thích được bản chất vật lý của sự lượng tử hóa năng lượng bức xạ nó chỉ đơn thuần là một giả thiết để thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm Tuy nhiên, ý tưởng về sự lượng tử hóa năng lượng có tính cách mạng, đã thay đổi hoàn toàn cách suy nghĩ cổ điển và chính là cơ sở đầu tiên cho việc hình thành

cơ học lượng tử Planck được trao giải Nobel Vật lý năm 1918 cho thuyết lượng tử năng lượng

1.2 Hiệu ứng quang điện và lý thuyết Einstein

1.2.1 Hiệu ứng quang điện

Hiệu ứng quang điện là hiện tượng electron được phát ra khi chiếu ánh sáng lên

bề mặt kim loại Các electron này được gọi là electron quang điện và sự dịch chuyển có hướng của chúng tạo nên dòng quang điện Hình 1.4 trình bày sơ đồ thí nghiệm để khảo sát hiện tượng quang điện Ngoài ra, ta có thể xác định được vận tốc của electron khi thoát ra khỏi bề mặt kim loại bằng cách áp điện thế ngược vào điện cực dương và điện cực âm sao cho dòng quang điện bằng không Khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc thoát của electron và cường độ dòng quang điện bão hòa vào cường độ cũng như bước sóng chùm ánh sáng chiếu tới, ta rút ra được các quy luật đặc biệt gọi là các định luật quang điện

Hình 1.4: Sơ đồ khảo sát hiệu ứng quang điện Chùm ánh sáng được chiếu vào cathode

làm bứt các electron, bay về anode tạo nên dòng quang điện

Nội dung các định luật quang điện thể hiện qua các kết quả thực nghiệm sau

(1) Hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng ánh sáng tới nhỏ hơn một giá trị tới hạn λ ≤ λ max , giá trị λ max được gọi là bước sóng ngưỡng

(2) Vận tốc của electron bứt ra không phụ thuộc vào cường độ mà chỉ phụ thuộc vào bước sóng của chùm ánh sáng chiếu tới

(3) Cường độ dòng quang điện bão hòa không phụ thuộc vào bước sóng mà tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới

1.2.2 Lý thuyết cổ điển

Lý thuyết cổ điển về bức xạ điện từ gặp khó khăn khi giải thích hiệu ứng quang điện Thật vậy, ánh sáng là sóng điện từ, nó có thể cung cấp năng lượng liên tục cho electron Electron tích tụ dần năng lượng cho đến khi đủ lớn để vượt qua rào thế ở bề mặt kim loại và thoát ra Tùy thuộc vào cường độ bức xạ lớn hay nhỏ mà thời gian tích

tụ năng lượng nhanh hay chậm Do đó, từ quan điểm cổ điển, hiệu ứng quang điện sẽ xảy ra với mọi bước sóng ánh sáng chiếu tới Quy luật (1) rút ra từ quan sát thực nghiệm không thể giải thích được

Đồng thời cũng từ lý luận trên, ta thấy động năng của electron thoát ra phụ thuộc vào cường độ ánh sáng tới: cường độ càng lớn thì động năng electron thoát ra càng lớn

Do đó quy luật (2) cũng không giải thích được Ngoài ra, lý thuyết cổ điển cũng không giải thích được sự tỷ lệ thuận của cường độ dòng quang điện bão hòa với cường độ ánh sáng như quy luật thực nghiệm (3) Trong ba định luật quang điện thì định luật (2) và định luật (3) do Einstein phát hiện sau khi đưa ra lý thuyết của mình để giải thích định luật (1) Các định luật do tiên đoán lý thuyết của Einstein sau đó nhiều năm mới được thực nghiệm của Millikan kiểm chứng

1.2.3 Lý thuyết Einstein

Năm 1905, Einstein công bố một công trình quan trọng giải thích một cách trọn vẹn hiệu ứng quang điện Ý tưởng chính của Einstein là giả thuyết về lượng tử ánh sáng, theo đó sóng điện từ khi tương tác với vật chất thể hiện như một dòng các lượng

tử ánh sáng có năng lượng E = hν = hc/λ Sau này khi Compton đưa ra hiệu ứng tán xạ mang tên ông vào năm 1923 và được trao giải Nobel Vật lý năm 1927, sóng điện từ được công nhận rộng rãi như là tập hợp các hạt độc lập gọi là photon, do Gilbert Lewis đặt tên năm 1926

Với giả thuyết lượng tử ánh sáng, Einstein cho rằng khi một photon gặp một electron trong kim loại, nó sẽ bị hấp thụ hoàn toàn Sau khi electron nhận được năng

lượng, nó sẽ tiêu tốn một công thoát W bằng năng lượng liên kết của nó trong kim loại

và bứt ra khỏi bề mặt kim loại với động năng

số electron bứt ra khỏi bề mặt kim loại trong một đơn vị thời gian Vì thế dòng quang điện bão hòa sẽ tăng tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới

1.2.4 Ý nghĩa của lý thuyết Einstein

Như vậy, bằng lý thuyết lượng tử ánh sáng, Einstein đã giải thích thành công quy luật về giá trị bước sóng tới hạn của hiệu ứng quang điện mà lý thuyết cổ điển không làm được, đồng thời tiên đoán hai quy luật quang điện khác Lý thuyết của Einstein không những giải quyết được một vấn đề bế tắc của vật lý học cổ điển mà còn mở ra một tư duy hoàn toàn mới về bản chất của thế giới vi mô Nếu Planck chỉ mới thấy năng lượng bức xạ là các đại lượng gián đoạn thì Einstein chỉ ra rằng ánh sáng là các hạt có năng lượng Và đến khi mà các thí nghiệm của Compton về tán xạ tia X trên các electron được giải thích bằng lý thuyết va chạm giữa hạt photon và hạt electron thì cộng đồng các nhà vật lý mới hoàn toàn tin vào tính hạt của sóng điện từ Đây cũng là gợi ý cho de Broglie đưa ra giả thuyết lưỡng tính sóng-hạt của vật chất vào năm 1924 Albert Einstein được trao giải Nobel vào năm 1921 cho việc giải thích hiệu ứng quang điện

