Bài giảng Giải số tích - ĐH Phạm Văn Đồng

Nội dung Bài giảng Giải tích số gồm 6 chương: Tính toán với các số gần đúng; Phương pháp nội suy; Đạo hàm và tích phân bằng số; Giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt; Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính; Giải gần đúng phương trình vi phân thường.

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH SỐ

Quảng Ngãi, Tháng 7/ 2018

MỤC LỤC

Mục lục 2

Lời nói đầu 3

Chương 1 TÍNH TOÁN VỚI CÁC SỐ GẦN ĐÚNG 4

1.1 Khái niệm 4

1.2 Các loại sai số 5

1.3 Sai số tính toán 5

Bài tập chương 1 8

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 9

2.1 Phương pháp nội suy 9

2.2 Tính giá trị đa thức bằng sơ đồ Hoocner 10

2.3 Đa thức nội suy Lagrăng 12

2.4 Đa thức nội suy Newton 18

2.5 Phương pháp bình phương bé nhất 22

Bài tập chương 2 28

Chương 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 32

3.1 Tính gần đúng đạo hàm 32

3.2 Tính gần đúng tích phân xác định 33

Bài tập chương 3 37

Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT 40

4.1 Giới thiệu 40

4.2 Tách nghiệm 40

4.3 Tách nghiệm cho phương trình đại số 42

4.4 Chính xác hóa nghiệm 43

Bài tập chương 4 50

Chương 5 GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 52

5.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 52

5.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Cramer 55

5.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gausse 58

5.4 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn 60

5.5 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gausse - Siedel 63

Bài tập chương 5 66

Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 68

6.1 Khái niệm 68

6.2 Giải bài toán Cauchy bằng phương pháp giải tích 68

6.3 Giải bài toán Cauchy bằng phương pháp số 69

Bài tập chương 6 71

Tài liệu tham khảo 72

3

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích số là lĩnh vực toán học nghiên cứu về các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học

Bài toán nào cũng có các dữ liệu ban đầu được thu thập bằng cách đo đạc, thống kê để có lời giải gần đúng của nó

Giải tích số là môn học bắt buộc đối với các trường thuộc khối ngành sư phạm Nội dung “ Bài giảng Giải tích số” gồm 6 chương:

Chương 1 Tính toán với các số gần đúng

Chương 2 Phương pháp nội suy

Chương 3 Đạo hàm và tích phân bằng số

Chương 4 Giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt

Chương 5 Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính

Chương 6 Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Bài giảng đã trình bày những nội dung căn bản nhất của Giải tích số Đặc biệt, sau mỗi chương có phần bài tập rất phong phú để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng tính toán

Bài giảng đã giới thiệu các ví dụ minh hoạ thật đơn giản, dễ hiểu giúp người học dễ dàng tiếp cận với khối lượng kiến thức khá hấp dẫn và thú vị của từng chương

Chúng tôi hy vọng rằng “Bài giảng Giải tích số” là một tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên và là nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu

Đây là lần viết đầu tiên, chắc chắn bài giảng còn nhiều thiếu sót Chúng tôi hết sức chân thành cảm ơn sự góp ý, nhận xét của bạn đọc về nhiều phương diện để nội dung bài giảng ngày càng được tốt hơn

- Trong tính toán, chúng ta làm việc chủ yếu với giá trị gần đúng của các đại lượng

 gọi là sai số tương đối của số gần đúng x

Ý nghĩa của sai số tuyệt đối và sai số tương đối:

- Người ta không thể dùng sai số tuyệt đối để so sánh độ chính xác của phân tích mà kết quả được biểu diễn với các đơn vị đo khác nhau

- Để đánh giá tốt hơn độ chính xác và để có thể so sánh các kết quả phân tích biểu diễn bằng các đơn vị khác nhau ta dùng sai số tương đối Sai số tương đối phản ánh

độ chính xác của các phép phân tích các chỉ tiêu khác nhau, bằng các phương pháp khác nhau

Ta xét đến 2 loại sai số sau:

