Bài giảng Giải tích 1 - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Giải tích 1 có nội dung bao gồm các khái niệm nền tảng của toán học như: Giới hạn của hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân của hàm số một biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học. Đây là phần kiến thức toán học cần thiết cho sinh các ngành: Kinh tế, Kỹ thuật,...của các trường Đại học.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH 1

Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật

Biên soạn: ThS PHAN BÁ TRÌNH

Quảng Ngãi, Tháng 7 - 2021

"Bài giảng Giải tích 1" có nội dung bao gồm các khái niệm nền tảng của toán học như: Giới hạn cuả hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân của hàm số một biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Đây là phần kiến thức toán học cần thiết cho sinh các ngành: Kinh tế, Kỹ thuật, của các trường Đại học

Với mục đích và ý nghĩa trên, chúng tôi biên soạn và giới thiệu tài liệu:

"Bài giảng tích 1" nhằm giúp cho sinh viên, giáo viên giảng dạy và các bạn yêu thích bộ môn Toán làm tài liệu học tập hoặc tham khảo

Tài liệu này được chia làm 6 chương:

Chương 1: Giới hạn và tính liên tục Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số

Chương 3: Nguyên hàm và tích phân bất định Chương 4: Tích phân xác định

Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Chương 1 Chúng tôi trình bày về hàm số một biến số thực; giới hạn của hàm

số và hàm số liên tục

Chương 2 Chúng tôi trình bày về đạo hàm và vi phân của hàm số một biến; Đạo hàm và vi phân cấp cao Khai triển Taylor; Sử dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn hàm số; Khảo sát hàm số, hàm số cho bởi phương trình tham số

và phương trình cho bởi hệ tọa độ cực

Chương 3 Chúng tôi trình bày về nguyên hàm và tích phân bất định Tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ; Tích phân của các hàm số lượng giác; Tích phân của các hàm số vô tỉ

Chương 4 Chúng tôi trình bày về Tích phân xác định; Các phương pháp tính tích phân xác định; Ứng dụng của tích phân xác định Tích phân suy rộng

Chương 5 Chúng tôi trình bày về Định nghĩa hàm số nhiều biến; Đạo hàm và

phẳng; Tiếp tuyến của đường cong; Độ cong của đường cong phẳng; Đường tròn chính khúc -Khúc tâm; Đường cong phụ thuộc tham số Đường túc bế, thân khai Hàm vectơ; Độ cong trong không gian; Mặt trong không gian

Sau mỗi chương chúng tôi có giới thiệu một hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức vừa trình bày, nhằm giúp cho sinh viên luyện tập, củng

cố và khắc sâu kiến thức

Chúng tôi hy vọng rằng, đây là một tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên,

là nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu

Đây là lần viết đầu tiên, chắc chắn tài liệu này còn nhiều thiếu sót Chúng tôi hết sức chân thành cảm ơn sự góp ý, nhận xét của bạn đọc về mọi phương diện để nội dung tài liệu ngày càng được tốt hơn

ThS Phan Bá Trình

Lời nói đầu 2

Mục lục 4

Chương 1.Giới hạn và tính liên Bài 1 Hàm số một biến số .6

Bài 2.Giới hạn hàm .17

Bài 3 Hàm số liên tục .25

Bài tập chương 1 .36

Chương 2 Đạo hàm và vi phân của hàm số một Bài 1 Khái niệm đạo hàm 39

Bài 2 Các quy tắc tính đạo hàm .45

Bài 3 Vi phân 49

Bài 4 Các định lý cơ bản về hàm khả vi .54

Bài 5 Công thức Taylor 58

Bài 6 Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân 63

Bài tập chương 2 .90

Chương 3 Nguyên hàm và tích phân bất định Bài 1 Nguyên hàm và tích phân bất định .93

Bài 2.Các phương pháp tính tích phân bất định 96

Bài tập chương 3 .108

Chương 4 Tích phân xác định Bài 1 Khái niệm về tích phân xác định .109

Bài 2.Phương pháp tính tích phân xác định .117

Bài 3.Ứng dụng của tính tích phân xác định 123

Bài 4.Tích phân suy rộng .131

Bài tập chương 4 .139

Chương 5 Hàm số nhiều biến số Bài 1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số .141

Bài 2 Giới hạn và sự liên tục hàm số nhiều biến số 147

Bài 3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần .151

Bài 4 Cực trị của hàm số nhiều biến số 163

Bài tập chương 5 .169

Bài 1 Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học phẳng 171 Bài 2 Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học không gian 177 Tài liệu tham khảo 181

Chương 1

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Bài 1:

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ

:

x f y x

R D f





 Trong đó: x được gọi là biến số (đối số)

y  f (x) :được gọi là giá trị của hàm số tại x

D: được gọi là miền xác định của hàm số f (x).

