Bài giảng Kinh tế lượng cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản; Mô hình hồi quy hai biến; Ước lượng và kiểm định giả thiết; Hồi quy bội; Hồi quy với biến giả; Đa cộng tuyến; Phương sai của sai số thay đổi; Tự tương quan; Chọn mô hình và kiểm định việc chỉ định mô hình.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Khái niệm kinh tế lượng
Kinh tế lượng, hay "Econometrics" trong tiếng Anh, có nghĩa là "Đo lường kinh tế" Thuật ngữ này lần đầu tiên được A Kragnar Frích, một giáo sư kinh tế học người Na Uy và là người đoạt giải Nobel kinh tế năm 1969, sử dụng vào khoảng năm 1930.
Vào năm 1936, Tibergen, một nhà kinh tế học người Hà Lan, đã giới thiệu mô hình kinh tế lượng đầu tiên trước Hội đồng kinh tế Hà Lan, đánh dấu sự khởi đầu cho một phương pháp nghiên cứu phân tích kinh tế mới Đến năm 1939, ông tiếp tục phát triển một số mô hình tương tự cho Hoa Kỳ.
Vào năm 1950, nhà kinh tế học đoạt giải Nobel Lawrence Klein đã giới thiệu một số mô hình mới cho nền kinh tế Mỹ, từ đó thúc đẩy sự phát triển của kinh tế lượng trên toàn cầu Hiện nay, ông đang dẫn dắt dự án quốc tế Link Project, sử dụng mô hình kinh tế thế giới để dự báo tình hình kinh tế toàn cầu hàng năm cho Liên hiệp quốc.
Kinh tế lượng là một lĩnh vực khoa học chuyên nghiên cứu và đo lường các mối quan hệ kinh tế trong thực tiễn Hiện nay, kinh tế lượng kết hợp lý thuyết kinh tế hiện đại với thống kê và công nghệ máy tính, nhằm định lượng các mối quan hệ kinh tế và dự báo sự phát triển của các hiện tượng kinh tế Điều này giúp phân tích và cung cấp cơ sở cho việc hoạch định các chính sách kinh tế hiệu quả.
Phương pháp luận nghiên cứu
Việc nghiên cứu, phân tích kinh tế lượng được thực hiện theo trình tự các bước sau đây:
Bước đầu tiên trong việc phân tích lý thuyết kinh tế là xác định vấn đề cần nghiên cứu và đưa ra các giả thiết về mối quan hệ giữa các biến kinh tế Ví dụ, khi xem xét mối quan hệ giữa mức tiêu dùng và thu nhập của hộ gia đình, theo lý thuyết kinh tế vi mô, ta có thể giả định rằng mức tiêu dùng của hộ gia đình tỷ lệ thuận với thu nhập khả dụng của họ, tức là thu nhập sau khi đã trừ thuế và khoản tiết kiệm.
Bước 2: Thiết lập các mô hình toán học để mô tả quan hệ giữa các biến kinh tế
Lý thuyết kinh tế học cung cấp quy luật về mối quan hệ giữa các chỉ tiêu kinh tế nhưng không xác định rõ dạng hàm Kinh tế lượng cần dựa vào các học thuyết kinh tế để xây dựng các mô hình cho từng trường hợp cụ thể Ví dụ, trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa lượng cầu và giá cả của một loại hàng, có thể sử dụng hàm tuyến tính hoặc hàm phi tuyến Nếu chọn mô hình đường cầu dạng tuyến tính, nó sẽ có dạng cụ thể.
Trong mô hình này, D đại diện cho lượng cầu và p là giá cả của hàng hóa Các tham số a và b đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối quan hệ giữa D và p D được xem là biến phụ thuộc, cần được giải thích, trong khi p là biến độc lập, hay còn gọi là biến giải thích.
Bước 3: Thu thập số liệu là quá trình quan trọng trong nghiên cứu kinh tế lượng, khác với các mô hình kinh tế tổng quát Các mô hình này được xây dựng dựa trên số liệu thực tế, trong đó có sự phân biệt giữa số liệu tổng thể và số liệu mẫu Số liệu tổng thể bao gồm thông tin của tất cả các đối tượng cần nghiên cứu, trong khi số liệu mẫu chỉ là một tập hợp con được lấy từ tổng thể Ví dụ, để nghiên cứu nhu cầu về một loại hàng hóa, số liệu tổng thể sẽ là lượng hàng được mua từ tất cả các hộ gia đình trong một quốc gia, nhưng trong thực tế, chúng ta thường chỉ có thể thu thập số liệu từ mẫu.
Bước 4 trong quy trình là ước lượng các tham số của mô hình, bao gồm các giá trị thực nghiệm cần thiết để đáp ứng các điều kiện và tính chất mà mô hình yêu cầu Đối với các trường hợp đơn giản, phương pháp bình phương tối thiểu thường được sử dụng để ước lượng các tham số Tuy nhiên, trong các tình huống phức tạp hơn, cần áp dụng các phương pháp ước lượng khác để đạt được kết quả chính xác.