Sai số tuyệt đối giới hạn, ký hiệu x là số không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của số gần đúng x

Nghĩa là:  xx* x

Suy ra xxx*xx

Trong đó: x x là số gần đúng thiếu của số đúng x*

0

49

,

0 d* mm với sai số tuyệt đối giới hạn là d  0 , 01

Sai số tương đối giới hạn, ký hiệu x và được tính bởi công thức:

Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có các loại sau:

- Sai số giả thiết: xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý

tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán

- Sai số do số liệu ban đầu: xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào

không chính xác

- Sai số phương pháp: xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng

- Sai số tính toán: xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính

càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn

1.3 SAI SỐ TÍNH TOÁN

1.3.1 Công thức tổng quát của sai số

Giả sử dùng n số gần đúng x i;i1,n để tính đại lượng y với y f x i  fx1,x2, ,x n

và giả sử đã biết sai số tuyệt đối giới hạn x i;i1,n của các đối số x i;i1,n

Trong đó, hàm số f là hàm khả vi, liên tục theo các đối số xi

Khi đó sai số của y được xác định theo công thức sau:

n

i i

x x

7 , 3 6

3 3

7 , 3 14 , 3 2

2 2

Sai số tuyệt đối giới hạn là:

6

0882 , 1 05 , 0 4933 , 21 0016 , 0 4422 ,

0882 , 1 5084

, 26 0882 , 1 6

7 , 3 14 , 3

d

Sai số tương đối giới hạn là:

%1,404105,05084,26

0882,1



hoặc tính theo công thức:

d d

V V

x x

ln1

05,0.314,3

0016,03

x

x x

x y

y y

2 1

1,

1.3.3 Sai số của tích và thương

Trường hợp hàm số f có dạng  

n m m

m i

x x x

x x x x f y

.

2 1

2 1

7

n m m

m

x x

x x

x x x

x

x

x x

f

i i

;1

;1ln

i i

x

x y

1 1

r

r r

Khi đó: lny ln f lnx và  

x x

8

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 SAI SỐ VÀ TÍNH GẦN ĐÚNG

9

PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

2.1 PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY

2.1.1 Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và

tính giá trị các hàm y = f(x) nào đó Tuy nhiên trong thực tế có trường hợp ta

không xác định được biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc:

y0, y1, , yn tại các điểm tương ứng x0, x1, , xn

Vấn đề đặt ra là làm sao để xác định giá trị của hàm tại các điểm còn lại

- Bài toán xây dựng hàm  x gọi là bài toán nội suy

- Hàm  x gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b]

- Các điểm xi ( i0,n ) gọi là các mốc nội suy

2.1.2 Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu

thức của f(x) nhưng nó quá phức tạp trong việc khảo sát, tính toán

Khi đó ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với nó để đơn giản phân tích và khảo sát hơn

Trong trường hợp đó ta chọn n + 1 điểm bất kỳ làm mốc nội suy và tính giá

trị tại các điểm đó, từ đó xây dựng được hàm nội suy (bằng công thức

Lagrange, công thức Newton,…)

2.1.3 Trường hợp tổng quát: hàm nội suy  x không chỉ thoả mãn giá trị hàm tại

mốc nội suy mà còn thoả mãn giá trị đạo hàm các cấp tại mốc đó

 0 / 0 ; / 1 / 1 ;

/

x f x x

f

10

 0 // 0 ; // 1 // 1 ;//

x f x x

2 2 TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC BẰNG SƠ ĐỒ HOOCNER

2.2.1 Tính giá trị đa thức bằng sơ đồ Hoocner

2.2.1.1 Đặt vấn đề

Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :

n n

a x a x

a x a x

1 1

 c p a c p

a x a x

a x a x

1 1

1

0 ;a0 0 (1) Xác định các hệ số của p(y + c)