1.3 Quang phổ vạch nguyên tử và lý thuyết Bohr

1.3.1 Quang phổ vạch

Khái niệm quang phổ được dùng lần đầu tiên trong lĩnh vực quang học khi ánh sáng qua lăng kính được tách ra thành các màu khác nhau Sau này, khái niệm quang phổ được sử dụng cho vùng sóng điện từ rộng hơn chứ không chỉ riêng vùng ánh sáng khả

kiến Lúc này quang phổ được hiểu là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ bức

xạ sóng điện từ theo bước sóng hoặc tần số Năm 1859, hai nhà khoa học Gustav Kirchhoff và Robert Bunsen sau khi cùng nhau thực hiện các nghiên cứu đã phát hiện

ra rằng các nguyên tử chỉ hấp thụ hay phát xạ ánh sáng với những giá trị bước sóng rời rạc λk Những bước sóng này đặc trưng cho từng nguyên tử được gọi là quang phổ vạch hấp thụ hay phát xạ của nguyên tử Trên Hình 1.5 biểu diễn quang phổ vạch của nguyên tử hydro, ta thấy phổ này có cường độ cực đại hoặc cực tiểu tại một số giá trị bước sóng nhất định Đôi khi người ta không quan tâm đến cường độ bức xạ nên quang phổ vạch được hiểu là tập hợp các bước sóng (tần số) của sóng điện từ phát xạ hay hấp thụ của một nguyên tử

Hình 1.5: Quang phổ vạch của nguyên tử hydro: biểu diễn cường độ theo bước sóng và

tập hợp các bước sóng rời rạc

Các nhà khoa học nghiên cứu những quy luật của bước sóng trong quang phổ vạch và đến năm 1884, Johann Balmer đã đưa ra công thức tính bước sóng cho quang phổ nguyên tử hydro trong vùng ánh sáng khả kiến, sau này được gọi là dãy Balmer, như sau

2

2 2

n C

1.3.2 Sự bất lực của vật lý cổ điển

Dựa trên quan điểm của vật lý cổ điển thì các quá trình vật lý chỉ có thể diễn ra một cách liên tục, các đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ chỉ có thể biến thiên một cách liên tục chứ không thể gián đoạn khi trường ngoài thay đổi Sóng điện từ phát ra từ nguyên tử là do chuyển động có gia tốc của hạt mang điện cho nên không thể tìm ra được cơ chế nào giúp cho phổ nguyên tử hydro có các bước sóng gián đoạn Hơn nữa,

lý thuyết cổ điển cũng không giải thích được tính bền vững của nguyên tử Theo mô hình nguyên tử Rutherford, electron chuyển động quanh hạt nhân phải liên tục phát xạ sóng điện từ, năng lượng của electron giảm dần một cách liên tục và cuối cùng nó sẽ rơi vào hạt nhân và nguyên tử sẽ không tồn tại

1.3.3 Lý thuyết Bohr

Cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, nhiều mô hình nguyên tử được đưa ra, nhưng đáng chú ý nhất là mô hình Rutherford trong đó hình dung nguyên tử bao gồm hạt nhân rất nặng mang điện tích dương và các electron nhẹ, mang điện tích âm chuyển động xung quanh Mô hình này được đưa ra vào năm 1911 nhưng không thể giải thích được quang phổ vạch nguyên tử hydro cũng như sự bền vững của nguyên tử Năm 1913, Niels Bohr đưa ra mô hình nguyên tử với các giả định:

(1) Electron chuyển động theo một số quỹ đạo xung quanh hạt nhân gọi là quỹ đạo dừng Khi ở trên quỹ đạo dừng này, electron không phát xạ sóng điện từ và có năng

lượng xác định Tập hợp các mức năng lượng này tạo thành một phổ năng lượng gián đoạn

(2) Electron phát xạ hay hấp thụ năng lượng khi nó chuyển từ quỹ đạo dừng này qua quỹ đạo dừng khác Năng lượng hấp thụ hay phát xạ là đại lượng gián đoạn    E h

Như vậy, với hai tiên đề trên, Bohr cho phép sử dụng lý thuyết chuyển động cổ điển vào hệ vi mô Từ tiên đề (2), để có thể đưa ra mức năng lượng trên các quỹ đạo cho phép, Bohr đưa ra quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo

nghĩa là moment động lượng quỹ đạo L của electron trên quỹ đạo dừng bằng số nguyên lần hằng số Planck rút gọn Thật vậy, Bohr tính toán như sau cho nguyên tử hydro Khi electron chuyển động trên quỹ đạo tròn, lực Coulomb đóng vai trò lực hướng tâm cho nên

Trong đó me và e lần lượt là khối lượng và điện tích của electron; v, r lầ lượt là vận tốc

và bán kính quỹ đạo của electron; k 1/ 4 0là hằng số Coulomb Từ công thức (1.12),

ta suy ra được vận tốc trên quỹ đạo của electron 2

e

v ke / m r Mặt khác quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo (1.11) cho ta biểu thức m vre n với n = 1, 2, 3,… là số nguyên Kết hợp lại cho ta bán kính quỹ đạo dừng là đại lượng gián đoạn

2 2

e

nr

ta tính được hằng số Rydberg lý thuyết qua các hằng số cơ bản Kết quả thu được giá trị lý thuyết RH 1.0973731568539 10 m 7 1 cho thấy có sự phù hợp rất cao giữa lý thuyết Bohr với công thức thực nghiệm của Rydberg

1.3.4 Ý nghĩa của lý thuyết Bohr

Công thức lý thuyết của Bohr phù hợp hoàn toàn với công thức thực nghiệm của Rydberg Hay nói khác hơn, lý thuyết Bohr hoàn toàn giải thích được một cách định lượng quang phổ vạch nguyên tử hydro và tính bền vững của nguyên tử