(Tập tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa)

f(D) yR:xD;y f(x)R là miền giá trị của hàm số

Nếu xx0D thì y 0 f(x0) gọi là giá trị của hàm số tại x0

d Hàm số y  f(x)  x là hàm đồng nhất, thường ký hiệu: id(x)

e Hàm số y f(x)  E(x) là hàm số phần nguyên của x (nghĩa là E(x) là

số nguyên lớn nhất không lớn hơn x Chẳng hạn:

E(  2 , 8 )   3 ; E(0)  0; E(3)  3; E(2,4)  2

Ví dụ 1.2 Cho hàm số y f(x)  4 x2  ln(x2  3x 2 )

i Tìm miền xác định của hàm số

ii Tìm giá trị của hàm số tại x  1 ; x  0

Giải i Hàm số xác định khi và chỉ khi:

1 2

2 2

x

Vậy miền xác định của hàm số đã cho là tập: D 2 ; 1

ii Tại x  1, ta có y  f(  1 )  4  (  1 )2  ln(  1 )2  3 (  1 )  2 3  ln 6 Tại x 0, ta có y  f( 0 )  4  02  ln02  3 0  2 2  ln 2

1.1.1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO HÀM SỐ

(1) Phương pháp giải tích: Cho hàm số bởi biểu thức giải tích

a Cho bởi một biểu thức

Ví dụ 1.3 i y f(x)  2x2  3x 1

ii y  f(x)  sin 2x cosx

b Cho bởi nhiều biểu thức

Ví dụ 1.4 i

0 x khi

; 3 2

0 x khi

; 1 )

; 1

0 x khi

; 0

0 x khi

; 1 )

(x

f

Đây là hàm dấu của x (Hình 1.1)

Ký hiệu: sign x Đọc là: signum x

(2) Phương pháp cho theo bảng: Phương pháp giải tích thường được dùng

trong những nghiên cứu lý thuyết, nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi tính giá trị của hàm số Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng như sau Cho một dãy các giá trị tương ứng của x và một dãy các giá trị tương ứng của y

Ví dụ 1.5 Cho hàm số f(x) theo bảng giá trị sau:

x 1 2 3 4

f(x) 1 4 9 16

(3) Phương pháp đồ thị Đồ thị của hàm số cho ta có một hình ảnh hình học

nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số đó Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị của nó

Nhược điểm của phương pháp cho theo bảng và phương pháp cho hàm số bằng

) (

) ( );

( ).

( );

( ) ( );

( ) ( ) (

x g

x f x g x f x g x f x g x f x

F   (  với g(x)  0 )

1.1.2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cho hàm số y  f (x) có miền xác định là D Tập hợp các điểm M(x;y) với x  D

trong mặt phẳng Oxy thoả mãn đẳng thức y  f (x) được gọi là đồ thị của hàm số

)

(x

f

Chú ý 1.1 Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hữu hạn hoặc vô hạn,

có thể là tập những mảnh cung đứt đoạn và cũng có thể là một cung liền

Ví dụ 1.6 i Đồ thị hàm số y  x  1 là đường thẳng (Hình 1.2)

ii Đồ thị hàm số y  x2  1 là một parabol (Hình 1.3)

1 2

g0 ( )  ( )  ( 3 )  cos 3

x f x g f x g

f0 ( )  ( )  (cos )  3cos iii g0g(x)  gg(x)g(cosx)  cos(cosx)

1.2.2 Hàm số ngược: Cho hàm số:

R Y X

x y  f (x)Nếu tồn tại hàm số: g:Y X R

Đồ thị của hàm số ngược f  1 đối xứng với đồ thị hàm số f qua đường phân giác thứ nhất

Ví dụ 1.8 i Cho hàm số

x x f y x

R R f

:



f có hàm số ngược là:

2 1

1

) (

:

y y f x y

R R f

(Thường viết lại là: y  f 1 (x)  x2)

ii Cho hàm số:

 