Trong đó y: biến mới, c: giá trị cho trước

2.2.2.2 Phương pháp

Giả sử: p(y+c) = b0yn + b1yn-1 + + bn-1y + bn (2) Như vậy ta phải xác định các hệ số bi ; i 0 ,n

b b y b y

b y b y c y

1 2

2 1 1

Đặt x = y + c ta có:

n n

b b y b y

b y

b         

1 2

2 1 1

Với pi(c) là giá trị đa thức bậc n-i tại c

Sơ đồ Hoocner tổng quát:

2.3 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

2.3.1 Đa thức nội suy Lagrange với mốc không cách đều

Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi ( i 0,n), khi đó đa thức nội suy Lagrange của f(x) là đa thức bậc n và được xác định theo công thức sau:

x x x x x x x x x x x

p

n i i i i i i

i

n i

i i

1 0

1 1

1 0

Đặt W   x  xx0xx1  xx i1xx ixx i1  xx n

Suy ra    

i

x - x

x W



x

A ; B  W/ x i ; i 0 ,n

Không có (x-xi)

x x

y x

L

/ xW x

02

4

11

3

38

2421

3

x x

x x

x x x

21.0212

41.1311

42

3421

421.23

2.3.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi i 0 ,ncách đều một khoảng h

j

x-xj = h.(t-j) xi-xj = h.(i-j)

14

i

n i

i i

n

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

1 0

1 1

n t h i

t h i t h t

h t h ht ht x

2 1

1

1

2 1

t i t t

t t

2 1

1

1

2 1

             

     n i

i n i i t

n t i

t i t i t t t

1

1

n x y p x L

i n i i t

y n

t i

t i t i t t t ht x L

0 0

!

!

1

1

.1

1

Vì tổ hợp chập i của n phần tử là: ! !

!

i n i

i t

C y n

n t t

t ht x

L

0 0

x x

y x

L

/ xW x

2

28

.0

5422

x x

x x

x x x L

12

24

58

42

x x

x

x x x

20

5

!2

212

1 2 1

2 0

2 2

t

C t

C t

C t

t t t L

4 5 2

2 1

t t t

t t t

2.3.3 Bảng nội suy Ayken

2.3.3.1 Bảng nội suy Ayken dạng 1

Khi tính giá trị của hàm tại một điểm x = c nào đó bất kỳ mà không cần phải xác định biểu thức của f(x) Khi đó ta có thể áp dụng bảng nội suy Ayken như

sau:

x x

x x

x c

y c

y c

f

0c

2

3 -36

1 2

7 9

2 20

1 40625 ,

2.3.3.1 Bảng nội suy Ayken dạng 2

i Xét hàm nội suy của 2 điểm: x 0 , x 1

 

0 1

0 1 1 0

1 0 01

x x

x x y x x

x x y x L

0 1 1

0

x x

x x y x x y

1 1

0 0

x x x

x

x y

x y









ii Xét hàm nội suy của 2 điểm: x 0 , x i i2,n

 

0 i i

0 0

0

x x x

x

x y

x y

i 0

1 01

x

xx

xx

x

x L

x L

1 i 0 1

i

0 1 0 0 0 i 0 01 0

x

xx

xxx

x

y x

x y

x

x L

x L

1 i 1 1

i

1 1 1 0 1 i 1 01 1

x

xx

xxx

x

y x

x y

x

x L

x L

i

x

x y

x

x L

x L

1 i 1

i

1 i 0 i

i 01

x

xx

xxx

x

Vậy p(x) là hàm nội suy của 3 điểm x0, x1, xi

iv Hàm nội suy của n+1 điểm x 0 , x 1 , x n

Bảng nội suy Ayken (dạng 2)

Lo1(x)

Lo2(x)

Lo3(x)

4.625 4.875 4.875

4.5 4.562

-1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 4.407 Vậy f(2.5) 4.407

Δf(x0) Δf(x1) Δf(x2)

Δf(xn-1)

Δ2f(x0) Δ2f(x1)

2.4.2 Công thức nội suy Newton

Giả sử hàm f(x) nhận giá trị yi tại các mốc xi cách đều một khoảng h Khi đó hàm nội suy Newton là một đa thức bậc n được xác định như sau:

!