Bước 5: Phân tích kết quả Dựa trên lý thuyết kinh tế, cần phân tích và đánh giá xem kết quả thu được có phù hợp với lý thuyết hay không Đồng thời, tiến hành kiểm định các giả thuyết thống kê đối với các ước lượng đã nhận được từ số liệu thống kê thực tế.
Bước 6: Dự báo Khi mô hình tương thích với lý thuyết kinh tế, nó có thể được áp dụng để dự đoán sự phát triển của biến phụ thuộc trong các chu kỳ tiếp theo, dựa trên sự thay đổi của biến độc lập.
Bước 7: Sử dụng mô hình để kiểm tra hoặc đề ra các chính sách kinh tế
Các bước trong quá trình phân tích một vấn đề kinh tế có nhiệm vụ riêng biệt và cần được thực hiện theo một trình tự nhất định để đảm bảo tính hiệu quả.
Khám phá bản chất của vấn đề kinh tế là một nhiệm vụ phức tạp, đòi hỏi quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi đạt được một mô hình phù hợp.
Có thể minh hoạ quá trình phân tích kinh tế lượng bằng một sơ đồ như sau:
Quá trình xây dựng và áp dụng mô hình kinh tế lượng yêu cầu hiểu biết về lý thuyết kinh tế học, kiến thức về xác suất và thống kê, cùng với việc sử dụng các phần mềm kinh tế lượng Kết quả từ phân tích các mô hình này cần được xem xét từ nhiều góc độ, ví dụ như các ước lượng có thể chỉ ra mối quan hệ nhân quả giữa hai chỉ tiêu kinh tế.
Quá trình phân tích kinh tế lượng không thể chứng minh mối quan hệ nhân quả trong thực tế, mà điều này cần được xem xét và khẳng định bởi người nghiên cứu.
Kinh tế lượng đã trở thành một công cụ quan trọng cho các nhà kinh tế từ khi ra đời, giúp họ đo lường và phân tích mối quan hệ giữa các biến kinh tế một cách chính xác và hiệu quả.
Ngày nay, kinh tế lượng không chỉ dừng lại ở lĩnh vực kinh tế mà đã mở rộng ứng dụng sang nhiều lĩnh vực khác, bao gồm xã hội học và vũ trụ học.
Kinh tế lượng ngày càng trở nên quan trọng trong việc phân tích định lượng các hiện tượng kinh tế và kiểm định các giả thiết trong hoạch định chính sách Sự cần thiết phải có những dự báo tin cậy cao để hỗ trợ ra quyết định tác nghiệp đã thúc đẩy sự hoàn thiện và phát triển không ngừng của lĩnh vực này.
Sự phát triển của máy tính và công nghệ thông tin đã nâng cao khả năng của kinh tế lượng, cho phép các nhà kinh tế kiểm tra tính chính xác của các lý thuyết kinh tế Điều này giúp họ đưa ra quyết định đúng đắn trong hoạt động kinh doanh và hoạch định các chính sách, chiến lược kinh tế - xã hội hiệu quả.
Phân tích hồi quy
Phân tích hồi quy là phương pháp nghiên cứu mối quan hệ giữa một biến phụ thuộc và một hoặc nhiều biến giải thích Mục tiêu của nó là ước lượng hoặc dự đoán giá trị trung bình của biến phụ thuộc dựa trên các giá trị đã biết của các biến giải thích.
(1) Xét đồ thị phân tán ở hình 1.2, trong đó mô tả phân phối về chiều cao của học sinh nam tính theo độ tuổi cố định từ 9-15
Chiều cao trung bình của học sinh nam tăng theo độ tuổi, mặc dù không phải tất cả học sinh cùng độ tuổi đều có chiều cao giống nhau Do đó, việc xác định tuổi của học sinh nam giúp dự đoán chiều cao trung bình tương ứng với độ tuổi đó.
Một nhà kinh tế có thể phân tích mối quan hệ giữa chi tiêu tiêu dùng cá nhân và thu nhập cá nhân thực tế Nghiên cứu này giúp ước lượng xu thế tiêu dùng biên tế (MPC), tức là mức thay đổi trung bình của chi tiêu tiêu dùng khi thu nhập thực tế thay đổi một đơn vị giá trị.
Một nhà kinh tế lao động nghiên cứu mối quan hệ giữa tỷ lệ thay đổi tiền lương và tỷ lệ thất nghiệp, thường sử dụng đồ thị phân tán như hình 1.3 để minh họa đường cong Phillips Đường cong này thể hiện sự tương quan giữa thay đổi tiền lương và tỷ lệ thất nghiệp, giúp nhà kinh tế lao động dự đoán mức thay đổi trung bình về tiền lương tại một tỷ lệ thất nghiệp nhất định.
Hình 1.2 Phân phối về chiều cao theo độ tuổi
Kiến thức về mối liên hệ giữa tiền lương và giá cả có thể giúp phân tích quá trình lạm phát kinh tế, vì sự gia tăng tiền lương thường dẫn đến sự tăng giá hàng hóa và dịch vụ.