1

3 ) (

1

\ :

f y x

R R

f



3 1

3 )

x y x f y

Vậy hàm ngược là:

3 )

y , có miền xác định là: R\ 3 iii Cho hàm số: ya x; (a 0 ;a 1 ) Khi đó, thì hàm số là:y loga x

1.3.2 Hàm số đơn điệu (tăng: đồng biến; giảm: nghịch biến)

a Hàm số y  f (x) được gọi là đơn điệu tăng (giảm) trên miền xác định D, nếu x1;x2D:x1  x2 thì f(x1)  f(x2); f(x1)  f(x2)

b Hàm số y  f (x) được gọi là tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) trên miền xác định D, nếu x1;x2D:x1 x2 thì f(x1)  f(x2); f(x1)  f(x2)

Ví dụ 1.10 i Hàm số y 1 là đơn điệu giảm trên từng khoảng( ; 0 ); (  0 ; )

ii Hàm số y  x2 giảm trong khoảng ( ; 0 ) và tăng trong khoảng(  0 ; )

iii Hàm số yaxb đơn điệu tăng với a 0; đơn điệu giảm với 0



a và bằng hằng số với a 0

1.3.3 Hàm số chẵn, lẻ

Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập D đối xứng, nghĩa là  ,x xD, x  D

a Hàm số y  f (x) được gọi là hàm số chẵn trên tập D đối xứng nếu:

) ( ) ( x f x

f   ,x  D

b Hàm số y  f (x) được gọi là hàm số lẻ trên tập D đối xứng nếu:

) ( ) ( x f x

f    ,x  D

Nhận xét 1.2 i Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

ii Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Ví dụ 1.11 i Hàm số y f(x) x2  1 là hàm số chẵn trên R

Vì x  R ta có: x  R và f( x)  ( x)2  1 x2  1  f(x)

ii Hàm số 3

2 )

i Tổng, hiệu của hai hàm số chẵn (lẻ) là một hàm số chẵn (lẻ)

ii Tích của hai hàm số cùng chẵn (hoặc cùng lẻ) là một hàm số chẵn

iii Tích của một hàm số lẻ với một hàm số chẵn là một hàm số lẻ

iv Mọi hàm số f(x) đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ Cụ thể:

2

) ( ) ( 2

) ( ) ( ) (x f x f x f x f x

1.3.4 Hàm số tuần hoàn

a Định nghĩa Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập D

Hàm số y  f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu xD; L 0 sao cho

D

L

x  và f(xL)  f(x)

b Chu kỳ của hàm tuần hoàn Giả sử y  f (x) là hàm số tuần hoàn Nếu tồn tại

số dương T nhỏ nhất sao cho: f(xkT)  f(x); xX; kZ thì được gọi là chu

kỳ của hàm tuần hoàn y  f (x)

Ví dụ 1.12 i Hàm số y f(x)  sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T  2 

ii Hàm số y f(x)  x  x x (phần thập phân của x), được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=1 Đồ thị hàm số y f(x)  x x x (Hình 1.4)

y  luôn đi qua điểm (1;1) và qua gốc toạ độ O(0;0)

Các công thức về hàm lũy thừa:

Đồ thị của hàm số y  a x luôn nằm về phía

trên trục Ox và đi qua điểm (0;1) (Hình 1.5)

Hàm số logarit là hàm số tăng khi a 1 và là

hàm số giảm khi 0 a 1

Đồ thị của hàm số y  loga x luôn nằm bên

phải trục Oy và đi qua điểm (1;0) (Hình 1.6)

Đặc biệt: i Nếu a 10 thì ta viết log x lgx

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ii Nếu a  e 2 , 71818(cơ số Néper) thì ta viết loge x lnx

Các công thức về hàm logarit Với x , y  ; 0 0  a, b, c  1, ta có:

i loga xy loga x loga y; x y

y

x

a a

iii aloga x x ; loga c loga b logb c

1.4.5 Các hàm số lượng giác (hay hàm tròn)

a Hàm số y f(x)  sinx và hàm số y f(x)  cosx

Miền xác định D  R và có miền giá trị V  1 ; 1

Hàm số y f(x)  sinx và y f(x)  cosx là các hàm bị chặn, tuần hoàn với chu

; sin

arcsin )

y 1;1 - x

;

y x

x x

f

Đồ thị hàm số y f(x)  arcsinx (Hình 1.9)

b Hàm số y f(x)  arccosx

Miền xác định D 1 ; 1 và có miền giá trị V 0 ; 