Tuy nhiên đây chỉ là lý thuyết tiền lượng tử vì vẫn chưa chỉ rõ bản chất vật lý của

sự lượng tử hóa quỹ đạo electron, nhưng nó có tầm quan trọng trong việc phát triển tư duy và hiểu biết của nhân loại về thế giới vi mô Niels Bohr được trao giải nobel vật lý vào năm 1922 cho sự phát triển lý thuyết cấu trúc nguyên tử và mô hình nguyên tử mang tên ông Quy tắc lượng tử hóa quỹ đạo là một giả thuyết mang tính cách mạng, sau đó đươc Arnorl Sommerfield mở rộng cho phép xét đến các quỹ đạo ellipse

1.4 Hiệu ứng Compton

1.4.1 Hạt photon hay sóng điện từ

Từ năm 1905 Einstein đã đưa ra giả thuyết lượng tử ánh sáng nhưng khái niệm về hạt ánh sáng vẫn chưa được các nhà khoa học chấp nhận ngay Cho đến những năm hai mươi của thế kỷ XX, các nhà khoa học vẫn tranh luận xem trong các hiện tượng nào thì sóng điện từ (mà cụ thể là tia X) cần phải tính theo lý thuyết lượng tử Einstein và trong trường hợp nào thì tính theo lý thuyết sóng điện từ cổ điển Maxwell Đặc biệt hiệu ứng giao thoa chùm tia X trên cấu trúc tinh thể được phát hiện vào năm 1912 càng khẳng định tia X là sóng điện từ với bước sóng rất ngắn Trong một thời gian dài, rất ít thí nghiệm có đủ độ chính xác để kiểm chứng tính hạt hay sóng của ánh sáng Mãi đến

năm 1914, Robert Millikan mới kiểm chứng được định lượng sự phụ thuộc động năng của electron quang điện vào bước sóng như công thức tiên đoán của Einstein Do vậy, Einstein quay lại với vấn đề lượng tử ánh sáng và vào năm 1921 đề ra thí nghiệm kiểm chứng bằng cách đo ánh sáng phát ra từ nguyên tử chuyển động Tuy nhiên, Schrӧdinger đã chỉ ra các tính toán trong thí nghiệm này của Einstein theo lý thuyết hạt ánh sáng sẽ trùng với hiệu ứng Doppler Như vậy, cho đến 1922 vẫn chưa có thí nghiệm nào khẳng định lý thuyết hạt ánh sáng một cách thuyết phục

1.4.2 Thí nghiệm tán xạ Compton

Arthur Compton bắt đầu nghiên cứu tán xạ tia X lên vật chất từ những năm 1913

và đến những năm hai mươi của thế kỷ XX ông phát hiện tia gamma sau khi tán xạ sẽ mềm hơn rất nhiều (bước sóng sẽ dài hơn) Ông nghiên cứu kỹ hơn hiện tượng này bằng cách cho tia X tán xạ trên tinh thể graphite Kết quả cho thấy sau khi tia X sau khi

đi qua tinh thể graphite bị tán xạ theo nhiều phương Trong phổ tán xạ, ngoài vạch có bước sóng λ của chùm tia tới còn có những vạch với bước sóng    ' Thực nghiệm chứng tỏ rằng  ' không phụ thuộc vào cấu trúc của tinh thể mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ của , là góc hợp bởi phương truyền của tia X ban đầu và phương của tia X bị tán xạ độ tăng bước sóng của tia X được xác định bởi công thức:

1.4.3 Giải thích hiệu ứng Compton

Theo lý thuyết sóng ánh sáng cổ điển, khi tia X truyền đến thanh graphite, nó làm cho các hạt mang điện trong thanh dao động cưỡng bức với cùng tần số của tia X, do

đó các tia tán xạ về mọi phương phải có cùng tần số với tia tới Như vậy, lý thuyết sóng ánh sáng không giải thích được hiệu ứng Compton Công thức thực nghiệm (1.17) được Compton giải thích hoàn toàn bằng lý thuyết hạt ánh sáng của Einstein Chúng ta

có thể coi hiện tượng tán xạ tia X lên graphite như là một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một hạt lượng tử ánh sáng và một electron trong tinh thể Trong phổ tán xạ, những vạch có bước sóng bằng bước sóng λ của tia X chiếu tới tương ứng với sự tán xạ của tia X lên các electron ở sâu trong nguyên tử, các electron này liên kết mạnh với hạt nhân Còn các vạch có bước sóng lớn hơn λ tương ứng với sự tán xạ tia X lên các electron liên kết yếu với hạt nhân Năng lượng liên kết của các electron này rất nhỏ so với năng lượng của photon, do đó các electron đó có thể xem là tự do

Năng lượng và xung lượng của photon trước và sau khi va chạm với electron lần lượt là

hk hk '

p

Phương trình này tương đương với hai phương trình khi xét theo từng phương vuông góc và song song với phương tới của photon

e

h2.4263102389 10 m

m c



Đây chính là bước sóng của photon có năng lượng bằng năng lượng nghỉ của electron

1.4.4 Ý nghĩa của hiệu ứng Compton

Như vậy, chỉ sau khi Compton làm thí nghiệm và phát hiện ra hiệu ứng Compton thì lý thuyết hạt ánh sáng mới được công nhận rộng rãi Lúc này các nhà khoa học mới thật sự tin rằng hạt ánh sáng mang năng lượng và cả xung lượng Năm 1926, Gilbert Lewis đã gọi hạt ánh sáng này là photon và đến năm 1927, Arthur Compton được trao giải nobel vật lý cho hiệu ứng mang tên ông

