Bài giảng Giải tích 2 - ĐH Phạm Văn Đồng

Giải tích 2 là phần kiến thức toán học tiếp nối chương trình Giải tích 1 dành cho sinh viên đại học năm thứ nhất ngành Kinh tế và Kỹ thuật. Nội dung gồm có 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân bội; Tích phân đường và tích phân mặt; Chuỗi số và chuỗi hàm; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH 2

Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật

Biên soạn: ThS PHAN BÁ TRÌNH

Quảng Ngãi, Tháng 7 - 2020

Quảng Ngãi, Tháng 7 - 2020

MỤC LỤC

Mục lục ……… 2

Lời nói đầu ……… 3

Chương 1 TÍCH PHÂN BỘI……… ……… 4

Bài 1 Tích phân hai lớp……… ……… 4

Bài 2 Tích phân ba lớp……….……… 18

Bài tập chương 1……… ……… 29

Chương 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT…….…… 31

Bài 1 Tích phân đường loại I……… 31

Bài 2 Tích phân đường loại II……… 35

Bài 3 Tích phân mặt loại I……… 44

Bài 4 Tích phân mặt loại II……… 48

Bài 5 Ứng dụng của tích phân mặt ……… 54

Bài tập chương 2……… 58

Chương 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM……… 60

Bài 1 Chuỗi số ……… 60

Bài 2 Chuỗi hàm……… 69

Bài tập chương 3……… 82

Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ……… 84

Bài 1 Phương trình vi phân cấp 1……… 84

Bài 2 Phương trình vi phân cấp 2……… 93

Bài tập chương 4……… 101

Tài liệu tham khảo ……… 103

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích 2 là phần kiến thức toán học tiếp nối chương trình Giải tích 1 dành cho sinh viên đại học năm thứ nhất ngành Kinh tế và Kỹ thuật

Nội dung và các chương mục của bài giảng này được biên soạn theo chương trình Toán cao cấp dành cho các khối ngành ngoài sự phạm của Trường Đại học Phạm Văn Đồng trên cơ sở chương trình khung của Bộ Giáo dục - Đào tạo những năm gần đây

“ Bài giảng Giải tích 2” gồm 4 chương:

Chương 1 Tích phân bội Chương 2 Tích phân đường và tích phân mặt Chương 3 Chuỗi số và chuỗi hàm

Chương 4 Phương trình vi phân Bài giảng đã trình bày những nội dung căn bản nhất của: Tích phân bội; Tích phân đường, tích phân mặt; Chuỗi số, chuỗi hàm và Phương trình vi phân

Đặc biệt, sau mỗi chương có phần bài tập khá phong phú để sinh viên củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng tính toán Các kiến thức trong bài giảng này có nhiều điểm mới đối với sinh viên Do đó, sinh viên phải tập trung nỗ lực để tiếp thu các khái niệm, định nghĩa và nắm chắc các công thức, phương pháp của từng nội dung để vận dụng tính toán một cách thành thạo, nhằm mang lại những kết quả tốt

Kinh nghiệm cho thấy, nếu sinh viên không hiểu đầy đủ các quy tắc suy luận logic, không nắm vững các công thức toán học thì sẽ gặp nhiều khó khăn trong tiếp thu bài học cũng như vận dụng vào việc giải bài tập

Bài giảng đã giới thiệu các ví dụ minh hoạ, những bài toán ứng dụng trong hình học, cơ học sẽ giúp ích cho các bạn sinh viên có cách nhìn đa dạng trong việc ứng dụng toán học

Trong quá trình giảng dạy, tùy theo mỗi ngành cụ thể mà ở mỗi chương chúng ta dành một thời lượng thích hợp

Chúng tôi hy vọng rằng “Bài giảng Giải tích 2” là một tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên và là nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu

Là lần đầu tiên biên soạn, chắc chắn bài giảng còn nhiều thiếu sót Chúng tôi chân thành cảm ơn sự góp ý, nhận xét của bạn đọc về nhiều phương diện để nội dung bài giảng ngày càng được hoàn chỉnh hơn

Tác giả

CHƯƠNG 1 TÍCH PHÂN BỘI

BÀI 1:

TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP HAY TÍCH PHÂN BỘI HAI)

1.1.1 KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN HAI LỚP

1.1.1.1 Bài toán dẫn đến tích phân hai lớp

Xét một vật thể hình trụ được giới hạn bởi mặt phẳng Oxy chứa miền đóng D, bị chặn biên L; mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên L; mặt cong

)

,

( y x

f

z  trong đó f ( y x , )là hàm xác định, không âm, liên tục trên miền D

(Miền D gọi là đáy của vật thể hình trụ này)

đường sinh song song với Oz và phía

trên giới hạn bởi mặt cong z  f ( y x , )

1

)

,(

+ Gọi di là đường kính của Si Cho n sao cho maxdi0 thì thể tích của vật thể hình trụ là:

d f x y S

V

max lim ( , ). 1.1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Z = (x,y) bị chặn trên miền hữu hạn D

Hình 1.1

+ Chia miền D thành n phần nhỏ đóng (không dẫm lên nhau) có tên và diện tích lần lượt là:

Gọi di là đường kính của Si.