Một nhà kinh doanh độc quyền có khả năng điều chỉnh giá hoặc sản lượng, nhưng không thể thực hiện cả hai cùng một lúc Họ cần hiểu rõ phản ứng của nhu cầu đối với sản phẩm khi giá thay đổi, và việc thực hiện thử nghiệm này có thể giúp ước lượng độ co dãn của giá cả.
Tính phản ứng của giá cả đối với mức cầu của sản phẩm rất quan trọng, vì nó giúp xác định mức giá tối ưu để tạo ra lợi nhuận cao nhất.
Trong kinh tế học tiền tệ, có một mối quan hệ rõ ràng giữa mức lạm phát (π) và tỷ lệ thu nhập mà người dân muốn giữ dưới dạng tiền mặt (k); khi các yếu tố khác không đổi, mức lạm phát càng cao thì tỷ lệ này càng thấp Mối quan hệ này được thể hiện qua phân tích định lượng, giúp các nhà kinh tế tiền tệ dự đoán lượng tiền mà người dân muốn nắm giữ theo tỷ lệ thu nhập ở các mức lạm phát khác nhau.
Tỷ lệ thay đổi tiền lương
Hình 1.3 Đường cong Phillips giả thiết
Giám đốc tiếp thị của công ty đang nghiên cứu mối quan hệ giữa mức cầu sản phẩm và chi phí quảng cáo Nghiên cứu này giúp xác định độ co dãn của cầu đối với chi phí quảng cáo, tức là tỷ lệ phần trăm thay đổi về mức cầu khi ngân sách quảng cáo thay đổi 1% Kết quả sẽ hữu ích trong việc xác định ngân sách quảng cáo "tối ưu".
Ngân hàng XYZ đang tìm cách tăng cường lượng tiền huy động và muốn nghiên cứu mối quan hệ giữa tiền gửi và lãi suất tiền gửi Cụ thể, ngân hàng cần xác định mức tăng trung bình của lượng tiền gửi khi lãi suất tăng thêm 0,1%.
Trong kinh doanh, có nhiều ví dụ cho thấy sự phụ thuộc giữa các biến số Chương này trình bày các kỹ thuật phân tích hồi quy để nghiên cứu mối quan hệ phụ thuộc này.
Ta ký hiệu: Y- biến phụ thuộc (hay biến được giải thích)
Xi - biến độc lập (hay biến giải thích) tại quan sát thứ i
Tỷ lệ thu nhập dưới dạng tiền (k)
Hình 1.4 Lượng tiền được giữ trong quan hệ với lạm phát
Biến phụ thuộc Y là một đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối xác suất nhất định, trong khi các biến độc lập Xi không phải là biến ngẫu nhiên và có giá trị được xác định trước.
1.3.2 Nhiệm vụ của phân tích hồi quy
• Ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc với giá trị đã cho của biến độc lập;
• Kiểm định giả thiết về bản chất của sự phụ thuộc;
• Dự đoán giá trị trung bình của biến phụ thuộc khi biết giá trị của các biến độc lập;
• Kết hợp các vấn đề trên
1.1.3 Một số vấn đề cần lưu ý trong phân tích hồi quy:
- Phân biệt quan hệ thống kê và quan hệ hàm số:
Phân tích hồi quy tập trung vào sự phụ thuộc thống kê của biến phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến giải thích Biến phụ thuộc được xem là ngẫu nhiên và có phân phối xác suất, trong khi các biến giải thích có giá trị đã biết Sự ngẫu nhiên của biến phụ thuộc xuất phát từ nhiều yếu tố tác động mà không thể đưa vào mô hình Do đó, với mỗi giá trị của biến độc lập, có thể có nhiều giá trị khác nhau cho biến phụ thuộc Cần lưu ý rằng phân tích hồi quy không nghiên cứu các quan hệ hàm số, vì trong mối quan hệ hàm số, mỗi giá trị của biến độc lập chỉ tương ứng với một giá trị duy nhất của biến phụ thuộc.
Doanh thu từ sản phẩm hoặc dịch vụ phụ thuộc vào nhiều yếu tố như giá cả của doanh nghiệp, giá của đối thủ cạnh tranh, thị phần và thị hiếu của người tiêu dùng, tạo thành một mối quan hệ thống kê Trong đó, các biến như giá cả, thị phần và thị hiếu là biến độc lập, còn doanh thu là biến phụ thuộc và mang tính ngẫu nhiên Việc dự đoán chính xác doanh thu cho năm tới là điều không thể do sự biến động của các yếu tố này.
+ Có thể có sai số trong dãy số thống kê
Doanh thu của sản phẩm và dịch vụ bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố khác nhau, và việc liệt kê tất cả những yếu tố này là điều không khả thi Hơn nữa, ngay cả khi chúng ta thêm nhiều biến giải thích, việc tách biệt ảnh hưởng riêng của từng yếu tố đến doanh thu vẫn là một thách thức lớn.