1.5 Kết luận

Trong phần này, chúng ta đã biết đến ba lý thuyết liên quan đến ba hiện tượng vật

lý khác nhau Các lý thuyết này vượt ra ngoài lý thuyết cổ điển và hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm, giải thích cả định tính và định lượng cho các hiện tượng vật lý (bức

xạ vật đen, hiệu ứng quang điện, và quang phổ vạch hydro) Tuy chúng là các lý thuyết khác nhau nhưng đều có điểm chung là giả thuyết về sự lượng tử hóa năng lượng (điều này không thể giải thích được từ các quy luật vật lý trong thế giới vĩ mô), và chính điểm chung này đã dẫn đến tên gọi của cơ học của thế giới vi mô là Cơ học lượng tử

Mặc dù giải thích được hoàn toàn thực nghiệm, các lý thuyết của Planck, Einstein

và Bohr vẫn chưa thể coi là lý thuyết lượng tử do các giả thuyết này chưa đi sâu vào bản chất vật lý của thế giới vi mô Các nhà khoa học quen gọi các lý thuyết từ 1900 đến trước năm 1925 là lý thuyết tiền lượng tử Lý thuyết lượng tử chỉ bắt đầu khi Louis

de Broglie giả thuyết về bản chất sóng của hạt vi mô (1924), được kiểm chứng bằng thí nghiệm nhiễu xạ chùm electron trên tinh thể của Davidsson và Germer (1927) và được phát triển vũ bão sau đó bằng một loạt các phát minh Trước tiên phải kể đến việc xây dựng cơ học ma trận của Heisenberg (1925), xây dựng phương trình sóng Schrodinger (1926); tiếp theo, Max Born đưa ra ý nghĩa thống kê của hàm sóng (1926) với nguyên

lý chồng chất trạng thái hoàn toàn xa lạ với vật lý cổ điển; và cuối cùng là hệ thức bất định Heisenberg (1927) chỉ ra hạn chế của các khái niệm cổ điển khi vận dụng vào thế giới vi mô

Các mốc thời gian ra đời cơ học lượng tử

(i) 1900 - Bức xạ vật đen-Lượng tử năng lượng, Max Planck (Nobel 1918)

(ii) 1902 - Hiệu ứng Zeeman (1986) được trao giải Nobel – tách phổ vạch nguyên tử trong từ trường, Pieter Zeeman (Nobel 1902)

(iii) 1905 – Hiệu ứng quang điện – Lượng tử ánh sáng, Albert Einstein (Nobel 1921) (iv) 1913 – Quang phổ vạch – Mô hình Bohr, Niels Bohr (Nobel 1922)

(v) 1913 – Hiệu ứng Stark – Tách phổ vạch nguyên tử trong điện trường, Johannes Stark (Nobel 1919)

(vi) 1922 – Spin – Thí nghiệm Stern-Gerlach, Otto Stern (Nobel 1943)

(vii) 1923 – Tán xạ Compton – Hạt photon, Arthur Compton (Nobel 1927)

(viii) 1924 – Giả thuyết tính sóng của electron, Louis de Broglie (Nobel 1929)

(ix) 1925 – Nguyên lý loại trừ Pauli, Wolfgang Pauli (Nobel 1945)

(x) 1925 – Khái niệm Spin – Giải thích hiệu ứng Zeeman dị thường, Goerge Uhlenbeck

và Samuel Goudsmit

(xi) 1925 – Cơ học ma trận, Werner Heisenberg

1926 – Phương trình sóng, Erwin Schrodinger (Nobel 1933)

(xii) 1926 – Ý nghĩa thống kê của hàm sóng, Max Born (Nobel 1954)

(xiii) 1927 – Thí nghiệm Davisson-Germer – Nhiễu xạ chùm electron, Clinton Davisson (Nobel 1937)

(xiv) 1927 – Nguyên lý bất định, Werner Heisenberg (Nobel 1932)

(xv) 1928 – Phương trình Dirac – Cơ học lượng tử tương đối tính, Paul Dirac (Nobel

1933)

Câu hỏi và bài tập

1.1 Nêu các lập luận để Wien đưa ra định luật về phân bố bức xạ nhiệt

1.2 Kiểm chứng sự phù hợp của công thức Wien về phân bố bức xạ với định luật Stefan-Boltzmann

1.3 Công thức của định luật Wien và định luật Rayleight-Jeans có thay đổi trong các hệ đơn vị khác hay không?

1.4 Hãy trình bày lý thuyết dẫn đến định luật Rayleight-Jeans

1.5 Kiểm chứng sự phù hợp của công thức phân bố bức xạ của Planck với định luật Boltzmann-Stefan

1.6 Tại sao phải đến khi Compton làm thí nghiệm tán xạ tia X trên electron thì lý thuyết hạt ánh sáng mới được công nhận

1.7 Hãy nêu các hạn chế của mô hình Bohr

1.8 Tính bốn bước sóng đầu tiên của dãy Balmer để thấy chúng nằm trong vùng khả kiến

1.9 Tính bốn bước sóng đầu tiên của dãy Lyman để thấy chúng nằm trong miền tử ngoại

1.10 Tính bốn bước sóng đầu tiên của dãy Paschen để thấy chúng nằm trong miền hồng ngoại

2 LƯỠNG TÍNH SÓNG – HẠT

Bài này sẽ bàn về lưỡng tính sóng – hạt của vật chất Trước tiên, các sự kiện dẫn đến ý tưởng về lưỡng tính sóng – hạt của hạt vi mô được đề cập như một quá trình tiến triển nhận thức về thế giới vật lý Sau đó, giả thuyết của Louis de Broglie cùng các công thức liên hệ tính chất sóng với tính chất hạt được đưa ra Cuối cùng là thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của hạt electron và ý nghĩa lịch sử của giả thuyết lưỡng tính sóng – hạt được trình bày