+ Nếu n sao cho maxdi0 mà tồn tại giới hạn:

0 max

không phụ thuộc vào cách chọn điểm (xi,yi) và cách chia miền D, được gọi là tích phân hai lớp của hàm (x, y) lấy trên miền D và được ký hiệu là:



D

dS y x f

Trong đó: - (x, y) là hàm dưới dấu tích phân

- D là miền lấy tích phân

- dS là yếu tố diện tích Vậy:

SyxfdS

Nếu (x, y) có tích phân hai lớp trên miền D thì ta

nói (x,y) khả vi trên miền D

1.1.1.3 Sự tồn tại tích phân hai lớp

Định lý 1.1.2 Nếu hàm (x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D thì nó khả tích trên miền D

1.1.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP

Dựa vào định nghĩa ta thấy tích phân hai lớp có các tính chất tương tự như tích phân xác định

1    

D D

D

gf

f c f c.

3     

2

D D

ff

5 Nếu g(x,y)  (x,y); (x,y)D thì:



D D

dxdyyxfdxdyyx

Đặc biệt, nếu (x,y)  0 ; (x,y)D thì:

0)

6 Nếu m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm (x,y) trên miền D thì ta có:

)(.)

,()

(.S D f x y dxdy M S Dm

)(

1),

S( ) ( , )1

được gọi là giá trị trung bình của (x,y) trên D

1.1.3 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES Giả sử cần tính tích phân:

D

dxdyyx

f ( , ) với D là miền hữu hạn và (x,y) liên tục trên D

1.1.3.1 Trường hợp D là hình thang cong loại 1

D là hình thang cong loại 1 nếu D phẳng giới hạn



D

dxdyyx

f( , )bởi mặt trụ có đường sinh song song Oz; đáy là D; giới hạn phía trên là mặt

)

,

( y x

f

z  (Hình 1.4) Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với Ox tại x[a; b]

Thiết diện thu được có diện tích là:





) ( ) (

2

1

),()

(

x x

dyyxfx

S





Khi đó thể tích của vật thể là:

.),()

,()

,(

) (

) (

) (

) (

2

1 2

b a

b a

x

x D

dyyxfdxdx

dyyxfdxdy

yxfV

,(

) ( ) (

b a D

dyyxfdxdxdy

yxfV





(2)

1.1.3.2 Trường hợp D là hình thang cong loại 2

D là hình thang cong loại 2 nếu D phẳng giới hạn bởi các đường:

y1 = c; y2 = d;

x1 = 1(y); x2 = 2(y);

(c < d; 1(y)  2(y))

Với 1(y); 2(y) là các hàm liên tục và đơn trị trên [c;d]

Tương tự như trường hợp 1.3.1, ta có:

   

) ( ) (

2

1

),()

,(

y y

d c D

dxyxfdydxdy

yxf

d c

b a D

dxyxfdydyyxfdxdxdyyx

dyyfdxxfdxdyyx

2/ Các công thức (2), (3) chứa các tích phân có dạng ở vế phải được gọi là các tích phân lặp

3/ Trường hợp D là miền bất kỳ:

Nếu D là miền bất kỳ thì ta chia D thành

một số hữu hạn miền phẳng không dẫm

lên nhau có dạng hình thang cong loại 1

hoặc loại 2 Khi đó, tích phân lấy trên D

bằng tổng tích phân lấy trên các miền đã

Ví dụ 1.1.2 Tính thể tích hình trụ có đáy là hình vuông xác định bởi 0 x  1;

0 y 1 và giới hạn trên bởi mặt paraboloit: z  f ( x , y )  x 2  y 2 (tròn xoay)

0

2 2 1

0

2 2

0

1 3 )

( )

1 3 3 3

0

1

Giải

Ta thấy miền lấy tích phân D là đường cong

loại 1 giới hạn bởi đường thẳng y = x và

parabol y = x2 Nhưng cũng có thể xem là

đường cong loại 2 được giới hạn bởi y = 0;