Số liệu cho phân tích hồi quy
Thành công của phân tích kinh tế phụ thuộc vào việc sử dụng số liệu phù hợp và phương pháp xử lý chúng Bài viết này sẽ đề cập đến bản chất, nguồn gốc và những hạn chế của số liệu trong phân tích kinh tế và phân tích hồi quy.
1.4.1 Các loại số liệu (dữ liệu)
Có 4 loại số liệu: số liệu chéo (cross-sectional data), số liệu chuỗi thời gian (time series data), số liệu chéo gộp (pooled cross-sections data), và số liệu mảng (panel data)
Số liệu chéo cung cấp thông tin đa dạng về nhiều đối tượng như cá nhân, hộ gia đình, tỉnh/thành phố, và quốc gia, tại một thời điểm hoặc khoảng thời gian cụ thể.
Bảng 1.1 trình bày số liệu chéo về diện tích, dân số và mật độ dân số của một số địa phương trong năm 2017, với thông tin cụ thể về diện tích tính bằng kilômét vuông và dân số trung bình của từng địa phương.
(Nghìn người) Mật độ dân số
Dữ liệu chuỗi thời gian cung cấp thông tin về một đối tượng qua các thời điểm khác nhau với tính chất chu kỳ, chẳng hạn như theo ngày, tháng, quý hoặc năm.
Bảng 1.2 Ví dụ minh họa số liệu chuỗi thời gian Diện tích, dân số và mật độ dân số của tỉnh Quảng Ngãi giai đoạn 2013-2017
Dân số trung bình (Nghìn người) Mật độ dân số
Số liệu chéo gộp là tập hợp các số liệu chéo có cùng chỉ tiêu thông tin về đối tượng Dạng số liệu này cung cấp thông tin về nhiều đối tượng khác nhau tại các thời điểm khác nhau, không theo chu kỳ thời gian.
Bảng 1.3 Ví dụ minh họa số liệu chéo gộp Diện tích, dân số và mật độ dân số của một số địa phương
Năm Địa phương Diện tích
Dân số trung bình (Nghìn người) Mật độ dân số
Số liệu mảng (số liệu bảng) cung cấp thông tin về nhiều đối tượng theo chu kỳ thời gian và được chia thành hai loại chính: số liệu mảng cân bằng và số liệu mảng không cân bằng Số liệu mảng cân bằng thể hiện sự ổn định của các đối tượng qua các thời kỳ, trong khi số liệu mảng không cân bằng phản ánh sự thiếu hụt thông tin về một số đối tượng trong các thời kỳ.
Bảng 1.4 Ví dụ minh họa số liệu mảng (không cân bằng) Diện tích, dân số và mật độ dân số của một số địa phương
Năm Địa phương Diện tích (Km 2 ) Dân số trung bình
(Nghìn người) Mật độ dân số
• Tập hợp các số liệu có thể được thu thập và cung cấp bởi:
• Các cơ quan Nhà nước
• Các tổ chức quốc tế
• Các đơn vị sản xuất, kinh doanh
Hàm hồi quy tổng thể (PRF)
Ta xét ví dụ sau:
Trong một địa phương với 60 hộ gia đình, chúng ta tiến hành nghiên cứu mối quan hệ giữa Y, tức là chi tiêu tiêu dùng hàng tuần của các gia đình.
X - thu nhập khả dụng hàng tuần của các hộ gia đình, cho phép dự đoán mức chi tiêu tiêu dùng hàng tuần dựa trên thu nhập Để thực hiện, ta chia 60 hộ thành 10 nhóm với thu nhập tương đối đồng đều, chênh lệch 20 USD giữa các nhóm Các số liệu về mức chi tiêu tương ứng với thu nhập của các hộ gia đình được trình bày trong bảng 1.5.
Bảng 1.5 Thu nhập và chi tiêu của hộ gia đình
Bảng số liệu trên được giải thích như sau:
Với thu nhập hàng tuần là 100 USD, các hộ gia đình trong nhóm này có mức chi tiêu lần lượt là 65, 70, 74, 80, 85 và 88 USD Tổng chi tiêu của 6 hộ gia đình đạt 462 USD, cho thấy mỗi cột trong bảng thể hiện phân phối chi tiêu hàng tuần (Y) tương ứng với mức thu nhập (X) đã xác định.
Từ số liệu của bảng 1.5 ta dễ dàng tính được xác suất có điều kiện: Chẳng hạn: P(Y = 85/X = 100) =1/6; P(Y = 90/X = 120) = 1/5;
Bảng tính các xác suất có điều kiện cho trong bảng 1.6
Trong đó 𝐸(𝑌 𝑋⁄ ) = ∑ 𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑌 𝑗 𝑃(𝑌 = 𝑌 𝑗 ⁄𝑋 = 𝑋 𝑖 ) (với j = 1, 60̅̅̅̅̅̅ và i = 1, 10̅̅̅̅̅̅) là kỳ vọng toán có điều kiện của Y (điều kiện là X = Xi) Chẳng hạn: E(Y/100) = 65*1/6 + 70*1/6 + 74*1/6 + 80*1/6 + 85*1/6 + 88*1/6 = 77
Biểu diễn các điểm (Xi; Yj) và các điểm [Xi; E(Y/Xi)] trên đô thị, ta được (như hình 1.2):
Trên hình 1.5, mức chi tiêu trung bình có điều kiện trong tuần được thể hiện trên một đường thẳng với hệ số góc dương, cho thấy rằng khi thu nhập tăng, mức chi tiêu cũng tăng theo Tổng quát, E(Y/Xi) là một hàm phụ thuộc vào Xi.