2.1 Giả thuyết de Broglie

2.1.1 Lịch sử phát triển ý tưởng

Hiểu biết của nhân loại về cấu tạo vật chất được phát triển biện chứng theo thời gian Trải qua quá trình đấu tranh lâu dài của các nhà khoa học như Huyghens, Euler, Young, Fresnel, Maxwell với lý thuyết hạt của Newton, lý thuyết sóng ánh sáng được công nhận Nhưng đến năm 1905, Einstein đã lật lại vấn đề, đưa ra tính hạt của ánh sáng trong lý thuyết lượng tử ánh sáng khi giải thích hiệu ứng quang điện Sau đó, trong một khoảng thời gian dài gần hai thập niên, nhiều thí nghiệm vật lý khác thay nhau khẳng định khi thì tính hạt, khi thì tính sóng của tia X Tuy nhiên, các thí nghiệm thời đó đã không đủ thuyết phục trong việc khẳng định ánh sáng là sóng hay hạt Phải đến năm 1923, khi Arthur Compton tiến hành thí nghiệm tán xạ tia X lên graphite và giải thích thành công kết quả thực nghiệm bằng giả thuyết lượng tử ánh sáng thì lý thuyết của Einstein mới được công nhận rộng rãi Từ đó ánh sáng được cho là một hạt vật chất có năng lượng, có xung lượng và mang tính chất sóng; nó được đặt tên là photon vào năm 1926 Như vậy, ý tưởng về lưỡng tính sóng – hạt bắt nguồn từ ý tưởng

về hạt photon

Tiếp sau đó, từ các nghiên cứu của Sommerfeld về lượng tử hóa quỹ đạo, de Broglie đã nhận thấy có sự liên hệ giữa tính gián đoạn của quỹ đạo với hiện tượng giao thoa và tạo sóng dừng Chính những thành tựu đó gợi ý cho Louis de Broglie mở rộng lưỡng tính sóng – hạt sang cho các hạt có khối lượng như electron, proton và phát biểu giả thuyết về tính sóng cho hạt vi mô bất kỳ vào năm 1924

2.1.2 Lưỡng tính sóng – hạt

Theo Louis de Broglie, các hạt vật chất đều có tính chất sóng, chuyển động của mỗi vi hạt đều liên kết với một sóng tương ứng gọi là sóng vật chất Một hạt có năng lượng E và xung lượng p chuyển động tự do sẽ liên kết với một sóng phẳng, đơn sắc

 r, t A exp i t k.r 

trong đó A là biên độ sóng Các đại lượng đặc trưng cho tính sóng bao gồm tần số góc

ω và vector sóng k liên hệ với tính chất hạt bởi hệ thức Planck

và hệ thức de Broglie

trong đó  h / 2  là hằng số Planck rút gọn Sử dụng các hệ thức (2.2) và (2.3), hàm sóng trên được viết thành

r, t A exp Et pr 

và được gọi là sóng phẳng de Broglie

Ta có thể xác định được công thức tính bước sóng de Broglie cho một hạt tự do khối lượng m và xung lượng p bằng cách sử dụng công thức λ = 2π/k:

trong đó k = |k|, p p Chẳng hạn, từ công thức trên ta có thể tính được bước sóng de

Broglie cho một electron có động năng 1 eV là 12 10 10m Bước sóng này của

electron có kích thước cỡ nguyên tử, phân tử cho nên khi chuyển động trong thế giới vi

mô (khoảng cách 1010m), electron mang tính chất sóng Công thức (2.5) chỉ đúng

trong trường hợp năng lượng electron không cao khi mà mối liên hệ giữa năng lượng

và xung lượng là E = p2/2m Trong các nguyên tử nặng với Z > 40, ta cần sử dụng công thức E2 = m2c4 + p2c2 cho liên hệ giữa năng lượng và xung lượng, khi đó

sự lan truyền sự dao động của trường điện từ Vậy sóng de Broglie là sự lan truyền

của dao động vật lý nào ? Nhà vật lý người Đức, Max Born là người đưa ra câu trả lời

đúng đắn vào năm 1926 Theo ông, sóng ở đây mang ý nghĩa thống kê, bình phương module hàm sóng chính là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí r bất kỳ vào thời điểm t

Như vậy, sóng là một tính chất nội tại của hạt, được đặc trưng bởi biên độ sóng và pha dao động Ở đây, biên độ có ý nghĩa vật lý là bình phương module của nó là mật

độ xác suất tìm thấy hạt Pha của hàm sóng cũng có ý nghĩa vật lý quan trọng, thể hiện qua các hiện tượng có thể quan sát được trong thực nghiệm, ví dụ như hiệu ứng Aharonov-Bohm (sẽ xem xét chi tiết hơn trong các bài giảng chuyên đề vật lý hoặc tiểu luận, hoặc khóa luận tốt nghiệp)

2.1.3 Ý nghĩa lịch sử của giả thuyết de Broglie

Giả thuyết của de Broglie là giả thuyết đầu tiên và tổng quát về tính chất sóng của vật chất Đây là một trong những phát kiến vĩ đại nhất của con người về tính chất cơ bản của vật chất trong thế giới vi mô, làm nền tảng cho việc xây dựng cơ học lượng tử, phát kiến này đã mang về cho de Broglie giải Nobel vật lý năm 1929

Sau de Broglie, để mô tả động lực học thế giới vi mô, người ta xây dựng một hàm sóng  x, t thay vì đi tìm quỹ đạo x t  như trong cơ học Newton của thế giới vĩ mô Đây là sự thay đổi cơ bản trong việc mô tả trạng thái vật chất Nó liên quan đến sự thay đổi trong nhận thức của con người về mức độ xác định của chuyển động

2.2 Thí nghiệm kiểm chứng tính chất sóng của electron

2.2.1 Các mốc lịch sử

Nhà khoa học đầu tiên đưa ra ý tưởng kiểm chứng tính chất sóng của hạt qua các thí nghiệm về nhiễu xạ chùm electron trên cấu trúc tuần hoàn mạng tinh thể là Walter Elsasser vào những năm 1920 Các thí nghiệm tương tự cũng được tiến hành bởi các nhà khoa học khác như E.G.Dymond và Patrick Blackett, James Chadwick và Charles Ellis Tuy nhiên tất cả các thí nghiệm đó đều không thành công do vấn đề kỹ thuật tại thời điểm đó, cụ thể là thời đó chưa thể tạo ra môi trường chân không cao và chưa có các máy đếm hạt đủ nhạy