2

) , (

2 1

0 0

Trong đó, D là miền giới hạn bởi:

y = -1; y = 1; x = y2; y = x + 1

Giải

Nếu xem D là hình thang cong loại 2 thì

việc tính tích phân đơn giản hơn là xem

nó là hình thang loại 1 Ta thấy D được

giới hạn bởi: - 1  y 1; y-1  x  y2

(Hình 1.7) Do đó:

15

7 2

1 2 2

1 2

) (

1

1

2 3 4 2

y dy y

y xy

x dx y x dy

I

y

y

1.1.5 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HAI LỚP CÁCH TÍNH TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC

phẳng Oxy Ta nói phép biến đổi (ánh

xạ) trên là phép biến đổi 1 - 1 (song

iii/ Các điểm khác nhau trong D’

có điểm khác nhau trong D

Chú ý 1.1.3 Nếu x = x(u,v); y = y(u,v) là phép biến đổi 1-1 từ D’ đến D thì có thể giải được u,v là các hàm của x,y Phép biến đổi ngược lại: u = u(x,y) v = v(x,y) cũng

là phép biến đổi 1-1 từ D đến D’

Định lý 1.1.2 Giả sử ta có phép biến đổi: x = x(u,v); y = y(u,v) Trong đó:

i/ Đó là phép biến đổi 1-1 từ miền D’  Iuv vào miền D  Oxy

ii/ Các hàm x(u,v); y(u,v) liên tục và các đạo hàm riêng liên tục trên D’

iii/ Định thức hàm Jacobian:

0 )

, (

) , (

/ /

/ /

v u

y y

x x v

y u

x u x v

u

y x

'

)].

, ( );

, ( [ )

, (

D D

dv du J v u y v u x f dxdy y x

Chứng minh

Ta tìm cách biểu diễn yếu tố diện tích:

dS = dx.dy trong mp Oxy qua yếu tố diện tích

trong mp Iuv Với mỗi u cố định (u = c) thì các

phương trình: x = x(u,v); y = y(u,v) xác định

một đường cong theo v, ta gọi là u - đường

cong tương ứng với giá trị u = c

Tương tự, với mỗi v cố định thì các phương

trình trên xác định một đường cong theo u, ta

gọi là v - đường cong

Xét yếu tố diện tích dS trong mp Oxy giới hạn bởi các u - đường cong gần nhau có các giá trị u, u + du và các đường cong v, v + dv

Với du, dv khá bé, vì các đường cong trơn nên yếu tố xấp xỉ với diện tích hình bình hành Do đó:

y x

dv y du y

dv x du x

k j i dS

v u

v u

.

) , (

) , (

0

0

' '

' '

),(

vu

yx

, ( );

, ( [(

dv du J v u y v u x f dy

y = x - 3; y = x + 1; y =

3

73

v u x

4

3 4 1 4

3 4 3

Suy ra:

4 3 4

3 4

3 4 3

' '

' '

v u

y y

x x J

Do đó:

8 4

3

4 3

1

3 5

dv du u I

D

1.1.5.2 Đổi biến trong toạ độ cực

Ta có công thức liên hệ giữa toạ độ Descartes (x,y) và toạ độ cực (r, ) của cùng một điểm: x = rcos; y = rsin

Nếu r  0; 0    2 (hoặc -     ) thì công thức trên xác định một phép biến đổi 1-1 giữa toạ độ Descartes (x,y) và toạ độ cực (r, )

Ta có định thức Jacobian:

r r

r y

y

x x r

y x J

sin cos

) , (

) , (

/ /

/ /

sin , cos (

) , (

D D

d dr r r

r f dy dx y x

) (

2

1

) sin , cos (

) , (

dr r r r

f d dy dx y x f

2/ Nếu D’ chứa gốc cực của toạ độ cực và

mọi bán kính cực chỉ cắt biên của D’ tại một

điểm có bán kính véctơ r() (Hình 1.12a) thì:

   

) (

0

2

0

).

, (

) , (

0

2

0

).

, (

) ,

Ví dụ 1.1.7 Tính   

D

dxdy y x

I 4 2 2 , trong đó D là nửa trên của hình tròn:

x  12  y 2  1

Giải

Dùng công thức đổi biến: x = rcos; y = rsin Ta

thấy miền D’ là miền giới hạn bởi các đường:

1 4

sin

0

2

0

sin





cos 2

 r y

x

O

Hình 1.12b

) 4 (

) 4 ( )

4

(

dx x x

dy x dx

15

1280

45

23

2 3

S (theo tính chất 4 của tích phân hai lớp)

Ví dụ 1.1.11 Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

y = x; y = 2 - x2 Giải

 