Hàm hồi quy tổng thể (PRF - population regression function) được định nghĩa như hàm (1.1) Khi PRF chỉ có một biến độc lập, nó được gọi là hàm hồi quy đơn (hồi quy 2 biến) Ngược lại, nếu PRF có từ hai biến độc lập trở lên, nó được gọi là hàm hồi quy bội (hồi quy k biến).
Hàm hồi quy tổng thể cho biết cách giá trị trung bình của biến Y thay đổi theo các giá trị khác nhau của biến X Để xác định dạng hàm hồi quy này, người ta thường dựa vào đồ thị thể hiện sự biến thiên của dữ liệu quan sát về X và Y, kết hợp với việc phân tích bản chất của vấn đề nghiên cứu.
Chúng ta xét trường hợp đơn giản nhất là PRF có dạng tuyến tính
Hình 1.5 Thu nhập và chi tiêu hàng tuần của 60 hộ gia đình
Trong mô hình hồi quy, β1 và β2 là các tham số cố định, được gọi là hệ số hồi quy, trong đó β1 là hệ số tự do, thể hiện giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc lập X bằng 0 Tuy nhiên, ý nghĩa của β1 chỉ đúng về mặt toán học và cần được xem xét trong bối cảnh lý thuyết kinh tế và điều kiện thực tế của nghiên cứu Trong nhiều trường hợp, β1 có thể không mang lại ý nghĩa thực tiễn.
Chẳng hạn, xét hàm: E(Y/ Xi) = β1 + β2 Xi
Trong mô hình hồi quy, Y đại diện cho lượng hàng bán được, trong khi X là giá của loại hàng đó Hệ số β1 không phản ánh lượng hàng bán được trung bình khi giá X bằng 0, vì không có mặt hàng nào thực tế bán với giá này Hàm hồi quy chỉ có ý nghĩa khi giá X nằm trong khoảng (X1; X2) Ngoài khoảng này, hàm sẽ không có giá trị β1 chỉ là giao điểm của đường thẳng biểu diễn hàm hồi quy với trục tung, như minh họa trong hình 1.6.
Hàm hồi quy mẫu i i i i i β2 đại diện cho hệ số góc, cho biết sự thay đổi trung bình của biến phụ thuộc (Y) khi biến độc lập (X) tăng một đơn vị, trong khi các yếu tố khác được giữ cố định Hệ số β2 giúp xác định mức độ ảnh hưởng của biến độc lập đến biến phụ thuộc.
Khi giá trị X tăng 1 đơn vị, giá trị mới của X (X') sẽ được tính bằng giá trị cũ của X (Xi) cộng thêm 1, tức là X' = Xi + 1.
Nếu β2 > 0 thì E(Y/ X ' ) > E(Y/ Xi) khi đó giá trị trung bình của Y sẽ tăng Nếu β2 < 0 thì E(Y/ X ' ) < E(Y/ Xi) khi đó giá trị trung bình của Y sẽ giảm E(Y/
Xi) là trung bình của Y với điều kiện X nhận giá trị Xi
Thuật ngữ “tuyến tính” ở đây được hiểu theo hai nghĩa: tuyến tính đối với tham số và tuyến tính đối với các biến
E(Y/ Xi) = β1 + β2 X2 là một hàm tuyến tính theo tham số, trong khi E(Y/ Xi) = β1 + √β2 Xi lại thể hiện tính phi tuyến đối với tham số nhưng vẫn tuyến tính theo biến.
Hàm hồi quy tuyến tính luôn được hiểu là tuyến tính đối với các tham số, nó có thể không tuyến tính đối với biến
Giá trị quan sát thứ i của biến phụ thuộc Y được ký hiệu là Yi
Ký hiệu Ui là chênh lệch giữa Yi và E(Y/ Xi):
Ui là đại lượng ngẫu nhiên, người ta gọi Ui là yếu tố ngẫu nhiên (hoặc nhiễu) Nếu E(Y/Xi) là tuyến tính đối với Xi thì: Yi = β1 + β2Xi + Ui
Sai số ngẫu nhiên
Ui là chênh lệch giữa giá trị quan sát Yi và giá trị trung bình của nó theo hàm hồi quy, với Ui là đại lượng ngẫu nhiên có thể có giá trị âm hoặc dương Đại lượng này được gọi là sai số ngẫu nhiên hay nhiễu, và (1.3) được xem là hàm hồi quy tổng thể ngẫu nhiên.