Hàm số y  f(x)  arccosx là hàm bị chặn; không chẵn, không lẻ

Hàm số y f(x)  arccosx là hàm ngược của hàm số y  f(x)  cosx trên 0 ;  Tức là y f(x)  arccosxx cosy;  x - 1;1; y 0 ; 

Đồ thị hàm số y f(x)  arccosx (Hình 1.10)

Tính chất:

2 arccos

; 2





x

; tan arctan

)

R y

x x x

f

d Hàm số y f(x) arccotx

Miền xác định D  R và có miền giá trị V 0 ; 

Hàm số y  f(x) arccotx là hàm bị chặn; không chẵn, không lẻ

Hàm số y f(x) arccotx là hàm ngược của hàm số y  f(x)  cotx trên 0 ;  Tức là y f(x) arccotx x coty;  x R y 0 ; 

Đồ thị hàm số y f(x)  arctanx và y  f(x) arccotx (Hình 1.11)

2 cot

anx arc

(

x x e e x f y







Hàm sin hypebolic Ký hiệu: sinh(x)

Miền xác định D  R và có miền giá trị V  R

Hàm số y  sinhx là hàm lẻ và là hàm tăng trên R

Đồ thị hàm sin hypebolic (Hình 1.12)

b Hàm

2 )

(

x x e e x f y







Hàm cosin hypebolic Ký hiệu: cosh(x)

Miền xác định D  R và có miền giá trị V  ;1 

c Hàm x x

x x e e

e e x f y

Hàm tang hypebolic Ký hiệu: tanh(x)

Miền xác định D  R và có miền giá trị

e e x f

(Hàm cotanghypebolic Ký hiệu: cothx)

Miền xác định D  R và có miền giá trị

x

sinh

1 coth2  2 

cosh

sinh coth  vi.sinh(xy)  sinhxcoshy coshxsinhy vii.sinh 2x 2 sinhxcoshx viii.cosh 2x cosh2 x sinh2 x

ix cosh(x y)  coshxcoshy sinhxsinhy

1.5 HÀM SỐ SƠ CẤP

1.5.1 Hàm số sơ cấp: hàm sốy  f (x) được gọi là hàm số sơ cấp nếu trong

miền xác định của nó, hàm sốy  f (x) được cho bởi duy nhất một công thức và được thành lập từ hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản bằng các phép tính tổng, hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn số và phép lấy hàm hợp

Ví dụ 1.13 i Những hàm số sau đây là những hàm số sơ cấp cơ bản:

y f(x)  2x2  3x 1; y  f(x)  cos 2x lg(x2  3 );

1

5 2 )

Hình 1.15

x -1

1

0

ii Hàm số sau không phải là hàm sơ cấp

; 1 2x

2 x khi

; 5 )

(

2

x x g y

1.5.2 Hàm đa thức: Hàm đa thức bậc n là hàm sơ cấp có dạng:

0 1 1

Hàm đa thức bậc n thừng ký hiệu: P n (x) hay Q n (x)

1.5.3 Hàm hữu tỷ (hàm phân thức): Hàm hữu tỷ là hàm số có dạng thương

của hai hàm đa thức:

) (

) ( ) (

x Q

x P x f

m n

Bài 2:

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ( Limit of Function)

2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN

2.1.1 Định nghĩa lân cận của một điểm

Cho điểm x 0 R và   0 Lân cận của điểm x0 là tập tất cả các điểm x  R sao cho xx0   Ký hiệu: U(x0)

Vậy: U(x0) xR: xx0  xR:x0   xx0  

Do đó, lân cận của điểm x0 chính là khoảng số thực dạng x0   xx0  

2.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số

Định nghĩa 2.1 (Theo ngôn ngữ   )

Cho hàm số y  f (x) xác định trong lân cận U(x0), (có thể trừ x0) Số L được gọi

là giới hạn của hàm số f (x) khi x dần về x0; (xx0) nếu    0 cho trước,

Định nghĩa 2.2 (Theo ngôn ngữ dãy)

Cho hàm số y  f (x) xác định trong lân cận U(x0), (có thể trừ x0) Số L được gọi

là giới hạn của hàm số f (x) khi x dần về x0; (xx0) nếu bất kỳ dãy  x n dần đến x0 khi n  thì f(x n) dần đến L

