BÀI tập TOÁN CHUYÊN đề hàm PHỨC

BÀI TẬP TOÁN CHUYÊN ĐỀ

………

I.SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1,Tính các giá trị các căn số sau:

a)A=31 i 3+

b)B=41 i−

c) D= − +3 1 i

1.2, Chứng minh rằng:

a) z 1− ≤ − +z 1 z arg z

b) nếu Rez > 0 , Rea > 0 thì a z

a z

− + < 1

c) Nếu z1 = z2 =1 và z≠±1 thì 1 2

1 2

z z

1 z z

d) Chứng minh rằng nếu Rez 0≥ thì 1 z 1 z

2

+ + ≥

e) Tìm Re(arctan e )iϕ với ϕ nhọn.

1.3, Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng

a) ( ) ( )2 3

f z = z +1 tanz

b)  f z( ) =z sinz2

c) ( ) ( )

8 z

 f z

z sinz

=

−

d) f (z) z3 z

1 z e

= + −

1.4, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn

a) Re1 1

z <2

b) 0 argi z

z i 2

< <

+

1

c) 1 Re 1 Im 1 1

<  ÷+  ÷<

1.5, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn:

a) ω =const

b) argω =const

c) Re ln( ω =) const(chỉ giải trong trường hợp ω = +z z2 −1)

Trong đó

a)ω = +z z2−1

b)ω =e1/z

1.6, Tính giá trị của các hàm sơ cấp sau

a) ω =ii

b) ω = −( 1) 2

c) ω =i1/i

d) ω = −(1 i)3 i−

e) ω =ln i

f)

2i

1 i 2

+

ω =  ÷

g) So sánh 2 ( ) ( )2 2

a ; aα α & a αtrong đó a;α∈£

h) Với giá trị nào của z∈£ thì cosz;sin z∈¡

1.7, Tính giá trị của modun của hàm ω =sin z tại z= π +iln(2+ 5)

1.8, giải phương trình

a) cos z 3=

b) sin z 5=

1.9, Tính tổng của các chuỗi sau

n 1

1 z 1 z −

≥

∑

n

n 2

z (1 z )(1 z − )

∑

1.10, Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi hàm số sau

a)

n n

n 0

(1 i)

z

≥

+

∑

n 0

(2z)

≥

∑

c)

n

n

n 1

z

n

≥

∑

d)

2

n n

n 1

1

n

≥

 + 

∑

e)

2n 1 2n 1

n 0

(2z) +

+

≥

∑

f)

2

n

n 0

z

n!

≥

∑

1.11, chứng minh đẳng thức

4 z

∂

1.12,xét sự hội tụ của các chuỗi số phức sau

a)

n

n 1

i

n

≥

∑

n 1

n sin in

3

≥

∑

n 0

z

≥

∑

d)

in

2

n 1

e

n

≥

∑

e)

i

n

n 1

e

n

π

≥

∑

f) n

n 0

n!z

≥

∑

1.13)Tìm tập hợp những điểm hội tụ của chuỗi số :

a) ( 2 )n

n 0

≥

+

∑

b)

n

n 1

z(z n)

n

≥

+

∑

c)

n 1

sin nz

n

≥

∑ (hội tụ trên trục thực)

II, TÍCH PHÂN HÀM BIẾN SỐ PHỨC:

1.

C

dz I

z

=∫ trong đó

a) C={ z 1 / Im z 0 ; 1 1= ≥ } =

b) C={ z 1 / Im z 0 ; 1 1= ≤ } =

c) C={ z 1 ; 1 1= } = với điểm đầu của đường tích phân là điểm z 1=

d) C={ z 1 ;= } − =1 i với điểm đầu z 1=

2.

C

I=∫Ln zdz trong đó

a) C={ z 1 ;L n1 0= } = với điểm đầu z 1=

b) C { z 1 ;L n i}

2

π

= = = với điểm đầu z i=

3.