Hàm hồi quy tổng thể E(Y/Xi) thể hiện giá trị trung bình của biến Y với giá trị Xi đã biết Các giá trị cá biệt Yi không nhất thiết phải trùng với E(Y/Xi), mà chúng phân bố xung quanh giá trị này Đường hồi quy tổng thể sẽ đi qua điểm trung bình có điều kiện của Y, dẫn đến E(Ui/Xi).
Mặc dù các biến giải thích trong mô hình đã được xác định, nhưng theo (1.3), còn tồn tại những biến khác có ảnh hưởng đến biến phụ thuộc Y Tuy nhiên, ảnh hưởng trung bình của những biến này đối với Y là bằng 0, vì vậy không cần thiết phải đưa chúng vào mô hình.
Sự tồn tại của Ui bởi một số lý do sau đây:
Ngoài Xi đã được đưa vào mô hình, có thể còn nhiều biến khác chưa được xem xét nhưng vẫn ảnh hưởng đến Yi, do đó Ui đại diện cho các biến này.
Dù đã xác định được các biến bị loại khỏi mô hình, việc xây dựng mô hình hồi quy bội vẫn có thể gặp khó khăn do thiếu dữ liệu cho những biến này.
Ngoài các biến đã có trong mô hình, còn tồn tại một số biến khác có ảnh hưởng rất nhỏ đến Y Trong tình huống này, chúng ta sẽ sử dụng Ui để đại diện cho những biến này.
Về mặt kỹ thuật và kinh tế, mục tiêu là xây dựng một mô hình đơn giản nhất có thể Nếu hành vi của biến Y có thể được giải thích bằng một số ít biến giải thích, và trong trường hợp không xác định được các biến khác có thể loại bỏ, chúng ta sẽ sử dụng yếu tố Ui để đại diện cho các biến này.
Ui đóng vai trò quan trọng trong phân tích hồi quy, và việc thỏa mãn các điều kiện nhất định là cần thiết để đảm bảo tính hợp lệ của hồi quy Sử dụng công cụ mà không hiểu rõ các điều kiện cần thiết có thể dẫn đến sai lầm nghiêm trọng Trong thực tế, không phải lúc nào các điều kiện này cũng được thỏa mãn, nhưng người học có thể tìm ra cách phát hiện và khắc phục khi một số giả thiết của mô hình không được đáp ứng Những vấn đề này sẽ được thảo luận từ chương 5 trở đi.
Hàm hồi quy mẫu
Trong thực tế, việc điều tra toàn bộ tổng thể thường không khả thi, do đó, ta chỉ có thể ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc từ số liệu mẫu Việc xây dựng hàm hồi quy tổng thể có thể tốn kém về thời gian và kinh phí, nên phương pháp điều tra chọn mẫu được áp dụng để lấy ra một số mẫu số liệu nhất định từ tổng thể chung Phương pháp này cho phép nghiên cứu và phân tích, từ đó suy rộng kết quả cho tổng thể với xác suất tin cậy nhất định Hàm hồi quy mẫu (SRF) được xây dựng dựa trên nguyên tắc này, sử dụng số liệu mẫu để ước lượng các tham số cho hàm hồi quy tổng thể, với tổng thể bao gồm các số liệu mẫu thường được gọi là tổng thể mẫu.
Giả sử từ một tổng thể N phần tử, ta lấy ra một mẫu n phần tử (với n tα/2) = α
2.6.2 Khoảng tin cậy của Ở giả thiết 6 ta có 𝜒 2 = (𝑛−2)𝜎 ̂ 2
𝜎 2 , đây là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật χ 2 (n-2) Do đó khoảng tin cậy của σ 2 (với hệ số tin cậy 1 - α ) được xác định từ biểu thức:
Trong đó: 𝜒 𝛼 2 2 ⁄ ; 𝜒 1−𝛼 2 2 ⁄ là các giá trị của ước lượng ngẫu nhiên χ 2 phân phối theo quy luật “khi bình phương” với bậc tự do là n-2 thỏa mãn điều kiện:
𝑃(𝜒 2 ≥ 𝜒 𝛼 2 2 ⁄ ) = 𝛼 2⁄ ; 𝑃(𝜒 2 ≥ 𝜒 1−𝛼 2 2 ⁄ ) = 1 − 𝛼 2⁄ Để tìm các giá trị này ta tra bảng 𝜒 2 (𝑘) (hoặc dùng hàm CHINV trong Excel)
2.6.3 Kiểm định giả thiết về các hệ số hồi quy
Kiểm định giả thiết thống kê là quá trình xác định xem kết quả thu thập từ dữ liệu thực tế có phù hợp với giả thiết đã đề ra hay không.
Trong ngữ cảnh này, "phù hợp" có nghĩa là "đủ" để không bác bỏ giả thiết đã đưa ra Nếu dựa vào lý thuyết hoặc kinh nghiệm trước đó cho rằng hệ số góc (β2) trong thí dụ 1 bằng 0,8, thì giá trị quan sát (β̂) là 0,5091 có phù hợp với giả thiết phát biểu hay không?