1

0 1







   02 12

!

2 h

x x x x





n

h n

x x x x x x x

x f x

x x x x x x x f h

x x x x x f h

x x x f x

1 1

0 0

2 1 0

0 2 0 0

2 -2

-4 Hàm nội suy Newton:

3

2 1 0 2

1 0 0

!.

4 )

4 (

!.

1 2

2

h

x x x x x x x x h

x x x x x x h

x x x x h

x x

4 3 2 1 4 3

2 1

3 2 1 2 2

1

2 1 1

1 2

252

6

2 3

cx bx a y

bx a y

sincos

ae y





23

nhưng chưa xác định được giá trị của các tham số a, b, c Để xác định được các tham số này, ta tìm cách tính một số cặp giá trị tương ứng (xi ;yi), i=1, 2, …,n bằng thực nghiệm, sau đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất

2.5.2 Phương trình tuyến tính

2.5.2.1 Trường hợp: y = a + bx

Gọi i sai số tại các điểm xi : i  y i abx i

Khi đó tổng bình phương các sai số:





 n

i i S

0

1

b S a

i i i

i a b x ay bx y abx y

S

1

2 2 2 2

2 2

i i i

i

ax y x bx ax

y x bx b

S

bx y a bx

y a a

S

2 2

02

22

2

02

222

i i n

i i

n

i i n

i i

y x x

b x a

y x

b na

1 1

2 1

1 1

1

Giải hệ phương trình ta được: a, b

48,42 13,8b 5

b

a

Giải hệ phương trình trên ta thu được

0

2

c S b S a S

i i

i i

i i i i

2 2 2

2 2

22

22

22

0

2

c S b S a S

i i

n

i i i n

i i n

i i n

i i

n

i i n

i i n

i i

y x x

c x b x a

y x x

c x b x a

y x

c x b na

2 4

3 2

1 1

3 1

2 1

1 1

2 1

Giải hệ phương trình ta được a, b, c

f(x)

y   

797,11 48,332c

260,18 8,14a

98,1 18,260c

8,140b 00,5

c b

f  

2.5.2.3 Trường hợp y = a + bcosx + csinx

Gọi i sai số tại các điểm xi

i  y i abcosx i csinx i

Khi đó tổng bình phương các sai số:

  2

1 1

2

sincos

i n

sin cos

2

0 cos

sin cos

2

0 1 sin cos

2

3

1 1 1

i n

i

i i

i

i n

i

i i

i

n

i

i i

i

x x

c x b a y c

S

x x

c x b a y b

S

x c x b a y a

n

i

i i i

n

i

i i n

i

i i n

i

i n

i

i

n

i i n

i

i n

i

i

x y x

c x x b

x a

x y x

x c

x b

x a

y x

c x b

na

2 1

1 1

1 2 1

1 1

1

sin sin

sin cos sin

cos sin

cos cos

cos

sin cos

3

Giải hệ phương trình ta được a, b, c

Giải hệ phương trình ta được A, B  a = 10A, b=B

Ví dụ 3 Cho biết các cặp giá trị của x và y theo bảng sau:

1

89,0

i i



5

1

239,3

i i



5

1

92,0

i i

i Y X

Phương pháp bình phương bé nhất: A, B là nghiệm hệ phương trình

n

1 i

n

1 i 1 i 2

i i

n

1 i

n

1 i i i

XX

XA

YX

BA

Y B

89 , 0 35 , 4 5

B A

B A

1)( 

Xây dựng hàm nội suy Newton

Bài 23 Cho bảng giá trị hàm

31

Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và x là:

bx a

ax

y

32

VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

3.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

3.1.1 Áp dụng đa thức nội suy

Để tính gần đúng đạo hàm của hàm f(x) tại x tức là tính f /

(x):

- Ta có thể thay hàm f(x) bằng đa thức nội suy Ln(x)

- Tính đạo hàm của đa thức nội suy: Ln

/(x)

- Lấy giá trị Ln /(x) làm giá trị gần đúng của f /(x)