2 3

ii Xét hàm

x x x f

y ( )  cos1 Hàm này xác định ở lân cận điểm 0,

nhưng không xác định tại 0 Ta sẽ chứng minh lim cos1 0

Vậy: lim sin 0

Định nghĩa 2.3 ( Giới hạn một phía)

i Cho hàm số y  f (x) xác định trong nửa khoảng (a;x0], (có thể trừ x0)

Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f (x) khi x (a;x0] và x biến thiên dần

0

, (hay f(x) L khi 

ii Cho hàm số y  f (x) xác định trong nửa khoảng [x0;b), (có thể trừ x0)

Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f (x) khi x [x0;b) và x biến thiên dần về x0 từ bên phải  

x  có thể khác lim ( )

0

x f x

0 0

Định nghĩa 2.4 ( Giới hạn tại vô cùng)

Cho hàm số y  f (x) xác định tại mọi x có x khá lớn Số L được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x  ( ), nếu    0 cho trước, tồn tại số M  0 khá lớn sao cho khi xM; (xM) thì f(x) L  

1 1

1 1

2 2

2 2

x x

x M

x

Với mỗi số A 0 cho trước lớn tùy ý nếu muốn có 0

) 1 (

 Khi đó

x

 thoả 0  x 1    1 thì A

x A

1 1

) 1

 1 )2(

1 lim

Chú ý 2.2 Đối với các hàm số dần đến vô cùng cũng có giới hạn một phía

Định nghĩa 2.6 ( Giới hạn vô cùng tại vô cùng)

Cho hàm số y  f (x) xác định với mọi x có x khá lớn Ta nói hàm số f (x) có giới hạn vô cùng ( ) khi x  ( ), nếu với mỗi số A 0 lớn tùy ý, tồn tại số 0

2.3 CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Từ phần này trở về sau, khi viết f x L

Định lý 2.1 Giả sử trong cùng quá trình nào đó ta có f x L

x x x

0 0

x f x

g

x f

x x

x x x

) ( lim

0

0 0

x x g x

0 0

) ( lim )

2 lim 1

2 lim

1 1

1 lim

0 1

x x x

x

x

x

x x

0 0

0 0

2 1

2

x x x

x x

x n

x

b lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

0 0

0 0

2 1

2

x x x

x x

x n

x

Đặc biệt: i Nếu f1(x)  f2(x)   f n(x)  f(x) thì

n x

x n

0

x P x

P n x

) (

) ( ) (

) ( lim

0

0

x P x Q

x P

m n m

n x

 với Q m(x0)  0 Trong đó: P n(x); Q m(x)là các đa thức bậc n; m





4 Trong trường hợp d (của định lý 1) nếu L 1 ; M   hoặc L 0 ; M  0

;hoặc L  ; M  0 ; khi đó ta có các dạng vô định tương ứng là:1  hoặc 0

Ví dụ 2.6

1

2 3

4 lim

4 1

2 lim ) 1 )(

2 (

) 2 )(

2 ( lim 2 3

4 lim

2 2

2 2

x

x x x

x

x

x x

2

25

1 2

5 lim

1 2

25

1 2

1 2

lim 25

1

2

lim

5 2

5 2

x

x x

x

x

x x

x

1 1

2 5 5

5 lim

x

0

; 2 1

2 5 1

3 2 lim 5

1

3 2 lim 5

3

2

lim

2 2

2 2

2 2

x

x x

x

x

x x

1

lim

x x

x (dạng   ) Ta biến đổi về dạng

0

0

1  1  1

2 1

lim 1

2 lim

1

3 1

lim 1

3 1

1

lim

2 1

3 2 1 3

2 1

x x x

x x x

Định lý 2.2 Cho hai hàm số f (x) và g (x) xác định trong lân cận U(x0)