) ( 2

9 ) 2

(

1

2 2

2 1

2

2

đvdt dx

x x

dy dx dxdy D

S

x

x D

1.1.6.3 Diện tích của mặt cong

Cho mặt (S): z = (x,y) giới hạn bởi một

đường cong kín, trong đó (x,y) liên tục và

các đạo hàm riêng liên tục trên D là hình

chiếu của (S) xuống mặt phẳng Oxy

Ta tìm diện tích của mặt cong này

+ Chia tuỳ ý miền D thành n phần nhỏ

(không dẫm lên nhau)

Gọi tên và cả diện tích tương ứng là:

S1; S2; .; Sn Trong mỗi miền nhỏ Si lấy tuỳ ý điểm Pi(xi, yi) mà ứng với nó ta có điểm

Mi(xi,yi,zi)(S) Qua Mi dựng mặt phẳng tiếp xúc với (S), pháp vectơ của tiết diện

Mi là n  fx' ( xi, yi) i  fy' ( xi, yi) j  k (Hình 1.15) Trong mặt phẳng này, lấy miền con diện tích i sao cho hình chiếu của nó xuống Oxy cũng là Si

(S là diện tích của mặt (S))

+ Để tìm S, ta chú ý: là góc giữa tiếp diện

Mi (chứa miền con diện tích ) và mp 0xy

Suy ra i cũng chính là góc giữa hai vectơ

nên:

  /  i i

y i i

/ x

1

y

; x f y

; x f 1

1 k

/ x i

i i i

/ y i i

/ x 0

Phương trình của mặt cần tính diện tích là: z  x 2  y 2 ;   x ; y  D trong đó D là hình tròn có tâm là gốc tọa độ O (0; 0) và bán kính: r = a Ta có:

; 2

cos r x

2 a

0

8

1 2 4r 1 d

1 6

2 2 0

r a 

1.1.7 ỨNG DỤNG CƠ HỌC CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP

1.1.7.1 Khối lượng của bản phẳng không đồng chất

Xét một bản phẳng không đồng chất chiếm một miền (D) trong mặt phẳng Oxy và

có khối lượng riêng ρ(x,y) tại điểm (x,y); ρ(x,y) là hàm liên tục trên D

Dựa vào cách xây dựng tích phân hai lớp, ta có:

Khối lượng M của bản phẳng (D) là:  

) (

)

; (

D

dxdy y x

Ví dụ 1.1.13 Cho bản phẳng (D) hình

tam giác có đỉnh: A(0, a), B(-a, 0),

C(a, 0) Tìm khối lượng của (D) nếu khối

x

3 d

3

0

y -

y

-a dx y y

a a

a

1.1.7.2 Mômen quán tính của bản phẳng

a Momen quán tính của bản phẳng đối với trục Ox và Oy tương ứng là:





) (

2

Ví dụ 1.1.14 Tính momen quán tính của diện tích giới hạn bởi các đường:

y = 4 - x2; y = 0; đối với trục Ox, mật độ diện tích ρ = 1 (Hình 1.17)

C

a

O

 x x x dx

dx x

2

0

3 0 2

12 48 64

12 16 64

x x

0

2

0

2 2 )

(

2 2

0

3

4 1 2

3 4

3

8 4 6 8 4 3

4 2

2

3 4

3

0

2 3

1.1.7.3 Mômen tĩnh và toạ độ trọng tâm của bản phẳng

a Momen tĩnh Mx và My của bản phẳng đối với trục Ox và Oy tương ứng là:





) (

)

; (

D

x y x y dxdy

) (

)

; (

;

M

dxdy y x y M

Nếu bản phẳng đồng chất (ρ(x, y) không đổi) thì các toạ độ trọng tâm của bản là:

S

dxdy x

y D

 ( )

.

Trong đó, S là diện tích của miền (D)

Ví dụ 1.1.16 Cho bản phẳng (D) hình

tam giác có đỉnh: A(0, a), B(-a, 0),

C(a, 0) Tìm momen tĩnh Mx và My của

bản phẳng đối với trục Ox và Oy và tọa

độ trọng tâm của (D) nếu khối lượng

C

a

O

2 )

(

)

; (

D D

dxdy y dxdy y x

6 d

4

0

y -

y

dx y y

(

)

; (

D D

ydxdy x dxdy y x

0

y -

y

a

a

dx y x

BÀI 2:

TÍCH PHÂN BA LỚP (TÍCH PHÂN BỘI BA)

Trong phần này ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân hai lớp lấy trên miền phẳng D ra tích phân ba lớp lấy trong miền không gian  của không gian Oxyz

1.2.1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BA LỚP

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm u = (x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn  của không gian Oxyz