Ví dụ 1 Tính gần đúng đạo hàm của hàm f(x) cho bởi bảng sau:

!1

//

2 /

c f h x hf x f h x

33

Áp dụng công thức (2), ta có:

1,0

19867,029552,01

,0

2,0sin1,02,0sinsin

2 , 0

5 1

Trong trường hợp như vậy ta có thể sử dụng các công thức gần đúng sau để tính tích phân:

- Công thức hình thang

- Công thức Parabol

3.2.2 Công thức hình thang

3.2.2.1 Nội dung công thức

Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau với khoảng cách h = (b - a)/n theo các điểm chia: x0 = a, x1 = a + h, , xi = a + ih, , xn = b

  x dx f   x dx f   x dx f   x dx S f

2 y y

h S

S  H THANG  Tương tự

b a

y y

y y y

h dx x

117

1.210

1.25

1.22

12

3.2.3 Công thức Parabol (Công thức Simson)

3.2.3.1 Nội dung công thức

Chia [a, b] thành 2n đoạn bằng nhau với khoảng cách h = (b - a)/2n theo các điểm chia: x0 = a, x1= a+h, , x2n = b Tức x i aih; i0,1,2, ,2n

2 2

1 0

2 2 1 0 1

2 0

1 2 0 1 0

2 1

0 2

x x x x

x x x x y x x x x

x x x x y x x x x

x x x x y x L x

0 2

0

1 0

1 2 0 2

2

2 0

2 1 0 1

1

2 1

2 0 1 0

0 2

x x

x x

x x

x x

x

x

dx x x x x x

x x x

y

dx x x x x x

x x x

y

dx x x x x x

x x x

y dx

x L dx

x f

Thay x0 = a, x1 = a+h, x2 = a + 2h vào tích phân trên ta có:

h dx x f

h dx x f

y y

y

h dx x

y y

y y

h dx x

1 x dx

I bằng công thức Parabol

1.417

1.225,13

1.410

1.225,7

1.45

1.225,3

1.42

13

( dx x f I

theo công thức hình thang và công thức Simson

1

2,1

1

3,1

1

4,1

1

5,1

1

6,1

1

7,1

1

8,1

1

9,1

1

21

Tính tích phân:



1

0)

( dx x f

( dx x f

0dx)x(I

theo công thức hình thang và công thức Simson

39

Tính tích phân:



 40)

( dx x f

0

sin

dx x

1

dx x

40

CHƯƠNG 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

VÀ SIÊU VIỆT

4.1 GIỚI THIỆU

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 ta tiến hành qua 2 bước:

4.1.1 Tách nghiệm: xét tính chất nghiệm của phương trình, phương

trình có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu có Đối với bước này, ta có thể dùng phương pháp đồ thị, kết hợp với các định lý toán học hỗ trợ

4.1.2 Chính xác hoá nghiệm: thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ

được đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép Trong bước này ta có thể áp dụng một trong các phương pháp:

+ Phương pháp chia đôi + Phương pháp lặp + Phương pháp tiếp tuyến + Phương pháp dây cung

4.2 TÁCH NGHIỆM

4.2.1 Phương pháp đồ thị

Trường hợp hàm f(x) đơn giản

- Vẽ đồ thị f(x)

- Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của f(x) với trục Ox, từ đó suy

ra số nghiệm, khoảng nghiệm

Trường hợp f(x) phức tạp

- Biến đổi tương đương f(x) = 0  g(x) = h(x)

- Vẽ đồ thị của g(x), h(x)

- Hoành độ giao điểm của g(x) và h(x) là nghiệm phương trình, từ đó suy

ra số nghiệm, khoảng nghiệm

4.2.2 Định lý 1

Giả sử f(x) liên tục trên [a; b] và có f(a).f(b)<0 Khi đó trên [a; b] tồn tại một

số lẻ nghiệm thực x[a; b] của phương trình f(x) = 0 Nghiệm là duy nhất nếu f ’(x) tồn tại và không đổi dấu trên [a; b]