Từ năm 1921, Clinton Davisson thực hiện các nghiên cứu về tán xạ chùm electron lên tinh thể để khảo sát cấu trúc tinh thể bằng cách đo số lượng electron tán xạ theo góc Năm 1923, ông cùng với học trò là Charles Kunsman đã công bố kết quả về

sự phụ thuộc của số lượng electron tán xạ theo góc tán xạ trên tạp chí Science Tuy

nhiên, Davisson vẫn chưa thể giải quyết bài toán tìm cấu trúc tinh thể qua các thí nghiệm này Năm 1926, ông đi du lịch sang Anh và tình cờ tham gia một hội thảo khoa học, trong đó có Max Born Tại đây, ông được biết kết quả công bố năm 1923 của mình đã được Max Born sử dụng như một minh chứng cho giả thuyết de Broglie về tính sóng của electron Đây cũng là lần đầu tiên ông được biết đến các thành tựu về lý thuyết lượng tử vừa mới được xây dựng trong những năm từ 1923 đến 1926 bởi Erwin Schrodinger, Albert Einstein, Louis de Broglie, Werner Heisenberg, Max Born Sau cuộc gặp này, Davisson cùng với Germer làm lại thí nghiệm và giải thích trên quan điểm sóng electron, liên hệ được bức tranh nhiễu xạ qua công thức Bragg Kết quả này

được công bố trên tạp chí Nature năm 1927

Độc lập với Davisson, George Thomson đã làm thí nghiệm về nhiễu xạ chùm

electron xuyên qua lá kim loại mỏng, công bố trên tạp chí Nature cùng năm 1927 Điều

khá thú vị là George Thomson chính là con của Joseph Thomson, người tìm ra electron Thomson và Davisson chia nhau giải Nobel Vật lý năm 1937

2.2.2 Thí nghiệm Davisson – Germer

Hình 2.1 là sơ đồ thí nghiệm của Davisson và Germer để kiểm tra tính chất sóng của electron, có thể mô tả ngắn gọn các dụng cụ chính trong thí nghiệm như sau:

+ Súng electron: chùm electron tạo ra do đốt nóng cathode được gia tốc bởi hiệu điện thế V0 và ra khỏi súng với động năng eV0 Một biến trở để thay đổi hiệu điện thế gia tốc V0 để cho phép điều chỉnh động năng electron ở đầu ra theo giá trị định trước + Bia tinh thể nickel: tấm kim loại nickel được xử lý bề mặt và đặt sao cho chùm electron hướng thẳng vào bề mặt theo góc 900

Chùm electron sẽ tán xạ theo các hướng với góc tán xạ khác nhau

+ Máy thu: máy đếm hạt có thể di chuyển trên vòng cung sao cho có thể ghi nhận

số hạt electron cho các góc tán xạ khác nhau Máy đếm hạt này có độ nhạy rất cao để

có thể vẫn đếm tốt khi số hạt rất ít

+ Buồng chân không: tất cả hệ thống được đặt trong buồng có độ chân không cao

để thí nghiệm không bị nhiễu bởi các phân tử trong không khí

Hình 2.1: Sơ đồ thí nghiệm Davisson – Germer

2.2.3 Kết quả thí nghiệm và giải thích bằng sóng electron

Hình 2.2 cho kết quả thí nghiệm Davisson-Germer ứng với động năng electron là 54eV Đồ thị được vẽ trong hệ tọa độ cực, theo đó ứng với mỗi góc tán xạ θ, cường độ dòng electron I(θ), tỉ lệ với số electron N(θ), được biểu diễn bởi khoảng cách từ điểm đang xét trên đồ thị đến tâm O Trên đồ thị, ta thấy cường độ dòng electron tán xạ cực đại tại góc θ = 0, sau đó cực tiểu gần góc θ = 350, rồi lại cực đại tại góc θ = 500

Hình 2.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của dòng electron vào góc tán xạ trong tọa độ

cực

Cực đại ở góc 00 có thể được giải thích bằng cả lý thuyết hạt electron và lý thuyết sóng electron Tuy nhiên, cực tiểu tại 350 và cực đại tại 500 chỉ có thể hiểu là do hiện tượng giao thoa sóng electron Bằng cách điều chỉnh V0, Davisson thu được năng lượng khác nhau của electron và thu được các góc cực đại phù hợp với công thức Bragg Như vậy, thí nghiệm Davisson – Germer kiểm chứng được tính chất sóng của electron theo như tiên đoán của de Broglie

Câu hỏi và bài tập

2.1 Dựa vào cơ sở nào để xác định ranh giới giữa thế giới vi mô và vĩ mô là 10-10m 2.2 Tại sao không thể xác định tính chất sóng của một hạt cát có kích thước cỡ 0.01

mm và khối lượng 0.05 g

2.3 Hãy kể vài thí nghiệm tán xạ trên tinh thể được thực hiện bằng các nguyên tử, phân

tử khác Trình bày chi tiết một trong số đó

3 HÀM SÓNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH SHRӦDINGER

Từ công trình của de Broglie cùng với kiểm chứng thực nghiệm của Davisson – Germer, sau đó là Thompson, ta thấy rằng động lực học của hạt được mô tả không phải bằng quỹ đạo (tọa độ, vận tốc) mà bằng một hàm sóng, bình phương module của nó mang ý nghĩa mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian tại một thời điểm bất kỳ

Vì vậy, cần phải tìm phương trình động lực học để xác định hàm sóng cho hạt vi mô bất kỳ Trong thế giới vi mô, phương trình này sẽ đóng vai trò tương tự như phương trình Newton trong thế giới vĩ mô Vào năm 1926, Erwin Shrӧdinger đã xây dựng phương trình sóng mà sau này được gọi theo tên ông, lý thuyết của Schrӧdinger phát triển mạnh mẽ và trở thành lý thuyết lượng tử hiện đại