i Giả sử trong lân cận U(x0) nếu f(x)  g(x);f(x)  g(x) đồng thời tồn tại

0 0

x g x

f x

g x

f

x x x

x x

x x

ii Giả sử trong lân cận U(x0) nếu f(x) h(x)  g(x) và

L x g x

f

x x

x

x a

x

x x

1 ) 1 ( lim

) (

0 ) (

x u

2

sin lim 2 1 4 4 2 sin 2 lim cos

1 lim

2

0 2

2

0 2

x x

x

x x

2

1 cos 1

sin cos

1 lim cos

cos 1 sin lim

sin lim

2 0

3 0 3

x x x

x

x x

x

x tgx

x x

3  

2 1

lim

1

x tg x

x g

x

x tg x

x x







1 2 lim

2 1

2 cot 1

g x

2 ) 1 ( 3

2 ) 1 (

2 2

1

2 1 1

2 1 lim 1

2 1 lim 1

1

x x

x x

x

x

x x

x x

sin 1

u f x u f

x u f

x x x

15 2

2.4 TIÊU CHUẨN ĐỂ HÀM SỐ CÓ GIỚI HẠN

1 Hàm số đơn điệu tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì có giới hạn

2 Tiêu chuẩn Bozano-Cauchy: Hàm số y  f (x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi:

: 0

;

0  



   0  x - x0   và0  x/ - x0   với x;x/D f(x/)  f(x)  

Bài 3:

HÀM SỐ LIÊN TỤC (Continous Function)

3.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

3.1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số y  f (x) xác định trong D  U(x0)

Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại x0; (x0 D) nếu lim ( ) ( 0)

0

x f x f x

Khi đó, x0 được gọi là điểm liên tục của hàm số y  f (x)

Nhận xét 3.1 Theo định nghĩa giới hạn hàm số thì định nghĩa trên có thể phát

biểu: Cho hàm số y  f (x) xác định trong D Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại x0; (x0D) nếu    0,    0: xx0   thì f(x)  f(x0)  

e x

f( )  liên tục tại x0  0 Vì lim 0 1 ( 0 )

; 0

0 x khi

;

1 sin )

bị chặn) Suy ra hàm số f (x) liên tục tại x0  0

3.1.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

(1) Nếu hàm số f (x); g (x) liên tục tại x0 thì f (x)  g (x); f (x).g (x);

) (

) (

x g

x f

Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu x 0 D và trong lân cận trái của

0

x thì lim ( ) ( 0)

0

x f x f

Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu x 0 D và trong lân cận phải của

0

x thì lim ( ) ( 0)

0

x f x f

Trong đó y là số gia của hàm số tại x  x0 ứng với số gia của đối số x

Ví dụ 3.3 Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1

; 1 3

1

; 2

x khi x

x khi x

x f

Ta có: khi x0 =1 thì hàm số f(x) = x2 nênf(x0) = f(1) = 12 =1

 x lim x 1 f 1 f

1 x 1

lim

1 x 1

nên f(x) không liên tục trái tại điểm x0 = 1

Vậy f(x) không liên tục tại x0 = 1

3.1.3.2 Liên tục trong khoảng mở

Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trong khoảng mở a; b nếu nó liên tục tại mọi x0a;b

3.1.3.3 Liên tục trên một đoạn

Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trên đoạn a; b nếu nó liên tục trong khoảng

a; b và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a

3.1.4 ĐIỂM GIÁN ĐOẠN, PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN

3.1.4.1 Định nghĩa điểm gián đoạn

Giả sử hàm số y  f (x) xác định trong một lân cận U(x0) có thể trừ x0, điểm x0

gọi là điểm gián đoạn của hàm số y  f (x) nếu nó không liên tục tại x0, tức là: nếu x0 là điểm gián đoạn của f (x) thì:

-hoặc: f (x) không xác định tại x nhưng tồn tại lim f(x) hữu hạn;

-hoặc: tồn tại lim ( )

0

x f x x hữu hạn và f(x0) nhưng lim ( ) ( 0)

0

x f x f x

3.1.4.2 Phân loại điểm gián đoạn

1) Điểm gián đoạn loại I

Điểm x0 gọi là điểm gián đoạn loại I của hàm

số y  f (x) nếu giới hạn trái và giới hạn phải

tại x0 tồn tại và hữu hạn Khi đó:

a x f x

f

x x

(

lim

0 0

a được gọi là bước nhảy

(Hình 2.1)

2) Điểm gián đoạn loại II

Điểm gián đoạn loại II là điểm mà không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn trái và giới hạn phải tại điểm đó là vô hạn

Chú ý 3.1

i Nếu bước nhảy bằng 0 thì còn gọi là điểm gián đoạn loại I bỏ được.ii Hàm số

xác định trên a; b được gọi là liên tục đều trên a; b nếu :

; x 1

0 x khi

; 1 2 ) (

x x

0

0 Do đó, f (x) không liên tục tại 0, nhưng f (x) liên tục trái tại 0 và 0 là điểm gián đoạn loại II

ii Hàm f x e x

1 )