Nếu phù hợp ta không bác bỏ giả thiết; nếu không phù hợp thì ta bác bỏ giả thiết nêu trên
Trong thống kê toán, giả thiết cần kiểm định được gọi là giả thiết không, ký hiệu là H0, và mệnh đề đối lập với H0 được gọi là giả thiết đối, ký hiệu là H1 Ví dụ, giả thiết không có thể được biểu diễn là H0: β2 = 0,8, trong khi giả thiết đối có thể là H1: β2 ≠ 0,8, H1: β2 > 0,8, hoặc H1: β2 < 0,8.
Lý thuyết kiểm định xây dựng các quy tắc để quyết định bác bỏ hay không bác bỏ giả thuyết Có hai phương pháp chính là kiểm định bằng khoảng tin cậy và kiểm định ý nghĩa, cả hai đều dựa trên quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Các giả thuyết kiểm định thường liên quan đến các giá trị hoặc tham số đặc trưng của thống kê kiểm định.
2.6.3.1 Kiểm định giả thiết bằng phương pháp khoảng tin cậy: Để minh hoạ cho phương pháp này, ta trở lại với thí dụ tiêu dùng – thu nhập đã xét ở phần trên Giả sử ta cho rằng giá trị đúng của β2 là 0,3 tức ta kiểm định giả thiết
Giả thuyết đối nêu trên là giả thuyết hai phía, và để xác định xem β̂ 2 quan sát được có phù hợp với giả thuyết H0 hay không, chúng ta cần xem xét khoảng tin cậy của β2 đã được tìm ra trước đó, cụ thể là (0,4268 < β2 < 0,5914).
Như vậy: với xác suất 1–α, khoảng ngẫu nhiên (β̂ 2 - ε ; β̂ 2 + ε ) chứa được β2 Vì
Theo nguyên lý xác suất lớn, với α khá lớn, biến cố (β̂ 2 - ε ; β̂ 2 + ε ) gần như chắc chắn xảy ra trong một phép thử Khi thực hiện phép thử với mẫu cụ thể, ta xác định khoảng (β̂ 2 - ε ; β̂ 2 + ε ) Nếu giá trị β2 nằm trong khoảng này, ta không bác bỏ giả thuyết H0; ngược lại, nếu β2 nằm ngoài khoảng này, ta sẽ bác bỏ H0 Quy tắc này có thể được minh họa bằng hình ảnh.
Qui tắc quyết định: Thiết lập một khoảng tin cậy (với hệ số tin cậy 1–α) cho β2.
Nếu β2 (theo H0) nằm trong khoảng tin cậy này thì không bác bỏ giả thiết H0; Nếu β2 nằm ngoài khoảng này thì ta bác bỏ H0
Theo qui tắc này, trong ví dụ giả thiết H0 là: β2 = 0,3 Vì β2 nằm ngoài khoảng (0,4268; 0,5914) Do vậy ta bác bỏ giả thiết H0 (với mức ý nghĩa 5%)
Kiểm định một phía được sử dụng khi có tiên nghiệm hoặc kỳ vọng lý thuyết mạnh rằng giả thuyết đối chỉ có một hướng Ví dụ, trong nghiên cứu về mối quan hệ giữa tiêu dùng và thu nhập, nếu lý thuyết kinh tế hoặc các nghiên cứu trước đây cho thấy xu hướng tiêu dùng biên lớn hơn 0,3, ta có thể áp dụng kiểm định một phía để xác định sự khác biệt này.
Bác bỏ giả thiết H0 nếu β2 nằm trong miền này
Bác bỏ giả thiết H0 nếu β2 nằm trong miền này
Các giá trị của β2 nằm trong khoảng này là hợp lý theo H0 với độ tin cậy 1–α Do vậy không bác bỏ H0 nếu β2 nằm trong miền này β 2 ̂- tα/2;(n-2)Se(β̂) 2 β̂ 2 +tα/2;(n-2)Se(β̂) 2
Hình 2.3 trình bày quy trình kiểm định giả thiết bằng phương pháp khoảng tin cậy với giả thiết H1: β2 > 0,3 Thủ tục kiểm định này có thể được suy ra từ (2.20), tuy nhiên, trong thực tế, phương pháp kiểm định ý nghĩa thường được áp dụng để thực hiện kiểm định giả thiết này.
2.6.3.2 Kiểm định giả thiết bằng phương pháp kiểm định ý nghĩa:
Kiểm định ý nghĩa là quy trình sử dụng kết quả từ mẫu để xác định tính đúng đắn hoặc sai lầm của một giả thuyết.
Chẳng hạn cần kiểm định giả thiết H0: βi = β*; H1: βi ≠ β*
Quyết định chấp nhận hay bác bỏ H0 dựa vào giá trị của thống kê kiểm định thu được từ số liệu của mẫu
Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy
Phân tích hồi quy từ góc độ phân tích phương sai cung cấp một cách tiếp cận hữu ích để giải quyết các vấn đề phán đoán thống kê Theo đó, tổng phương sai (TSS) được chia thành phương sai giải thích (ESS) và phương sai không giải thích (RSS), với công thức 𝑅² = 𝐸𝑆𝑆, giúp đánh giá mức độ phù hợp của mô hình hồi quy.