- Chia tuỳ ý miền  thành n miền nhỏ (không dẫm lên nhau) có tên và thể tích gọi chung là: V1, V2, ., Vn

- Trong mỗi miền nhỏ Vi lấy điểm tuỳ ý Mi(xi ,yi , zi) và lập tổng tích phân:

- Cho n   sao cho maxdi0 (di là đường kính của miền nhỏ Vi) Nếu tồn tại



 f x y z dV

I ( , , ) Trong đó: fx ; y ; z là hàm dưới dấu tích phân

 là miền lấy tích phân

i 0 1 max lim ( , , ) )

, ,

- Nếu hàm u = (x, y, z) có tích phân ba lớp trên miền  thì ta nói: (x,y,z) khả tích trên miền 

Chú ý 1.2.1

1/ Vì giá trị của tích phân ba lớp không

phụ thuộc vào cách chia miền  nên ta có

thể chia  bởi các mặt phẳng song song

với các mặt Oxy, Oyz, Ozx Khi đó, hầu

y x

 được gọi là thể hình trụ mở rộng nếu nó

là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong

z = 1(x,y); z = 2(x,y); (1  2 cả hai

đều liên tục trên D) Mỗi đường thẳng song

song với Oz cắt mỗi mặt 1 ,2 không quá

1 điểm, và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ

có đường sinh song song với trục Oz (D là

hình chiếu của  xuống mp Oxy)

Trước hết, bằng cách lấy tích phân theo

hướng của trục Oz, ta tính tích phân của hàm (x,y,z)dọc theo đoạn thẳng ở trong và song song với trục Oz Đoạn thẳng này cắt D tại M(x,y) cho trước có giá trị của x,y thì z sẽ biến thiên từ z = 1(x,y); đến z = 2(x,y) (Hình 2.2)

Kết quả của việc lấy tích phân này ta được một biểu thức phụ thuộc M(x,y) là:





) , ( ) , (

2

1

) , , ( )

, (

y x y x

dz z y x f y

x F





(x,y xem như không đổi trong quá trình lấy tích phân)

Bây giờ, ta lấy tích phân hàm F(x,y) với điều kiện M(x,y) chạy khắp trong D thì giá trị của tích phân cần tính là:



D

dxdy y x

F ( , )



) , ( ) , (

2

1

) , , ( )

, , (

y x y x D

dz z y x f dxdy dxdydz

z y x f I

) ( ) (

,,(

y x y x

x x

b a

dzzyxfdydxdxdydz

zyxfI

d c

b a

dzzyxfdydxdxdydz

zyx

d c

b a

dzzfdyyfdxxfdxdydz

zyx

Hình 2.2

1

0

4 2 1

0

2

0

3 2 1

0 2 1

143

2)

42

dx

3

13 0

1 4 3

4 3

dy y x z

xy dx

dz xyz dy

dx

I

1 0

2 1

720

1 )

1 ( 24 )

1 ( 2

0

4 1

0

2 1

,,(

x S

b a

dydzzyxfdxdxdydz

zyxf

2 2

y a

S

a a

dxxSxdydzxdx

) (

2 2

2

1 a

x c

z b

1 1

.

2

2 2

2 2

2 2

z a

x b

Do đó:   3

2

5 3 2

2 2

15

4 0 5 3 2

a

x x bc dx a

x bc x I

),,(

),,(wvuzz

wvuyy

wvuxx

),,(

' ' '

' ' '

' ' '

w v u

w v u

zzz

yyy

xxxwvu

zyx

2 2

y a x

a w v u

z y x

0 0

0 0 )

, , (

) , ,

Do đó, thể tích của elipxôit:

3

4

1 3

4

) ' (

3 ' '





abc abc

V abc

dw dv du abc

dw dv abcdu

dxdydz V

1.2.3.2 Đổi biến trong toạ độ trụ

a Hệ toạ độ trụ

Toạ độ trụ của điểm M(r,,z) trong không gian

Oxyz là bộ 3: (r, , z), trong đó: r = OM’;

 =(Ox,OM'); z = MM’ (Hình 2.4) Với M’ là

hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oxy

Ta có công thức liên hệ giữa tọa độ Descartes và

r y

r x





sin

cos (**); (r > 0; 0    2; - < z < +)

thì (**) là phép biến đổi 1-1 (song ánh)

b Nhận xét

- Trong toạ độ cực ta luôn có: x2 + y2 = r2

- Mặt phẳng r = a (a là hằng số) trong không gian rz tương ứng với mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz

- Mặt phẳng  =  ( là hằng số) trong không gian rz tương ứng với nửa mặt phẳng qua Oz và tạo với mặt Oxz một góc bằng  trong không gian Oxyz

- Mặt phẳng z = k (k là hằng số) trong không gian rz tương ứng với mặt phẳng

z = k trong không gian Oxyz

c Công thức đổi biến trong toạ độ trụ

r y

r x





sin cos

r

z y x

0 cos sin

0 sin cos

) , , (

) , ,

;sin

;cos()

,,

Đây là công thức tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ trụ

Chú ý 1.2.3 Nếu  là thể trụ mở rộng có hình chiếu D xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn tâm 0, bán kính R, thì miền ’ xác định bởi:

;cos()

sin

;cos(0

20

2 1

zr

r

Rr

, , (

0

2 0

z y x f

R

Đặc biệt, khi  là hình trụ: x2 + y2  R2; 0  z  h thì:

dz r

r f r dr d dxdydz z

y x f

0 0

, ,

2 4

0 4

4 2

0

2

1

3 0

r

rdzrdrdI

)1(2

4 3

1 0 2

drrr

Toạ độ cầu của một điểm M(x,y,z)

trong không gian Oxyz là bộ ba (r, , ),

trong đó:

r = OM;  = (Oz ,OM );  = (Ox ,OM ’)

với M’ là hình chiếu vuông góc của M

xuống mặt phẳng Oxy (Hình 2.5)

Ta có công thức liên hệ giữa toạ độ

Descartes và toạ độ cầu (r, , ) là:

M/

’

 OI

r

z

x

sin sin

sin cos r z

r y

r x

(*)

Ta thấy với r  0; 0    2; 0     thì phép biến đổi (*) là phép biến đổi 1  1

b Nhận xét

- Trong toạ độ cầu, ta luôn có: x2 + y2 + z2 = r2

- Mặt r = R (R là hằng số) trong không gian Ir ứng với mặt cầu tâm O, bán kính

R trong không gian Oxyz

- Mặt  = 0 (0 là hằng số) trong không gian Ir ứng với mặt nón tròn xoay có trục là Oz, đường sinh tạo với trục một góc 0 trong không gian Oxyz

- Mặt  = 0 (0 là hằng số) trong không gian Ir ứng với nửa mặt phẳng qua Oz

và tạo với mặt phẳng Oxz một góc 0 trong không gian Oxyz

c Công thức đổi biến

sin sin

sin cos r z

r y

r x

(với 0    2; 0    ; r  0) là phép biến đổi 1  1 từ miền ’ trong không gian Ir đến miền  trong không gian Oxyz

sincos

cossinsin

cossin

sin

sinsincos

coscos

sin)

,,(

),,

/ / /

/ / /

/ / /

rr

rr

rr

zzz

yyy

xxxr

zyxJ

r r

sin sin

sin cos r z

r y

r x

thì miền ’ của (r, , ) được xác định bởi:

3 2

0 '

2 2

2 sin ) sin sin (

4

dr r d d

d d dr r

cos 3

cos 5

2 ) cos ( ) cos 1 ( 5

1

3 0

I ( 2 2 2) , trong đó  là miền giới hạn bởi 2

nửa trên của mặt cầu: x2 + y2 + z2 = a2 ; x2 + y2 + z2 = b2 (a < b) và mặt phẳng z = 0 Giải

Chuyển sang toạ độ cầu bằng cách đặt:

sin sin

sin cos r z

r y

r x

thì miền ’ của (r,,) được xác định bởi 0   2; 0  

2

50)cos(2

)sin(

5 5

5 2

4 0

2 0

'

2 2

2

ab

a

br

drrdd

dddrr

rI

b a

Ví dụ 1.2.9 Tìm thể tích của vật thể nằm phía trong mặt cầu: x2 + y2 + z2 = 6 và parabôlôit: z = x2 + y2

2 2

y x z

z y x

r y

r x





sin

cos

thì miền ’ của (, r, z) được xác định bởi 0   2; 0  r  2 ; r2  z  6 r  2

V  

 

0

2 4 ) 6 ( 3

1 2

6 2

.