3 2 ) (

; 1 -

2

3 x khi

; 1 )

và lim ( ) 1

2 3

Suy ra

2

3

là điểm gin đoạn loại I và có bước

nhảy là: lim ( ) lim ( ) 1 ( 1 ) 2

2 3 2

f

x x

Vì f(x) liên tục tại x 0 nên với 1  0 nói trên tồn tại   0 sao cho

X x (  và x  x 0   )  f x  f x 0  f x  y 0   1

3.2.2 LIÊN TỤC CỦA HÀM NGƯỢC

Định lý 3.4

Nếu f(x) tăng nghiêm ngặt và liên tục trên [a, b] thì hàm ngược

x = g(y) sẽ liên tục trên [c, d] với c = f(a), d = f(b)

f c

b , a x



  f x max b

f d

b , a x



liên tục nên nó nhận mọi giá trị trung gian giữa c và d Do đó f a , b c , d

Ta chứng minh hàm ngược x = g(y) liên tục trên [c, d]

; a a

x x

0 0

Do đó, với mọi   0 cho trước, chọn   loga1   sao cho  x ; x  x0   ta suy

0

0 x

x x

0

x x 0 x

x x

x

a 1 1 a

1 a

0

0 x

x x

0

x x 0 x

1 a

1 lim  

0

x

x x

x x

x x

a 1 1

a

1 lim

1 a

Ta có: y  x   e  ln x, vì hàm e x và hàm  ln x liên tục, nên theo tính chất liên tục của hàm số hợp ta suy ra hàm 

0 0

x  0   Ta có:

2

x x sin 2 2

x x cos 2

x x sin 2 x sin x

x  0  

nên

2

x x 2

x x

Các hàm tg x; cotg x cũng liên tục trên miền xác định của chúng

(5) Các hàm lượng giác ngược:

Xét về tính liên tục của hàm số ngược, ta suy ra các hàm số arcsin x; arccos x liên tục trên  1 ; 1, còn các hàm arctg x ; arccotg x liên tục trên R

Ví dụ 3.5

(1) Hàm số  

2 x 1

1 x

f y

x ( E ) x (

đây là hàm không sơ cấp

Hàm này liên tục ở các điểm không nguyên x0, vì: lim x n  n

n x

Nghĩa là hàm liên tục bên phải

(nhưng không liên tục trái)

tại các điểm x  Z (Hình 2.2)

3.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN – LIÊN TỤC ĐỀU

3.4.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN 3.4.1.1 Tính bị chặn của hàm liên tục

Định lý 3.7 (Weirstrass) Hàm liên tục trên một đoạn thì bị chặn trên đoạn đó Chứng minh

Giả sử f(x) liên tục trên [a, b] nhưng không bị chặn trên doạn đó Vậy

Với mọi n  N tồn tại xna, b sao cho

k  nhưng điều đó không thể có được vì

 xn  nk  

f

3.4.1.2 Tính đạt giá trị trung gian

Định lý 3.8 (Cauchy) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó nó đạt

mọi giá trị giữa f(a) và f(b)

Chứng minh

Giả sử   f a  f b   và     

Đặt S x : x a , b, f x  

Tập S khác rỗng (vì a  S và bị chặn, nên có cận trên đúng c=SupS

Rõ ràng a  c  b ( vì a  S, b cận trên của S) Ta chứng minh rằng f c  

Thật vậy, giả sử f c   thì f c   cho nên c  b Vậy c < b

Vì f (c) liên tục tại c, nên tồn tại x1c , b  : f x1  

Điều đó có nghĩa làx1 S nó mâu thuẫn với việc c là cận trên đúng của S

Tương tự, cũng không thể xảy ra bất đẳng thức f c  

-1

1

Hàm f(x) là hàm liên tục nên đồ thị là đường

liền nối (a, f(a)) và (b, f(b))

Khi đó nó cắt mọi đường thẳng nằm ngang y  

ở độ cao giữa f(a) và f(b)

sup M

A x

Tương tự chứng minh đối với giá trị nhỏ nhất

3.4.2 LIÊN TỤC ĐỀU – ĐỊNH LÝ CANTOR

Vậy với

2 ,

f  không liên tục đều trên (0,1)

Giải Ta phải chỉ ra

2 2

n

1 n

1 :