C

I=∫(1 i 2z)dz+ − theo các đường nối điểm z1=0 với z2 = +1 i

a) Theo đường thẳng nối hai điểm.

b) Theo parabol y x= 2

4.

z 1 1

dz

I

1 z 2

− =

=

−

∫

5. 2

C

zdz

I

=

+

∫

Ñ trong đó C là đường

a) z 1 2− = ; z = 4

b) z 2i− =2

c) z 2i+ =2

6 I =

3

2 C

z 2z 1

dz (z 1)

−

∫

Ñ trong đó C là đường z = 2

C

(z 1)

z 2z 3 2i 3

−

=

∫

Ñ trong đó C là biên của đường z 1 3− =

C

zdz I

=

+

∫ với C trong các trường hợp sau:

a) z 1 R+ = , R 2<

b) z =R , R 1<

III, CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI LAURENT

3.0 Khai triển TayLor tại z 0= và xác định bán kính hội tụ R của chuỗi tìm được

a) f (z) ez

1 z

=

− (

n

n 0

1

n!

−

≥

b) f (z)= z i+ trong đó i 1 i

2

+

=

Trả lời

n n

n 2

1 i 1z 1.3.5 (2n 3) z

 ÷

 

c) f (z)=3z trong đó 3 i 3

2

= − +

3.1.Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra:

1. W 2z 1

(z 1)(z 2)

+

=

− + trong miền z <1 ; 1< z <3 ; 2< z < ∞

2.

2 2

z 2z 5

W

(z 5)(z 2)

= + − trong lân cận của z = 2 ; 1< z <2

3. W sin z

1 z

=

− trong lân cận điểm z 1; z= = ∞

3.2.Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z 0 của các hàm số sau:

1. W z 12

sin z

−

= với z0= 0

2. W ezz 1

+

=

− với z0 = 0 ; 2 i± π

IV, THẶNG DƯ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1)Một số công thức bổ sung

a) Res f (z);z[ = ∞ = −] C−1

C

1 Res f (z);z f (z)dz

2 i −

= ∞ =

π ∫

k

Res f (z);z a= +Res f (z);z= ∞ =0

∑

Nếu f (z) giải tích trong miền giới hạn bởi C trừ một số hữu hạn điểm bất thường a k

cô lập (kể cả điểm z= ∞)

2)Tính thặng dư của các hàm số tại các điểm bất thường a cô lập (kể cả điểmk

z= ∞ nếu nó không phải là điểm giới hạn của các cực điểm)

a)

10 7

z

f (z)

(1 z)

=

+ tại điểm z= ∞ gợi ý Res f (z);[ ∞ = −] Res f (z); 1[ − ]

b) f (z) cot z= 2 gợi ý Res f (z);k[ π = −] ( 1) ; kk ∈¢

c) f (z) sin z.sin1

z

= gợi ý Res f (z);z 0[ = =] Res f (z);z[ = ∞ =] 0

d) f (z) e= z+1z gợi ý [ ] [ ]

n 0

1 Res f (z);0 Res f (z);

n!(n 1)!

∞

=

+

∑

e) W sin 2z3

(z 1)

=

+

f)

2n n

z W

(z 1)

=

+

g) W 1 2

z(1 z )

=

−

sin z

=

i) W sin z

z 1

=

+

3)Tìm và phân loại các điểm bất thường,tìm thặng dư tại đó của các hàm:

a) W sin z63

z

=

(z 1)(z 2)

+

=

c)

2 2

z 2z 5 W

(z 5)(z 2)

=

d) W 2 z 2

z 5z 6

−

=

(z 2)(z 3)

=

f) W 12

sin 2z

4)Dùng thặng dư tính các tích phân sau:

a)

2 z

z 1

2

z

=

= Ñ ∫

z 1

z sin z

z

=

−

= Ñ ∫

c)

2

z 1 1

I (z z 1)e + dz

+ =

d)

2

z 2

I (z 2)e + dz

=

e) I 2x cos xdx

x 2x 10

+∞

−∞

=

∫

f) I 2x sin xdx

x 2x 10

+∞

−∞

=

∫

g)I 2x sin xdx

+∞

−∞

=

∫

h)I 2sin xdx

(x 4)(x 1)

+∞

−∞

=

∫

V, PHÉP BIẾN ĐỔI Z

5.1 Tìm các biến đổi z của các dãy sau

a)

n

khi n 0

−

 ÷  ÷

=    



b)

n n

3 khi n 2

  ÷

=   



c)

n n

3

  ÷

=   



d)

n n

3

  ÷

=   



e)

2 n

x





f)

2 n n

khi n 0

≥



= 



n

x



= 

<



h)

n n

3



5.2.Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau:

z 5z 4

(z 1) (z 3)

(z 1) (z 3)

4z 2 3z 1

(4z 3)

−

f)