3.1 Khái niệm hàm sóng

Trong thế giới vi mô, các hiện tượng vật lý chỉ có thể được giải thích bằng cách đưa vào tính chất sóng cho hạt vi mô Giả thuyết lưỡng tính sóng – hạt de Broglie cùng với việc đưa ra ý nghĩa thống kê cho hàm sóng sau đó bao gồm hai kết luận:

(i) Các hạt vi mô đều có tính chất sóng

(ii) Hàm sóng của hạt vi mô tự do là hàm sóng phẳng, đơn sắc với tần số góc và vector số sóng của sóng phẳng này liên hệ lần lượt với năng lượng và xung lượng của hạt

Như vậy, để mô tả trạng thái chuyển động của hạt vi mô, khái niệm quỹ đạo không còn thích hợp mà thay vào đó là hàm sóng  x, t Max Born đã đưa ra ý nghĩa vật lý của hàm sóng: bình phương module hàm sóng là mật độ xác suất tìm thấy hạt

Giả sử trạng thái của hạt vi mô ở thời điểm ban đầu t = 0 được mô tả bởi hàm sóng  x, 0 Để tìm trạng thái của hạt ở thời điểm t, tức là tìm hàm sóng  x, t , ta cần biết quy luật biến đổi trạng thái của hạt, nghĩa là cần xây dựng một phương trình động lực học tương tự như phương trình định luật II Newton Năm 1926, Erwin Schrӧdinger đã đưa ra phương trình mô tả sự biến đổi trạng thái theo thời gian của hệ lượng tử gần như là đồng thời với cơ học ma trận của Werner Heisenberg Câu hỏi rất

tự nhiên là phương trình Schrӧdinger đã được xây dựng dựa trên cơ sở nào Trả lời câu hỏi này, Richard Feynman cho rằng nó không thể bắt nguồn từ những gì đã biết trước

đó mà chỉ đơn thuần xuất phát trong đầu của Schrӧdinger như một ý tưởng thiên tài Chúng ta sẽ lặp lại các lập luận của Schrӧdinger khi xây dựng phương trình sóng

3.2 Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian

3.2.1 Phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do

Đối với hạt tự do có khối lượng m và xung lượng p, ta đã biết hàm sóng chính là sóng phẳng, đơn sắc được đưa ra bởi de Broglie

Như vậy, có thể nói lý thuyết của de Broglie với hạt tự do đóng vai trò trong thế giới vi

mô như là định luật I Newton trong thế giới vĩ mô

Ta cần tìm phương trình chuyển động cho hạt tự do, là một phương trình vi phân

mà nghiệm của nó là hàm sóng de Broglie Lần lượt lấy đạo hàm riêng của hàm sóng

de Broglie (3.1) theo tọa độ và thời gian:

x, t

k x, tx

Ta viết lại (3.3) và (3.5) dưới dạng như sau:

Đây là phương trình Schrӧdinger cho hạt tự do trong không gian một chiều

Đối với hạt tự do chuyển động trong không gian ba chiều, hàm sóng de Broglie

với nghiệm của nó là hàm sóng de Broglie (3.8)

Bây giờ, chúng ta xét ý nghĩa của từng thành phần trong (3.9) Định nghĩa toán tử

Hệ thức (3.12) được xem là toán tử động năng

Toán tử ở vế trái phương trình (3.9) là i   / t có hàm riêng là hàm sóng de Broglie (3.8) ứng với trị riêng là , chính là năng lượng của hạt Do đó, có thể xem toán tử này là toán tử năng lượng

3.2.2 Phương trình Schrӧdinger cho hạt vi mô bất kỳ

Xét chuyển động của hạt trong trường thế vô hướng V x, y, z, t  Ta xây dựng phương trình Schrӧdinger để xác định hàm sóng x, y, z, t của hạt Với hạt không tự

do thì năng lượng bằng tổng động năng và thế năng Do đó, phương trình Schrӧdinger phụ thuộc vào thời gian cho một hạt không tự do như sau

Như vậy, ta đã xây dựng được phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian cho hạt vi

mô chuyển động trong trường thế năng vô hướng

Ta thấy vế trái chỉ phụ thuộc tọa độ, còn vế phải phụ thuộc thời gian, điều này chỉ xảy

ra khi hai vế đều bằng hằng số, không phụ thuộc vào thời gian lẫn tọa độ Vì cả hai vế của (3.19) đều có thứ nguyên năng lượng nên ta ký hiệu bằng hằng số E, mang ý nghĩa năng lượng của hệ Từ đây ta thu được

Phương trình (3.20) là phương trình Schrӧdinger dừng Còn phương trình (3.21)

có dạng nghiệm chính xác như sau

t C exp 

Hằng số c có thể gộp vào hàm tọa độ  r nên hàm sóng có dạng như sau

3.4 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

Max Born là người đầu tiên đưa ra ý nghĩa thống kê cho hàm sóng Theo ông thì bình phương module hàm sóng chính là mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian

Ý nghĩa của (3.25) là xác suất tìm thấy hạt trong toàn miền không gian phải bằng một

Từ ý nghĩa thống kê của hàm sóng, cùng với khái niệm mật độ xác suất  r, t , ta đưa ra khái niệm mật độ dòng xác suất j r, t  thỏa mãn phương trình liên tục sau đây

 r, t  

j r, t 0 t

Câu hỏi và bài tập

3.1 Hãy xây dựng Hamiltonian cho các hệ sau

(a) Hạt chuyển động trong điện trường đều

(b) Hạt chuyển động trong trường Coulomb (nguyên tử Hydro)

(c) Hạt chuyển động trong điện từ trường (A,)

3.2 Chứng minh 2

.