1 x

1 n

xn/   //n   /n  //n  

n

1 2 n n

1 2 n x

f - x f

2 2

2 2

//

n /

Giả sử f(x) liên tục nhưng không liên tục đều trên [a, b] Khi đó tồn tại 0  0

sao cho với mọi

//

n /

x

xn/ 0 /n //n n// 0 /n n// //n 0

k k k k

k k

k  và  //  0

x f

Điều này trái với    // 0

n /

x f

f  liên tục đều trên (0,1)

Giải.Ta “mở rộng” hàm số f lên cả đoạn [0, 1] bởi công thức

1 x 0 khi , x

x sin x

f

Khi đó f liên tục trên đoạn [0, 1] nên liên tục đều trên đoạn đó Vì vậy, dĩ nhiên,

1 x khi , x

1 sin x

x

f

liên tục đều trên 0 ; 

Giải Rõ ràng f liên tục tại mọi x  0

x

1 sin x lim x f lim

0 x 0

BÀI TẬP CHƯƠNG I

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Bài 1 Tìm miền xác định của hàm số:

a)  

x

x x





1

2arcsin d) yarccos2sinx

2

1)(

Bài 5 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số:

a) f(x)3xx3 b) 3 2 3 2

11

x

b)

57

14

x

Bài 7 Tìm giới hạn:

a)

a x

a x

x

x x

3

coscos

lim

2

2 3

1lim

x x

x

c)

2 2

lim

a x

a x a x

a x

a) f(x) x b)

x x

sin )

x x

x sin ) x

f

1 sin

1 sin )

1xkhi,2

xcos)

x x

x x

tan2

cos1lim

2 0

lim

x

x x

x)x(

0

x khi x

sin x L.

0

x khi x

1) ln(x K.

) x (

1 x khi 1

x ) (

2



x f

tìm gi trị của  để hàm số f(x) liên tục x R

Bài 17 Tìm f(0) để hàm số

x

e e x f

bx ax



 )

x

f( ) sin sin lin tục tại x = 0

Bài 19 Xét sự liên tục và tính chất các điểm gián đoạn của hàm số

sin )

x x

0

x khi )

(

x a

e x f

2 ) (

x

x x

khi x 1 khi x=1

khi 0  x  1 khi 1 < x  2

thời điểm to nó ở vị trí M với hoành độ

s(to) Vậy ở thời điểm t0 + h nó ở điểm có

hoành độ s(t0 + h) Trong khoảng thời gian

có giới hạn thì gọi giới hạn đó là vận tốc tức thời

tại thời điểm t0:  

t

s lim t

v

0 t 0

Đây cũng là tốc độ thay đổi của đại lượng s theo đại lượng t tại thời điểm t0

1.1.2 Bài toán về tiếp tuyến của đường cong

Xét đường cong C có phương trình là y = f(x) và hai điểm Px0, f x0  và



cũng gọi là tỉ số Newton của hàm f(x), tại

x f h x f lim

tg

0 x 0 0

có góc nghiêng , dần tới giới hạn, mà trong hình học gọi là tiếp tuyến , có góc nghiêng là  (tức là có hệ số góc tg )

Hai bài toán trên có một dạng chung, thường gặp trong thực tế như sau:

Cho một đại lượng (một hàm) f(x), cần tìm tốc độ thay đổi của nó tại điểm x0, (tức là giới hạn của tỉ số Newton

x

f



 tại x0)

Từ đó dẫn đến định nghĩa như sau

1.2 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định tại x0 và trong lân cận của x0 Gọi x xx0 là số gia của x ; khi đó f (x) có số gia tương ứng là :

) ( )

lim )

0 0

0

0 0

lim ) (

x f x f x

1 Tại mỗi giá trị của x , đạo hàm có một giá trị tương ứng nên đạo hàm

là một hàm số thực biến x, và có miền xác định chính là miền xác định của hàm

số f (x)

2 Nếu hàm số y  f (x) có đạo hàm tại mọi điểm x  ( b a; ), thì ta nói hàm

số f (x) có đạo hàm trong khoảng ( b a, )

3 Hàm số có đạo hàm tại điểm nào, ta nói hàm số khả vi tại điểm đó

4 Theo định nghiã đại lượng VCB, ta có thể biểu diễn:

) ( ) (

x

x f

Các bước tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 bằng định nghĩa:

Bước 1: Gọi x là số gia của biến x, tính số gia: y f(x0  x)  f(x0)

x

x f x x f x