2 2

(z 1) (z 2)

+

(z 2) (z 1)

+

VI, PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

6.1.Tìm ảnh của các hàm gốc sau

a)f t( ) (= +t 1 e) 2t  

b) f (t) sin t=

c) f t( ) =te−2t cos2t

d)f t( ) (= 2t 1 cos2t.sint  + )

e) f t( ) (= 2t 1 e cos2t + ) 2t

t khi 0 t 1

f (t) 2 t khi 1 t 2

< <







g)

2

t 1 khi 1 t 2

f (t)



= 

>



h)f (t) e= λ −α(t )sin(t− α η − α) (t )

i)

2 3t khi 0 t 4

f (t) 2t 3 khi 4 t 6





j)

t

0 x(t)=∫(u − +u e )du−

k)

t

2u 0

x(t)=∫cos(t u)e du−

l)

t

0

sin(t u)f (u)du t sin t− =

∫

6.2 Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau:

a) F(p) 3 2p 32

+

=

(p 1) (p 2)

=

c) F(p) 3 1 3

p (p 1)

=

−

d)

2

2

5p 15p 11 F(p)

(p 1)(p 2)

=

e)

p 3 2

e F(p)

p(p 1)

−

=

+

f) F(p) 24p 12

p 8p 16

+

=

g) F(p) 23p 19

2p 8p 19

+

=

(p 3)(p 2p 2)

−

=

i)

3p 2 2

e F(p)

p

−

=

(p p 1)

= + +

k) Tìm nghiệm của phương trình Volterra

t 0 y(t u)y(u)du t sin t− =

∫

6.3.Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân sau:

a) x′′+3x′+2x e= −t +e2t với x(0) 2;x (0)= ′ = −3

b) 4x′′−4x′+ =x e2t với x(0) 1;x (0) 0= ′ =

c) x′′+2x′+3x t cos t= với x(0)= −1 / 4;x (0) 0′ =

d) x′′−4x′+4x (t 1)e= − −2t với x(0) 2;x (0) 0= ′ =

e) x′′+2x′=6t2 với x(0) 0;x (0)= ′ = −3 / 2

f) x′′−7x′= −(14t 15)+ với x(0) 1;x (0) 2= ′ =

g) x′′+2x′+3x 3 7t 3t= + + 2 với x(0)= − =1 x (0)′

h) x′′+3x′+2x 2t= 2 +1 với x(0) 4;x (0)= ′ = −3

i) y′′+ +(1 t)y′+ =ty 0 với y(0) 1; y (0)= ′ = −1

j)

t 0

y (t) y(t) sin t′′ + = +∫sin(t u)y(u)du− với y(0) 0; y (0)= ′ = −1

6.4 Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tính

a)

2t 4t 0

dt t

+∞ − − −

∫

b) 2t

o

(t 2)e cos tdt

+∞

− +

∫

c)

t 0

e sin 3t

t

+∞ −

= ∫

d)

0

cos6t cos 4t

t

= ∫

e)

t 0

e sin t

t

+∞ −

= ∫

f)

t t

0 0

e sin u

u

+∞ −

= ∫ ∫

gợi ý:đổi thứ tự lấy tích phân

t

−

VII,PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER:

7.1.Tìm biến đổi Fourier của các dãy số và hàm số sau:

a)

n

khi n 0

−

 ÷  ÷

=    



b)

n n

3

khi n 2

  ÷

=   



c)

n n

3

  ÷

=   



d)

n n n

khi n 0

 ÷

=  



x



= 

<



f)

n n

1

  ÷

=   



g)

n n

n

khi n 0



h)

[ ]

1 2t 1 khi 0 t 1

f (t)

0 khi t 0,1





i) ( )

2 t khi 1 t 2

x t

− ≤ <





= − − − ≤ < −



j) ( )

x t

t 1 khi 0,5 t 1









k) Tìm hàm f (t) chẵn thỏa mãn

0

f (u)cos udu



l) Từ biến đổi Fourier của với x 0≥ Tính 2

0

x sin mx

+∞

+

∫

m) Tìm hàm f (t) lẻ thỏa mãn đẳng thức sau

0

1 khi 0 t 1

f (u)sin(ut)du 2 khi 1 t 2

0 khi t 2





∫

n) Tìm biến đổi Fourier theo cosin và sin của

f (x) 1 khi 0 x 1

0 khi x 1

≤ <