ESS = R 2 *TSS và RSS = (1-R 2 )TSS
Do 𝛽̂ 2 có phân phối chuẩn N (𝛽 2 , 𝜎 2
𝜎 ̂ 2 ~𝐹(1, 𝑛 − 2) Chúng ta kiểm định giả thiết: H0: β2 = 0 với H1: β2 ≠ 0 Để kiểm định giả thiết trên ta áp dụng quy tắc kiểm định sau:
𝜎 ̂ 2 Nếu F>Fα(1.n-2) thì bác bỏ giả thiết H0 Mặt khác:
Quá trình phân tích phương sai giúp đưa ra các phán đoán thống kê về độ phù hợp của hàm hồi quy, và có thể được tóm tắt qua bảng dưới đây.
Nguồn biến thiên Tổng bình phương Bậc tự do
Từ hàm hồi quy (ESS) ∑(𝑌̂ − 𝑌̅) 𝑖 2 = (𝛽̂) 2 2 ∑(𝑋 𝑖 − 𝑋̅) 2 1 (𝛽̂) 2 2 ∑(𝑋 𝑖 − 𝑋̅) 2
Từ các yếu tố ngẫu nhiên
Phân tích hồi quy và dự báo
Trên cơ sở số liệu mẫu ở thí dụ 2, ta có hàm hồi quy mẫu:
Hàm hồi quy mẫu này cho phép chúng ta dự đoán chi tiêu tiêu dùng (Y) trong tương lai dựa trên mức thu nhập (X) đã được xác định trước.
Có hai loại dự báo:
Dự báo trung bình có điều kiện của Y với giá trị X = X0
Dự báo giá trị cá biệt của biến phụ thuộc, tức là với X = X0 tìm giá trị Y = Y0 2.8.1 Dự báo giá trị trung bình
Giả sử X = X0, ta muốn dự báo E(Y/X0) = β1 + β2X0 Đường hồi quy mẫu cho ta ước lượng điểm của E(Y/X0) là:
Trong đó, 𝑌̂ 0 là ước lượng điểm, không chệch và có phương sai nhỏ nhất của E(Y/X0) Tuy nhiên 𝑌̂ 0 vẫn sai khác so với giá trị thực của nó
𝑌̂ 0 có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán là β 1 + β2X0 và phương sai là:
∑(𝑋 𝑖 −𝑋̅) 2 ]; 𝑆𝑒(𝑌̂ ) = √𝑉𝑎𝑟(𝑌 0 ̂ ) 0 (2.23) Với hệ số tin cậy 1-α, dự báo khoảng của E(Y/X0) là:
[𝑌̂ − 𝑡 0 𝛼 2 ⁄ 𝑠𝑒(𝑌̂ ) < 𝐸(𝑌 𝑋 0 ⁄ 0 ) < 𝑌̂ + 𝑡 0 𝛼 2 ⁄ 𝑠𝑒(𝑌̂ ) 0 (2.24) 2.8.2 Dự báo giá trị riêng biệt:
Nếu chúng ta muốn dự báo giá trị riêng biệt (Y0) khi X = X0 với hệ số tin cậy 1- α thì áp dụng công thức:
𝑌̂ ± 𝑡 0 𝛼 2 ⁄ 𝑠𝑒(𝑌 0 − 𝑌̂ ) 0 (2.25) Trong đó: tα/2 là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên T ~ T(n-2) thoả mãn: P(|T| > tα/2) = α
Dựa vào số liệu trong ví dụ 2, chúng ta cần dự báo giá trị trung bình và giá trị cá biệt của chi tiêu cho tiêu dùng khi thu nhập đạt 100 USD/tuần, với hệ số tin cậy 95%.
Với hệ số tin cậy 95% và bậc tự do là 8, giá trị t α/2 được xác định là t0,025 = 2,306 Dựa trên kết quả 33000 = 10,4758 và sai số chuẩn se( Yˆ0 ) = 3,2366, khoảng dự báo cho chi tiêu tiêu dùng khi thu nhập đạt 100 USD/tuần được tính toán với hệ số tin cậy 95%.
75,3636 ± 2,306* 3,2366 Hay: 67,9 < E(Y/X = 100 < 82,8 Để dự báo giá trị riêng biệt, trước hết ta tính:
33000 ] = 52,63457 se(Y0 - Yˆ0 ) = 7,25497 Vậy dự báo khoảng chi tiêu tiêu dùng khi thu nhập ở mức 100USD/tuần với hệ số tin cậy 95% là:
Khi so sánh kết quả này với dự báo khoảng giá trị trung bình, chúng ta nhận thấy rằng khoảng tin cậy của giá trị riêng biệt (Y0) rộng hơn khoảng tin cậy của E(Y/X0).