     

4 NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI

Bản chất sóng của hạt đã dẫn đến một loạt các hiệu ứng chỉ xảy ra trong thế giới

vi mô Chẳng hạn như chồng chất trạng thái là một hiệu ứng lượng tử rất đặc biệt, khi một trạng thái có được từ sự chồng chất của các trạng thái xác định khác Do tất cả các quy luật động lực học phi tương đối tính của thế giới vi mô đều bắt nguồn từ phương trình Schrӧdinger cho nên nguyên lý chồng chất trạng thái cũng phải được giải thích dựa vào phương trình động lực học lượng tử này Ý nghĩa của hàm sóng chồng chất cũng được giải thích dưới góc độ thống kê

4.1 Giao thoa electron

Clinton Davisson và George Thomson đã kiểm tra tính sóng của electron bằng thí nghiệm về nhiễu xạ Sau đó, nhiều nhà khoa học khác cũng đã kiểm chứng tính sóng của electron bằng thí nghiệm giao thoa chùm electron qua hai khe, tương tự như thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng qua hai khe Trước tiên ta nhắc lại các điểm cơ bản của thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng qua hai khe Sơ đồ thí nghiệm như trong Hình 4.1 Xét một điểm trên màn hứng sáng thì cường độ ánh sáng tại đó chính là tổng hợp cường độ của hai tia sáng đến từ hai khe khác nhau

u   a cos   t kd  a cos   t kd  2a cos   t kd cos k d / 2 

Đây là kết quả của sự chồng chất sóng trong vật lý cổ điển

Hình 4.1: Thí nghiệm giao thoa ánh sáng qua hai khe Young

Bây giờ ta lặp lại thí nghiệm trên nhưng thay nguồn phát ánh sáng bằng nguồn phát chùm electron Để có thể đếm được số electron đến màn, ta thay màn hứng ánh

electron tại điểm sáng Trong thí nghiệm này, đầu tiên cả hai khe đều mở, Hình 4.2 thể

hiện kết quả theo hai kịch bản Kịch bản A là theo dự đoán dựa vào quan điểm vật lý

cổ điển, trong khi kịch bản B là kết quả thực, thu được từ thực nghiệm Trong kịch bản

A thì phân bố electron rơi trên màn từ mỗi khe sẽ có dạng Gauss, và tổng phân bố

electron trên màn từ hai khe sẽ là tổng của hai phân bố trên, có dạng như trên hình vẽ

Kịch bản B là những gì xảy ra trong thí nghiệm của Claus Jonsson: trên hình là bức

tranh giao thoa electron giống như hình ảnh trong thí nghiệm Young cho giao thoa ánh

sáng Bức tranh giao thoa này chỉ có thể giải thích cho tính sóng của electron

Hình 4.2: Thí nghiệm giao thoa hai khe với electron với hai kết quả khác nhau (A) từ

quan điểm cổ điển; (B) từ thí nghiệm của Claus Jonsson Vấn đề đặt ra là làm thế nào mà các electron có thể giao thoa được với nhau ? Bây giờ, hãy phân tích thí nghiệm trong trường hợp hai khe đều mở theo lập luận thông thường Hàm sóng của một Hàm Hàm sóng electron chỉ có thể hoặc là  1 x (cho các điện tử đi qua khe 1) hoặc là

 

2 x

 (cho các điện tử đi qua khe 2), do đó ta có thể chia các electron đến một điểm

trên màn hình thành hai nhóm độc lập đi qua hai khe khác nhau Do thí nghiệm với

từng electron rơi đơn lẻ trên màn nên các electron này không tương tác với nhau và

việc chia hai nhóm electron là hoàn toàn hợp lý Khi đó, mật độ electron rơi trên màn phải là

 x 1 x 2 x

Tuy nhiên, điều này đã không xảy ra Trong thí nghiệm với hai khe cùng mở, mật độ electron trên màn hình có giá trị cực đại, cực tiểu xen kẽ trong một bức tranh giao thoa như ta đã biết theo kịch bản B, vì vậy hệ thức (4.1) rõ ràng là không đúng

Vậy lập luận ở trên của chúng ta sai ở đâu? Điểm sai chính là ta cho rằng có thể phân biệt rạch ròi electron qua khe 1 và electron qua khe 2 Kết quả thực nghiệm trên buộc ta phải thay đổi quan điểm và hiểu rằng một electron khi bay ra khỏi nguồn phát

nó có thể đi qua khe 1 hay khe 2 để rơi trên màn Chúng ta không thể nào biết được trước khi rơi trên màn electron đã đi qua khe nào Vì vậy, hàm sóng của electron có thể

4.2 Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô

Nếu hạt có thể ở trạng thái tương ứng với hàm sóng  1 x, t và có thể ở trạng thái

 

2 x, t

 thì hạt có thể ở trạng thái  x, t , với  x, t là tổ hợp tuyến tính của  1 x, t

và  2 x, t

4.3 So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổ điển

Trong vật lý cổ điển, nguyên lý chồng chất được áp dụng khi cộng các đại lượng vật lý cụ thể Ví dụ, ta có điện tích 1 tạo ra một điện trường E1, điện tích 2 tạo ra điện trường E2 thì khi cả hai điện tích cùng tồn tại, điện trường tổng hợp sẽ là chồng chất hai điện trường riêng lẻ: E  E1 E2 Tương tự như vậy, chồng chất của hai sóng tới một điểm chính là tổng của hai sóng

Tuy nhiên, sự chồng chất trong thế giới vi mô là chồng chất trạng thái chứ không phải chồng chất đại lượng vật lý Ví dụ, trạng thái 1 ứng với hạt có năng lượng E1, trạng thái 2 ứng với hạt có năng lượng E2 thì khi ở trạng thái chồng chất của hai trạng thái 1 và 2, năng lượng của hạt không phải là E1 + E2 mà khi đo sẽ có giá trị E1 hoặc

E2 Tương tự như vậy đối với mật độ hạt Như vậy, sự chồng chất các đại lượng vật lý của hệ vi mô không tuân theo quy luật chồng chất như trong cổ điển mà hoàn toàn theo quy luật thống kê