4 2

2

0

3 2

6 2

dr r r r

dz dr r d

Khi đó, ta có công thức sau:

a.Khối lượng của vật thể

xG 1  ( , , ) ;





 y x y z dxdydz m

yG 1  ( , , ) ;



 z x y z dxdydz m

2 2

0

2

) ( 2

2

0 2

2

2

3 2 0

2

4 2

2 2 2

a a a z az

a a

3 2 0

3 2

3 3

0 3

3

2 3 3 0

3 3

5 3

3 2 2

3

a a x a x

2 V 2

1 C dxdydz C



;  



R dxdydz z

C m

2

3

sin sin

sin cos r z

r y

r x

thì miền ’ của (r,, ) xác định bởi:

r R

3 0

2

1 2 2

R

Hình 2.8

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 TÍCH PHÂN BỘI

1 Tích phân bội hai

Bài 1 Tính các tích phân sau:

xy2 2 ;  giới hạn bởi các mặt z = xy ; y = x ; x = 1 và z = 0

Bài 8 Tính tích phân sau bằng phép đổi biến trong tọa độ trụ:

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

BÀI 1:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I (TÍCH PHÂN ĐƯỜNG THEO ĐỘ DÀI CUNG)

2.1.1 Khái niệm về tích phân đường loại I

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f (x, y, z) xác định và liên tục trên cung AB của đường cong (L) Chia cung AB thành n cung nhỏ (không dẫm lên nhau) với các điểm chia A=A0; A1 ; ……; An= B Gọi độ dài của cung Ai-1Ai là si Lấy trên cung Ai-1Ai điểm Mi (xi; yi zi) tùy ý và lập tổng tích phân

(In được gọi là tổng tích phân của hàm f (x, y, z) trên cung AB

Cho n sao cho max si  0 Nếu tồn tại giới hạn

i n max Slim I

 không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi trên cung Ai-1Ai thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 1 của hàm f (x, y, z) dọc theo cung AB và được ký hiệu:

Chú ý 2.1.1 Trong định nghĩa tích phân đường loại 1 ta không quan tâm đến hướng

đi trên cung AB Ta có: fx y zds

AB

 , , = fx y zds

BA

 , ,Tính chất 2.1.1 Tích phân đường loại 1 có các tính chất giống như tích phân hai lớp Ở đây ta không nhắc lại

2.1.2 Cách tính tích phân đường loại 1

Ở đây, sự tồn tại của một tích phân sẽ kéo theo sự tồn tại của tích phân kia

Nếu (L) được tham số hóa dạng tồng quát

r(t) x(t)i y(t)j z(t)k,      t 

Trong đó các hàm x(t); y(t); z(t) liên tục cùng với các đạo hàm của chúng

Nếu sự tăng của cung s = s(t) = AM ứng với sự tăng của t thì ta có:

ds z y x f

L

,

, ,

) (

t x x

ds y x f

L

,

trong đó AB là cung phần tư của đường tròn

       



da

aa

a

0

2 2

2 2 2

0

22sin2

2cos

3 2

2.1.3 Ứng dụng vật lý của tích phân đường loại 1

2.1.3.1 Khối lượng của dây cung

Xét dây cung (C) không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm (x, y, z) là

x ,,y z

 Khi đó khối lượng của dây cho bởi công thức:    

) (

,,

C

dszyx

Ví dụ 2.1.3 Tìm khối lượng của dây cung (C) ở góc phần tám thứ nhất của đường cong là giao của ellipticparaboloit: z = 2 – x2 – 2y2 và một hình trụ z = x2 giữa điểm (0,1,0) và (1,0,1) nếu khối lượng riêng của dây tại (x, y, z) là:  x,y,z xy

 1      

0

2 2

224

1

tdt

 1     

0

2

2 , u 2t 12

22

1

duu

= 1( 1) 2

2.1.3.2 Mômen hình học và tọa độ trọng tâm của một đường cong

- Moment cuả (C) đối với mặt phẳng Oyz; Oxz; Oxy tương ứng là:

 

ds x M

2 2 2 )

(

2

0

2 2 2 2

a bt zds M

BÀI 2:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II (TÍCH PHÂN ĐƯỜNG THEO TỌA ĐỘ)

2.2.1 Bài toán tính công của lực biến thiên

Cho một chất điểm M di chuyển dọc theo một đường cong phẳng (L) từ điểm

A đến điểm B dưới tác dụng của lực F = F(M) Hãy tính công W và lực sản sinh ra khi M di chuyển từ A đến B

Giả sử: F(M) = F(x,y) = P(x,y)i+ Q(x,y)j; với i, là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy và các hàm P(x,y); Q(x,y) liên tục dọc theo cung AB

Nếu lực F không đổi và cung AB là 1 đoạn thẳng thì công W của lực F là:

w = F AB cos(F,AB) F.AB      Trong trường hợp của bài toán ta giải như sau:

Chia cung AB thành n cung nhỏ (không dẫm lên nhau bởi các điểm:

A=A0; A1; …… ; An=B

Gọi si là độ dài của cung Ai-1Ai và xi; yi là hình chiều của véc tơ

i

r

 = Ai-1A i lên các trục Ox, Oy Ta có: ri = xi i + yi j

Khi cung Ai-1Ai khá bé, có thể xem nó xấp xỉ với dây cung Ai-1Ai và lực F

không đổi trên cung đó bằng F(Mi) với Mi (xi; yi) là điểm tùy ý trên Ai-1Ai Do đó công Wi của lực F làm cho chất điểm đi chuyển từ Ai- 1 đến Ai xấp xỉ với F(Mi)  ri Nghĩa là: Wi  F(Mi).ri =P(xi,yi)xi + Q(xi,yi).yi

Nếu mọi cung Ai-1Ai đều khá nhỏ, ta có:

i i i i

i i i

W

i 0 1

2.2.2 Định nghĩa tích phân đường cong loại II

Cho 2 hàm P(x,y) và Q(x,y) xác định trên đường cong (L) từ A đến B

Chia cung AB thành n cung nhỏ (không dẫm lên nhau) bởi các điểm:

A = A0; A1; … An = B Gọi si là độ dài cung Ai-1Ai và xi, yi tương ứng là hình chiếu của

i i i i

i i i

hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục dọc theo cung AB

Giả sử: AB được tham số hóa dạng: r(t) x(t)i y(t)j z(t)k   , (a  t  b)

Gọi F Pi Qj Rk    Ta đưa tích phân đường loại II về tích phân xác định trên [a,b]

dt

dzzyxRdt

dyzyxQdt

dxzyxPr

dFI

b

a AB

Hay I Px y zx Qx y zy Rx y zz dt

b

a

t t

t x x

với các mút A, B theo thứ tự tương ứng với các giá trị tA; tB và x(t); y(t) liên tục cùng với các đạo hàm của chúng trên đoạn [tA; tB] thì ta có công thức:

x AB

dxyxyxQxyxPdyyxQdxyx

Ví dụ 2.1.1 Tính: I =   

L

dyay

dxy

Ta có:

tt

tadtta

tat

a

ta

tta

cos

sincos

1

cos1sin









  ln 3

2

31246

3coslncos2

2 2

ta

I 2 2 với (L) là đường nối các điểm O(0,0); A(1,1) trong các trường hợp: a) (L) : y = x; b) (L) : y = x2

Giải

a Với (L) : y = x thì dy = dx; 0  x  1;   .

3

1 2

1

0 2 1

0

2 2

2.2.4 Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và loại 2

Gọi  là góc giữa tiếp tuyến MT(hướng về phía tăng của s) và trục Ox, ta có:

dx = cosds; dy = sinds

Do đó ta có công thức liên hệ giữa tích phân đường loại I và đường loại II:

dsQ

PQdy

Pdx

AB AB

)

sincos

Miền liên thông D được gọi là miền đơn liên nếu nó bị giới hạn với 1 đường (mặt) cong kín, là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường (mặt) cong kín rời nhau từng đôi một

dy Q dx P dxdy

y

P x

Q

)

(

trong đó (L) là biên của miền D, tích phân dọc theo (L) lấy theo chiều dương

Chứng minh

a Trước hết giả sử D là miền đơn liên và mọi đường thẳng song song với các trục tọa độ cắt (L) nhiều nhất tại 2 điểm

xét I =

D

Pdxdyy

dy Q dx P dxdy

y

P x

Q

)

c Nếu D là miền đa liên thì công thức Green vẫn còn đúng Chẳng hạn D là miền nhị liên có biên (L) gồm (L1) và (L2)

Nối (L1) và (L2) bởi đoạn AB thì ta được miền đơn liên D’ giới hạn bởi (L1); (L2), AB, BA

L

dy Q dx P dy

Q dx P dy

Q dx

(

2 1

2 Tương tự, nếu cho P = y; Q = 0 thì     

L

ydx D

Từ (i) và (ii), ta có:     

L

ydx xdy

D S

giới hạn bởi 0  x2 + y2  a2; x  0; y  0 và tích phân đường lấy theo chiều dương Giải

Theo công thức Green, ta có:

x y dxdyy

yxx

2

8

3.3

rddxdyyx

2.2.6 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Tích phân đường      

AB

dyyxQdxyx

P ; ; dọc theo đường cong AB không những

phụ thuộc vào vị trí của 2 điểm A, B mà còn phụ thuộc vào đường nối A, B Định lý dưới đây cho thấy tích phân đường sẽ chỉ phụ thuộc vào 2 đầu nút A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A, B khi nào?

Định lý 2.1.2 (Định lý 4 mệnh đề tương đương)

Giả sử các hàm số P (x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng trên miền đơn liên D Khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương với nhau: